Forma diferențială

Forma diferențială a ordinului , sau -form , este un câmp tensor simetric oblic de tip pe varietatea . $k$ $k$ $(0,k)$

Formele diferențiate au fost introduse de Eli Cartan la începutul secolului al XX-lea.

Formalismul formelor diferențiale se dovedește a fi convenabil în multe ramuri ale fizicii teoretice și matematicii, în special, în mecanica teoretică, geometria simplectică , teoria cuantică a câmpurilor .

Spațiul formelor de pe o varietate este de obicei notat cu . $k$ $M$ $\Omega ^{k}(M)$

Definiții

Invariant

În geometria diferențială, o formă diferențială de grad , sau pur și simplu -form , este o secțiune netedă a , adică al treilea grad exterior al mănunchiului cotangent al colectorului. În special, $k$ $k$ $\wedge ^{k}T^{*}M$ $k$

valoarea formei -pe un set de bucăți de câmpuri vectoriale tangente este o funcție pe varietate. $k$ $k$
valoarea formei într-un punct al varietății este o funcțională liniară simetrică asimetrică pe . $k$ $X$ $k$ $T_{x}M$

Prin hărți locale

$k$ -form on va fi o expresie a următoarei forme $\mathbb {R} ^{n}$

\omega =\sum _{{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}}f_{{i_{1}i_{2}\ldots i_{k} }}(x^{1},\ldots ,x^{n})\,dx^{{i_{1}}}\wedge dx^{{i_{2}}}\wedge \ldots \wedge dx^ {{i_{k}}}

unde sunt funcții netede, este diferența coordonatei-lea (o funcție a unui vector care returnează coordonatele sale cu numărul ) și este produsul exterior . Când se schimbă coordonatele, această vedere își schimbă forma. $f_{{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}}$ $dx^{i}$ $i$ $x^i$ $i$ $\pană$

Pe o varietate netedă, formele k pot fi definite ca forme pe hărți care sunt consecvente între lipiri (pentru o definiție precisă a consistenței, vezi varietatea ).

Definiții înrudite

Pentru o formă , diferența sa externă (și doar diferențială ) este o formă, în coordonate având forma $k$ $\omega$ $(k+1)$ $d\omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}{\frac {\partial f_{i_{1}i_{2 }\ldots i_{k))}{\partial x^{j}}}(x^{1},\dots ,x^{n})\,dx^{j}\wedge dx^{i_{1 }}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}}$

pentru o definire invariantă a diferenţialului , este necesar să se definească diferenţialul funcţiilor, adică -formele, apoi diferenţialul -formelor, după care diferenţialul continuă la forme arbitrare conform -liniarităţii şi regulii Leibniz gradate : $0$ $unu$ $R$
- $dF(v)=v(F)$ — valoarea diferenţialului funcţiei pe câmpul vector tangent este derivata funcţiei de-a lungul câmpului .
- $d\omega (u,v)=u(\omega (v))-v(\omega (u))-\omega ([u,v])$ - valoarea diferenţialului formei pe o pereche de câmpuri vectoriale este diferenţa dintre valorile derivate ale formei pe un câmp de-a lungul celuilalt, corectată cu valoarea formei de pe
comutator . $unu$
$\ d(\omega ^{k}\wedge \vartheta ^{p})=(d\omega ^{k})\wedge \vartheta ^{p}+(-1)^{{k}}\omega ^ {k}\wedge (d\vartheta ^{p})$ unde superscriptele și indică ordinele formelor corespunzătoare. $k$ $p$

O formă diferențială se numește închisă dacă diferența sa exterioară este 0.

k - forma se numește exactă dacă poate fi reprezentată ca diferențială a unei forme - .

(k-1)

Grupul de coeficient al formelor k închise cu formele k exacte se numește grupul de coomologie de Rham -dimensional . Teorema lui De Rham afirmă că este izomorfă cu grupul de coomologie singular k - dimensional .

H_{{dR}}^{k}={\bar \Omega }_{{k}}/d\Omega _{{k-1}}

k

Derivata interioară a unei forme de putere în raport cu un câmp vectorial (de asemenea, o înlocuire a unui câmp vectorial într-o formă) se numește formă

\omega

n

\mathbf{v}

i_{{\mathbf {v}}}\omega (u_{1},\dots ,u_{{n-1}})=\omega ({\mathbf {v}}),u_{1},\dots , u_{{n-1}})

Proprietăți

Este valabil pentru orice formă . $d(d\omega )=0$

Diferențierea exterioară este liniară și satisface regula Leibniz gradată : $d(\omega ^{k}\wedge \omega ^{p})=(d\omega ^{k})\wedge \omega ^{p}+(-1)^{k}\omega ^ {k}\wedge (d\omega ^{p})$

Derivata internă este liniară și satisface regula Leibniz gradată : $i_{X}(\omega ^{k}\wedge \omega ^{p})=(i_{X}\omega ^{k})\wedge \omega ^{p}+(-1)^ {k}\omega ^{k}\wedge (i_{X}\omega ^{p})$

Formule Cartan. Pentru o formă arbitrară și câmpuri vectoriale , sunt valabile următoarele relații $\omega$ $X,Y,Z$ ${\mathcal {L}}_{X}d\omega =d{\mathcal {L}}_{X}\omega ,$ ${\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{X}d\omega +di_{X}\omega ,$ ( Formula magică a lui Cartan ) ${\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}\omega -{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X} \omega ={\mathcal {L}}_{[X,Y]}\omega ,$ ${\mathcal {L}}_{X}i_{Y}\omega -i_{Y}{\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{[X,Y]}\omega ,$ $i_{X}i_{Y}\omega +i_{Y}i_{X}\omega =0,$

unde denotă derivata Lie .

\mathcal{L}

Exemple

Din punctul de vedere al analizei tensoriale, forma 1 nu este altceva decât un câmp covector , adică un tensor covariant de 1 ori , dat în fiecare punct al varietății și mapând elementele spațiului tangent la mulțimea de reale. numere : $p$ $M$ $T_{p}(M)$ $\mathbb {R}$ $\omega (p)\colon T_{p}(M)\rightarrow \mathbb{R}$
Forma de volum este un exemplu de formă - pe o varietate -dimensională. $n$ $n$
O formă simplectică este o formă 2 închisă pe o varietate astfel încât . $\omega$ $2n$ $\omega ^{n}\not =0$

Aplicații

Analiza vectoriala

Formele diferențiale fac posibilă scrierea operațiilor de bază ale analizei vectoriale într-o formă invariantă de coordonate și generalizarea acestora la spații de orice dimensiune. Fie un izomorfism canonic între spațiile tangente și cotangente și să fie operatorul de dualitate Hodge (care, în special, în spațiul tridimensional realizează un izomorfism între 2-forme și câmpuri vectoriale, precum și între scalari și pseudoscalari). Apoi rotorul și divergența pot fi definite în felul următor: $eu$ $*$

\operatorname {rot}\,v=*\,d\,I(v)

\operatorname {div}\,v=*^{{-1}}d\,*(v)

Forme diferențiale în electrodinamică

Electrodinamica maxwelliană este foarte elegant formulată în termeni de forme diferențiale în spațiu-timp 4-dimensional. Luați în considerare forma Faraday 2 corespunzătoare tensorului câmpului electromagnetic :

{\textbf {F}}={\frac {1}{2}}F_{{ab}}\,({\mathrm d}}x^{a}\wedge {{\mathrm d}}x^{ b}.

Această formă este forma de curbură a fasciculului principal trivial cu grupul de structură U(1) , prin care pot fi descrise electrodinamica clasică și teoria gauge . Forma 3 a curentului , duală cu vectorul 4 obișnuit al curentului, are forma

{\textbf {J}}=J^{a}\varepsilon _{{abcd}}\,({\mathrm d}}x^{b}\wedge {{\mathrm d}}x^{c}\ pană {{\mathrm d}}x^{d}.

În această notație , ecuațiile lui Maxwell pot fi scrise foarte compact ca

{\mathrm {d}}\,{{\textbf {F}}}={\textbf {0}}

{\mathrm {d}}\,{*{\textbf {F}}}={\textbf {J}}

unde este operatorul stea Hodge . Geometria teoriei generale a gabaritului poate fi descrisă într-un mod similar. $*$

Forma 2 este numită și forma 2 Maxwell . $*{\mathbf {F}}$

Mecanica hamiltoniană

Cu ajutorul formelor diferențiale se poate formula mecanica hamiltoniană pur geometric. Să considerăm o varietate simplectică cu o formă simplectică și o funcție dată pe ea , numită funcția Hamilton . defineste in fiecare punct un izomorfism al spatiilor cotangente si tangente dupa regula $M$ $\omega$ $H$ $\omega$ $X\în M$ $eu$ $T_{{X}}^{{*}}M$ $T_{{X}}M$

dH({\mathbf {u}})=\omega (IdH,{\mathbf {u}}),~~\forall {\mathbf {u}}\in T_{{X}}M

unde este diferenta functiei . Un câmp vectorial pe o varietate se numește câmp hamiltonian , iar fluxul de fază corespunzător se numește flux hamiltonian . Fluxul de fază hamiltonian păstrează forma simplectică și, prin urmare, păstrează oricare dintre puterile sale externe . Aceasta implică teorema lui Liouville . Paranteza Poisson a funcțiilor și pe este determinată de regulă $dH$ $H$ $IdH$ $F$ $G$ $M$

[F,G]=\omega (IdF,IdG)

Variații și generalizări

Pe lângă formele cu valoare reală și cu valori complexe, formele diferențiale cu valori în pachete vectoriale sunt adesea luate în considerare . În acest caz, în fiecare punct, este dată o funcție multiliniară antisimetrică a vectorilor din mănunchiul tangent, care returnează un vector din stratul de deasupra acestui punct. Formal, formele k exterioare cu valori într-un pachet vectorial sunt definite ca secțiuni ale produsului tensor al fasciculelor $k$ $M$ $\pi \colon E\la M$

\left(\bigwedge ^{k}T^{*}M\right)\otimes _{{M}}E

Un caz special de forme diferențiale cu valori vectoriale sunt formele cu valori tangențiale , în definiția cărora mănunchiul tangent este luat ca un pachet vectorial . $TM$

Literatură

Arnold VI Metode matematice ale mecanicii clasice. - Ed. a 5-a, stereotip. - M. : Editorial URSS, 2003. - 416 p. - 1500 de exemplare. — ISBN 5-354-00341-5 .
Godbillon K. Geometrie diferenţială şi mecanică analitică. — M .: Mir, 1973.
Dubrovin B. A., Novikov S. P. , Fomenko A. T. Geometrie modernă. Metode și aplicații. — M .: Nauka, 1971.
Cartan A. Calcul diferenţial. forme diferențiale. — M .: Mir, 1971.
Postnikov M. M. Prelegeri despre geometrie. Semestrul III. Varietăți netede. — M .: Nauka, 1987.
Buldyrev VS, Pavlov BS Algebră liniară și funcții ale multor variabile. - L. : Editura Universității din Leningrad, 1985.

Vezi și

Calcul diferenţial

Principal

vederi private

Operatori diferențiali
( în diferite coordonate )

Prima comanda	Operator Nabla Gradient Divergenţă Rotor Helmholtzian
a doua comanda	Operator eliptic operator Laplace Operator vectorial Laplace operator D'Alembert Operator Laplace-Beltrami
ordine superioare	Operator hipoeliptic

subiecte asemănătoare