Problema taurului lui Arhimede

Problema lui Arhimede despre tauri este un tratat al lui Arhimede (287-212 î.Hr.). Un om de știință antic pune o problemă matematică, a cărei soluție completă a fost găsită abia în secolul al XX-lea folosind tehnologia computerizată.

Ediția

Problema taurului a fost descoperită de Gotthold Ephraim Lessing într-un manuscris grecesc dintr-un poem de 44 de linii din biblioteca ducelui Augustus la Wolfenbüttel , Germania. Textul problemei a fost publicat în publicația „Beiträge zur Geschichte und Litteratur” din Braunschweig în 1773. Paternitatea lui Arhimede nu este pusă la îndoială printre anticari, deoarece atât ca stil, cât și ca natură, tratatul corespunde epigramelor matematice ale acelei epoci. Problema taurului de către Arhimede este menționată într-una dintre vechile scolii la dialogul lui Platon „ Charmides sau despre prudență ” [1] [2] .

Esența problemei

Arhimede invită cititorul să găsească numărul de tauri ai zeului soarelui Helios în următoarele condiții:

Helios avea patru turme, fiecare dintre ele diferă ca culoare [la 1]
numărul de tauri albi a fost egal cu tauri întunecați + roșii [la 2] $=\stanga({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\dreapta)$
tauri pestrițe întunecate + tauri roșii [la 3] $=\stanga({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}\dreapta)$
tauri albi pestriști + tauri roșii [la 4] $=\stanga({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}\dreapta)$
vaci albe ale turmei întunecate [la 5] $=\stanga({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\dreapta)$
vaci întunecate dintr-o turmă pestriță [la 6] $=\stanga({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}\dreapta)$
vaci pestrițe din turma roșie [la 7] $=\stanga({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}\dreapta)$
vaci roșii din turma albă [la 8] $=\stanga({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}\dreapta)$

După aceea, Arhimede propune să se afle numărul de tauri și vaci de diferite culori, indicând că cel care reușește acest lucru nu este un ignorant [11] .

A doua parte a sarcinii include condiții suplimentare:

numărul de tauri albi și întunecați - număr pătrat
numărul de tauri pestriți și roșii este un număr triunghiular

Oricine poate, în aceste condiții, să determine numărul de vite din turmele lui Helios, după Arhimede, este un înțelept [12] .

Soluție

Rezolvarea primei părți a problemei se reduce la un sistem de ecuații algebrice liniare . Dacă notăm numărul de tauri de culoarea corespunzătoare cu simbolurile B , T , P și R , și vaci - b , t , p și p , atunci primele ecuații pot fi afișate după cum urmează [1] :

B T + R → 6B = 5T + 6R $=\stanga({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\dreapta)$
T P + R → 20T = 9P + 20R $=\stanga({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}\dreapta)$
P B + R → 42P = 13B + 42R $=\stanga({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}\dreapta)$

Rezolvând secvențial toate cele șapte ecuații, se vor obține următoarele valori:

B - 10 366 482
T - 7 460 514
P - 7 358 060
R - 4 149 387
b - 7 206 360
t — 4 893 246
n — 3 515 820
p — 5 439 213

Numărul total de vite la Helios se ridica astfel la 50.389.082 [13] .

A doua parte a problemei, adică căutarea unei soluții care să satisfacă condițiile primei și celei de-a doua părți, se reduce la ecuația Pell . Soluția ei a fost publicată în 1880 [14] . Numărul total de tauri este aproximativ egal cu . Pentru a nota toate cele 206.545 de cifre, aveți nevoie de 660 de pagini cu 2500 de caractere fiecare. Pentru prima dată, valoarea numerică exactă a soluției problemei taurilor a fost tipărită în 1965 folosind tehnologia computerizată [15] . $7,76\times 10^{206544}$

Note

Comentarii

↑ Au fost odată mulți dintre ei în patru turme păscut.
Culoarea turmelor era diferită: unul strălucea alb lăptos, Culoarea
valului întunecat al mării a turmei celuilalt era culoarea,
al treilea era Roșu. Ultima pestriță [3]
↑ Numărul de tauri albi a fost exact egal cu
taurii întunecați, jumătate și o treime și complet roșii; [patru]
↑ Numărul de tauri întunecați ai sfertului a fost egal cu
cei pieți cu o cincime adăugată și de asemenea complet roșii; [5]
↑ Lâna pestriță de tauri, astfel încât să contemple numărul:
părți din a șasea și a șaptea din turma de tauri de argint;
La fel, egalezi numărul tuturor roșcate [6]
↑ Erau atât de multe vaci în aceleași turme: numărul de vaci cu păr alb era
exact egal cu turma întunecată a întregii
părți a patra și a treia, dacă le adunați pe amândouă: [7]
↑ Numărul întunecat de vaci din a patra parte a
turmei Motley a fost din nou egal, dacă adăugați o a cincea cotă [8]
↑ Aceia, a căror lână pestriță, reprezentau o mulțime egală a
turmei roșii cu părți din a cincea și odată cu ea a șasea [9]
↑ Numărul de vaci galbene a fost considerat egal cu jumătate de treime din
efectivul alb în total, o parte din a șaptea luată [10]

Surse

↑ 1 2 Veselovsky, 1962 , p. 373.
↑ Shchetnikov Problema despre tauri, 2004 , p. 36-40.
↑ Veselovski, 1962 , p. 372, rândurile 4-7.
↑ Veselovski, 1962 , p. 372, rândurile 9-10.
↑ Veselovski, 1962 , p. 372, rândurile 11-12.
↑ Veselovski, 1962 , p. 372, rândurile 14-16.
↑ Veselovski, 1962 , p. 372, rândurile 17-19.
↑ Veselovski, 1962 , p. 372, rândurile 20-21.
↑ Veselovski, 1962 , p. 372, rândurile 23-24.
↑ Veselovski, 1962 , p. 372, rândurile 25-26.
↑ Veselovski, 1962 , p. 372, rândurile 30.
↑ Veselovski, 1962 , p. 373, rândurile 43-44.
↑ Lenstra, 2002 , p. 187.
↑ Krumbiegel, 1880 .
↑ Harold Alkema și Kenneth McLaughlin. Unbundling Computing la Universitatea din Waterloo . Universitatea din Waterloo (2007). Consultat la 5 aprilie 2011. Arhivat din original pe 4 aprilie 2011. (nedefinit) (include poze)

Literatură

Arhimede. Lucrări / Traducere, articol introductiv și comentarii de I. N. Veselovsky . Traducerea textelor arabe de B. A. Rosenfeld. - M. : Editura de stat de literatură fizică și matematică, 1962. - 640 p. - 4000 de exemplare. (Rusă)
Shchetnikov A.I. Problema taurilor a lui Arhimede, algoritmul lui Euclid și ecuația lui Pell // Matematică în învățământul superior. - 2004. - Nr 2 . - S. 27-40 .
B. Krumbiegel, A. Amthor. Das Problema Bovinum des Archimedes // Historisch-literarische Abteilung der Zeitschrift für Mathematik und Physik. - 1880. - T. 25 . — S. 121–136, 153–171 .
Lenstra HW Jr. Rezolvarea ecuației Pell // Notices of the American Mathematical Society . - 2002. - Vol. 49 , nr. 2 . - P. 182-192 .
Dorrie, Heinrich. Problema Bovinum a lui Arhimede // 100 mari probleme de matematică elementară (engleză) . - Dover Publications , 1965. - P. 3-7.
Williams, H.C.; germană, R.A.; Zarnke, CR Rezolvarea problemei vitelor a lui Arhimede // Matematica calculului : jurnal. - Societatea Americană de Matematică , 1965. - Vol. 19 , nr. 92 . -P . pp . 671–674 . doi : 10.2307 / 2003954 . — .
Vardi, I. Problema vitelor lui Archimedes // American Mathematical Monthly : jurnal . - Asociația de matematică din America, 1998. - Vol. 105 , nr. 4 . -P . pp . 305–319 . - doi : 10.2307/2589706 .
Benson, G. Archimedes the Poet: Generic Innovation and Mathematical Fantasy in the Cattle Problem // Arethusa: journal. — Johns Hopkins University Press, 2014. - Vol. 47 , nr. 2 . -P . pp . 169–196 . - doi : 10.1353/are.2014.0008 .

Link -uri

Bell, A. H. (1895), „Problema vitelor”. De Archimedies 251 BC , The American Mathematical Monthly (Asociația Matematică din America). — V. 2 (5): 140–141 , DOI 10.2307/2968125

Dicționare și enciclopedii	Britannica (online)

Matematica în Grecia Antică
Matematicieni	Autolycus Anaxagoras Anfimy Apollonius Aristarh Aristaeus Arhimede arhitect bion Boethius Bryson din Heracles Gemini Stârc Hypatia Hipparchus hipași Hippias Hipocrate Hipsicul Democrit Dicaearchus Dinostrat Diocle Diophantus Domnin Evdem Eudoxus Euclid Evtokii Zenodor Zenon din Sidon Zenon din Elea Isidor Calipus Crap Cleomede Conon Xenocrate Ctesibius Lev Matematician Marin Menelau Menechmus Nicomachus nycomedes Papp Perseus Pitagora Porfir Posidonius Proclus Ptolemeu Senin Simplius Sosigen Theon din Alexandria Theon din Smirna Theaetetus Timarid Thales Theano Teodor Teodosie Philolaus Crisip enopid Eratostene
Tratate	Almagestul Introducere în aritmetică Aritmetic Problema taurului lui Arhimede Calculul granulelor de nisip Începuturile Despre sfera în mișcare Despre minge și cilindru Palimpsestul lui Arhimede Lucrați pe secțiuni conice
Sub influenta	matematica babiloniana matematica egipteană antică
Influență	matematica europeana matematica indiană Matematică islamică medievală
Mese	Tabelul cronologic al matematicienilor greci
Sarcini	problema lui Apollonius Pătratarea cercului Trisecție unghiulară Dublarea Cubului