Grup solubil

Un grup rezolvabil este un grup a cărui serie de comutatoare se termină în grupul trivial .

Conceptul a apărut în teoria Galois în legătură cu problema solvabilității ecuațiilor algebrice în radicali: o ecuație algebrică este rezolvabilă în radicali dacă și numai dacă grupul său Galois este rezolvabil.

Definiții echivalente

Un grup rezolvabil este un grup astfel încât seria descrescătoare $G$

G\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)}\triangleright \cdots ,

în care fiecare grup următor este un comutator al celui precedent, mai devreme sau mai târziu duce la un subgrup banal.

Se poate dovedi că dacă este o subgrupă normală a lui , este solubilă, iar grupa coeficientă este solubilă, atunci este solubilă. Prin urmare, următoarea definiție este echivalentă cu prima: $H$ $G$ $H$ $G/H$ $G$

Un grup rezolvabil este un grup pentru care există cel puțin o serie subnormală în care grupurile de factori sunt abeliene. Aceasta înseamnă că există un lanț de subgrupuri , care este un subgrup normal al lui și este un grup abelian . $\{1\}=G_{0}\leqslant G_{1}\leqslant \cdots \leqslant G_{k}=G$ $G_{j-1}$ $G_j$ $G_j/G_{j-1}$

Proprietăți

Solvabilitatea unui grup finit este echivalentă cu existența unei serii subnormale în care toți factorii intermediari sunt ciclici de ordin finit . Acesta din urmă rezultă din teorema privind clasificarea grupurilor abeliene generate finit .
Dacă două grupuri sunt decidabile, atunci produsul lor direct (și chiar produsul semidirect ) este determinabil.
Fiecare subgrup și grup de factori ai unui grup rezolvabil este rezolvabil [1] .
Conform teoremei lui Burnside , orice grup a cărui ordin este divizibil cu mai puțin de trei numere prime distincte este decidabil.
Conform teoremei Veit-Thompson , un grup finit de ordin impar este rezolvabil.

Exemple

Toate grupurile abeliene și toate grupările nilpotente sunt rezolvabile.
Un grup simetric este rezolvabil dacă și numai dacă . $S_{n}$ $n\leqslant 4$
Grupul de matrici triunghiulare superioare nedegenerate este rezolvabil. $\mathbf {UT} _{n}$
Un grup liber de rang mai mare de unu nu este rezolvabil.
Toate grupurile de ordin mai mici de 60 sunt decidabile. Grupul insolubil de ordinul cel mai mic este grupul alternativ de ordinul 60. $A_{5}$

Note

↑ Rotman, 1995 , p. 102.

Literatură

Rotman, Joseph J. O introducere în teoria grupurilor. — Ed. a IV-a. - Springer, 1995. - T. 148. - (Texte de absolvire de matematică). — ISBN 978-0-387-94285-8 .
Maltsev AI Algebre nilpotente generalizate și grupurile lor asociate // Colecție matematică . - 1949. - T. 25 , nr 3 . - S. 347-366 .

Link -uri

Ordine de grupuri nerezolvabile - secvența A056866 în OEIS

Teoria grupurilor
Noțiuni de bază	Subgrup Subgrup normal Grup de factori Muncă direct semidirectă gratuit
Proprietăți algebrice	grup comutativ Grup ciclic grup ordonat Transformați grupul Grup solubil Lema lui Schreier teorema lui Lagrange teoremele lui Sylow Clasificarea grupurilor finite simple
grupuri finite	Grupa ciclică finită C n Grupul simetric S n Grupul diedric D n Grupa alternativă A n Grupul Cvadruplu Klein grupurile Mathieu M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ grupuri Conway Co 1 Co2 _ Co3 _ grupuri Janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Grupuri de pescari F22 _ F 23 F24 _ Monstru (M)
Grupuri topologice	Grupuri de minciuni Grupul ortogonal O(n) Grup ortogonal special SO(n) Grupa unitară U(n) Grup unitar special SU(n) Grupa simplectică Sp(n) Simplu excepțional grupul Lorentz grupul Poincaré
Algoritmi pe grupuri	Schreier - Sims Todd - Coxeter transformata Fourier