Gravitatie

Gravitația ( atracție , gravitație universală , gravitație ) (din lat. gravitas - „gravitație”) este o interacțiune fundamentală universală între corpurile materiale care au masă . În aproximarea vitezelor mici în comparație cu viteza luminii și o interacțiune gravitațională slabă, este descrisă de teoria gravitației lui Newton , în cazul general este descrisă de teoria generală a relativității a lui Einstein . În limita cuantică , se presupune că interacțiunea gravitațională este descrisă de teoria cuantică a gravitației , care nu a fost încă dezvoltată.

Gravitația joacă un rol extrem de important în structura și evoluția Universului (stabilind o relație între densitatea Universului și rata de expansiune a acestuia) [1] , definind condițiile cheie pentru echilibrul și stabilitatea sistemelor astronomice [2] . Fără gravitație, în Univers nu ar exista planete, stele, galaxii, găuri negre [3] . Contracția gravitațională este principala sursă de energie în etapele ulterioare ale evoluției stelare (pitice albe, stele neutronice, găuri negre). [patru]

Conform teoriei generale a relativității , interacțiunea gravitațională este invariabilă sub simetria C, simetria P și simetria T [ 5]

Atracția gravitațională

În cadrul mecanicii clasice , atracția gravitațională este descrisă de legea gravitației universale a lui Newton , care afirmă că atracția gravitațională dintre două puncte materiale de masă și , separate de o distanță , este proporțională cu ambele mase și invers proporțională cu pătratul distanţă: $m_1$ $m_2$ $r$

F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}.

Aici este constanta gravitațională , egală cu aproximativ 6,67⋅10 −11 m³/(kg s²) [6] [7] . Această lege este satisfăcută în aproximarea la viteze mici în comparație cu viteza luminii și interacțiunea gravitațională slabă (dacă pentru obiectul studiat, situat la distanță de corpul de masă , valoarea [8] ). În general, gravitația este descrisă de teoria generală a relativității a lui Einstein . $G$ $v \ll c$ $R$ $M$ ${\frac {GM}{c^{2}R}}\ll 1$

Legea gravitației universale este una dintre aplicațiile legii inversului pătratului , care apare și în studiul radiațiilor (de exemplu, presiunea ușoară ) și este o consecință directă a creșterii pătratice a zonei sferă cu rază în creștere, ceea ce duce la o scădere pătratică a contribuției oricărei unități de suprafață la aria întregii sfere.

Câmpul gravitațional, precum și câmpul gravitațional , este potențial . Aceasta înseamnă că munca forței de atracție nu depinde de tipul de traiectorie, ci doar de punctele de început și de sfârșit . În mod echivalent: este posibil să se introducă energia potențială a atracției gravitaționale a unei perechi de corpuri, iar această energie nu se va modifica după deplasarea corpurilor de-a lungul unui contur închis. Potențialitatea câmpului gravitațional implică legea conservării sumei energiei cinetice și potențiale, iar atunci când se studiază mișcarea corpurilor într-un câmp gravitațional, de multe ori simplifică foarte mult soluția. În cadrul mecanicii newtoniene, interacțiunea gravitațională este de lungă durată . Aceasta înseamnă că indiferent de modul în care se mișcă un corp masiv, în orice punct al spațiului, potențialul gravitațional depinde doar de poziția corpului la un moment dat.

Obiectele spațiale mari - planete, stele și galaxii - au o masă uriașă și, prin urmare, creează câmpuri gravitaționale semnificative.

Gravitația este cea mai slabă forță. Cu toate acestea, deoarece acționează la toate distanța și toate masele sunt pozitive, este totuși o acțiune foarte importantă în univers. În special, interacțiunea electromagnetică dintre corpurile la scară cosmică este mică, deoarece sarcina electrică totală a acestor corpuri este zero (substanța în ansamblu este neutră din punct de vedere electric).

De asemenea, gravitația, spre deosebire de alte interacțiuni, este universală în efectul său asupra întregii materie și energie. Nu au fost găsite obiecte care să nu aibă deloc interacțiune gravitațională.

Datorită naturii sale globale, gravitația este responsabilă pentru efecte la scară mare precum structura galaxiilor, găurile negre și expansiunea Universului, precum și pentru fenomene astronomice elementare - orbitele planetelor și pentru simpla atracție către suprafața Pământului și corpuri în cădere.

Gravitația a fost prima interacțiune descrisă de o teorie matematică. Aristotel (secolul al IV-lea î.Hr.) credea că obiectele cu mase diferite cad cu viteze diferite. Și abia mult mai târziu (1589) Galileo Galilei a determinat experimental că nu este așa - dacă rezistența aerului este eliminată, toate corpurile accelerează în mod egal. Legea gravitației a lui Isaac Newton (1687) a fost o descriere bună a comportamentului general al gravitației. În 1915, Albert Einstein a creat relativitatea generală , descriind gravitația mai precis în termeni de geometrie spațiu-timp.

Mecanica cerească și unele dintre sarcinile sale

Ramura mecanicii care studiază mișcarea corpurilor în spațiul gol numai sub influența gravitației se numește mecanică cerească .

Cea mai simplă sarcină a mecanicii cerești este interacțiunea gravitațională a două corpuri punctuale sau sferice în spațiul gol. Această problemă în cadrul mecanicii clasice este rezolvată analitic într-o formă închisă; rezultatul soluției sale este adesea formulat sub forma celor trei legi ale lui Kepler .

Pe măsură ce numărul corpurilor care interacționează crește, problema devine mult mai complicată. Deci, deja celebra problemă a trei corpuri (adică mișcarea a trei corpuri cu mase diferite de zero) nu poate fi rezolvată analitic într-o formă generală. Cu o soluție numerică, însă, instabilitatea soluțiilor în raport cu condițiile inițiale se instalează destul de repede. Când este aplicată sistemului solar , această instabilitate face imposibilă prezicerea cu exactitate a mișcării planetelor la scari care depășesc o sută de milioane de ani.

În unele cazuri speciale, este posibil să găsiți o soluție aproximativă. Cel mai important este cazul în care masa unui corp este semnificativ mai mare decât masa altor corpuri (exemple: sistemul solar și dinamica inelelor lui Saturn ). În acest caz, în prima aproximare, putem presupune că corpurile de lumină nu interacționează între ele și se deplasează de-a lungul traiectoriilor kepleriene în jurul unui corp masiv. Interacțiunile dintre ele pot fi luate în considerare în cadrul teoriei perturbațiilor și mediate în timp. În acest caz, pot apărea fenomene non-triviale, cum ar fi rezonanțe , atractori , aleatoriu etc. Un bun exemplu de astfel de fenomene este structura complexă a inelelor lui Saturn.

În ciuda încercărilor de a descrie cu acuratețe comportamentul unui sistem cu un număr mare de corpuri de atragere de aproximativ aceeași masă, acest lucru nu se poate face din cauza fenomenului de haos dinamic .

Câmpuri gravitaționale puternice

În câmpurile gravitaționale puternice (precum și atunci când se deplasează într-un câmp gravitațional cu viteze relativiste ), încep să apară efectele relativității generale (GR):

modificarea geometriei spațiu-timpului;
- drept consecinţă, abaterea legii gravitaţiei de la newtoniană
- iar în cazuri extreme, apariția găurilor negre ;
întârziere potențială asociată cu viteza finită de propagare a perturbațiilor gravitaționale ;
- drept consecință, apariția undelor gravitaționale;
efecte de neliniaritate: câmpurile gravitaționale tind să „interfere” unele cu intensitatea celuilalt, deci principiul suprapunerii în câmpuri puternice nu mai este valabil.

Radiația gravitațională

Una dintre predicțiile importante ale relativității generale este radiația gravitațională , a cărei prezență a fost confirmată prin observații directe în 2015 [9] . Cu toate acestea, chiar mai devreme au existat dovezi indirecte importante în favoarea existenței sale, și anume: pierderi de energie în sisteme binare apropiate care conțin obiecte gravitatoare compacte (cum ar fi stele neutronice sau găuri negre ), în special, descoperite în 1979 în faimosul sistem PSR B1913 + 16 (pulsar Hulse-Taylor) sunt în bună concordanță cu modelul relativității generale, în care această energie este purtată tocmai de radiația gravitațională [10] .

Radiația gravitațională poate fi generată doar de sisteme cu patrupol variabil sau momente multipolare mai mari , acest fapt sugerând că radiația gravitațională a majorității surselor naturale este direcțională, ceea ce complică semnificativ detectarea acesteia. Puterea sursei câmpului gravitațional este proporțională cu dacă multipolul este de tip electric și dacă multipolul este de tip magnetic [11] , unde este viteza caracteristică a surselor din sistemul radiant și este viteza de lumină în vid. Astfel, momentul dominant va fi momentul cvadrupol de tip electric, iar puterea radiației corespunzătoare este egală cu: $n$ $(v/c)^{2n + 2}$ $(v/c)^{2n + 4}$ $v$ $c$

L = \frac{1}{5}\frac{G}{c^5}\left\langle \frac{d^3 Q_{ij}}{dt^3} \frac{d^3 Q^{ij }}{dt^3}\dreapta\rangle,

unde este tensorul momentului cvadrupolar al distribuției de masă a sistemului radiant. Constanta (1/W) face posibilă estimarea ordinului de mărime al puterii de radiație. $Q_{ij}$ ${\frac {G}{c^{5}}}=2{,}76\cdot 10^{-53}$

Începând cu 1969 ( experimentele lui Weber ), se construiesc detectoare de radiații gravitaționale. În SUA, Europa și Japonia, există în prezent mai multe detectoare la sol active ( LIGO , VIRGO , TAMA , GEO 600 ), precum și proiectul de detector gravitațional spațial LISA (Laser Interferometer Space Antenna ). Un detector la sol în Rusia este în curs de dezvoltare la Centrul științific pentru cercetarea undelor gravitaționale „ Dulkyn ” [12] din Republica Tatarstan .

Efecte subtile ale gravitației

Pe lângă efectele clasice ale atracției gravitaționale și dilatației timpului, teoria generală a relativității prezice existența altor manifestări ale gravitației, care sunt foarte slabe în condiții terestre și de aceea detectarea și verificarea experimentală a acestora sunt foarte dificile. Până de curând, depășirea acestor dificultăți părea dincolo de capacitățile experimentatorilor.

Printre acestea, în special, se pot numi antrenamentul sistemelor de referință inerțiale (sau efectul Lense-Thirring) și câmpul gravitomagnetic . În 2005, sonda gravitațională B a NASA a efectuat un experiment cu o precizie fără precedent pentru a măsura aceste efecte în apropierea Pământului. Prelucrarea datelor obținute s-a efectuat până în mai 2011 și a confirmat existența și amploarea efectelor precesiei geodezice și a tragerii cadrelor de referință inerțiale, deși cu o acuratețe puțin mai mică decât se presupunea inițial.

După o muncă intensă de analiză și extracție a zgomotului de măsurare, rezultatele finale ale misiunii au fost anunțate în cadrul unei conferințe de presă la NASA-TV din 4 mai 2011 și publicate în Physical Review Letters [13] . Valoarea măsurată a precesiei geodezice a fost de −6601,8±18,3 ms /an, iar efectul de tragere a fost de −37,2±7,2 ms / an (comparați cu valorile teoretice de −6606,1 mas /an și −39,2mas/an ) .

Teorii clasice ale gravitației

Datorită faptului că efectele cuantice ale gravitației sunt extrem de mici chiar și în cele mai extreme și observabile condiții, încă nu există observații fiabile ale acestora. Estimările teoretice arată că în majoritatea covârșitoare a cazurilor ne putem limita la descrierea clasică a interacțiunii gravitaționale.

Există o teorie clasică canonică [14] modernă a gravitației — teoria generală a relativității și o mulțime de ipoteze și teorii care o rafinează cu diferite grade de dezvoltare, concurând între ele. Toate aceste teorii oferă predicții foarte similare în cadrul aproximării în care se desfășoară în prezent testele experimentale. Următoarele sunt câteva dintre teoriile majore, cele mai bine dezvoltate sau cunoscute ale gravitației.

Relativitatea generală

În abordarea standard a teoriei generale a relativității (GR), gravitația este considerată inițial nu ca o interacțiune de forță, ci ca o manifestare a curburii spațiu-timpului. Astfel, în relativitatea generală, gravitația este interpretată ca un efect geometric, iar spațiu-timp este considerat în cadrul geometriei riemanniene non-euclidiene (mai precis, pseudo-riemannian) . Câmpul gravitațional (o generalizare a potențialului gravitațional newtonian), numit uneori și câmp gravitațional, în relativitatea generală se identifică cu câmpul metric tensor - metrica spațiu-timp cu patru dimensiuni, iar intensitatea câmpului gravitațional - cu legătura afină a spațiu-timpului, determinată de metrică.

Sarcina standard a relativității generale este de a determina componentele tensorului metric, care împreună determină proprietățile geometrice ale spațiului-timp, din distribuția cunoscută a surselor de energie-impuls în sistemul de coordonate cu patru dimensiuni luate în considerare. La rândul său, cunoașterea metricii permite să se calculeze mișcarea particulelor de testat, ceea ce este echivalent cu cunoașterea proprietăților câmpului gravitațional într-un sistem dat. În legătură cu natura tensorală a ecuațiilor GR, precum și cu justificarea fundamentală standard pentru formularea acesteia, se crede că gravitația are și un caracter tensor. Una dintre consecințe este că radiația gravitațională trebuie să fie cel puțin de ordinul patrupolului.

Se știe că există dificultăți în relativitatea generală din cauza neinvarianței energiei câmpului gravitațional, deoarece această energie nu este descrisă de un tensor și poate fi determinată teoretic în moduri diferite. În relativitatea generală clasică, se pune și problema descrierii interacțiunii spin-orbita (deoarece spinul unui obiect extins, de asemenea, nu are o definiție unică). Se crede că există anumite probleme cu unicitatea rezultatelor și justificarea consistenței (problema singularităților gravitaționale ).

Cu toate acestea, relativitatea generală experimental a fost confirmată până foarte recent ( 2012 ). În plus, multe abordări alternative la einsteiniene, dar standard pentru fizica modernă, la formularea teoriei gravitației conduc la un rezultat care coincide cu relativitatea generală în aproximarea cu energie joasă, care este singura disponibilă acum pentru verificarea experimentală.

Teoria Einstein-Cartan

Teoria Einstein-Cartan (EC) a fost dezvoltată ca o extensie a relativității generale, incluzând în interior o descriere a impactului asupra spațiului-timp, pe lângă energie-impuls, și a spinării obiectelor [15] . În teoria EC , este introdusă torsiunea afină , iar în loc de geometria pseudo-riemanniană pentru spațiu-timp, este folosită geometria Riemann-Cartan . Ca urmare, ei trec de la teoria metrică la teoria afină a spațiului-timp. Ecuațiile rezultate pentru descrierea spațiu-timpului se împart în două clase: una dintre ele este similară cu relativitatea generală, cu diferența că tensorul de curbură include componente cu torsiune afină; a doua clasă de ecuații definește relația dintre tensorul de torsiune și tensorul de spin al materiei și radiației.
Corecțiile rezultate ale relativității generale, în condițiile universului modern, sunt atât de mici încât nici măcar modalitățile ipotetice de a le măsura nu sunt încă vizibile.

Teoria Brans-Dicke

În teoriile scalar-tensorilor, dintre care cea mai faimoasă este teoria Brans-Dicke (sau Jordan-Brans-Dicke), câmpul gravitațional ca metrică eficientă spațiu-timp este determinat de influența nu numai a tensorului energie-impuls al materie, ca în relativitatea generală, dar și un câmp scalar gravitațional suplimentar. Tensorul energie-impuls pliat al materiei este considerat a fi sursa câmpului scalar. Prin urmare, teoriile scalare-tensoare precum GR și RTG (Teoria relativistică a gravitației) sunt teorii metrice care explică gravitația folosind doar geometria spațiu-timp și proprietățile sale metrice. Prezența unui câmp scalar conduce la două grupuri de ecuații pentru componentele câmpului gravitațional: unul pentru metrică, celălalt pentru câmpul scalar. Teoria Brans-Dicke, datorită prezenței unui câmp scalar, poate fi considerată și ca acționând într-o varietate cinci-dimensională constând din spațiu-timp și un câmp scalar [16] .

O împărțire similară a ecuațiilor în două clase are loc și în RTG, unde a doua ecuație tensorială este introdusă pentru a lua în considerare legătura dintre spațiul non-euclidian și spațiul Minkowski [17] . Datorită prezenței unui parametru adimensional în teoria Jordan-Brance-Dicke, devine posibilă alegerea acestuia astfel încât rezultatele teoriei să coincidă cu rezultatele experimentelor gravitaționale. În același timp, pe măsură ce parametrul tinde spre infinit, predicțiile teoriei devin din ce în ce mai apropiate de relativitatea generală, astfel încât este imposibil să infirmăm teoria Jordan-Brance-Dicke prin orice experiment care să confirme teoria generală a relativității.

Teoria cuantică a gravitației

În ciuda a mai mult de o jumătate de secol de încercări, gravitația este singura interacțiune fundamentală pentru care nu a fost încă construită o teorie cuantică consistentă general acceptată . La energii scăzute, în spiritul teoriei câmpului cuantic , interacțiunea gravitațională poate fi reprezentată ca un schimb de gravitoni - bosoni gauge cu spin 2. Totuși, teoria rezultată nu este renormalizabilă și, prin urmare, este considerată nesatisfăcătoare.

În ultimele decenii, au fost dezvoltate câteva abordări promițătoare pentru rezolvarea problemei cuantizării gravitației: teoria corzilor , gravitația cuantică în buclă și altele.

Teoria corzilor

În ea, în loc de particule și spațiu-timp de fundal , apar șiruri și omologii lor multidimensionali, branele . Pentru probleme cu dimensiuni înalte, branele sunt particule de dimensiuni înalte, dar din punctul de vedere al particulelor care se mișcă în interiorul acestor brane, ele sunt structuri spațiu-timp. O variantă a teoriei corzilor este teoria M.

Gravitația cuantică în buclă

Încearcă să formuleze o teorie cuantică a câmpului fără referire la fondul spațiu-timp, spațiul și timpul, conform acestei teorii, constau din părți discrete. Aceste celule cuantice mici ale spațiului sunt conectate între ele într-un anumit fel, astfel încât la scară mică de timp și lungime creează o structură colorată, discretă a spațiului, iar la scară mare se transformă lin într-un spațiu-timp continuu neted. Deși multe modele cosmologice pot descrie doar comportamentul universului din timpul Planck după Big Bang , gravitația cuantică în buclă poate descrie procesul de explozie în sine și chiar poate privi mai devreme. Gravitația cuantică în buclă face posibilă descrierea tuturor particulelor model standard fără a necesita introducerea bosonului Higgs pentru a explica masele lor .

Triangularea dinamică cauzală

Triangulația dinamică cauzală - varietatea spațiu-timp din ea este construită din simplexe euclidiene elementare ( triunghi , tetraedru , pentacor ) de dimensiuni de ordin Planck , ținând cont de principiul cauzalității . Patrudimensionalitatea și spațiu-timp pseudo- euclidian la scară macroscopică nu sunt postulate în ea, ci sunt o consecință a teoriei.

Gravitația în microcosmos

Gravitația în microcosmos la energii scăzute ale particulelor elementare este cu multe ordine de mărime mai slabă decât alte interacțiuni fundamentale. Astfel, raportul dintre forța interacțiunii gravitaționale a doi protoni în repaus și forța interacțiunii electrostatice este egal cu . $10^{-36}$

Pentru a compara legea gravitației universale cu legea lui Coulomb, mărimea se numește sarcină gravitațională. În virtutea principiului echivalenței masei și energiei, sarcina gravitațională este egală cu . Interacțiunea gravitațională devine egală ca forță cu cea electromagnetică atunci când sarcina gravitațională este egală cu cea electrică , adică la energii GeV , care sunt încă de neatins pe acceleratorii de particule elementare. [18] [19] ${\sqrt {G_{N}}}m$ ${\sqrt {G_{N}}} {\frac {E} {c^{2}}}$ ${\sqrt {G_{N}}}{\frac {E}{c^{2}}}=e$ $E={\frac {ec^{2}}{\sqrt {G_{N}}}}=10^{18}$

Se presupune că interacțiunea gravitațională a fost la fel de puternică ca și celelalte interacțiuni în primele secunde după Big Bang [20] . $10^{-43}$

Note

↑ Weinberg S. Primele trei minute. — M.: Energoizdat, 1981. — S. 135.
↑ Narlikar J. Universul furios. - M .: Mir, 1985. - S. 25. - Tiraj 100.000 exemplare.
↑ Narlikar J. Gravitație fără formule. - M .: Mir, 1985. - S. 144. - Tiraj 50.000 exemplare.
↑ Sivukhin D.V. Curs general de fizică. Mecanica. - M., Nauka, 1979. - Tiraj 50.000 exemplare. - Cu. 311.
↑ V. Pauli Încălcarea simetriei oglinzii în legile fizicii atomice // Fizica teoretică a secolului XX. În memoria lui Wolfgang Pauli. - M., IL, 1962. - p. 383
↑ Determinarea îmbunătățită a lui G folosind două metode // Fiz. Rev. Lett. 111, 101102 (2013), DOI:10.1103/PhysRevLett.111.101102
↑ G. Rosi, F. Sorrentino, L. Cacciapuoti, M. Prevedelli, G.M. Tino. Măsurarea de precizie a constantei gravitaționale newtoniene folosind atomi reci . Natura (18 iunie 2014). (nedefinit)
↑ Narlikar J. Universul furios. - M .: Mir, 1985. - S. 70. - Tiraj 100.000 exemplare.
↑ LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration, B. P. Abbott, R. Abbott, T. D. Abbott, M. R. Abernathy. Observarea undelor gravitaționale dintr-o fuziune binară a găurii negre // Physical Review Letters. — 2016-02-11. - T. 116 , nr. 6 . - S. 061102 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.116.061102 .
↑ Narlikar J. Gravitație fără formule. - M .: Mir, 1985. - S. 87. - Tiraj 50.000 exemplare.
↑ Vezi articolul gravitomagnetism pentru o analogie între un câmp gravitațional slab și un câmp electromagnetic .
↑ Centrul științific pentru cercetarea undelor gravitaționale „Dulkyn” Copie de arhivă din 25 septembrie 2006 pe Wayback Machine
↑ CWF Everitt și colab . Gravity Probe B: Rezultatele finale ale unui experiment spațial pentru a testa relativitatea generală , Physical Review Letters (1 mai 2011). Preluat la 6 mai 2011.
↑ Această teorie este canonică în sensul că este cea mai bine dezvoltată și utilizată pe scară largă în mecanica cerească modernă , astrofizică și cosmologie , iar numărul de rezultate experimentale stabilite în mod fiabil care o contrazic este aproape zero.
↑ Ivanenko D. D. , Pronin P. I., Sardanashvili G. A. Teoria gauge a gravitației. — M.: Ed. Universitatea de Stat din Moscova, 1985.
↑ Brans, CH; Dicke, RH (1 noiembrie 1961). „Principiul lui Mach și o teorie relativistă a gravitației”. Revista fizică 124(3): 925-935. DOI:10.1103/PhysRev.124.925. Consultat la 23.09.2006.
↑ Din punct de vedere ortodox, această ecuație este o condiție de coordonate.
↑ Yavorsky B. M., Detlaf A. A., Lebedev A. K. Manual de fizică pentru ingineri și studenți. - M .: Oniks, 2007. - S. 948. - ISBN 978-5-488-01248-6 - Tiraj 5100 exemplare.
↑ Narlikar J. Gravitație fără formule. - M .: Mir, 1985. - S. 145. - Tiraj 50.000 exemplare.
↑ Weinberg S. Primele trei minute. — M.: Energoizdat, 1981. — S. 136.

Literatură

Vizgin V. P. Teoria relativistă a gravitației (origini și formare, 1900-1915). — M.: Nauka, 1981. — 352c.
Vizgin V.P. Teorii unificate în prima treime a secolului XX. — M.: Nauka, 1985. — 304c.
Ivanenko D. D. , Sardanashvili G. A. Gravity. a 3-a ed. — M.: URSS, 2008. — 200p.
Mizner Ch., Thorn K., Wheeler J. Gravity. — M.: Mir, 1977.
Thorn K. Găuri negre și falduri ale timpului. Moștenirea îndrăzneață a lui Einstein. - M .: Editura de stat de literatură fizică și matematică, 2009.
Halliday, David; Robert Resnick; Kenneth S. Krane. Fizica v. 1. - New York: John Wiley & Sons , 2001. - ISBN 978-0-471-32057-9 .
Serway, Raymond A.; Jewett, John W. Fizica pentru oameni de știință și ingineri . — al 6-lea. — Brooks/Cole, 2004. - ISBN 978-0-534-40842-8 .
Tipler, Paul. Fizica pentru oameni de știință și ingineri : mecanică, oscilații și unde, termodinamică . — al 5-lea. — W. H. Freeman, 2004. - ISBN 978-0-7167-0809-4 .