Ecuația Poisson ecranată

În matematică , o ecuație Poisson ecranată este o ecuație diferențială parțială de forma:

\left[\nabla ^{2}-\lambda ^{2}\right]u(\mathbf {r} )=-f(\mathbf {r}),

unde este operatorul Laplace , este o constantă, este o funcție de poziție arbitrară (cunoscută ca „funcția sursă”) și este funcția dorită. Ecuația Poisson ecranată este adesea folosită în fizică , inclusiv teoria lui Yukawa a screening-ului mesonului și screening - ul câmpului electric în plasme . ${\nabla }^{2)$ $\lambda$ $f$ $u$

Când este egală cu zero, ecuația devine ecuația lui Poisson . Prin urmare, atunci când este foarte mică, soluția se apropie de soluția ecuației Poisson neecranate, care este o suprapunere de funcții, o funcție sursă ponderată statistic : $\lambda$ $\lambda$ $1/r$ $f$

u(\mathbf {r} )_{(Poisson)}=\int d^{3}r'{\frac {f(\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r } -\mathbf {r} '|}}.

Pe de altă parte, atunci când este foarte mare, se apropie de valoarea lui , care la rândul său se apropie de zero când merge la infinit. După cum vom vedea, soluția medie se comportă ca o suprapunere a funcțiilor ecranate (sau amortizate) și va fi puterea ecranului. $\lambda$ $u$ $f/\lambda ^{2}$ $\lambda$ $\lambda$ $1/r$ $\lambda$

Ecuația Poisson ecranată poate fi rezolvată pentru general folosind funcția lui Green . Funcția lui Green este definită ca $f$ $G$

\left[\nabla ^{2}-\lambda ^{2}\right]G(\mathbf {r} )=-\delta ^{3}(\mathbf {r}).

Presupunând că derivatele sale sunt, de asemenea, neglijabile în mare , putem efectua transformarea Fourier în coordonate spațiale: $u$ $r$

{\displaystyle G(\mathbf {k} )=\int d^{3}r\;G(\mathbf {r} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} ))

unde integrala este preluată pe întreg spațiul. Atunci se poate arăta că

\left[k^{2}+\lambda ^{2}\right]G(\mathbf {k} )=1.

Prin urmare, funcția lui Green este dată de transformata Fourier inversă: $r$

G(\mathbf {r} )={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\;\int d^{3}\!k\;{\frac {e^ {-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}{k^{2}+\lambda ^{2}}}.

Această integrală poate fi evaluată folosind coordonatele sferice din -spațiu. Integrarea peste coordonatele unghiulare nu este dificilă, iar integrala este simplificată - acum trebuie să integrați doar peste o coordonată radială : $k$ $k$

G(\mathbf {r} )={\frac {1}{2\pi ^{2}r}}\;\int \limits _{0}^{\infty }dk\;{\frac {k\,\sin kr}{k^{2}+\lambda ^{2}}}.

Această integrală poate fi evaluată prin integrarea conturului ( teoria reziduurilor ). Ca rezultat, obținem:

G(\mathbf {r} )={\frac {e^{-|\lambda |r}}{4\pi r}}.

Soluția finală la întreaga problemă:

u(\mathbf {r} )=\int d^{3}r'G(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')f(\mathbf {r} ')=\int d^ {3}r'{\frac {e^{-|\lambda ||\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} ' |}}f(\mathbf {r} ').

După cum sa menționat mai sus, aceasta este o suprapunere a funcțiilor ecranate, ponderate statistic de funcția sursă și este factorul de screening. Funcția ecranată apare adesea în fizică ca potențial Coulomb ecranat, iar „ potențialul Yukawa ” este de asemenea cunoscut . $1/r$ $f$ $\lambda$ $1/r$

Vezi și

Interacțiunea Yukawa

Fizică matematică

Tipuri de ecuații

Condiții de frontieră

Ecuații ale fizicii matematice

Difuzie și convecție	Ecuația căldurii Ecuația de difuzie Ecuația Mason-Weaver
Hidrodinamică	Ecuația de transfer Ecuații Navier-Stokes Ecuația lui Euler Ecuația Gromeka-Lamb Ecuația vortexului Ecuația burgerii Ecuații pentru apă puțin adâncă Ecuația Korteweg-de Vries
Electromagnetism	Ecuațiile lui Maxwell Ecuația Helmholtz Ecuația Landau-Lifshitz Ecuația Poisson ecranată
Mecanica cuantică	Ecuația Schrödinger Ecuația Heisenberg Ecuația Rarita-Schwinger Ecuația lui Hartree Ecuația lui Dirac Ecuația Klein-Gordon
Modele generale	Ecuația de continuitate ecuația de undă Ecuația Fokker-Planck Ecuația Poisson

Metode de rezolvare

Metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale

Metode grilă

Metode cu elemente finite	Metoda elementului finit metoda Galerkin Metoda Galerkin discontinuă Metoda cu elemente finite la scară multiplă Metoda Multigrid
Alte Metode	Metoda diferențelor finite Metoda volumului finit metoda lui Godunov Metoda elementului de limită

Metode non-grilă

Studiul ecuațiilor

subiecte asemănătoare