Grupul Conway Co1

Grupul Conway Co 1 este un grup sporadic de ordin simplu

2^{21}{\cdot }3^{9}{\cdot }5^{4}{\cdot }7^{2}{\cdot }11{\cdot }13{\cdot }23

= 4157776806543360000 ≈ 4⋅10 18 .

Istoric și proprietăți

Co 1 este unul dintre cele 26 de grupuri sporadice și a fost descoperit de John Horton Conway în 1968. Grupul este cel mai mare dintre cele trei grupuri sporadice ale lui Conway și poate fi obținut ca coeficient de Co 0 ( grupul de automorfism care păstrează originea al rețelei Leach ) prin centrul său , care constă din matrici scalare ±1 [1] . Grupul apare și în vârful grupului de automorfism al unei rețele unimodulare par 26-dimensionale II 25,1 . Unele comentarii, nu pe deplin clare, din colecția de lucrări a lui Witt sugerează că el a găsit rețeaua Leach și, posibil, ordinea grupului său de automorfism, într-o lucrare nepublicată din 1940. $\lambda$

Grupul de automorfisme exterioare al grupului Co 1 este banal, iar multiplicatorul Schur are ordinul 2.

Involuții

Co 0 are 4 seturi de involuții. Se contractă la 2 în Co 1 , dar există 4-elemente în Co 0 care corespund celei de-a treia clase de involuții în Co 1 .

Imaginea mulţimilor de 12 elemente (dodecade) are un centralizator de tip 2 11 :M 12 :2, care este cuprins într-un subgrup maxim de tip 2 11 :M 24 .

Imaginea octadelor sau multimilor de 16 elemente are un centralizator de forma 2 1+8 .O 8 + (2), subgrupul maxim.

Vizualizări

Cea mai mică reprezentare exactă de permutare a grupului Co 1 constă din 98280 de perechi { v ,– v } de vectori cu norma 4.

Centralizatorul de involuție de tip 2B în monstru are forma . $2^{1+24}\mathrm {Co} _{1}$

Diagrama Dynkin a unei rețele unimodulare par Lorentzian II 1,25 este izometrică față de rețeaua Leach (afină) , deci grupul de avomorfism al diagramei este o extensie divizată ,Co 0 a izometriilor afine ale rețelei Leach. $\lambda$ $\lambda$

Subgrupuri maxime

Wilson [2] a găsit 22 de clase de subgrupuri maxime ale grupului Co 1 , deși au existat mai multe erori în lista sa originală, pe care a corectat-o mai târziu [3] .

Co 2
3. Suz :2 Ridicarea fixează o structură complexă sau o transformă într-o structură conjugată. Partea de sus a Turnului Suzuki . $\mathrm {Aut} (\Lambda )$
2 11 : M 24 Ridicarea la fixează cadrul de vectori [4] . Imaginea subgrupului monomial [5] al grupului $\mathrm {Aut} (\Lambda )$ $\mathrm {Aut} (\Lambda )$
Co 3
$2^{1+8}.\mathrm {O} _{8}^{+}(2)$ centralizator de involuție (imaginea octadelor din ) $\mathrm {Aut} (\Lambda )$
$\mathrm {U} _{6}(2):\mathrm {S} _{3)$
$(\mathrm {A} _{4}\times \mathrm {G} _{2}(4)):2$ în lanțul Suzuki [6] .
$2^{2+12}:(\mathrm {A} _{8}\times \mathrm {S} _{3})$
$2^{4+12}.(\mathrm {S} _{3}\times 3.\mathrm {S} _{6})$
$3^{2}.\mathrm {U} _{4}(3).\mathrm {D} _{8)$
36 :2 . M 12 ( holomorf al codului ternar Golay )
(A 5 × J 2 ): 2 în lanț Suzuki
$3^{1+4}:2.\mathrm {PSp} _{4}(3).2$
$(\mathrm {A} _{6}\times \mathrm {U} _{3}(3)).2$ în lanțul Suzuki
$3^{3+4}:2.(\mathrm {S} _{4}\times \mathrm {S} _{4})$
$\mathrm {A} _{9}\times \mathrm {S} _{3)$ în lanțul Suzuki
$(\mathrm {A} _{7}\times \mathrm {L} _{2}(7)):2$ în lanțul Suzuki
$(\mathrm {D} _{10}\times (\mathrm {A} _{5}\times \mathrm {A} _{5}).2$
$5^{1+2}:\mathrm {GL} _{2}(5)$
$5^{3}:(4\times \mathrm {A} _{5}).2$
$7^{2}:(3\time 2.\mathrm {S} _{4})$
$5^{2}:2\mathrm {A} _{5}$

Note

↑ Matrice diagonală, toate elementele care sunt egale
↑ Wilson, 1983 .
↑ Wilson, 1988 .
↑ Vectorii cu lungimea 8 din rețeaua Leach sunt împărțiți în 48 de perechi de vectori reciproc perpendiculari, care sunt numiți perechi de coordonate ( Wilson 2009 ).
↑ Un grup finit G este numit monom sau -grup dacă toate caracterele sale ireductibile sunt induse de caractere liniare ale subgrupurilor lui G ( Fedorov 2007 ). ${\mathcal {M}}$
↑ Lanțul Suzuki sau turnul Suzuki sunt următoarele grupuri de permutări de rang 3: . $G_{2}(2)=U(3,3)\cdot 2,J_{2}\cdot 2,G_{2}(4),\mathrm {Suz} \cdot 2$

Literatură

John Horton Conway . Un grup perfect de ordin 8.315.553.613.086.720.000 și grupurile simple sporadice // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . - 1968. - T. 61 , nr. 2 . — S. 398–400 . - doi : 10.1073/pnas.61.2.398 .
Teoria grupurilor finite: un simpozion / Brauer R. , Chih-han Sah. — W.A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1969.
John Horton Conway . Un grup de ordin 8.315.553.613.086.720.000 // Buletinul Societății de Matematică din Londra. - 1969. - T. 1 . — p. 79–88 . — ISSN 0024-6093 . - doi : 10.1112/blms/1.1.79 .
John Horton Conway . Trei prelegeri despre grupuri excepționale // Grupuri simple finite / Powell MB, Graham Higman. - Boston, MA: Academic Press , 1971. - pp. 215-247. — (Proceedings of an Instructional Conference organizată de London Mathematical Society (a NATO Advanced Study Institute), Oxford, septembrie 1969.). - ISBN 978-0-12-563850-0 . Retipărit înConway, Sloane, 1999, 267-298
John Horton Conway , Neil JA Sloane . Ambalaje sferice, zăbrele și grupuri . — al 3-lea. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1999. - T. 290. - (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften). - ISBN 978-0-387-98585-5 .
Thomas M. Thompson. De la coduri de corectare a erorilor la sfere de ambalare la grupuri simple . - Mathematical Association of America , 1983. - V. 21. - (Carus Mathematical Monografii). - ISBN 978-0-88385-023-7 .
John Horton Conway , Richard A. Parker, Simon P. Norton, Curtis RT, Robert A. Wilson. Atlas de grupuri finite . - Oxford University Press , 1985. - ISBN 978-0-19-853199-9 .
Robert L. Jr. Griess. Douăsprezece grupuri sporadice. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1998. - (Monografii Springer în matematică). - ISBN 978-3-540-62778-4 .
Robert A. Wilson. Subgrupurile maxime ale grupului lui Conway Co₁ // Journal of Algebra . - 1983. - T. 85 , nr. 1 . — S. 144–165 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(83)90122-9 .
Robert A. Wilson. Pe 3-subgrupurile locale ale grupului lui Conway Co₁ // Journal of Algebra . - 1988. - T. 113 , nr. 1 . — S. 261–262 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(88)90192-5 .
Robert A. Wilson. The finite simple groups.. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 2009. - (Graduate Textes in Mathematics 251). - ISBN 978-1-84800-987-5 . - doi : 10.1007/978-1-84800-988-2 .
Fedorov S. N. Monomialitatea grupurilor finite cu anumite condiții asupra claselor de elemente conjugate // Fundam. și apl. Mat.. - 2007. - V. 13 , nr. 5 . — S. 201–212 .

Link -uri

MathWorld: Grupuri Conway Arhivat 29 octombrie 2017 la Wayback Machine
Atlasul reprezentărilor grupurilor finite: Co 1 versiunea 2
Atlas of Finite Group Representations: Co 1 Arhivat 27 martie 2008 la Wayback Machine versiunea 3

Teoria grupurilor
Noțiuni de bază	Subgrup Subgrup normal Grup de factori Muncă direct semidirectă gratuit
Proprietăți algebrice	grup comutativ Grup ciclic grup ordonat Transformă grupul Grup solubil Lema lui Schreier teorema lui Lagrange teoremele lui Sylow Clasificarea grupurilor finite simple
grupuri finite	Grupa ciclică finită C n Grupul simetric S n Grupul diedric D n Grupa alternativă A n Grupul Cvadruplu Klein grupurile Mathieu M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ grupuri Conway Co 1 Co2 _ Co3 _ grupuri Janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Grupuri de pescari F22 _ F 23 F24 _ Monstru (M)
Grupuri topologice	Grupuri de minciuni Grupul ortogonal O(n) Grup ortogonal special SO(n) Grupa unitară U(n) Grup unitar special SU(n) Grupa simplectică Sp(n) Simplu excepțional grupul Lorentz grupul Poincaré
Algoritmi pe grupuri	Schreier - Sims Todd - Coxeter transformata Fourier