Distribuție durabilă

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 5 decembrie 2015; verificările necesită 4 modificări .

O distribuție stabilă în teoria probabilității este o distribuție care poate fi obținută ca limită a distribuției sumelor variabilelor aleatoare independente .

Definiție

Funcția de distribuție se numește stabilă dacă pentru orice numere reale există numere astfel încât egalitatea să aibă loc: , unde * este operația de convoluție . Dacă este o funcție caracteristică a unei distribuții stabile, atunci pentru oricare există numere astfel încât . [unu] $F(x)$ ${\displaystyle a_{1}>0,a_{2}>0,b_{1},b_{2))$ $a>0,b$ $F(a_{1}x+b_{1})*F(a_{2}x+b_{2})=F(ax+b)$ $\phi (t)$ $a_{1}>0,a_{2}>0$ $a>0,b$ $\phi ({\frac {t}{a_{1}}})\phi ({\frac {t}{a_{2}}})=\phi ({\frac {t}{a} }){e}^{-itb}$

Note

Dacă este o funcție de distribuție stabilă , atunci , astfel încât $F_{X}$ $\forall n\in \mathbb {N} ,\;\exists a_{n}>0,b_{n}\in \mathbb {R}$

F_{X}\left({\frac {x-b_{n}}{a_{n}}}\right)=\underbrace {F_{X}(x)*\cdots *F_{X} (x)} _{n},\quad \forall x\in \mathbb {R}

unde denotă o circumvoluție . $*$

Dacă este funcția caracteristică a unei distribuții stabile, atunci , astfel încât $\phi _{X}$ $\forall n\in \mathbb {N} ,\;\exists a_{n},b_{n}\in \mathbb {R}$

\phi _{X}^{n}(t)=\phi _{X}(a_{n}t)\,e^{ib_{n}t)

Proprietăți ale distribuțiilor stabile

Fie variabile aleatoare independente distribuite identic și , unde sunt unele constante de normalizare și centrare. Dacă este o funcție de distribuție a variabilelor aleatoare , atunci numai distribuțiile stabile pot fi distribuții limitatoare pentru la . Opusul este adevărat: pentru orice distribuție stabilă , există o secvență de variabile aleatoare , care converg către ca. [unu] $\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n)$ $\eta _{n}={\frac {1}{\beta _{n)}}\sum _{k=1}^{n}\xi _{k}-\alpha _{n}$ $\beta _{n}>0,\alpha _{n)$ $F_{n}(x)$ $\eta _{n}$ $F_{n}(x)$ $n\la\infty$ $F(x)$ $\eta _{n}={\frac {1}{\beta _{n)}}\sum _{k=1}^{n}\xi _{k}-\alpha _{n}$ $F_{n}(x)$ $F(x)$ $n\la\infty$

(Reprezentare Levy-Khinchin) Logaritmul funcției caracteristice a unei variabile aleatoare cu o distribuție stabilă are forma:

\ln \phi (t)={\begin{cases}it\beta -d|t|^{\alpha }\left(1+i\theta {\frac {t}{|t|}} G(t,\alpha )\dreapta),&t\nu =0,\\0,&t=0.\end{cases}}

unde si $0<\alpha \leq 2,\;\beta \in \mathbb {R} ,\;d\geq 0,\;|\theta |\leq 1,$

G(t,\alpha )={\begin{cases}\mathrm {tg} {\frac {\pi }{2}}\alpha ,&\alpha \not =1,\\{\frac { 2}{\pi }}\ln |t|,&\alpha =1.\end{cases}}

Vezi și

Distribuție infinit divizibilă .

Note

↑ 1 2 Korolyuk, 1985 , p. 141.

Literatură

Korolyuk V.S. , Portenko N.I. , Skorokhod A.V. , Turbin A.F. Manual de Teoria Probabilității și Statistică Matematică. - M. : Nauka, 1985. - 640 p.

Distribuții de probabilitate
Discret	Bernoulli Binom Geometric hipergeometrică Logaritmic Binom negativ Poisson Uniformă discretă Multinom
Absolut continuu	Beta Weibulla Gamma- hiperexponenţială Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gauss) Logistică Nakagami Pareto Pearson semicircular uniformă continuă Orez Rayleigh Student Tracey - Vidoma Pescar Chi-pătrat Exponenţial Varianta-gama Normal multivariat copulă