Kernel (algebră liniară)

Nucleul unei mapări liniare este un astfel de subspațiu liniar al domeniului de mapare , fiecare element al căruia este mapat la un vector nul [1] [2] . Și anume, dacă este dată o mapare liniară între două spații vectoriale V și W , atunci nucleul mapării L este spațiul vectorial al tuturor elementelor spațiului V astfel încât , unde denotă vectorul zero din W [3] , sau mai mult oficial: $L\colon V\la W$ $\mathbf{v}$ $L(\mathbf {v} )=\mathbf {0}$ $\mathbf {0}$

\ker(L)=\left\{\mathbf {v} \in V\mid L(\mathbf {v} )=\mathbf {0} \right\}.

Proprietăți

Nucleul hărții L este un subspațiu liniar al domeniului V [4] . Într-o mapare liniară , două elemente ale lui V au aceeași imagine în W dacă și numai dacă diferența lor se află în nucleul lui L : $L\colon V\la W$

L(\mathbf {v} _{1})=L(\mathbf {v} _{2})\iff L(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2 })=\mathbf {0} .

De aici rezultă că imaginea L este izomorfă față de spațiul coeficient al spațiului V față de nucleu:

\operatorname {im} (L)\cong V/\ker(L).

În cazul în care V este dimensional finit , aceasta implică teorema de rang și defect :

\dim(\ker L)+\dim(\operatorname {im} L)=\dim(V),

unde prin rang se înțelege dimensiunea imaginii mapării L , iar prin defect , dimensiunea nucleului mapării L [5] .

Dacă V este un spațiu pre-Hilbert , spațiul coeficient poate fi identificat cu complementul ortogonal la spațiul V. Aceasta este o generalizare a operatorilor liniari ai spațiului de rând sau ai coimaginei matricei. $V/ker(L)$ $ker(L)$

Aplicație la module

Conceptul de nucleu are sens și pentru homomorfisme de modul , care sunt generalizări ale spațiilor vectoriale, unde scalarii sunt elemente ale unui inel , nu un câmp . Scopul unei mapări este un modul cu un nucleu care formează un submodul . Aici, conceptele de rang și dimensiune a nucleului sunt opționale.

În analiza funcțională

Dacă și sunt spații vectoriale topologice și sunt de dimensiuni finite, atunci operatorul liniar este continuu dacă și numai dacă nucleul mapării este un subspațiu închis al spațiului . $V$ $W$ $W$ $L\colon V\la W$ $L$ $V$

Reprezentarea ca înmulțire matriceală

Să considerăm o mapare liniară reprezentată de o matrice de mărime cu coeficienți din câmp (de obicei din sau ), adică operând pe vectori coloană cu elemente din câmpul . Nucleul acestei mapări liniare este setul de soluții ale ecuației , unde este înțeles ca vectorul zero . Dimensiunea nucleului matricei se numește defectul matricei . Sub formă de operații pe platouri , $A$ $m\ori n$ $K$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbf {x}$ $n$ $K$ $A\mathbf {x} =\mathbf {0}$ $\mathbf {0}$ $A$ $A$

\operatorname {N} (A)=\operatorname {Null} (A)=\operatorname {ker} (A)=\left\{\mathbf {x} \in K^{n}|A\mathbf {x} =\mathbf {0} \right\}.

Ecuația matriceală este echivalentă cu sistemul omogen de ecuații liniare :

A\mathbf {x} =\mathbf {0} \;\;\Leftrightarrow \;\;\left\{{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+ \;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&&0\\a_{21}x_{1}&&\ ;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\\vdots \;\;\; &&&\vdots \;\;\;&&&\vdots \;\;\;&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\; +\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&0{\text{.}}\\\end{alignedat}}\right.

Atunci nucleul matricei este același cu soluția setului de ecuații omogene de mai sus. $A$

Proprietăți subspațiu

Nucleul unei matrice peste un câmp este un subspațiu liniar . Adică, nucleul matricei , set , are următoarele trei proprietăți: $m\ori n$ $A$ $K$ $K^n$ $A$ $\operatorname {Null} (A)$

$\operatorname {Null} (A)$ conține întotdeauna un vector nul deoarece . $A\mathbf {0} =\mathbf {0}$
Dacă și , atunci . Aceasta rezultă din proprietatea distributivă a înmulțirii matriceale. $\mathbf {x} \in \operatorname {Null} (A)$ $\mathbf {y} \in \operatorname {Null} (A)$ $\mathbf {x} +\mathbf {y} \in \operatorname {Null} (A)$
Dacă , a este un scalar , atunci deoarece . $\mathbf {x} \in \operatorname {Null} (A)$ $c$ $c\în K$ $c\mathbf {x} \in \operatorname {Null} (A)$ $A(c\mathbf {x} )=c(A\mathbf {x} )=c\mathbf {0} =\mathbf {0}$

Matrice de spațiu de rânduri

Produsul poate fi scris în termeni de produs scalar al vectorilor, după cum urmează: $A\mathbf {x}$

A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {a} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}}.

Iată rândurile matricei . Aceasta implică faptul că aparține nucleului matricei dacă și numai dacă vectorul este ortogonal (perpendicular) pe fiecare dintre vectorii rând ai matricei (deoarece ortogonalitatea este definită ca produsul scalar fiind egal cu zero). $\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{m)$ $A$ $\mathbf {x}$ $A$ $\mathbf {x}$ $A$

Spațiul rând , sau coimaginea matricei , este intervalul liniar al vectorilor-rând ai matricei . Din motivele de mai sus, nucleul matricei este complementul ortogonal la spațiul rând. Adică, un vector se află la nucleul matricei dacă și numai dacă este perpendicular pe orice vector din spațiul rând al matricei . $A$ $A$ $A$ $\mathbf {x}$ $A$ $A$

Dimensiunea spațiului rând al unei matrice se numește rangul matricei , iar dimensiunea nucleului matricei se numește defectul matricei . Aceste cantități sunt legate de teorema rangului și defectului $A$ $A$ $A$ $A$

\operatorname {rank} (A)+\operatorname {nulitate} (A)=n.

[5]

Spațiu nul din stânga (cokernel)

Spațiul nul din stânga sau cokernelul unei matrice este format din toți vectorii astfel încât , unde denotă transpunerea matricei. Spațiul nul din stânga al unei matrice este același cu nucleul matricei . Spațiul nul din stânga al unei matrice este ortogonal cu spațiul coloanei al matricei și este dual cu nucleul transformării liniare asociate. Nucleul, spațiul rând, spațiul coloanei și spațiul nul stâng al unei matrice sunt cele patru subspații fundamentale asociate cu o matrice . $A$ $\mathbf {x}$ $\mathbf {x} ^{T}A=\mathbf {0} ^{T)$ $T$ $A$ $A^{T}$ $A$ $A$ $A$ $A$

Sisteme neomogene de ecuații liniare

Nucleul joacă, de asemenea, un rol important în rezolvarea sistemelor neomogene de ecuații liniare:

A\mathbf {x} =\mathbf {b} \;\;\Leftrightarrow \;\;\left\{{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+ \;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&&b_{1}\\a_{21}x_{1 }&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_ {2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}.\\\end{alignedat}}\right.

Fie vectorii și soluțiile ecuației de mai sus, atunci $\mathbf {u}$ $\mathbf{v}$

A(\mathbf {u} -\mathbf {v} )=A\mathbf {u} -A\mathbf {v} =\mathbf {b} -\mathbf {b} =\mathbf {0} .

Astfel, diferența dintre oricare două soluții ale sistemului se află în nucleul matricei . $A\mathbb {x} =\mathbb {b}$ $A$

Aceasta implică faptul că orice soluție a ecuației poate fi exprimată ca suma unei soluții fixe și a unui element al nucleului. Adică, mulțimea soluțiilor ecuației este $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ $\mathbf{v}$ $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$

\left\{\mathbf {v} +\mathbf {x} \mid A\mathbf {v} =\mathbf {b} \land \mathbf {x} \in \operatorname {Null} (A)\ dreapta\}.

Din punct de vedere geometric, aceasta înseamnă că setul de soluții ale ecuației este format prin transferul paralel al nucleului matricei la vector . Vezi și Alternativa Fredholm . $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ $A$ $\mathbf{v}$

Ilustrație

Mai jos este o ilustrare simplă a calculării nucleului unei matrice (vezi calculul Gaussian de mai jos pentru o metodă mai potrivită pentru calcule mai complexe). Ilustrația atinge și spațiile șirurilor și relația lor cu nucleul.

Luați în considerare matricea

A={\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}.

Nucleul acestei matrice este format din toți vectorii pentru care $(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}$

{\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0 \end{bmatrix}},

care poate fi exprimat ca un sistem omogen de ecuații liniare pentru , și : $X$ $y$ $z$

{\begin{aligned}2x+3y+5z&=0,\\-4x+2y+3z&=0.\end{aligned))

Aceleași egalități pot fi scrise sub formă de matrice:

\left[{\begin{array}{ccc|c}2&3&5&0\\-4&2&3&0\end{array}}\right].

Folosind metoda Gauss, matricea poate fi redusă la:

\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&1/16&0\\0&1&13/8&0\end{array}}\right].

Conversia matricei în ecuații dă:

{\begin{aliniat}x&=-{\frac {1}{16}}z\\y&=-{\frac {13}{8}}z.\end{aliniat}}

Elementele nucleului pot fi exprimate într-o formă parametrică după cum urmează:

{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1/16\\-13/8\\1\end{bmatrix}}\ quad ({\text{unde))\quad c\in \mathbb {R} )

Deoarece este o variabilă liberă care rulează peste toate numerele reale, această expresie poate fi rescrisă în mod echivalent ca: $c$

{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}.

Nucleul matricei este exact mulțimea soluțiilor acestor ecuații (în acest caz, linia prin origine în ). Aici vectorul (−1,−26,16) T formează baza nucleului matricei . Defectul matricei este 1. $A$ $\mathbb {R} ^{3}$ $A$ $A$

Următoarele produse punctuale sunt zero:

{\begin{bmatrix}2&3&5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0\quad {\text{ și }}\quad {\begin{bmatrix}-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0\mathrm {,}

care arată că vectorii nucleu ai matricei sunt ortogonali cu fiecare vector rând al matricei . $A$ $A$

Intervalul liniar al acestor doi vectori rând (liniar independenți) este un plan ortogonal cu vectorul . $(-1,-26,16)^{T)$

Deoarece rangul matricei este 2, dimensiunea nucleului matricei este 1, iar dimensiunea matricei este 3, avem o ilustrare a teoremei rangului și defectului. $A$ $A$ $A$

Exemple

Dacă , atunci nucleul mapării este mulţimea de soluţii ale sistemului omogen de ecuaţii liniare . Ca în ilustrația de mai sus, dacă este un operator: $L\colon \mathbb {R} ^{m}\la \mathbb {R} ^{n)$ $L$ $L$

L(x_{1},x_{2},x_{3})=(2x_{1}+3x_{2}+5x_{3},\;-4x_{1}+2x_{2}+ 3x_{3})

, atunci nucleul operatorului L este mulţimea soluţiilor sistemului

{\begin{alignedat}{7}2x_{1}&\;+\;&3x_{2}&\;+\;&5x_{3}&\;=\;&0\\-4x_{1} &\;+\;&2x_{2}&\;+\;&3x_{3}&\;=\;&0\end{alignedat}}

Să notăm spațiul vectorial al tuturor funcțiilor reale continue pe intervalul [0,1]. Să definim regula $C[0,1]$ $L\colon C[0,1]\la \mathbb {R}$

L(f)=f(0,3){\text{.}}\,

Atunci nucleul lui L este format din toate funcțiile pentru care .

f\in C[0,1]

f(0,3)=0

Fie spațiul vectorial al tuturor funcțiilor infinit derivabile și fie operatorul de diferențiere : $C^{\infty}(\mathbb {R} )$ $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $D\colon C^{\infty}(\mathbb {R} )\la C^{\infty}(\mathbb {R} )$

D(f)={\frac {df}{dx}}{\text{.}}

Atunci nucleul lui D este format din toate funcțiile din , a căror derivată este egală cu zero, adică din toate funcțiile constante .

C^{\infty}(\mathbb {R} )

Fie produsul direct al unui număr infinit de copii și fie operatorul de schimbare [ $\mathbb {R} ^{\infty }$ $\mathbb {R}$ $s\colon \mathbb {R} ^{\infty }\la \mathbb {R} ^{\infty }$

s(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots )=(x_{2},x_{3},x_{4},\ldots ){\ text{.}}

Atunci nucleul operatorului s va fi un subspațiu unidimensional format din toți vectorii .

(x_{1},0,0,\dots )

Dacă este un spațiu pre-Hilbert și este un subspațiu, nucleul de proiecție ortogonală este complementul ortogonal în . $V$ $W$ $V\la W$ $W$ $V$

calcule Gauss

Baza nucleului unei matrice poate fi calculată folosind metoda Gaussiană .

În acest scop, având în vedere o matrice , construim mai întâi o matrice extinsă pe rânduri , unde este matricea de identitate . $m\ori n$ $A$ $\left[{\begin{array}{c}A\\\hline E\end{array}}\right],$ $E$ $n\ ori n$

Dacă calculăm forma în trepte de coloană a matricei prin metoda Gaussiană (sau orice altă metodă adecvată), obținem matricea . Baza nucleului matricei constă din coloane diferite de zero ale matricei, astfel încât coloanele corespunzătoare ale matricei a sunt zero . $\left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right].$ $A$ $C$ $B$

De fapt, calculul poate fi oprit de îndată ce matricea ia forma în trepte de coloane - restul calculului constă în schimbarea bazei spațiului vectorial format din coloane, al cărui vârf este egal cu zero.

De exemplu, să ne imaginăm asta

A=\left[{\begin{array}{cccccc}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\end{array}}\,\right].

Apoi

{\displaystyle \left[{\begin{array}{c}A\\\hline E\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cccccc}1&0&-3&0&2&-8\\ 0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\\\hline

Dacă reducem partea superioară folosind operații pe coloane la o formă în trepte, obținem

{\displaystyle \left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0 \\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&3&-2&8\\0&1&0&-5&1&-4\\0&0&0&1&0&0\\0&0&1&0&-7&9\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0}}1\right].

Ultimele trei coloane ale matricei sunt zero. Prin urmare, ultimii trei vectori ai matricei , $B$ $C$

\left[\!\!{\begin{array}{r}3\\-5\\1\\0\\0\\0\end{array}}\right],\;\left [\!\!{\begin{array}{r}-2\\1\\0\\-7\\1\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\ !{\begin{array}{r}8\\-4\\0\\9\\0\\1\end{array}}\right]

sunt baza nucleului matricei . $A$

Dovada că metoda calculează un nucleu: deoarece operațiile pe coloană corespund înmulțirii drepte cu o matrice inversabilă, faptul că se reduce la implică că există o matrice inversabilă astfel încât unde are o formă de pas. Atunci și Vectorul coloană aparține nucleului matricei (adică ) dacă și numai dacă unde Deoarece are o formă în trepte, dacă și numai dacă elemente nenule corespund coloanelor zero ale matricei După înmulțirea cu, putem concluziona că aceasta se întâmplă dacă și numai când este o combinație liniară a coloanelor corespunzătoare ale matricei $\left[{\begin{array}{c}A\\\hline E\end{array}}\right]$ $\left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right]$ $P$ $\left[{\begin{array}{c}A\\\hline E\end{array}}\right]P=\left[{\begin{array}{c}B\\\hline C \end{matrice}}\right],$ $B$ $AP=B,$ $IP=C,$ $AC=B.$ $v$ $A$ $Av=0$ $Bw=0,$ $w=P^{-1}v=C^{-1}v.$ $B$ $Bw=0$ $w$ $b.$ $C$ $v=cw$ $C.$

Calcule numerice

Sarcina de a calcula nucleul pe un computer depinde de natura coeficienților.

Cote exacte

Dacă coeficienții unei matrice sunt dați ca numere exacte, forma de pas a matricei poate fi calculată prin algoritmul Bareis , care este mai eficient decât metoda Gauss. Și mai eficientă este utilizarea comparației modulo și a teoremei chineze a restului , care reduc problema la câteva probleme similare pe câmpuri finite (ceea ce reduce suprasarcina generată de complexitatea computațională neliniară a înmulțirii întregi).

Pentru coeficienții dintr-un câmp finit, metoda Gaussiană funcționează bine, dar pentru matricele mari care se întâmplă în criptografie și în calcularea bazei Gröbner , se cunosc algoritmi mai buni care au aproape aceeași complexitate de calcul , dar sunt mai rapidi și mai potriviti pentru dispozitivele computerizate moderne. .

Calcule în virgulă mobilă

Pentru matricele ale căror elemente sunt numere în virgulă mobilă , sarcina de a calcula nucleul are sens numai pentru matricele al căror număr de rânduri este egal cu rangul său - din cauza erorilor de rotunjire , matricele în virgulă mobilă au aproape întotdeauna rang complet , chiar și când sunt o aproximare a unei matrice de multe ranguri inferioare. Chiar și pentru o matrice de rang complet, nucleul său poate fi calculat numai atunci când este bine condiționat , adică are un număr de condiție scăzut [6] .

Și pentru o matrice de rang complet bine condiționată, metoda Gauss nu se comportă corect: erorile de rotunjire sunt prea mari pentru a obține un rezultat semnificativ. Deoarece calculul nucleului matriceal este un caz special de rezolvare a unui sistem omogen de ecuații liniare, nucleul poate fi calculat prin orice algoritm conceput pentru a rezolva sisteme omogene. Software-ul avansat în acest scop este biblioteca Lapack .

Vezi și

Note

↑ Glosarul definitiv al jargonului matematic superior - Null . Math Vault (1 august 2019). Preluat: 9 decembrie 2019. (nedefinit)
^ Weisstein , Eric W. Kernel . mathworld.wolfram.com . Preluat: 9 decembrie 2019. (nedefinit)
↑ Kernel (Nullspace) | Genial Math & Science Wiki . brilliant.org . Preluat: 9 decembrie 2019. (nedefinit)
↑ Algebra liniară, așa cum este discutată în acest articol, este o disciplină matematică bine stabilită pentru care pot fi găsite multe cărți. Aproape întregul material al articolului poate fi găsit în prelegerile lui Lay ( Lay, 2005 ), Meyer ( Meyer, 2001 ) și Strang.
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Teorema rangului-nulitate . mathworld.wolfram.com . Preluat: 9 decembrie 2019. (nedefinit)
↑ Copie arhivată . Preluat la 14 aprilie 2015. Arhivat din original la 29 august 2017. (nedefinit)

Literatură

Sheldon Jay Axler. Algebră liniară făcută corect. — al 2-lea. - Springer-Verlag, 1997. - ISBN 0-387-98259-0 .
Gilbert Strang. Algebra liniară și aplicarea ei. - Moscova: Mir, 1980.
David C Lay. Algebra liniară și aplicațiile ei. — al 3-lea. - Addison Wesley, 2005. - ISBN 978-0-321-28713-7 .
Carl D Meyer. Analiza matriceală și algebră liniară aplicată. - Societatea de Matematică Industrială și Aplicată (SIAM), 2001. - ISBN 978-0-89871-454-8 .
David Poole. Algebră liniară: o introducere modernă. — al 2-lea. — Brooks/Cole, 2006. — ISBN 0-534-99845-3 .
Howard Anthony. Algebră liniară elementară (versiunea aplicațiilor). — al 9-lea. — Wiley International, 2005.
Steven J. Leon. Algebră liniară cu aplicații . — al 7-lea. — Pearson Prentice Hall, 2006.
Serge Lang . Algebră liniară. - Springer, 1987. - ISBN 9780387964126 .
Lloyd N. Trefethen, David III Bau. Algebră liniară numerică . - SIAM, 1997. - ISBN 978-0-89871-361-9 .

Link -uri

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Kernel of a matrix , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Khan Academy , Introducere în spațiul nul al unei matrice

Vectori și matrice

Vectori

Noțiuni de bază	Vector în geometrie Bază Baza ortogonala Coordonatele vectoriale Coliniaritate Ortogonalitatea Dependență liniară Spațiul coloanei
Tipuri de vectori	Vector unitar Vector axial vector izotrop Normal Coliniaritate Vector zero Vector rază Vector propriu
Operații pe vectori	Produs scalar produs vectorial produs mixt Produs pseudoscalar Produs dublu cruce
Tipuri de spațiu	spațiu vectorial spatiu afin Spațiul euclidian Spațiul pseudo-euclidian Spațiu normat Spațiul Minkowski

matrici

Noțiuni de bază	Înmulțirea matricei Matrice transpusă Matricea conjugată hermitiană Matricea simetrică matrice inversă Valoare proprie Polinom caracteristic al unei matrice
Matrici speciale	Matrice de identitate Matrice zero Matricea diagonală matricea lambda
Descompuneri de matrice	descompunerea LU Descompunerea Cholesky Descompunerea QR Descompunerea LUP descompunerea unei valori singulare Descompunerea spectrală a unei matrice

Alte