Ordine ciclică

Ordine ciclică  - o modalitate de ordonare a obiectelor în așa fel încât mișcarea secvențială în ordine după o ocolire completă a colecției revine la obiectul inițial al mișcării; ordine completă , „conectate prin capete” într-un ciclu. Spre deosebire de structurile studiate în teoria ordinii , o astfel de ordine nu este modelată printr -o relație binară , cum ar fi „ a < b ”, de exemplu nu se poate spune că estul este „mai mult în sensul acelor de ceasornic” decât vest; în schimb, ordinea ciclică este definită ca o relație ternară [ a , b , c ] , adică „după ce a , b este atins înainte de c ”. De exemplu, [iunie, octombrie, februarie]. O relație ternară se numește ordine ciclică dacă este ciclică ( ), asimetrică, tranzitivă și completă. O ordine care nu are toate aceste proprietăți cu excepția completității se numește ordine ciclică parțială .

O mulțime cu o ordine ciclică se numește o mulțime ordonată ciclic sau pur și simplu un ciclu [nb] . Unele cicluri sunt discrete, având doar un număr finit de elemente  - există șapte zile ale săptămânii , patru puncte cardinale , douăsprezece note pe scara cromatică și trei jucători în jocul de piatră, hârtie, foarfece . În bucla finală, fiecare element are un „element următor” și un „element anterior”. Există, de asemenea, cicluri continue cu un număr infinit de elemente, cum ar fi cercul unitar orientat în plan.

Ordinele ciclice sunt strâns legate de ordinele liniare mai cunoscute , care ordonează obiectele de-a lungul unei linii drepte . Orice ordine liniară poate fi pliată într-un ciclu și orice ordine ciclică poate fi tăiată într-un punct, rezultând o ordine liniară. Aceste operații, împreună cu construcțiile de interval asociate și mapările de acoperire, înseamnă că întrebările despre ordinele ciclice pot fi adesea transformate în întrebări despre ordinele liniare. Ciclurile au mai multe simetrii decât ordinele liniare și adesea apar în mod natural ca reziduuri ale structurilor liniare, ca în grupuri ciclice finite sau linii proiective reale .

Sfârșit cicluri

Ordinea ciclică pe o mulțime X cu n elemente este similară cu aranjarea elementelor mulțimii X pe un cadran de ceas cu n ceasuri. Fiecare element x din X are un „element următor” și un „element anterior” și selectând elementele ulterioare sau anterioare ale buclei, se poate trece exact o dată prin toate elementele x (1), x (2), ... , x ( n ) .

Există mai multe moduri echivalente de a da această definiție. Ordinea ciclică pe setul X va fi aceeași atunci când elementele sunt rearanjate în jurul ciclului. Un ciclu cu n elemente este un Z n - torsor  — este o mulțime cu acțiune tranzitivă liberă a unui grup ciclic finit [1] . O altă formulare este de a transforma X într -un ciclu grafic standard direcționat de n -vertex prin maparea elementelor mulțimii la vârfuri.

Se pot folosi instinctiv ordinele ciclice pentru funcții simetrice , de exemplu, ca în cazul

unde scrierea ultimului monom ca xz ar distrage atenția de la structură.

În esență, utilizarea ordinelor ciclice se manifestă în definirea claselor de conjugație ale grupurilor libere . Două elemente g și h ale unui grup F dintr-o mulțime Y sunt adiacente dacă și numai dacă sunt scrise ca produse de elementele y și y −1 cu y din Y , iar atunci aceste produse sunt aranjate într-o ordine ciclică. Ordinele ciclice sunt echivalente la rescrierea regulilor care permit eliminarea sau adăugarea y și y -1 adiacente .

O ordine ciclică pe o mulțime X poate fi definită printr-o ordine liniară pe X , dar nu în mod unic. Alegerea unei ordini liniare este echivalentă cu alegerea primului element, deci există exact n ordine liniare generate de o anumită ordine ciclică. Din moment ce sunt n ! ordine liniare posibile, există ( n − 1)! posibile ordine ciclice.

Definiție

O mulțime infinită poate fi, de asemenea, ordonată ciclic. Exemple importante de bucle infinite sunt cercul unitar , S 1 , și numerele raționale , Q. Ideea de bază este aceeași - aranjam elementele din mulțime într-un cerc. Totuși, în cazul infinit, nu ne putem baza pe relația de succesiune imediată, deoarece punctele pot să nu aibă un predecesor. De exemplu, având în vedere un punct pe un cerc, nu există „punctul următor”. Nici nu se poate baza pe o relație binară cu privire la care dintre două puncte este „primul”. Trecând în sensul acelor de ceasornic de-a lungul cercului, punctele nu merg mai devreme pe ambele părți, ci urmează una după alta.

În schimb, folosim o relație ternară, care indică faptul că elementele a , b , c merg una după alta (nu neapărat imediat) de-a lungul cercului. De exemplu, în sensul acelor de ceasornic, [est, sud, vest]. Atunci când analizăm argumentele relației ternare [ a , b , c ] se poate gândi la ordinea ciclică ca la o familie de relații de ordine binară cu un singur parametru, care se numesc tăieturi , sau ca o familie cu doi parametri de submulțimi ale mulțimii K , care se numesc intervale .

Relație ternară

Definiția generală este următoarea: o ordine ciclică pe o mulțime X  este o relație (scrisă [ a , b , c ] ) care satisface următoarele axiome: [nb]

1. Ciclic: din [ a , b , c ] urmează [ b , c , a ]
2. Asimetrie: [ a , b , c ] implică incorectitudine [ c , b , a ]
3. Tranzitivitate: dacă [ a , b , c ] și [ a , c , d ] atunci [ a , b , d ]
4. Completitudine: dacă a , b și c sunt distincte, atunci fie [ a , b , c ] sau [ c , b , a ]

Axiomele sunt denumite prin analogie cu axiomele de asimetrie , tranzitivitate și completitudine pentru o relație binară, care împreună definesc o ordine strict liniară . Edward Huntington [2] [3] a propus o altă posibilă listă de axiome, inclusiv axiome care subliniază analogia ordinii ciclice cu relația „între” . O relație ternară care satisface primele trei axiome, dar nu neapărat axioma completității, se numește ordine ciclică parțială .

Alezoare și tăieturi

Dată o ordine liniară < pe o mulțime X , ordinea ciclică pe X generată de ordinul < este definită după cum urmează [4] [5] :

Două ordine liniare dau naștere la aceeași ordine ciclică dacă pot fi transformate unul în celălalt printr-o permutare ciclică, așa cum se întâmplă atunci când cărțile sunt îndepărtate [6] . Se poate defini o relație de ordine ciclică ca o relație ternară generată de o ordine strict liniară (așa cum se arată mai sus) [7] .

Eliminarea unui punct din ordinea ciclică părăsește ordinea liniară. Mai precis, dată fiind o mulțime ordonată ciclic ( K , [ ] ), fiecare element a ∈ K definește o ordine liniară naturală < a pe mulțimea rămasă, K ∖ a cu următoarea regulă [8] [9] :

Mai mult, < a poate fi extins prin adăugarea a ca cel mai mic element. Ordinea liniară rezultată pe K se numește secțiunea principală cu cel mai mic element a . În mod similar, adăugarea a ca cel mai mare element are ca rezultat o secțiune < a . [zece]

Intervale

Având în vedere două elemente , intervalul deschis de la a la b , scris ( a , b ) , este mulțimea tuturor astfel încât [ a , x , b ] . Sistemul de intervale deschise definește complet ordinea ciclică și poate fi folosit ca o definiție alternativă a relației ciclice [11] .

Intervalul ( a , b ) are o ordine liniară naturală dată de relaţia < a . Este posibil să se definească intervale semi-închise și închise [ a , b ) , ( a , b ] și [ a , b ] prin atașarea a ca cele mai mici și/sau b ca cele mai mari elemente [ . 12] Ca caz special, un interval deschis ( a , a ) este definit ca o tăietură K ∖ a .

Mai general, o submulțime proprie S a unei mulțimi K se numește convexă dacă conține toate intervalele dintre orice pereche de puncte - pentru că fie ( a , b ) fie ( b , a ) trebuie să se afle și în S [13] . O mulțime convexă este ordonată liniar la secțiunea < x pentru orice x care nu este în mulțime. Această ordonare este independentă de alegerea lui x .

Automorfisme

Deoarece un cerc are o ordine în sensul acelor de ceasornic și o ordine opusă, orice mulțime cu o ordine ciclică are două semnificații . O bijecție care păstrează ordinea a unei mulțimi se numește corespondență ordonată . Dacă sensul (direcția) este același, bijecția se numește corespondență directă , în caz contrar se numește corespondență inversă [14] . Coxeter a folosit relația de divizare pentru a descrie ordinea ciclică, iar această relație este suficient de puternică pentru a distinge cele două sensuri ale ordinii ciclice. Automorfismele unei mulțimi ordonate ciclic pot fi identificate cu C 2 , grupul de două elemente de corespondențe directe și inverse.

Funcții monotone

Ideea de „ordine ciclică = aranjare pe un cerc” funcționează deoarece orice subset al unui ciclu este, de asemenea, un ciclu. Pentru a folosi această idee pentru a introduce o ordine ciclică pe mulțimi care nu sunt cu adevărat cercuri unitare în plan, trebuie să luăm în considerare funcțiile dintre mulțimi.

O funcție între două mulțimi ordonate ciclic, f  : X → Y , se numește funcție monotonă sau homomorfism dacă păstrează ordinea pe Y  — dacă [ f ( a ), f ( b ), f ( c )] , avem [ a , b , c ] . În mod echivalent, f este monotonă dacă, în cazul lui [ a , b , c ] și elementele lui f ( a ), f ( b ) și f ( c ) sunt distincte, atunci [ f ( a ), f ( b ) , f ( c )] . Un exemplu tipic de funcție monotonă este următoarea funcție pe o buclă de 6 elemente:

O funcție se numește încorporare dacă este monotonă și injectivă [nb] . În mod echivalent, o încorporare este o funcție care transferă ordinea din mulțimea X : din [ a , b , c ] urmează [ f ( a ), f ( b ), f ( c )] . Ca exemplu important, dacă X este o submulțime a unei mulțimi ordonate ciclic Y și X primește o ordine naturală, atunci harta de incluziune i  : X → Y este o încorporare.

În general, o funcție injectivă f dintr-o mulțime neordonată X într-un ciclu Y generează o ordine ciclică pe X , ceea ce face din funcția f o încorporare.

Funcții pe mulțimi finite

Ordinea ciclică pe o mulțime finită X poate fi determinată prin încorporarea în cercul unitar, X → S 1 . Există multe funcții posibile care generează aceeași ordine ciclică - de fapt, infinite. Pentru a cuantifica, este necesar să folosiți un obiect mai complex decât un număr. O examinare a spațiului de configurare al tuturor acestor mapări conduce la definirea unui poliedru ( n − 1) dimensional cunoscut sub numele de cicloedru . Cicloedrele au fost folosite inițial pentru a studia invarianții nodurilor [15] . Au fost aplicate ulterior la identificarea experimentală a genelor periodice în studiul ceasurilor biologice [16] .

Categoria de homeomorfisme ale ciclurilor finite standard se numește categoria ciclică . Poate fi folosit pentru a construi homotopia ciclică a lui Allen Conn .

Este posibil să se definească gradul unei funcții între cicluri într-un mod similar cu gradul unei mapări continue . De exemplu, maparea naturală a cercului de cincimi la cercul cromatic este o mapare de gradul 7. Se poate defini și un număr de rotație .

Închidere

• Secțiunea cu cel mai mic și cel mai mare element se numește salt . De exemplu, orice partiție a ciclului finit Z n este un salt. Un ciclu fără sărituri se numește dens [17] [18] .
• O secțiune în care nu există nici cel mai mic, nici cel mai mare element se numește slot . De exemplu, numerele raționale Q au un decalaj în orice număr irațional. Pentru aceste numere există și un decalaj la infinit, adică ordinea obișnuită. Un ciclu fără goluri se numește complet [19] [18] .
• O secțiune cu un punct final se numește secțiune principală . De exemplu, orice secțiune a cercului S 1 este cea principală. Un ciclu în care orice secțiune este principală, fiind densă și completă, se numește continuu [20] [18] .

Mulțimea tuturor secțiunilor este o ordine ciclică cu următoarea relație: [< 1 , < 2 , < 3 ] dacă și numai dacă există x , y , z astfel încât [21] :

Unele subseturi de secțiuni ale acestui ciclu sunt completarea Dedekind a ciclului original.

Construcții suplimentare

Desfășurare și acoperire

Începând cu o mulțime ordonată ciclic K , se poate forma o ordine liniară prin extinderea acesteia la o linie infinită. Aceasta reflectă o înțelegere intuitivă a trecerii în cerc. Formal, o ordine liniară este definită pe produsul direct Z × K , unde Z  este mulțimea numerelor întregi , prin fixarea unui element a și cerând ca pentru tot i [22] [23] :

De exemplu, lunile ianuarie 2022, mai 2022, septembrie 2022 și ianuarie 2023 sunt în această ordine.

Această ordonare Z × K se numește capac universal K [nb] . Tipul său ordinal nu depinde de alegerea unui , ceea ce nu poate fi spus despre notație, deoarece coordonatele întregi „se rostogolesc” peste a . De exemplu, deși ordinea ciclică a claselor de înălțime este compatibilă cu ordinea alfabetică de la A la G, litera C este aleasă ca primă notă a octavei, astfel încât în ​​sistemul de notație american B 3 este urmată de C 4 .

Construcția inversă începe cu o mulțime ordonată liniar și o restrânge într-o mulțime ordonată ciclic. Având în vedere o mulțime L ordonată liniar și o bijecție care păstrează ordinea T  : L → L cu orbite neînchise, spațiul traiectoriei L / T este ordonat ciclic după condiția necesară: [11] [nb]

În special, se poate găsi K prin definirea T ( x i ) = x i + 1 pe Z × K .

Există, de asemenea, o acoperire cu n ori pentru n finit . În acest caz, un set ordonat ciclic acoperă un alt set ordonat ciclic. De exemplu, ora din zi se suprapune de două ori pe cea de 12 ore . În geometrie , un mănunchi de raze care emană dintr-un punct pe un plan orientat este o acoperire dublă a unui mănunchi de linii neorientate care trec prin același punct [24] [23] . Aceste învelișuri pot fi descrise ca ridicarea lor către învelișul universal [11] .

Produse și contracții

Având în vedere o mulțime ordonată ciclic ( K , [ ]) și o mulțime ordonată liniar ( L , <) , produsul lexicografic (complet) este ordinea ciclică pe produsul direct K × L , definit ca [( a , x ), ( b , y ), ( c , z )] când: [25]

• [ a , b , c ]
• a = b ≠ c și x < y
• b = c ≠ a și y < z
• c = a ≠ b și z < x
• a = b = c și [ x , y , z ]

Produsul lexicografic K × L arată ca K la nivel global și L local . Poate fi considerat ca K copii ale lui L. Această construcție este uneori folosită pentru a descrie grupuri ordonate ciclic [26] .

Este posibil să lipiți împreună diverse seturi ordonate liniar pentru a forma o mulțime ordonată ciclic. De exemplu, având în vedere două mulțimi ordonate liniar L 1 și L 2 , puteți forma un ciclu conectând aceste mulțimi la infinit pozitiv și negativ. Ordinea ciclică pe o uniune disjunctă L 1 ∪ L 2 ∪ {–∞, ∞ } este definită ca ∞ < L 1 < –∞ < L 2 < ∞ , unde ordinea generată pe L 1 este opusă ordinii inițiale. De exemplu, setul tuturor longitudinilor este ordonat ciclic prin lipirea tuturor punctelor de est și a tuturor punctelor de vest de-a lungul meridianului principal și al meridianului 180 . Kuhlman, Marshall și Osyak [27] au folosit această construcție pentru a descrie spațiile de ordonări și punctele reale ale seriei Laurent duble formale peste un câmp închis real [28] .

Topologie

Intervalele deschise formează baza pentru topologia naturală , topologia de ordin ciclic . Mulțimi deschise în această topologie sunt exact acele mulțimi care sunt deschise în orice ordine liniară compatibilă [29] . Pentru a ilustra diferența, pe mulțimea [0, 1), submulțimea [0, 1/2) este o vecinătate a lui 0 în ordine liniară, dar nu în ordine ciclică.

Exemple interesante de spații ordonate ciclic sunt limitele conforme ale unei suprafețe Lorentz pur și simplu conectate [30] și spațiile petale ale fasciculelor centrale ridicate ale unor 3-variete [31] . Au fost studiate și sistemele dinamice discrete pe spații ordonate ciclic [32] .

Topologia intervalului elimină orientarea originală a ordinii ciclice. Orientarea poate fi restabilită prin adăugarea de intervale cu ordinele liniare generate. Apoi avem un set acoperit de un atlas de ordine liniare care sunt compatibile cu suprapunerea. Cu alte cuvinte, o mulțime ordonată ciclic poate fi văzută ca un spațiu ordonat local, ca obiecte precum varietăți , dar cu relații de ordine în loc de un sistem de coordonate curbiliniu. Acest punct de vedere face mai precise concepte precum mapările de acoperire. O generalizare a unui spațiu parțial ordonat local este studiată în lucrarea lui Roll [33] , vezi și Topologie orientată .

Structuri înrudite

Grupuri

Un grup ordonat ciclic  este o mulțime cu o structură de grup și o ordine ciclică astfel încât înmulțirea la stânga și la dreapta păstrează ordinea ciclică. Grupurile ordonate ciclic au fost primele care au fost studiate profund de Ladislav Rieger în 1947 [34] . Grupurile ordonate ciclic sunt o generalizare a grupărilor ciclice  - grupul ciclic infinit Z și grupările ciclice finite Z / n . Deoarece o ordine liniară generează o ordine ciclică, grupurile ordonate ciclic sunt, de asemenea, o generalizare a grupurilor ordonate liniar  - numere raționale Q , numere reale R și așa mai departe. Unele dintre cele mai importante grupuri ordonate ciclic care nu se încadrează în niciuna dintre categoriile de mai sus sunt grupul de cerc T și subgrupurile sale, cum ar fi subgrupul de puncte raționale .

Orice grup ordonat ciclic poate fi exprimat ca un grup de factori L / Z , unde L este un grup ordonat liniar și Z  este un subgrup cofinal ciclic al lui L. Orice grup ordonat ciclic poate fi exprimat ca produs T × L , unde L  este un grup ordonat liniar. Dacă un grup ordonat ciclic este arhimedian sau compact, acesta poate fi încorporat în grupul T însuși [35] .

Axiome modificate

Ordinea ciclică parțială  este o relație ternară care generalizează ordinea ciclică (totală) în același mod în care o mulțime parțial ordonată generalizează o mulțime ordonată liniar . În acest caz, ordinea este ciclică, asimetrică și tranzitivă, dar nu neapărat completă. O varietate ordonată este o ordine parțială ciclică care satisfaceaxioma distributivă suplimentară. Înlocuirea axiomei asimetriei cu o versiune complementară duce la definirea unui ordin cociclic . Ordinele cociclice complete sunt legate de ordinele ciclice în același mod în care ≤ este legat de < .

Ordinea ciclică satisface axioma puternică în 4 puncte a tranzitivității. O structură mai slabă decât această axiomă este sistemul CC  , o relație ternară care este ciclică, asimetrică și completă, dar, în general, nu tranzitivă. În schimb, sistemul CC trebuie să satisfacă axioma în 5 puncte a tranzitivității și noua axiomă interioară , care restricționează configurațiile în 4 puncte care încalcă tranzitivitatea ciclică [36] .

Un ordin ciclic este necesar să fie simetric sub permutările ciclice, [ a , b , c ] ⇒ [ b , c , a ] și simetric sub reversibilitate: [ a , b , c ] ⇒ ¬[ c , b , a ] . O relație ternară care este asimetrică în condiții de permutare ciclică și simetrică în condiții de reversibilitate, împreună cu versiunile adecvate ale axiomelor de tranzitivitate și completitate, se numește relația „între” . Relația de împărțire este o relație cuaternară , care poate fi înțeleasă ca o ordine ciclică fără orientare. Relația dintre ordinea circulară și relația de separare este similară cu relația dintre ordinea liniară și relația „între” [37] .

Simetrii și teoria modelelor

Evans, McPherson și Ivanov [38] au oferit o descriere teoretică a modelului de acoperire a mapărilor ciclului.

Tararin [39] [39] a studiat grupuri de automorfism de cicluri cu diferite proprietăți de tranzitivitate . Girodet și Holland [40] au descris cicluri ale căror grupuri de automorfism complet acționează liber și tranzitiv . Campero-Arena și Truss [41] au descris cicluri de culoare numărabile ale căror grupuri de automorfism acționează tranzitiv. Trass [42] a studiat grupul de automorfism al unui ciclu dens numărabil unic (până la izomorfisme).

Kulpeshov și McPherson [43] au studiat condițiile de minimalitate pe ordinele ciclice ale structurilor , adică modele de limbaje de ordinul întâi care includ o relație de ordine ciclică. Aceste condiții sunt similare cu o-minimalitatea și cu o-minimalitatea slabă pentru cazul structurilor ordonate liniar. Kulpeshov [44] [13] a continuat o descriere a structurilor ω -categorice [45] .

Percepția

Hans Freudenthal a subliniat rolul ordinelor ciclice în dezvoltarea cognitivă, spre deosebire de Jean Piaget , care a considerat doar ordinele liniare. Au fost efectuate experimente pentru a studia imaginea mentală a seturilor ordonate ciclic, cum ar fi lunile anului.

Note

↑  În literatura engleză, această ordine poate fi numităordine ciclică [46] ,ordinecirculară (ordine circulară) [46] ,ordonareciclică (ordonare ciclică) [47] sauordonarecirculară (ordonare circulară) [48] . Puteți găsi, de asemenea, numeleordine totală ciclică(ordine complet ciclică) [49] ,ordine ciclică completă (ordinecomplet ciclică) [50] ,ordine ciclicăliniară (ordine ciclică liniară) [10] ,ordine l-ciclicăsau ℓciclică ordine(l-/ℓ-ordine ciclică) [51] pentru a sublinia diferența față de clasa mai largă de ordine ciclice parțiale , pe care le numesc pur și simpluordine ciclice. În cele din urmă, unii autori folosesc termenul deordine ciclică pentrua desemna o relație de partiție cuaternară nedirecționată [52] .

↑  O mulțime cu o ordine ciclică poate fi numităciclu [50] saucerc [53] . În literatura de specialitate în limba engleză, denumirile apar, de asemenea,cyclically ordered set(cyclically ordered set),circularly ordered set(set),total cyclical ordered set(complet cyclically ordered set),complet cyclical ordered set(complet cyclical ordered set),Mulțime ordonată(ordonată ciclic liniar),l(mulțime ordonată ciclic), ℓ-mulțime ordonată ciclic(ℓ-mulțime ordonată ciclic). Toți autorii sunt de acord că ciclul este complet ordonat.

↑   Există mai multe simboluri diferite pentru relația ciclică. Huntington [46] a folosit daisy chaining: ABC . Cehă [54] și Nowak [50] au folosit triple ordonate și simbolul de includere:( a , b , c ) ∈ C . Megiddo [55] a folosit simbolul de înlănțuire și includere: abc ∈ C , înțelegând prin abc un triplu ordonat ciclic. În literatura despre teoria grupurilor, ca și în Shvirtskovsky [56] , Chernak și Yakubik [57] , parantezele pătrate sunt mai des folosite:[ a , b , c ]. Girodet și Holland [53] folosesc paranteze:( a , b , c ), lăsând paranteze pătrate pentru relația „între”. Campero-Arena și Truss [58] folosesc notația în stilul funcției: R ( a , b , c ). Rieger [59] citat de Pekinova [60] ) folosește simbolul mai mic decât ca separator:< x , y , z <. Unii autori folosesc notația infixă: a < b < c , realizând că o astfel de notație nu corespunde interpretării uzuale a a < b și b < c pentru aceeași relație binară < [61] . Weinstein [62] subliniază caracterul ciclic al relaţiei prin repetarea elementului: p ↪ r ↪ q ↪ p .

↑   Nowak [63] numește o încorporare „înglobare izomorfă”.

↑ Bodwich numește  cartografiereaTArhimedean [64] , Campero-Arena și Trusso numesc coterminală [65] , iar McMullen o numeștetranslație [11] .

↑   McMullen [11] numește Z × K „acoperirea universală” a luiK. Girodet și Holland [66] au scris căKeste o „convoluție” a lui Z × K . Freudenthal și Bauer [67] numesc Z × K o „copertă ∞-fold” a luiK. Adesea, această construcție este scrisă în ordine antilexicograficăpe K × Z.

Note

1. ↑ Brown, 1987 , p. 52.
2. ↑ Huntington, 1916 .
3. ↑ Huntington, 1924 .
4. ↑ Huntington, 1935 , p. 6.
5. ↑ Čech, 1936 , p. 25.
6. ↑ Calegari, 2004 , p. 439.
7. ↑ Courcelle, 2003 .
8. ↑ Huntington, 1935 , p. 7.
9. ↑ Čech, 1936 , p. 24.
10. ↑ 1 2 Novák, 1984 , p. 323.
11. ↑ 1 2 3 4 5 McMullen, 2009 , p. zece.
12. ↑ Giraudet, Olanda (2002) .
13. ↑ 1 2 Kulpeshov, 2009 .
14. ↑ Coxeter, 1949 , p. 25.
15. ↑ Stasheff, 1997 , p. 58.
16. ↑ Morton, Pachter, Shiu, Sturmfels (2007) .
17. ↑ Novák, 1984 , p. 325.
18. ↑ 1 2 3 Novák, Novotný (1987) .
19. ↑ Novák, 1984 , pp. 325, 331.
20. ↑ Novák, 1984 , p. 333.
21. ↑ Novák, 1984 , p. 330.
22. ↑ Roll, 1993 , p. 469.
23. ↑ 1 2 Freudenthal, Bauer (1974) .
24. ↑ Freudenthal, 1973 , p. 475.
25. ↑ Świerczkowski, 1959a , p. 161.
26. ↑ Świerczkowski, 1959a .
27. ↑ Kuhlmann, Marshall, Osiak, 2011 .
28. ↑ Kuhlmann, Marshall, Osiak, 2011 , p. opt.
29. ↑ Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov, 2008 , p. 44.
30. ↑ Weinstein, 1996 , pp. 80–81.
31. ↑ Calegari, Dunfield, 2003 , pp. 12–13.
32. ↑ Bass, Otero-Espinar, Rockmore, Tresser, 1996 , p. 19.
33. ↑ Roll, 1993 .
34. ↑ Pecinová-Kozáková, 2005 , p. 194.
35. ↑ Świerczkowski, 1959a , pp. 161–162.
36. ↑ Knuth, 1992 , p. patru.
37. ↑ Huntington, 1935 .
38. ↑ Evans, Macpherson, Ivanov, 1997 .
39. ↑ 1 2 Tararin, 2001 .
40. ↑ Giraudet, Olanda, 2002 .
41. ↑ Campero-Arena, Truss, 2009 .
42. ↑ Truss, 2009 .
43. ↑ Kulpeshov, Macpherson, 2005 .
44. ↑ Kulpeshov, 2006 .
45. ↑ Macpherson, 2011 .
46. ↑ 1 2 3 Huntington, 1916 , p. 630.
47. ↑ Kok, 1973 , p. 6.
48. ↑ Mosher, 1996 , p. 109.
49. ↑ Isli și Cohn, 1998 , p. 643.
50. ↑ 1 2 3 Novák, 1982 , p. 462.
51. ↑ Černák, 2001 , p. 32.
52. ↑ Bowditch, 1998 , p. 155.
53. ↑ 1 2 Giraudet, Olanda, 2002 , p. unu.
54. ↑ Čech, 1936 , p. 23.
55. ↑ Megiddo, 1976 , p. 274.
56. ↑ Świerczkowski, 1959a , p. 162.
57. ↑ Černák, Jakubik, 1987 , p. 157.
58. ↑ Campero-Arena, Truss, 2009 , p. unu.
59. ↑ Rieger, 1947 .
60. ↑ Pecinová, 2008 , p. 82.
61. ↑ Černy, 1978 , p. 262.
62. ↑ Weinstein, 1996 , p. 81.
63. ↑ Novák, 1984 , p. 332.
64. ↑ Bowditch, 2004 , p. 33.
65. ↑ Campero-Arena, Truss, 2009 , p. 582.
66. ↑ Giraudet, Olanda, 2002 , p. 3.
67. ↑ Freudenthal și Bauer 1974 , p. zece.

Literatură

• Hyman Bass, Maria Victoria Otero-Espinar, Daniel Rockmore, Charles Tresser. Renormallzatlon ciclic și automorfism grupuri de arbori înrădăcinați. - Springer, 1996. - T. 1621. - (Lecture Notes in Mathematics). — ISBN 978-3-540-60595-9 . - doi : 10.1007/BFb0096321 .
• Brian H. Bowditch. Puncte de tăiere și împărțiri canonice ale grupurilor hiperbolice  // Acta Mathematica . - 1998. - Septembrie ( vol. 180 , numărul 2 ). - S. 145-186 . - doi : 10.1007/BF02392898 . Arhivat din original pe 22 martie 2012.
• Brian H. Bowditch. Grupurile plane și conjectura Seifert  // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 2004. - noiembrie ( vol. 576 ). - S. 11-62 . - doi : 10.1515/crll.2004.084 .
• Kenneth S. Brown. Proprietățile de finit ale grupurilor  // Journal of Pure and Applied Algebra. - 1987. - Februarie ( vol. 44 , numărul 1-3 ). - S. 45-75 . - doi : 10.1016/0022-4049(87)90015-6 .
• Danny Calegari. Grupuri circulare, grupuri plane și clasa Euler  // Monografii de geometrie și topologie. - 2004. - Decembrie ( vol. 7 ). - S. 431-491 . - doi : 10.2140/gtm.2004.7.431 . - arXiv : math/0403311 .
• Danny Calegari, Nathan M. Dunfield. Laminari si grupuri de homeomorfisme ale cercului  // Inventiones Mathematicae. - 2003. - Aprilie ( vol. 152 , numărul 1 ). - S. 149-204 . - doi : 10.1007/s00222-002-0271-6 . — arXiv : math/0203192 .
• G. Campero-Arena, John K. Truss. 1-ordonări ciclice tranzitive  // ​​Journal of Combinatorial Theory, Seria A . - 2009. - Aprilie ( vol. 116 , numărul 3 ). - S. 581-594 . - doi : 10.1016/j.jcta.2008.08.006 .
• Eduard Chech. Bodové množiny . — Praga: Jednota Československých matematiků a fysiků, 1936.
• Stefan Cernak. Extensie cantor a unui grup pe jumătate ordonat liniar ciclic  // Discuții Mathematicae - Algebră generală și aplicații. - 2001. - T. 21 , nr. 1 . - S. 31-46 . - doi : 10.7151/dmgaa.1025 .  (link indisponibil)
• Štefan Cernák, Jan Jakubik. Completarea unui grup ordonat ciclic  // Cehoslovac Mathematical Journal. - 1987. - T. 37 , nr. 1 . - S. 157-174 . Arhivat din original pe 4 noiembrie 2022.
• Ilja Cerny. Tăieri în regiuni simple conectate și ordonarea ciclică a sistemului tuturor elementelor de limită  // Časopis pro pěstování matematiky. - 1978. - T. 103 , nr. 3 . - S. 259-281 .
• Bruno Courcelle. 2.3 Ordinea circulară // Probleme în teoria modelelor finite / Dietmar Berwanger, Erich Grädel. — 2003.
• HSM Coxeter . capitolul 3: Ordinea si continuitatea. // Planul proiectiv real. - New York, Toronto, Londra: McGraw-Hill, 1949.
• David M. Evans, Dugald Macpherson, Alexandre A. Ivanov. Coperți finite // Teoria modelului grupurilor și grupurilor de automorfism: Blaubeuren, august 1995 / David M. Evans. - Cambridge University Press, 1997. - V. 244. - S. 1-72. — (London Mathematical Society Lecture Note Series). — ISBN 0-521-58955-X .
• Hans Freudenthal . Matematica ca sarcină educațională. - D. Reidel, 1973. - ISBN 90-277-0235-7 .
• Hans Freudenthal, A. Bauer. Geometrie — O discuție fenomenologică // Fundamentele matematicii / Heinrich Behnke, SH Gould. - MIT Press, 1974. - V. 2. - S. 3-28. — ISBN 0-262-02069-6 .
• Hans Freudenthal. Fenomenologia didactică a structurilor matematice. - D. Reidel, 1983. - ISBN 90-277-1535-1 .
• Michele Giraudet, W. Charles Holland. Structuri Ohkuma  // Comanda . - 2002. - Septembrie ( vol. 19 , numărul 3 ). - S. 223-237 . - doi : 10.1023/A:1021249901409 .  (link indisponibil)
• Edward V. Huntington. Un set de postulate independente pentru ordinea ciclică  // Proceedings of the National Academy of Sciences  . - Academia Națională de Științe din Statele Unite , 1916. - Noiembrie ( vol. 2 , iss. 11 ). - P. 630-631 . - doi : 10.1073/pnas.2.11.630 .
• Edward V. Huntington. Seturi de postulate complet independente pentru ordinea ciclică  // Proceedings of the National Academy of Sciences  . - Academia Națională de Științe din Statele Unite , 1924. - Februarie ( vol. 10 , iss. 2 ). - P. 74-78 . - doi : 10.1073/pnas.10.2.74 .
• Edward V. Huntington. Interrelații între cele patru tipuri principale de ordine  //  Tranzacții ale Societății Americane de Matematică. - 1935. - iulie ( vol. 38 , iss. 1 ). - P. 1-9 . - doi : 10.1090/S0002-9947-1935-1501800-1 .
• Amar Isli, Anthony G. Cohn. O algebră pentru ordonarea ciclică a orientărilor 2D // AAAI '98/IAAI '98 Proceedings of the fifteenth national/a zecea conferință despre Artificial intelligence/Innovative applications of artificial intelligence . - 1998. - ISBN 0-262-51098-7 .
• Donald E. Knuth . Axiome și coci . - Heidelberg: Springer-Verlag, 1992. - T. 606. - P. ix + 109. — (Note de curs în Informatică). — ISBN 3-540-55611-7 . - doi : 10.1007/3-540-55611-7 .
• Kok H. Spații de comandă conectate. - Amsterdam: Mathematisch Centrum , 1973. - ISBN 90-6196-088-6 .
• Salma Kuhlmann, Murray Marshall, Katarzyna Osiak. 2-structuri ciclice și spații de ordonări ale câmpurilor serii de puteri în două variabile  // Journal of Algebra. - 2011. - T. 335 , nr. 1 . - S. 36-48 . - doi : 10.1016/j.jalgebra.2011.02.026 . Arhivat din original pe 21 iulie 2011.
• Beibut Sh. Kulpeșov. Pe ℵ 0 -categoric slab circular structuri minime // Matematică Logică Trimestrială. - 2006. - Decembrie ( vol. 52 , numărul 6 ). - S. 555-574 . - doi : 10.1002/malq.200610014 .
• Kulpeshov B.Sh. Funcții definibile în ℵ 0 -structuri categorice slab ciclic minime  // Siberian Mathematical Journal. - 2009. - martie-aprilie ( vol. 50 , numărul 2 ). - S. 356-379 .
• Beibut Sh. Kulpeshov, H. Dugald Macpherson. Condiții de minimalitate pe structuri ordonate circular // Mathematical Logic Quarterly. - 2005. - iulie ( vol. 51 , numărul 4 ). - S. 377-399 . - doi : 10.1002/malq.200410040 .
• H. Dugald Macpherson. Un studiu al structurilor omogene  // Matematică discretă. - 2011. - doi : 10.1016/j.disc.2011.01.024 .
• Curtis T. McMullen. Panglică R-arborele și dinamica holomorfă pe discul unitar  // Journal of Topology. - 2009. - Vol. 2 , numărul. 1 . - S. 23-76 . - doi : 10.1112/jtopol/jtn032 .
• Nimrod Megiddo. Ordine ciclice parțiale și complete  (engleză)  // Buletinul Societății Americane de Matematică . - 1976. - Martie ( vol. 82 , iss. 2 ). - P. 274-276 . - doi : 10.1090/S0002-9904-1976-14020-7 .
• James Morton, Lior Pachter, Anne Shiu, Bernd Sturmfels. Testul cicloedrului pentru găsirea genelor periodice în studiile de expresie a cursului de timp // Aplicații statistice în genetică și biologie moleculară. - 2007. - ianuarie ( vol. 6 , numărul 1 ). - doi : 10.2202/1544-6115.1286 . - arXiv : q-bio/0702049 .
• Lee Mosher. Un ghid al utilizatorului pentru grupul clasei de cartografiere: suprafețe odată perforate // Perspective geometrice și computaționale asupra grupurilor infinite / Gilbert Baumslag. - Librăria AMS, 1996. - T. 25. - S. 101-174. — (DIMACS). — ISBN 0-8218-0449-9 .
• Seturi ordonate ciclic  // Cehoslovac Mathematical Journal. - 1982. - T. 32 , nr. 3 . - S. 460-473 .
• Vitezslav Novak. Tăieri în seturi ordonate ciclic  // Cehoslovac Mathematical Journal. - 1984. - T. 34 , nr. 2 . - S. 322-333 .
• Vítězslav Novák, Miroslav Novotný. La finalizarea seturilor ordonate ciclic  // Cehoslovac Mathematical Journal. - 1987. - T. 37 , nr. 3 . - S. 407-414 . Arhivat din original pe 4 noiembrie 2022.
• Eliska Pecinova-Kozakova. Ladislav Svante Rieger și lucrarea sa algebrică // WDS 2005 - Proceedings of Contributed Papers, Part I / Jana Safrankova. - Praga: Matfyzpress , 2005. - S. 190-197. — ISBN 80-86732-59-2 .
• Eliska Pecinova. Ladislav Svante Rieger (1916–1963) . - Praga: Matfyzpress, 2008. - T. 36. - (Dějiny matematiky). - ISBN 978-80-7378-047-0 . Limba: cehă
• LS Rieger. Despre uspořádaných a cyklicky uspořádaných grupách II (Despre grupurile ordonate și ordonate ciclic II ) - 1947. - Emisiune. 1 . - S. 1-33 . Limba: cehă
• J Blair Roll. Grupuri parțial ordonate local  // Cehoslovac Mathematical Journal. - 1993. - T. 43 , nr. 3 . - S. 467-481 .
• Jim Stasheff. De la operade la teorii inspirate „fizic” // Operade: Proceedings of Reneassance Conferences / Jean-Louis Loday, James D. Stasheff, Alexander A. Voronov. - Librăria AMS, 1997. - T. 202. - S. 53-82. — (Matematică contemporană). - ISBN 978-0-8218-0513-8 .
• Świerczkowski S. Despre grupuri ordonate ciclic  // Fundamenta Mathematicae. — 1959a. - T. 47 . - S. 161-166 .
• Despre grupuri de automorfism de mulțimi ordonate ciclic  // Siberian Mathematical Journal. - 2001. - T. 42 , nr. 1 . - S. 212-230 .
• Valeri Mihailovici Tararin. Pe c-3-grupuri de automorfism tranzitiv de mulțimi ordonate ciclic  // Note matematice. - 2002. - T. 71 , nr. 1 . - S. 122-129 . - doi : 10.4213/mzm333 .
• John K Truss. Pe grupul de automorfism al ordinului circular dens numărabil  // Fundamenta Mathematicae . - 2009. - T. 204 , nr. 2 . - S. 97-111 . - doi : 10.4064/fm204-2-1 .
• Oleg Viro, Oleg Ivanov, Nikita Netsvetaev, Viatcheslav Kharlamov. 8. Ordine ciclice // Topologie elementară: manual de probleme . - Librăria AMS , 2008. - S. 42-44. - ISBN 978-0-8218-4506-6 .
• Tilla Weinstein. Introducere în suprafețele Lorentz. - Walter de Gruyter, 1996. - V. 22. - (De Gruyter Expositions in Mathematics). — ISBN 978-3-11-014333-1 .

Lectură suplimentară

• Meenaxi Bhattacharjee, Dugald Macpherson, Rögnvaldur G. Möller, Peter M. Neumann. Note despre grupurile infinite de permutare. - Springer, 1998. - T. 1698. - S. 108-109. — (Note de curs la matematică). - doi : 10.1007/BFb0092550 .
• Manuel Bodirsky, Michael Pinsker. Reduceri ale structurilor Ramsey // Modele de metode teoretice în combinatorică finită. - AMS, 2011. - (Matematică Contemporană).
• Peter J. Cameron. Tranzitivitatea grupurilor de permutare pe mulțimi neordonate // Mathematische Zeitschrift. - 1976. - Iunie ( vol. 148 , numărul 2 ). - S. 127-139 . - doi : 10.1007/BF01214702 .
• Peter J. Cameron. Aspecte coomologice ale două grafice. — Mathematische Zeitschrift. - 1977. - T. 157. - S. 101-119. - doi : 10.1007/BF01215145 .
• Peter J. Cameron. Algebra unei epoci // Teoria modelului grupurilor și grupurilor de automorfism: Blaubeuren, august 1995 / David M. Evans. - Cambridge University Press, 1997. - V. 244. - S. 126-133. — (London Mathematical Society Lecture Note Series). — ISBN 0-521-58955-X .
• Bruno Courcelle, Joost Engelfriet. Structura grafică și logica monadică de ordinul doi, o abordare teoretică a limbajului . — Cambridge University Press, 2011.
• Droste M., Giraudet M., Macpherson D. Periodic Ordered Permutation Groups and Cyclic Orderings // Journal of Combinatorial Theory, Series B. - 1995. - Martie ( vol. 63 , numărul 2 ). - S. 310-321 . - doi : 10.1006/jctb.1995.1022 .
• Droste M., Giraudet M., Macpherson D. Set-Homogeneous Graphs and Embeddings of Total Orders // Order. - 1997. - Martie ( vol. 14 , numărul 1 ). - S. 9-20 . - doi : 10.1023/A:1005880810385 .
• David M Evans Coperți finite cu sâmburi finiți // Analele logicii pure și aplicate. - 1997. - Noiembrie ( vol. 88 , numărul 2-3 ). - S. 109-147 . - doi : 10.1016/S0168-0072(97)00018-3 .
• Ivanov AA Finite Covers, Cohomology and Homogeneous Structures // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1999. - ianuarie ( vol. 78 , numărul 1 ). - S. 1-28 . - doi : 10.1112/S002461159900163X .
• Jan Jakubik. Despre permutații monotone ale ℓ-mulților ordonate ciclic  // Cehoslovak Mathematical Journal. - 2006. - T. 45 , nr. 2 . - S. 403-415 .
• Christine Cowan Kennedy. Pe o relație ternară ciclică... (Teza de MA). — Universitatea Tulane, 1955.
• Eszter Herendine Konya. O analiză matematică și didactică a conceptului de orientare  // Predarea matematicii și informatică. - 2006. - V. 4 , nr. 1 . - S. 111-130 . Arhivat din original pe 4 noiembrie 2022.
• Eszter Herendine Konya. Transformări geometrice și conceptul de ordonare ciclică // Sprijinirea gândirii independente prin educația matematică / Bożena Maj, Marta Pytlak, Ewa Swoboda. - Rzeszow University Press, 2008. - P. 102-108. - ISBN 978-83-7338-420-0 .
• Gerard Leloup. Spații ultrametrice ciclice echivalente existențial și grupuri evaluate ciclic  // Logic Journal of the IGPL. - 2011. - Februarie ( vol. 19 , numărul 1 ). - S. 144-173 . - doi : 10.1093/jigpal/jzq024 .
• Gabriel Marongiu. Câteva observații cu privire la ℵ 0 -categoricitatea ordinelor circulare // Unione Matematica Italiana. Bollettino. B. Seria VI. - 1985. - T. 4 , nr. 3 . - S. 883-900 . Limba: italiana
• Stephen McCleary, Matatyahu Rubin. Grupuri în mișcare locală și problema reconstrucției pentru lanțuri și cercuri . - 2005. - Octombrie. - arXiv : math/0510122 .
• Müller G. Lineare und zyklische Ordnung // Praxis der Mathematik. - 1974. - T. 16 . - S. 261-269 .
• Rubin M. Grupuri în mișcare locală și probleme de reconstrucție // Grupuri ordonate și grupuri de permutare infinite / W. Charles Holland. - Kluwer, 1996. - T. 354. - S. 121-157. - (Matematica și aplicațiile sale). — ISBN 978-0-7923-3853-6 .
• Despre relațiile de ordonare ciclică // Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences, Class III. - 1956. - T. 4 . - S. 585-586 .
• Świerczkowski S. Despre intervale ordonate ciclic de numere întregi  // Fundamenta Mathematicae. — 1959b. - T. 47 . - S. 167-172 .
• Truss JK Generic Automorphisms of Homogeneous Structures // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1992. - iulie ( vol. s3-65 , numărul 1 ). - S. 121-141 . - doi : 10.1112/plms/s3-65.1.121 .

Link -uri

• ordine ciclică pe site-ul nLab