Glosar de geometrie algebrică

# A B C D E F F G I K L M N O P R S T U V W Y Z _ _ _ _ _ _

A

varietate abeliană Grupa algebrică completă. De exemplu, o varietate complexă sau o curbă eliptică peste un câmp finit .

\mathbb {C} ^{n}/\mathbb {Z} ^{2n)

E

\mathbb {F} _{q}

grup algebric Un grup algebric este o varietate algebrică care este, de asemenea, un grup , iar operațiile de grup sunt morfisme ale soiurilor. schema algebrică O schemă de tip final separabilă pe un câmp. De exemplu, o varietate algebrică este o schemă algebrică ireductibilă redusă. pachet de vector algebric Snop liber local de rang finit. varietate algebrică O schemă separabilă cu numere întregi de tip finit peste un câmp. mulţime algebrică Schema separabilă redusă a unui tip finit peste un câmp. O varietate algebrică este o schemă algebrică ireductibilă redusă. genul aritmetic Genul aritmetic al unei varietăți proiective X de dimensiunea r este .

(-1)^{r}(\chi ({\mathcal {O}}_{X})-1)

schema artiniana Schema Noetheriană 0-dimensională. afin 1. Un spațiu afin este, în linii mari, un spațiu vectorial în care am uitat care punct este originea. 2. Un soi afin este o varietate într-un spațiu afin. 3. O schemă afină este o schemă izomorfă cu spectrul unui inel comutativ. 4. Un morfism se numește afin dacă preimaginea oricărei submulțimi afine deschise este afină. Clase importante de morfisme afine sunt mănunchiurile vectoriale și morfismele finite .

B

morfism birațional Un morfism birațional al schemelor este un morfism al schemelor care induce un izomorfism al submulților lor dense deschise. Un exemplu de morfism birațional este maparea indusă de explozie .

G

gen geometric Genul geometric al unei varietăți proiective netede X de dimensiunea n este

\dim \Gamma (X,\Omega _{X}^{n})=\dim \operatorname {H} ^{n}(X,{\mathcal {O}}_{X})

(unde egalitatea este teorema dualității lui Serre . neted 1. Morfismele netede sunt un analog multidimensional al morfismelor étale. Există mai multe definiții diferite ale netezirii. Următoarele definiții ale netezimii unui morfism f : Y → X sunt echivalente: 1) pentru orice punct y ∈ Y există vecinătăți afine deschise V și U ale punctelor y , respectiv x = f ( y ), astfel încât restricția lui f la V se descompune într-o compoziție a unui morfism étale și o proiecție din un spațiu proiectiv n - dimensional peste U . 2) f este plată, prezentată local finit, și pentru orice punct geometric din Y (un morfism dintr-un câmp algebric închis în Y ), fibra geometrică este o varietate netedă în sensul geometriei algebrice clasice.

{\bar {y}}

k({\bar {y)})

X_{\bar {y}}:=X\times _{Y}\mathrm {Spec} (k({\bar {y}})))

k({\bar {y)})

2. O schemă netedă peste un câmp perfect k este o schemă regulată de tip local finit. 3. O schemă X peste un câmp k este netedă dacă este netedă din punct de vedere geometric: schema este netedă.

X\times _{k}{\overline {k)}

grupul Picard Grupul Picard X este grupul de clase de izomorfism de fascicule de linii pe X a căror operație de grup este produsul tensor .

D

dominant Un morfism f : X → Y se spune că este dominant dacă imaginea lui f ( X ) este densă . Un morfism al schemelor afine Spec A → Spec B este dominant dacă și numai dacă nucleul mapării corespunzătoare B → A este conținut în nilradicalul B . fascicul de dualizare Un snop coerent pe X astfel încât dualitatea Serre

\omega _{X}

H^{ni}(X,F^{\vee}\otimes \omega)\simeq H^{i}(X,F)^{*}

este valabil pentru orice snop coerent F pe X ; de exemplu, dacă X este o varietate proiectivă netedă, atunci este un snop canonic .

W

închis Subcircuitele închise ale circuitului X sunt construite folosind următoarea construcție. Fie J un snop cvasi-coerent de idealuri. Purtătorul coeficientului de coeficient este o submulțime închisă Z a lui X și este o schemă, numită subschemă închisă, definită de un snop ideal cvasi-coerent J [1] . Motivul pentru care definiția unui subcircuit închis depinde de o astfel de construcție este că, spre deosebire de subseturile deschise, subseturile de circuit închis nu au o structură de circuit unică.

{\mathcal {O}}_{X}/J

(Z,({\mathcal {O}}_{X}/J)|_{Z})

K

model canonic Modelul canonic este Projul inelului canonic (presupus a fi generat finit). canonic 1. Snop canonic pe o varietate normală X de dimensiune n este snop de forme diferențiale de grad n pe submulțimea punctelor netede .

\omega _{X}=i^{*}\Omega _{U}^{n)

i:U\la X

2. Clasa canonică pe o varietate normală X este o clasă divizor astfel încât .

K_{X}

{\mathcal {O}}_{X}(K_{X})=\omega _{X}

3. Un divizor canonic este un reprezentant al clasei canonice notat cu același simbol (nu este definit în mod unic).

K_{X}

4. Inelul canonic pe o varietate normală X este inelul secțiunilor snopului canonic. spațiu tangent Vezi spațiul tangent Zariski . morfism cvasi-compact Se spune că un morfism f : Y → X este cvasi-compact dacă pentru unele (și apoi pentru orice) acoperire afină deschisă a lui X prin mulțimi U i = Spec B i , imaginile inverse ale lui f −1 ( U i ) sunt compacte . morfism cvasifinit Un morfism de tip finit care are fibre finite. cvasi-separabile Se spune că un morfism f : Y → X este cvasi-separabil dacă morfismul diagonal Y → Y × X Y este cvasi-compact. O schemă Y este cvasiseparabilă dacă un morfism de la ea la Spec( Z ) este cvasiseparat [2] . cu siguranță de imaginat Dacă y este un punct al lui Y , atunci un morfism f este finit prezentabil în y dacă există o vecinătate afină deschisă U a punctului f(y) și o vecinătate afină deschisă V a punctului y astfel încât f ( V ) ⊆ U și este o algebră finit prezentată peste (factorizați algebra finită generată de un ideal finit generat). Un morfism f este finit prezentabil local dacă este finit prezentabil în toate punctele lui Y . Dacă X este local noetherian, atunci f este local finit reprezentabil dacă și numai dacă este de tip local finit [3] . Un morfism f : Y → X este finit prezentabil dacă este local finit prezentabil, cvasicompact și cvasiseparabil. Dacă X este local noetherian, atunci f este finit reprezentabil dacă și numai dacă este de tip finit.

{\mathcal {O}}_{Y}(V)

{\mathcal {O}}_{X}(U)

morfism finit Un morfism f : Y → X este finit dacă poate fi acoperit de mulțimi afine deschise, astfel încât fiecare este afin — are forma — și este finit generat ca un -modul.

X

{\text{Spec }}B

f^{-1}({\text{Spec }}B)

{\text{Spec }}A

A

B

inel de secțiune Inelul de secțiune al unui fascicul de linii L pe X este un inel gradat .

\oplus _{0}^{\infty }\Gamma (X,L^{n})

L

local schema noetheriană Schemă acoperită cu spectrele inelelor Noetheriene . Dacă există un număr finit de spectre, schema se numește Noetherian. schema factorială locală O schemă ale cărei inele locale sunt factoriale .

M

Varietatea Fano O varietate proiectivă netedă al cărei snop anticanonic este amplu.

\omega _{X}^{-1)

polinomul Hilbert Polinomul Hilbert al unei scheme proiective X peste un câmp este caracteristica lui Euler .

f(s)=\chi ({\mathcal {O}}_{X}(s))

morfism de tip (local) finit Un morfism f : Y → X este de tip local finit dacă poate fi acoperit de submulțimi afine deschise , astfel încât fiecare preimagine poate fi acoperită de submulțimi afine deschise în care fiecare este finit generată ca o -algebră. Un morfism f : Y → X este de tip finit dacă poate fi acoperit de submulțimi afine deschise , astfel încât fiecare preimagine poate fi acoperită de un număr finit de submulțimi afine deschise , unde fiecare este finit generată ca o -algebră.

X

{\text{Spec }}B

f^{-1}({\text{Spec }}B)

{\text{Spec }}A

A

B

X

{\text{Spec }}B

f^{-1}({\text{Spec }}B)

{\text{Spec }}A

A

B

H

circuit ireductibil O schemă se numește ireductibilă dacă ea (ca spațiu topologic) nu este unirea a două submulțimi închise propriu-zise. morfism neramificat Pentru un punct , luați în considerare morfismul corespunzător al inelelor locale

y\în Y

f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{X,f(y)}\la {\mathcal {O}}_{Y,y}

. Să fie idealul maxim și să fie

{\mathfrak {m)}

{\mathcal {O}}_{X,f(y))

{\mathfrak {n}}=f^{\#}({\mathfrak {m}}){\mathcal {O}}_{Y,y}

este idealul generat de imaginea din . Un morfism se numește neramificat dacă este de tip local finit și pentru toate , este idealul maxim al inelului și maparea indusă

{\mathfrak {m)}

{\mathcal {O}}_{Y,y}

f

y\în Y

{\mathfrak {n)}

{\mathcal {O}}_{Y,y}

{\mathcal {O}}_{X,f(y)}/{\mathfrak {m}}\la {\mathcal {O}}_{Y,y}/{\mathfrak {n}}

este o extensie finită de câmp separabil . circuit normal O schemă întreagă se numește normală dacă inelele sale locale sunt integral închise .

Oh

abundent Un pachet amplu de linii este un pachet de linii a cărui putere tensorală este foarte mare. imagine Dacă f : Y → X este un morfism de scheme, atunci imaginea teoretică a schemei a lui f este o subschemă închisă definită în mod unic i : Z → X care satisface următoarea proprietate universală:

f este trecut prin i ,
dacă j : Z ′ → X este orice subcircuit închis al lui X astfel încât f trece prin j , atunci i trece și prin j . [patru]

separabil Un morfism separabil este un morfism astfel încât diagonala produsului fibros cu el însuși este închisă. Ca o consecință, un circuit este separabil atunci când înglobarea diagonală în produsul circuitului cu el însuși este o încorporare închisă. Rețineți că un spațiu topologic Y este Hausdorff dacă și numai dacă înglobarea diagonală

f

f

X

X

X

Y{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}Y\time Y

închis. Diferența dintre cazurile topologice și cele algebro-geometrice este că spațiul topologic al unei scheme diferă de produsul spațiilor topologice. Orice schemă afină Spec A este separabilă deoarece diagonala corespunde maparii surjective a inelelor

X\times _{{\textrm {Spec.}}(\mathbb {Z} )}X

A\otimes _{\mathbb {Z} }A\rightarrow A,a\otimes a'\mapsto a\cdot a'

. subcircuit deschis Un subcircuit deschis al unui circuit X este un subset deschis al lui U cu un snop de structură .

{\mathcal {O}}_{X}|_{U}

foarte abundent Un fascicul de linii L pe o varietate X este foarte amplu dacă X poate fi încorporat într-un spațiu proiectiv, astfel încât L este restricția snopului Serre răsucit O (1).

P

morfism plat Mapări plane ale fibrelor care induc morfismul . Un homomorfism inel A → B se numește plat dacă face din B un A -modul plat . plurirod Al n-lea plurigen al unei varietăți proiective netede este .

\dim \Gamma (X,\omega _{X}^{\otimes n})

diagramă redusă O schemă ale cărei inele locale nu au nilpotenți diferite de zero. proiectiv 1. O varietate proiectivă este o subvarietate închisă a unui spațiu proiectiv . 2. O schemă proiectivă peste o schemă S este o schemă S care trece printr-un spațiu proiectiv ca o subschemă închisă.

\mathbf {P} _{S}^{N}\la S

3. Morfismele proiective sunt definite într-un mod similar cu morfismele afine: f : Y → X se numește proiectiv dacă se descompune într-o compoziție dintr-o înglobare închisă și o proiecție a unui spațiu proiectiv pe .

\mathbb {P} _{X}^{n}:=\mathbb {P} ^{n}\times _{\mathrm {Spec.} \mathbb {Z} }X

X

R

inflatia O explozie este o transformare birațională care înlocuiește un subcircuit închis cu un divizor Cartier eficient. Mai precis, pentru o schemă noetheriană X și o subschemă închisă , explozia lui Z în X este un morfism propriu astfel încât (1) este un divizor Cartier efectiv, numit divizor excepțional și (2) este un obiect universal cu proprietate (1).

Z\subset X

\pi :{\widetilde {X}}\to X

\pi ^{-1}(Z)\hookrightarrow {\widetilde {X)}

\pi

dimensiunea lui Kodaira Dimensiunea modelului canonic. model regulat O schemă ale cărei inele locale sunt inele locale regulate . gen Vezi #genul aritmetic , genul #geometric .

C

conectat O schemă este conectată dacă este conectată ca spațiu topologic. O schemă afină Spec(R) este conectată dacă și numai dacă inelul R nu are idempotenți alții decât 0 și 1. strat Pentru un morfism de schemă , stratul f peste y ca o mulţime este imaginea inversă ; are structura schemei naturale peste câmpul de reziduuri al punctului y ca produs fibros , unde are structura schemei naturale peste Y ca spectru al câmpului rezidual al punctului y .

f:X\la Y

f^{-1}(y)=\{x\in X|f(x)=y\)

X\times _{Y}\{y\}

\{y\}

propriul morfism Morfism universal închis separabil de tip finit. Un morfism de schemă f : X → Y se spune că este universal închis dacă, pentru orice schemă Z cu un morfism Z → Y , proiecția din produsul fibros este o mapare închisă a spațiilor topologice (transferă mulțimi închise în mulțimi închise).

X\times _{Y}Z\to Z

sistem O schemă este un spațiu local inel , izomorf local cu spectrul unui inel comutativ .

T

punct O schemă este un spațiu local inelat și, prin urmare, un spațiu topologic, dar cuvântul punct are trei semnificații:

S

S

punctul din spațiul topologic subiacent; $P$
$T$ -punct este un morfism de la la , pentru orice schemă ; $S$ $T$ $S$ $T$
un punct geometric al unei scheme definite peste (cu un morfism la) , unde este

un câmp , este un morfism de la la , unde este o închidere algebrică a .

S

{\textrm {Spec.}}(K)

K

{\textrm {Spec.)}({\overline {K))}

S

{\overline {K}}

K

C

întreaga schemă Schema ireductibilă redusă. Pentru o schemă noetheriană local, a fi integral este echivalent cu a fi conectat și acoperit de spectre de domenii de integritate

E

etal Un morfism f : Y → X este étale dacă este plat și neramificat. Există câteva alte definiții echivalente. În cazul varietăților netede și peste un câmp închis algebric, morfismele étale sunt morfisme care induc un izomorfism al spațiilor tangente , care este același cu definiția obișnuită a mapărilor étale în geometria diferențială.

X

Y

df:T_{y}Y\rightarrow T_{f(y)}X

divizor eficient Cartier Un divizor Cartier efectiv pe o schemă X peste S este o subschemă închisă a lui X care este plată peste S și al cărui snop ideal este inversabil .

Note

↑ Grothendieck & Dieudonné, 1960 , 4.1.2 și 4.1.3.
↑ Grothendieck & Dieudonné, 1964 , 1.2.1.
↑ Grothendieck & Dieudonné, 1960 , §1.4.
↑ The Stacks Project Arhivat pe 16 martie 2012 la Wayback Machine , capitolul 21, §4.

Literatură

Hartshorne R. Geometrie algebrică / transl. din engleza. V. A. Iskovskikh. — M .: Mir, 1981.
Fulton, William (1998), Teoria intersecției , voi. 2, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folie. O serie de sondaje moderne în matematică [Rezultate în matematică și domenii conexe. a 3-a serie. A Series of Modern Surveys in Mathematics], Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). „Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas” . Publications Mathématiques de l'IHES . 4 . doi : 10.1007/ bf02684778 . MR 0217083 .
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1964). „Elemente de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie” . Publications Mathématiques de l'IHES . 20 . doi : 10.1007/ bf02684747 . MR 0173675 .