Figura opt (teoria nodurilor)

Opt

Notaţie
Conway	[22]
Alexander-Briggs	4 1
Dowker	4, 6, 8, 2
Polinomiale
Alexandru	$-t+3-t^{{-1}}$
Jones	$q^{2}-q+1-q^{{-1}}+q^{{-2}}$
Conway	$1-z^{2}$
Invariante
Arfa invariant	unu
Lungimea impletiturii	patru
Numărul de fire	3
Numărul de poduri	2
Numărul de filme	2
Numărul de intersecții	patru
Gen	unu
Volum hiperbolic	2,02988
Numărul de segmente	7
Dezlegați numărul	unu
Proprietăți
Simplu , hiperbolic , alternant , complet amfichiral , stratificat , răsucit
Fișiere media la Wikimedia Commons

În teoria nodurilor, cifra de opt ( nod cvadruplu sau nod Listare ) este singurul nod cu patru intersecții . Acesta este cel mai mic număr de intersecții posibil, cu excepția nodului banal și a trefoilului . Cifra opt este un simplu nod . Prima dată luată în considerare de Listing în 1847 .

Originea numelui

Numele provine de la figura domestică -de- opt nod pe o frânghie ale cărei capete sunt legate.

Descriere

O reprezentare parametrică simplă a nodului în formă de opt este dată de un set de puncte ( x , y , z ) pentru care

{\begin{aliniat}x&=\left(2+\cos {(2t)}\right)\cos {(3t)}\\y&=\left(2+\cos {(2t)}\right)\ sin {(3t)}\\z&=\sin {(4t)}\end{aliniat}}

unde t este o variabilă reală.

Figura opt este un nod simplu , alternant , rațional , cu o valoare corespunzătoare de 5/2. Este, de asemenea, un nod achiral . Cifra opt este un nod stratificat . Aceasta rezultă dintr-o altă reprezentare, mai puțin simplă (dar mai interesantă) a unui nod:

Nodul este o împletitură omogenă [1] închisă (și anume, închiderea unei împletituri cu 3 fire σ 1 σ 2 −1 σ 1 σ 2 −1 ), iar teorema lui John Stallings arată că orice împletitură omogenă este fibroasă .
Nodul este o legătură la (0,0,0,0), un punct critic izolat al unei hărți polinomiale reale F : R 4 → R 2 , astfel încât (conform teoremei lui John Milnor ) harta Milnor F este un mănunchi. Bernard Perron a găsit prima astfel de funcție F pentru acest nod, și anume:

F(x,y,z,t)=G(x,y,z^{2}-t^{2},2zt),

Unde

{\begin{aligned}G(x,y,z,t)=\ &(z(x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2})+x(6x ^{2}-2y^{2}-2z^{2}-2t^{2}),\\&\ tx{\sqrt {2}}+y(6x^{2}-2y^{2} -2z^{2}-2t^{2})).\end{aliniat}}

Proprietăți

Nodul în formă de opt a jucat un rol important din punct de vedere istoric (și continuă să îl joace) în teoria 3-varietăților . La mijlocul anilor 1970, William Thurston a arătat că figura opt era un nod hiperbolic prin descompunerea complementului său în două tetraedre hiperbolice perfecte (Robert Riley și Troels Jørgensen, lucrând independent, au arătat anterior că optul era hiperbolic într-o altă formă). sens). Această construcție, nouă la acea vreme, l-a condus la multe rezultate și metode puternice. De exemplu, el a reușit să arate că toate operațiile lui Dehn, cu excepția zece, pe nodul în formă de opt produc 3 -variete non-Hacken indecomposabile nu admit o fibrație Seifert . Acesta a fost primul astfel de rezultat. Multe altele au fost descoperite prin generalizarea construcției lui Thurston la alte noduri și legături.

Cifra opt este, de asemenea, un nod hiperbolic cu cel mai mic volum posibil de 2.029 88..., conform lucrării lui Cho Chun și Robert Meyerhoff. Din acest punct de vedere, cifra opt poate fi considerată cel mai simplu nod hiperbolic. Complementul G-8 este o acoperire dublă a colectorului Gieseking , care are cel mai mic volum dintre 3-variete hiperbolice necompacte.

Nodul în formă de opt și nodul de dantelă (−2,3,7) sunt două noduri hiperbolice pentru care sunt cunoscute mai mult de șase intervenții chirurgicale speciale , operațiile Dehn, care conduc la 3-variete non-hiperbolice. Au 10, respectiv 7. Teorema lui Lackenby și Meyerhof, a cărei demonstrație se bazează pe teorema de geometrizare și pe utilizarea calculelor computerizate , afirmă că 10 este numărul maxim posibil de intervenții chirurgicale singulare pentru orice nod hiperbolic. Cu toate acestea, nu s-a stabilit încă dacă cel opt este singurul nod la care este atinsă limita 10. O presupunere binecunoscută afirmă că limita inferioară (cu excepția celor două noduri menționate) este 6.

Figura opt formează o singularitate în factorul spațial euclidian prin acțiunea lui P2₁3 . Mai mult decât atât, figura opt este singurul nod care formează o singularitate în factorul spațial euclidian peste grupurile cristalografice.

Invarianți

Polinomul lui Alexandru de opt este

\Delta (t)=-t+3-t^{{-1}},\

polinomul Conway este

\nabla (z)=1-z^{2},\

[2]

iar polinomul Jones este

V(q)=q^{2}-q+1-q^{{-1}}+q^{{-2}}.\

Simetria față de și în polinomul Jones reflectă achiralitatea figurii opt. $q$ $q^{{-1}}$

Note

↑ O împletitură este numită omogenă dacă orice generator este fie întotdeauna pozitiv, fie întotdeauna negativ. $\sigma_i$
↑ 4_1 Arhivat la 9 februarie 2006 la Wayback Machine Knot Atlas

Literatură

Ian Agol. Limitări ale umplerii excepționale Dehn // Geometrie și topologie . - 2000. - T. 4 . — S. 431–449 . MR : 1799796
Chun Cao, Robert Meyerhoff. Cele 3-variete hiperbolice cusped orientabile de volum minim // Inventiones Mathematicae . - 2001. - T. 146 , nr. 3 . MR : 1869847
Marc Lackenby. Cuvânt hiperbolic Dehn surgery // Inventiones Mathematicae . - 2000. - T. 140 , nr. 2 . — S. 243–282 . MR : 1756996
Numărul maxim de operații excepționale Dehn. - arXiv : 0808.1176 .
Robion Kirby. Probleme în topologia de dimensiuni joase. (vezi problema 1.77, din cauza lui Cameron Gordon , pentru pante excepționale)
William Thurston. Geometria și topologia trei-varietăților. — Note de curs la Universitatea Princeton (1978–1981).

Link -uri

4_1 Arhivat pe 9 februarie 2006 la Wayback Machine Knot Atlas
Weisstein, Eric W. Figure Eight Knot la Wolfram MathWorld .

Teoria nodurilor și legăturilor
Hiperbolic	Opt (4 1 ) Trei jumătăți de ture (5 2 ) Stocare (6 1 ) 6 2 6 3 74 _ Mat Carrick (8 18 ) Pereche de Percos (10 161 ) Dantela (−2,3,7) (12n242) Whitehead (52 1) Inele borromee (63 2) L10a140
satelit	Compus ( Bebeluş ) Drept Suma de noduri
toric	Trivial (0 1 ) Shamrock (3 1 ) Potentila (5 1 ) Şapte foi (7 1 ) Deconectat (02 1) Hopf (22 1) Solomon (42 1)
Invariante	alternativ Arfa invariant Număr de poduri ( 2-punți ) link brunnian Chiralitate ( reversibilă ) Numărul de filme Numărul de intersecții Vasiliev invariant Volum hiperbolic omologia lui Khovanov Gen Grup de noduri Grup de viteze Raport de transmisie Polinoame ( Alexandre Suport Kauffman HOMFLY Jones Kaufman ) Logodna dantela Nod simplu ( listă ) Numărul de segmente Număr de coloranți tricolori Numărul și sarcina dezlegarii
Notație și operații	Notație Alexander–Briggs Notație Conway Notație Docker Mutaţie Mișcarea Reidemeister Raportul Skene
Alte	teorema lui Alexandru nod Berge teoria împletiturii Sfera Conway Finalizarea nodului Nod dublu torus Nod stratificat Bandă A tăia Suma de noduri ipotezele lui Tate Răsucit Sălbatic Numărul de răsucire Suprafata Seifert