Mozaic rombic

mozaic rombic
Tip de	mozaic Laves
Diagrama Coxeter
Fațete	diamante 60°–120°
Configurarea feței	V3.6.3.6
Grupul de simetrie	p6m, [6,3], *632 p3m1, [3 [3] ], *333
Grup de rotație	p6, [6,3] + , (632) p3, [3 [3] ] + , (333)
dual	mozaic trihexagonal
Proprietăți	margine-tranzitivă faţă-tranzitivă

Placare rombică [1] , blocuri basculante [2] , cuburi reversibile sau rețea cubică  - o placare de romburi identice cu un unghi de 60° pe planul euclidian . Fiecare romb are două unghiuri de 60° și două unghiuri de 120°. Astfel de romburi sunt uneori numite diamante . Seturi de trei romburi sunt în contact cu vârfuri cu un unghi de 120°, iar seturi de șase sunt în contact cu vârfuri cu un unghi de 60°.

Proprietăți

O placă rombică poate fi gândită ca o placă hexagonală subdivizată , în care fiecare hexagon este împărțit în trei romburi care au un vârf comun în centrul hexagonului. Această împărțire reprezintă o placă obișnuită conectată . Poate fi văzută și ca o împărțire a patru plăci hexagonale, în care hexagoanele sunt împărțite în 12 romburi.

Diagonalele unui romb sunt legate ca 1:√3. Plasarea rombică este duala plăcii trihexagonale sau a rețelei kagome . Ca terasa dublă a țiglarii uniforme , este una dintre cele unsprezece țiglare Laves posibile , iar configurația sa de vârf este notată ca [3.6.3.6] [4] .

Plasarea este, de asemenea, una dintre cele 56 de plăci izoedrice posibile prin patrulatere [5] și una dintre cele 8 plăci ale planului în care orice muchie se află pe axa de simetrie a plăcirii [6] .

Este posibil să se încorporeze o placă rombică într-un submult al unei rețele întregi tridimensionale în așa fel încât două vârfuri să fie adiacente dacă și numai dacă punctele corespunzătoare ale rețelei se află la distanță unitară. Mai strict, atunci când numărul de muchii din calea cea mai scurtă dintre două vârfuri ale mozaicului este egal cu distanța blocurilor dintre punctele grilei corespunzătoare. Astfel, placarea rombică poate fi văzută ca un exemplu de un grafic de distanță unități infinite și un cub parțial [7] .

Aplicație în artă

Plasarea rombică poate fi interpretată ca o proiecție izometrică a unui set de cuburi în două moduri diferite, care reprezintă figuri reversibile asociate cubului Necker . Acest fenomen este cunoscut sub numele de iluzia „cuburilor reversibile” [8] .

În gravurile în lemn Metamorphoses I , Metamorphoses II și Metamorphoses III , Escher folosește această interpretare a mozaicului ca o modalitate de a transforma de la forme bidimensionale la tridimensionale [9] . În cealaltă lucrare a sa, Ciclul (1938), Escher se joacă cu contradicția internă dintre bidimensionalitatea și tridimensionalitatea acestui mozaic - desenul prezintă clădiri care au ca elemente arhitecturale blocuri cubice mari și o terasă în partea de sus, pavată. cu un mozaic rombic. Figurile umane care coboară din curte în jos pe cuburi devin stilizate și plate [10] . Aceste lucrări folosesc o singură interpretare 3D a mozaicului, dar în Convex și Concave Escher experimentează cu figuri reversibile și include o imagine cu cuburi reversibile pe un steag [11] .

Mozaicul rombic este folosit și pentru parchet [12] și ca plăci de podea sau pereți, uneori cu modificarea formei romburilor [13] Modelul rombic se găsește pe o podea de mozaic antic în Delosul grecesc [14] și pe o podea italiană din secolul al XI-lea [15] , deși plăcile din mozaicul Catedralei din Siena sunt de producție ulterioară [16] . Materialul matlasat este cunoscut încă din anii 1850 ca un model „tubling blocks”, care exprimă disonanța vizuală cauzată de interpretarea tridimensională bidimensională [2] [15] [17] . Acest model are multe alte nume, cum ar fi scara cerească și cutia Pandorei [17] . Se crede că acest model a fost folosit ca semnal pe calea ferată subterană  - când sclavii l-au văzut spânzurat de gard, și-au adunat lucrurile și s-au ascuns [18] . Aceste modele decorative pot folosi diamante de diferite culori, dar de obicei sunt folosite trei nuante, diamante mai deschise cu diagonale lungi orizontale si mai inchise in celelalte doua directii, ceea ce le sporeste efectul tridimensional. Există o prezență cunoscută a mozaicurilor rombice și trihexagonale în heraldica engleză  - pe stema armatei Geal / e [19] .

Tilinge echivalente din punct de vedere topologic

Mozaicurile rombice sunt uneori realizate cu un grad mai mic de simetrie. De exemplu, următoarele două opțiuni. Uneori, aceste variante sunt numite mozaicuri cubice pentru iluzia unor cuburi stivuite tridimensionale văzute în unghi.

Alte aplicații

O placă rombică poate fi considerată ca rezultatul unei suprapuneri a două plăci hexagonale diferite, deplasate astfel încât vârfurile unei plăci să fie în centrul hexagoanelor celeilalte plăci. În această formă, o placare rombică poate fi utilizată pentru a crea un automat celular bloc , în care romburile de placare sunt celulele automatelor, iar hexagoanele a două plăci servesc ca blocuri în pași alternanți de automat. În acest context, mașina este denumită „câmpul Q*bert”, după jocul video Q*bert , în care terenul de joc arată ca o piramidă de cuburi. Câmpul Q*bert poate fi folosit pentru a susține un sistem universal prin simularea unui computer de biliard [20] .

În fizica materiei condensate, o placă rombică este cunoscută sub numele de rețea cubică sau rețea kagome duală . Este una dintre mai multe structuri repetate care au fost folosite pentru a studia modelul Ising și sistemele cuplate de interacțiuni spin în cristale diatomice [21] și a fost, de asemenea, studiată în teoria percolației [22] .

Simetrie

Plasarea rombică are *632 de simetrii, dar vârfurile pot fi colorate în culori alternative, rezultând *333 de simetrii.

Imagine	(2 culori)	(3 culori)
Simetrie	p6m, [6,3], (*632)	p3m1, [3 [3] ], (*333)
coxeter		=

Poliedre și plăci înrudite

Tigla rombică este duala plăcilor trihexagonale și, prin urmare, aparține setului de plăci duale omogene. De asemenea, face parte dintr-o succesiune de poliedre rombice și plăci cu grupul de simetrie Coxeter [n,3], care începe cu un cub, care poate fi gândit ca un hexaedru rombic, cu pătrate servind drept romburi. Elementul al n -lea al acestei secvențe are configurația feței V3.n.3.n.

Simetrii dual dual cvasiregular tiling: V(3.n) 2

	Sferic			euclidiană	Hiperbolic
*n32	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Mozaic
Conf.	V(3.3) 2	V(3.4) 2	V(3,5) 2	V(3.6) 2	V(3.7) 2	V(3.8) 2	V(3.∞) 2

Plasarea rombică este una dintre multele modalități de a placa un avion cu romburi. Alții includ

versiunea plată a parchetului pătrat (cu transfer paralel) mozaic utilizat în schema de pliere rigidă Miura-ori (alternarea translațiilor și reflexiilor paralele) Tigla Penrose , care folosește două tipuri de romburi cu unghiuri acute de 36° și 72° aperiodic , precum și alte plăci aperiodice

Adiacent acestora se află mozaicul Sfinx , care, asemenea unui mozaic rombic, se bazează pe un mozaic hexagonal .

Vezi și

• Mozaice de poligoane regulate convexe pe planul euclidian

Note

1. ↑ Conway, Burgiel, Goodman-Strass, 2008 , p. 288.
2. ↑ 12 Smith, 2002 .
3. ↑ Guy, Woodrow, 1996 , p. 79.
4. ↑ Grünbaum, Shephard, 1987 .
5. ↑ Grünbaum și Shephard 1987 , p. 477, Fig. 9.1.2, Mozaic P 4 -42.
6. ↑ Kirby, Umble, 2011 , p. 283–289.
7. ↑ Deza, Grishukhin, Shtogrin, 2004 , p. 150.
8. ↑ Warren, 1919 , p. 262.
9. ↑ Kaplan, 2008 , p. 39–46.
10. ↑ Escher, 2001 , p. 29–30.
11. ↑ DeMay, 2003 , p. 130–141.
12. ↑ Schleining, O'Rourke, 2003 , p. 58.
13. ↑ Tessellation Tango Arhivat la 30 decembrie 2019 la Wayback Machine , The Mathematical Tourist, Universitatea Drexel, preluat 2012-05-23.
14. ↑ Dunbabin, 1999 , p. 32.
15. ↑ 1 2 Tatem, 2010 , p. 115.
16. ↑ Wallis, 1902 , p. xxv.
17. ↑ 12 Fowler , 2008 .
18. ↑ Tobin, Dobard, 2000 , p. 81.
19. ↑ Aux armes: symbolism Arhivat la 4 martie 2016 la Wayback Machine , Symbolism in arms, Pleiade, preluat 2013-04-17.
20. ↑ Cartierul Q*Bert Arhivat 4 iunie 2012 la Wayback Machine , Tim Tyler.
21. ↑ Fisher, 1959 , p. 969–981.
22. ↑ Yonezawa, Sakamoto & Hori, 1989 , p. 636–649.

Literatură

• , Cu. 29–30, ISBN 9783822858646 , < https://books.google.com/books?id=lq-EZiRdPswC&pg=PR1 > 
• Richard K. Guy, Robert E. Woodrow. Partea mai ușoară a matematicii. - The Mathematical Association of America, 1996. - S. 79, Figura 10. - (Spectrum). - ISBN 13: 978-0883855164, 10: 088385516X.
• Howard Crosby Warren. psihologia umana. - Houghton Mifflin, 1919. - S. 262.
• John Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Simetriile lucrurilor. - A.K. Peters, 2008. - P. 288. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
• Branko Grünbaum , GC Shephard. Placuri și modele . - New York: W.H. Freeman, 1987. - ISBN 0-7167-1193-1 . . Secțiunea 2.7, Placuri cu vârfuri regulate, pp. 95-98.
• Matthew Kirby, Ronald Umble. Teselații de margine și puzzle-uri de pliere ștampile  // Revista de matematică. - 2011. - T. 84 , nr. 4 . — S. 283–289 . doi : 10.4169/ math.mag.84.4.283 . - arXiv : 0908.3257 .
• Michel Deza, Viatcheslav Grishukhin, Mihail Ştogrin. Grafice politopale izometrice la scară în hipercuburi și rețele cubice: Politopii în hipercuburi și Z n . - Londra: Imperial College Press, 2004. - P. 150. - ISBN 1-86094-421-3 . - doi : 10.1142/9781860945489 .
• Craig S. Kaplan. Bridges 2008: Conexiuni matematice în artă, muzică și știință. - 2008. - S. 39-46.
• Jos De May. Moștenirea lui MC Escher: O celebrare a centenarului / D. Schattschneider, M. Emmer. - Springer, 2003. - S. 130-141.
• Michael E. Fisher. Transformări ale modelelor Ising // Revizuirea fizică. - 1959. - T. 113 , nr. 4 . — S. 969–981 . - doi : 10.1103/PhysRev.113.969 .
• Fumiko Yonezawa, Shoichi Sakamoto, Motoo Hori. Percolarea în rețele bidimensionale. I. O tehnică de estimare a pragurilor // Fiz. Rev. B. - 1989. - T. 40 , nr. 1 . — S. 636–649 . - doi : 10.1103/PhysRevB.40.636 .
• Lon Schleining, Randy 'Rourke. Treasure Chests: The Legacy of Extraordinary Boxes. - Taunton Press, 2003. - P. 58. - ISBN 9781561586516 .
• Katherine M. D. Dunbabin. Mozaici ale lumii grecești și romane. - Cambridge University Press, 1999. - P. 32. - ISBN 9780521002301 .
• Mary Tatem. Quilt of Joy: Povești de speranță din viața mozaic. - Revell, 2010. - P. 115. - ISBN 9780800733643 .
• Henry Wallis. arta ceramica italiana. - Bernard Quaritch, 1902. - S. xxv.
• Barbara Smith. Tumbling Blocks: Cuverturi noi dintr-un vechi favorit. - Cărți de colecție, 2002. - ISBN 9781574327892 .
• Earlene Fowler. Blocuri de turnare. - Pinguin, 2008. - ISBN 9780425221235 . . Acesta este un roman misterios, dar include, de asemenea, o scurtă descriere a modelului de pilota cu blocuri de rulare din partea frontală.
• Jacqueline L. Tobin, Raymond G. Dobard. Ascuns în vedere simplă: O poveste secretă a pilotelor și a căii ferate subterane . - Random House Digital, Inc., 2000. - P.  81 . — ISBN 9780385497671 .
• Maurits Cornelis Escher. MC Escher, lucrarea grafică. - Taschen, 2001. - S. 29–30. — ISBN 9783822858646 .

Lectură suplimentară

• Keith Critchlow, Order in Space: A design source book , 1970, p.77-76, model 1

mozaicuri geometrice
Periodic	pitagoreică Rombic Triunghiul Schwartz dreptunghiular Domino Pentagonal Mozaic omogen Faguri Colorat convex Mozaic divizat Grup cristalografic plat Construcția Wythoff
Aperiodic	Ammann-Binker Set aperiodic de mozaic Listă O singură provocare Sokolara — Taylor Gilbert Penrose roată Domed Seturi de împărțire și auto -lipire Sfinx Truche
Alte	Non- izoedric și izoedric Arhitectural și reflectorizant Circle Limit III Grafică pe computer fagurii Marginea tranzitivă Pachet Sarcini Van heesh pătrarea Placi de mozaic criteriul lui Conway Girih Împărțirea regulată a avionului zăbrele obișnuite Înlocuiri Diagrama Voronoi Foderberg
Prin configurarea vârfurilor	Sferic 2n _ 3 3 n V3 3.n _ 42.n _ _ V4 2.n _ Corect 2∞ _ 3 6 4 4 6 3 semi -corect 3 2 .4.3.4 V3 2.4.3.4 _ 3 3 .4 2 3 3 .∞ 3 4 .6 V3 4.6 _ 3.4.6.4 (3.6) 2 3.12 2 4 2 .∞ 4.6.12 4,8 2 hiperbolic _ 3 2 .4.3.5 3 2 .4.3.6 3 2 .4.3.7 3 2 .4.3.8 3 2 .4.3.∞ 3 2 .5.3.5 3 2 .5.3.6 3 2 .6.3.6 3 2 .6.3.8 3 2 .7.3.7 3 2 .8.3.8 3 3 .4.3.4 3 2 .∞.3.∞ 3 4 .7 3 4 .8 3 4 .∞ 3 5 .4 3 7 3 8 3∞ _ (3.4) 3 (3.4) 4 3.4.6 2.4 _ 3.4.7.4 3.4.8.4 3.4.∞.4 3.6.4.6 (3,7) 2 (3,8) 2 3.14 2 3.16 2 (3.∞) 2 3.∞ 2 4 2 .5.4 4 2 .6.4 4 2 .7.4 4 2 .8.4 4 2 .∞.4 4 5 4 6 4 7 4 8 4∞ _ (4,5) 2 (4,6) 2 4.6.12 4.6.14 V4.6.14 4.6.16 V4.6.16 4.6.∞ (4,7) 2 (4,8) 2 4.8.10 V4.8.10 4.8.12 4.8.14 4.8.16 4.8.∞ 4.10 2 4.10.12 4.12 2 4.12.16 4.14 2 4.16 2 4.∞ 2 (4.∞) 2 5 4 5 5 5 6 5∞ _ 5.4.6.4 (5.6) 2 5,8 2 5.10 2 5.12 2 (5.∞) 2 6 4 6 5 6 6 6 8 6.4.8.4 (6,8) 2 6,8 2 6.10 2 6.12 2 6.16 2 7 3 74 _ 7 7 7.6 2 7,8 2 7.14 2 8 3 8 4 8 6 8 8 8 12 8.6 2 8.16 2 ∞ 3 ∞ 4 ∞ 5 ∞∞ _ ∞.6 2 ∞.8 2