Lista poliedrelor și compușilor multidimensionali obișnuiți

Exemple de poliedre regulate

Poligoane regulate (2D).
convex	stelat
{5}	{5/2}
Poliedre 3D obișnuite
convex	stelat
{5,3}	{5/2.5}
Corectați plăcile 2D
euclidiană	Hiperbolic
{4,4}	{5,4
Poliedre 4D obișnuite
convex	stelat
{5,3,3}	{5/2,5,3
Corectați plăcile 3D
euclidiană	Hiperbolic
{4,3,4}	{5,3,4}

Această pagină conține o listă de politopi multidimensionali obișnuiți (politopi) și conexiuni regulate ale acestor politopi în spații euclidiene , sferice și hiperbolice de diferite dimensiuni.

Simbolul Schläfli descrie fiecare placă obișnuită a sferei n, spațiului euclidian și hiperbolic. Simbolul Schläfli pentru descrierea unui poliedru n-dimensional descrie, de asemenea, o placare a unei (n-1)-sfere. În plus, simetria unui poliedru regulat sau tiling este exprimată ca un grup Coxeter , pe care Coxeter l-a notat identic cu simbolurile Schläfli, cu excepția delimitării prin paranteze drepte, iar această notație se numește notație Coxeter . Un alt simbol înrudit este diagrama Coxeter-Dynkin , care reprezintă un grup de simetrie (fără noduri încercuite) și politopi regulați sau teselații cu un prim nod încercit. De exemplu, cubul are simbolul Schläfli {4,3}, cu simetria sa octaedrică [4,3] sau, este reprezentată de diagrama Coxeter.

Poliedrele regulate sunt grupate după dimensiune și apoi după formă - convexe, neconvexe și infinite. Vederile neconvexe folosesc aceleași vârfuri ca și vederile convexe, dar au fațete care se intersectează (fațete de dimensiune maximă = dimensiunile spațiului - 1). Vizualizări infinite teselează spațiul euclidian cu o dimensiune mai puțin.

Formele infinite pot fi extinse la teselații spațiale hiperbolice . Spațiul hiperbolic este similar cu spațiul obișnuit, dar liniile paralele diverg cu distanța. Acest lucru permite figurilor vârfuri să aibă defecte negative de colț . De exemplu, șapte triunghiuri regulate care se află pe un plan pot converge la un vârf. Acest lucru nu se poate face pe planul obișnuit (euclidian), dar se poate face la o anumită scară pe planul hiperbolic.

Politopii care satisfac o definiție mai generală și nu au simboluri Schläfli simple includ politopii obișnuiți și poliedre regulate cu unghi infinit, cu fațete neplanare sau figuri de vârfuri .

Prezentare generală

Tabelul prezintă un rezumat al poliedrelor regulate după dimensiuni.

	Final			euclidiană	Hiperbolic			Conexiuni
mărimea	convex _	Star Chat	oblic	convex _	compact _	Star Chat	paracompact _	convex _	Star Chat
unu	unu	0	0	unu	0	0	0	0	0
2	∞	∞	∞	unu	unu	0	0	∞	∞
3	5	patru	?	3	∞	∞	∞	5	0
patru	6	zece	?	unu	patru	0	unsprezece	26	douăzeci
5	3	0	?	3	5	patru	2	0	0
6	3	0	?	unu	0	0	5	0	0
7	3	0	?	unu	0	0	0	3	0
opt	3	0	?	unu	0	0	0	6	0
9+	3	0	?	unu	0	0	0	*	0

* 1 dacă dimensiunea este 2 k − 1; 2 dacă dimensiunea este o putere de doi; 0 altfel.

Nu există stele obișnuite în spațiul euclidian de orice dimensiune.

Spațiu unidimensional

	Diagrama Coxeter-Dynkin reprezintă „plane” în oglindă ca noduri și plasează un cerc în jurul nodului dacă punctul nu se află pe plan. Segment , { },este punctul p și imaginea în oglindă a punctului p , precum și segmentul dintre ele.

Un politop unidimensional (1-politop) este un segment închis delimitat de două puncte de capăt. Un 1-politop este regulat prin definiție și este reprezentat de un simbol Schläfli { } [1] [2] sau de o diagramă Coxeter cu un singur nod încercit,. Norman Johnson le-a dat numele datale și simbolul Schläfli { } [3] .

Fiind banal ca poliedru, daitylul ia naștere ca muchii de poligoane și poliedre [4] . Este folosit în definirea prismelor omogene (ca în simbolul Schläfli { }×{p}) sau în diagrama Coxeterca produs direct al unui segment și al unui poligon regulat [5] .

Spațiu bidimensional (poligoane)

Politopii bidimensionali se numesc poligoane . Poligoanele regulate au laturile egale și sunt înscrise într-un cerc. Un p-gon regulat este reprezentat de simbolul Schläfli {p}.

De obicei, numai poligoane convexe sunt considerate regulate, dar poligoanele stea precum o pentagramă pot fi considerate regulate. Ele folosesc aceleași vârfuri ca și formele convexe, dar se unesc într-un mod diferit, unde cercul este străbătut de mai multe ori.

Poligoanele stelare ar trebui să fie numite neconvexe mai degrabă decât concave , deoarece intersecția muchiilor nu formează noi vârfuri și toate vârfurile sunt pe un cerc.

Bulging

Simbolul Schläfli {p} reprezintă un p - gon regulat .

Nume	Triunghi ( 2-simple )	Pătrat (2 - ortoplex ) ( 2 cuburi )	Pentagon	Hexagon	Heptagon	Octogon
Schläfli	{3}	{patru}	{5}	{6}	{7}	{opt}
Simetrie	D 3 , [3]	D 4 , [4]	D 5 , [5]	D 6 , [6]	D 7 , [7]	D8 , [ 8 ]
coxeter
Imagine
Nume	pentagon	Decagon	Hendecagon	Dodecagonul	Treisprezece	tetradecagon
Schläfli	{9}	{zece}	{unsprezece}	{12}	{13}	{paisprezece}
Simetrie	D9 , [ 9 ]	D10 , [ 10 ]	D 11 , [11]	D12 , [ 12 ]	D 13 , [13]	D14 , [ 14 ]
Dynkin
Imagine
Nume	Pentagon	Hexagon	Şaptesprezece	octogon	Nouăsprezece agon	Dodecagonul	... p-gon
Schläfli	{cincisprezece}	{16}	{17}	{optsprezece}	{19}	{douăzeci}	{ p }
Simetrie	D15 , [ 15 ]	D16 , [ 16 ]	D17 , [ 17 ]	D18 , [ 18 ]	D19 , [ 19 ]	D20 , [ 20 ]	D p , [p]
Dynkin
Imagine

Sferic

Digonul regulat {2} poate fi considerat un poligon regulat degenerat . Poate exista ca nedegenerat în unele spații non-euclidiene, cum ar fi suprafața unei sfere sau a unui tor .

Nume	Monogon	Bigon
Simbolul Schläfli	{unu}	{2}
Simetrie	D 1 , [ ]	D 2 , [2]
Diagrama Coxeter	sau
Imagine

Stele

Există infinit de multe poliedre stele regulate în spațiul 2D (adică poligoane) ale căror simboluri Schläfli sunt numere raționale { n / m }. Ele se numesc poligoane stea și au același aranjament de vârfuri ca un poligon convex.

În general, pentru orice număr natural n și pentru tot m astfel încât m < n /2 și m , n coprim , există stele regulate în n puncte cu simboluri Schläfli { n / m } ( strict vorbind, { n / m }= { n /( n − m )}) .

Nume	Pentagramă	Heptagrame		Octogramă	Eneagramele		decagramă	... n-grame
Schläfli	{5/2}	{7/2}	{7/3}	{8/3}	{9/2}	{9/4}	{10/3}	{ p/q }
Simetrie	D 5 , [5]	D 7 , [7]		D8 , [ 8 ]	D9 , [ 9 ],		D10 , [ 10 ]	Dp , [ p ]
coxeter
Imagine

Poligoane stele obișnuite cu până la 20 de laturi

{11/2}	{11/3}	{11/4}	{11/5}	{12/5}	{13/2}	{13/3}	{13/4}	{13/5}	{13/6}
{14/3}	{14/5}	{15/2}	{15/4}	{15/7}	{16/3}	{16/5}	{16/7}
{17/2}	{17/3}	{17/4}	{17/5}	{17/6}	{17/7}	{17/8}	{18/5}	{18/7}
{19/2}	{19/3}	{19/4}	{19/5}	{19/6}	{19/7}	{19/8}	{19/9}	{20/3}	{20/7}	{20/9}

Poligoane spațiale

În spațiul tridimensional, un poligon spațial obișnuit [6] se numește poligon antiprismatic și are același aranjament de vârf ca cel al unei antiprisme , iar muchiile sale sunt un subset al muchiilor antiprismei, conectând vârfurile. a poligoanelor superioare și inferioare în zig-zag.

Un exemplu de poligon spațial obișnuit în zig-zag

D 3d , [2 + ,6]	D4d , [ 2 + ,8]	D 5d , [2 + ,10]
Hexagon	Octogon	Decagon
{3}#{ }	{patru}#{ }	{5}#{ }	{5/2}#{ }	{5/3}#{ }

În spațiul cu 4 dimensiuni, un poligon spațial regulat poate avea vârfuri pe un tor Clifford și este asociat cu o rotație Clifford . Spre deosebire de poligoanele 3D antiprismatice, poligoanele 3D cu rotație dublă pot avea un număr impar de laturi.

Ele pot fi văzute în poligoanele Petri ale poliedrelor cu patru dimensiuni regulate convexe , văzute ca poligoane plate regulate ale perimetrelor proiecțiilor Coxeter:

Pentagon	Octogon	Dodecagonul	Tridecagon
Cinci celule	Celulă hexazecimală	douăzeci şi patru de celule	Șase sute de celule

Spațiu tridimensional (poliedre)

În spațiul 3D, un poliedru regulat cu simbolul Schläfli {p,q} și diagrama Coxeterare fețe regulate de forma {p} și o figură de vârf regulată {q}.

O figură de vârf (a unui poliedru) este un poligon obținut prin unirea vârfurilor care sunt la o muchie distanță de un vârf dat. Pentru poliedre 3D obișnuite , această figură de vârf este întotdeauna un poligon regulat (și plan).

Existența unui poliedru regulat {p,q} este limitată de inegalitatea legată de defectul de colț al figurii vârfului:

{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}>{\frac {1}{2}}

: Poliedru (există în spațiul euclidian 3)

{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{2}}

: Tigla plană euclidiană

{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}<{\frac {1}{2}}

: Placarea planului hiperbolic

Renumerotând permutările , găsim 5 forme convexe, 4 forme stea și 3 plăci plane, toate cu poligoane {p} și {q} din listă: {3}, {4}, {5}, {5/2} , și {6 }.

În plus față de terasamentele spațiale euclidiene, există un număr infinit de terasamente hiperbolice obișnuite.

Bulging

Cele cinci poliedre regulate convexe sunt numite solide platonice . Forma nodurilor este specificată împreună cu numărul de vârfuri. Toate aceste poliedre au caracteristica lui Euler (χ) 2.

Nume	Schläfli {p,q}	Fațete {p}	coaste	vârfuri {q}	Simetrie	Dual
Tetraedru ( 3-simplex )	{3,3}	4 {3}	6	4 {3}	T d [3,3] (*332)	(auto-dual)
Hex Cube ( 3-cuburi )	{4,3}	6 {4}	12	8 {3}	O h [4,3] (*432)	Octaedru
Octaedru (3 -ortoplex )	{3,4}	8 {3}	12	6 {4}	O h [4,3] (*432)	cub
Dodecaedru	{5,3}	12 {5}	treizeci	20 {3}	I h [5,3] (*532)	icosaedru
icosaedru	{3,5}	20 {3}	treizeci	12 {5}	I h [5,3] (*532)	Dodecaedru

Sferic

În geometria sferică , există poliedre sferice obișnuite ( placuri pe sferă ) care sunt poliedre degenerate în cazul normal. Acestea sunt osoedrele {2,n} și diedrele lor duale { n,2}. Coxeter numește astfel de cazuri „improprii” teselații [7] .

Primele exemple (n de la 2 la 6) sunt date mai jos.

Osohedra

Nume	Schläfli {2,p}	Fețe {2} π/p	coaste	vârfuri {p}	Simetrie	Dual
Osoedru biunghiular	{2,2}	2 {2} π/2	2	2 {2} π/2	D 2h [2,2] (*222)	Auto-dual
osoedru triunghiular	{2,3}	3 {2} π/3	3	2 {3}	D 3h [2,3] (*322)	diedru triunghiular
Osoedru pătrat	{2,4}	4 {2} π/4	patru	2 {4}	D 4h [2,4] (*422)	diedru pătrat
Osoedru pentagonal	{2,5}	5 {2} π/5	5	2 {5}	D 5h [2,5] (*522)	Diedru pentagonal
Osoedru hexagonal	{2,6}	6 {2} π/6	6	2 {6}	D 6h [2,6] (*622)	Diedru hexagonal

diedre

Nume	Schläfli {p,2}	Fațete {p}	coaste	Noduri {2}	Simetrie	Dual
Diedru biunghiular	{2,2}	2 {2} π/2	2	2 {2} π/2	D 2h [2,2] (*222)	Auto-dual
diedru triunghiular	{3,2}	2 {3}	3	3 {2} π/3	D 3h [3,2] (*322)	osoedru triunghiular
diedru pătrat	{4,2}	2 {4}	patru	4 {2} π/4	D 4h [4,2] (*422)	Osoedru pătrat
Diedru pentagonal	{5,2}	2 {5}	5	5 {2} π/5	D 5h [5,2] (*522)	Osoedru pentagonal
Diedru hexagonal	{6,2}	2 {6}	6	6 {2} π/6	D 6h [6,2] (*622)	Osoedru hexagonal

Există și diedre stelare și osoedre, cum ar fi {5/2,2} și {2,5/2}.

Stele

Poliedre stelate regulate sunt numite solide Kepler-Poinsot și există patru dintre ele. Ele se bazează pe locația vârfurilor dodecaedrului {5,3} și icosaedrului {3,5}:

Asemenea plăcilor sferice , aceste forme de stele se suprapun sferei de mai multe ori, ceea ce se numește densitatea lor . Pentru aceste forme, densitatea este de 3 sau 7. Desenele în mozaic arată fețele poligoanelor sferice individuale în galben.

Nume	Schläfli {p,q} și Coxeter	Fațete {p}	coaste	Noduri {q} Figura	χ	Densitate [ en	Simetrie	Dual
Dodecaedru mic stelat	{5/2.5}	12 {5/2}	treizeci	12 {5}	−6	3	I h [5,3] (*532)	Dodecaedru mare
Dodecaedru mare	{5.5/2}	12 {5}	treizeci	12 {5/2}	−6	3	I h [5,3] (*532)	Dodecaedru mic stelat
Dodecaedru stelat mare	{5/2,3}	12 {5/2}	treizeci	20 {3}	2	7	I h [5,3] (*532)	Icosaedru mare
Icosaedru mare	{3.5/2}	20 {3}	treizeci	12 {5/2}	2	7	I h [5,3] (*532)	Dodecaedru stelat mare

Poliedre oblice

Un poliedru oblic regulat este o generalizare a mulțimii politopilor regulați, în care este permisă neplanaritatea figurilor vârfurilor .

Pentru poliedre oblice 4-dimensionale, Coxeter a propus un simbol Schläfli modificat {l,m|n}, având o figură de vârf {l,m}, m l-goni în jurul vârfului cu n găuri-gonale. Formele vârfurilor lor sunt poligoane spațiale reprezentând zig-zaguri între două plane.

Pentru poliedre oblice regulate, reprezentate prin simbolul {l,m|n}, egalitatea este valabilă:

2*sin(π/l)*sin(π/m)=cos(π/n)

Patru dintre ele pot fi văzute în spațiul 4-dimensional ca un set de fețe a patru poliedre regulate cu 4 poliedre având același aranjament de vârf și aranjament de muchii :

{4, 6 \| 3}	{6, 4 \| 3}	{4, 8 \| 3}	{8, 4\| 3}

Spațiu cu patru dimensiuni

Poliedrele obișnuite cu 4 dimensiuni cu simbolul Schläfli au celule de vizualizare, fețe de vizualizare , forme de margine și forme de vârfuri . $\{p,q,r\)$ $\{p,q\)$ $\{p\}$ $\{r\}$ $\{q,r\)$

O figură de vârf (a unui politop cu 4 dimensiuni) este un politop (3 dimensiuni) format din vârfurile politopului adiacente unui vârf dat. Pentru politopurile obișnuite cu 4, această figură de vârf este un politop regulat (3-dimensional).
O figură de margine este un poligon format din fețe adiacente muchiei. Pentru poliedre 4D obișnuite, figura marginii va fi întotdeauna un poligon obișnuit.

Existența politopurilor regulate cu patru dimensiuni este limitată de existența unui politop regulat . Pentru poliedre 4-dimensionale se propune folosirea denumirii „polichorus” [8] [9] $\{p,q,r\)$ $\{p,q\},\{q,r\)$

Fiecare specie poate exista într-un spațiu în funcție de următoarea expresie:

\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\sin \left({\frac {\pi {r}}\right)-\cos \left({\frac {\pi }{q}}\dreapta)

>0

: Faguri 3-dimensionali hipersferici sau poliedre 4-dimensionale

{\displaystyle=0}

: Fagure euclidian tridimensional

<0

: Fagure hiperbolic tridimensional

Aceste restricții sunt valabile pentru 21 de forme - 6 forme sunt convexe, 10 nu sunt convexe, una este un fagure tridimensional euclidian și 4 este un fagure hiperbolic.

Caracteristica Euler a unui poliedru cu patru dimensiuni este calculată prin formula și este egală cu zero pentru toate tipurile. $\chi$ $\chi =V+FEC$

Bulging

Cele 6 poliedre regulate 4D convexe sunt prezentate în tabelul de mai jos. Toate aceste poliedre au caracteristica Euler (χ) 0.

Nume	Schläfli {p,q,r}	Cells {p,q}	Fațete {p}	coastă {r}	vârfuri {q,r}	Dual {r,q,p}
Cinci celule ( 4-simplex )	{3,3,3}	5 {3,3}	10 {3}	10 {3}	5 {3,3}	(auto-dual)
Teseract ( 4-cuburi )	{4,3,3}	8 {4,3}	24 {4}	32 {3}	16 {3,3}	Celulă hexazecimală
Șaisprezece celule (4 ortoplex )	{3,3,4}	16 {3,3}	32 {3}	24 {4}	8 {3,4}	tesseract
douăzeci şi patru de celule	{3,4,3}	24 {3,4}	96 {3}	96 {3}	24 {4,3}	(auto-dual)
120 de celule	{5,3,3}	120 {5,3}	720 {5}	1200 {3}	600 {3,3}	600 de celule
600 de celule	{3,3,5}	600 {3,3}	1200 {3}	720 {5}	120 {3,5}	120 de celule

Cinci celule	tesseract	Şaisprezece celule	Douăzeci și patru de celule	120 de celule	600 de celule
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}
Wireframe ( poligonul Petri ) în proiecție ortogonală oblică

proiecție ortogonală
Înveliș tetraedric ( centrat pe celulă/vertex )	Înveliș cubic (centrat pe celulă)	Înveliș cubic (centrat pe celulă)	Înveliș cuboctaedral (centrat pe celulă)	Înveliș rombotricontaedric trunchiat ( centrat pe celule )	Pentakiikosi - înveliș dodecaedral (centrat la vârf)
Diagrame Schlegel ( proiecție în perspectivă )
(centrat pe celulă)	(centrat pe celulă)	(centrat pe celulă)	(centrat pe celulă)	(centrat pe celulă)	(sus centrat)
Cadrul de proiecție stereografic ( hipersferic )

Sferic

Diedre și osoedre 4-dimensionale există ca plăci regulate ale 3-sferei .

Diedre obișnuite cu 4 dimensiuni (2 fațete = fețe tridimensionale) includ: {3,3,2}, {3,4,2}, {4,3,2}, {5,3,2}, {3 ,5,2}, {p,2,2} și osoedrele lor duale cu 4 dimensiuni (2 vârfuri): {2,3,3}, {2,4,3}, {2,3,4}, { 2,3,5}, {2,5,3}, {2,2,p}. Poliedre de forma {2,p,2} sunt atât diedre 4-dimensionale, cât și osoedre. Există, de asemenea, forme {p,2,q} care au celule diedrice și figuri osoedrice.

Osoedre obișnuite 4-dimensionale ca un fagure pe o sferă de 3

Schläfli {2,p,q}	Celulele {2,p} π/q	Fețe {2} π/p,π/q	coaste	Vârfurile	Figura de vârf {p,q}	Simetrie	Dual
{2,3,3}	4 {2,3} π/3	6 {2} π/3,π/3	patru	2	{3,3}	[2,3,3]	{3,3,2}
{2,4,3}	6 {2,4} π/3	12 {2} π/4,π/3	opt	2	{4,3}	[2,4,3]	{3,4,2}
{2,3,4}	8 {2,3} π/4	12 {2} π/3,π/4	6	2	{3,4}	[2,4,3]	{4,3,2}
{2,5,3}	12 {2,5} π/3	30 {2} π/5,π/3	douăzeci	2	{5,3}	[2,5,3]	{3,5,2}
{2,3,5}	20 {2,3} π/5	30 {2} π/3,π/5	12	2	{3,5}	[2,5,3]	{5,3,2}

Stele

Există zece poliedre stelare cu 4 dimensiuni regulate , care sunt numite politopi Schläfli-Hess . Vârfurile lor sunt situate pe o celulă convexă de 120 { 5,3,3 } și pe o celulă de șase sute {3,3,5} .

Ludwig Schläfli a găsit patru dintre ele și le-a aruncat pe cele șase rămase, deoarece nu a permis încălcarea caracteristicii Euler pe celule sau figuri de vârf (F+V−E=2). Edmund Hess (1843–1903) a completat lista în cartea sa Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder , ( An introduction of the introduction ) (183) sferă ţinând cont de teoria poliedrelor izoedrice şi echiunghiulare) .

Există 4 aranjamente de margini și 7 aranjamente de fețe în aceste 10 poliedre 4D stelate regulate, prezentate ca proiecții ortogonale :

Nume	Schläfli {p, q, r} Coxeter	Celule {p, q}	Fațete {p}	coastă {r}	Vârfurile {q, r}	Densitate [ en	χ	Grupul de simetrie	Dual {r, q, p}
Icosahedral 120-cell (fațetat 600-cell)	{3,5,5/2}	120 {3,5}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {5,5/2}	patru	480	H 4 [5,3,3]	Mic stelat cu 120 de celule
Mic stelat cu 120 de celule	{5/2,5,3}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	1200 {3}	120 {5,3}	patru	−480	H 4 [5,3,3]	Icosaedric 120-celule
Mare 120 de celule	{5,5/2,5}	120 {5,5/2}	720 {5}	720 {5}	120 {5/2,5}	6	0	H 4 [5,3,3]	auto-dual
Excelent 120 de celule	{5,3,5/2}	120 {5,3}	720 {5}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	douăzeci	0	H 4 [5,3,3]	Mare stelat 120-celule
Mare stelat cu 120 de celule	{5/2,3,5}	120 {5/2,3}	720 {5/2}	720 {5}	120 {3,5}	douăzeci	0	H 4 [5,3,3]	Excelent 120 de celule
Excelent stelat cu 120 de celule	{5/2,5,5/2}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	720 {5/2}	120 {5,5/2}	66	0	H 4 [5,3,3]	auto-dual
Mare grozav de 120 de celule	{5.5/2.3}	120 {5,5/2}	720 {5}	1200 {3}	120 {5/2,3}	76	−480	H 4 [5,3,3]	Mare icosaedric de 120 de celule
Icosaedric mare de 120 de celule (fațetate mare de 600 de celule)	{3,5/2,5}	120 {3,5/2}	1200 {3}	720 {5}	120 {5/2,5}	76	480	H 4 [5,3,3]	Mare mare de 120 de celule
Excelent 600 de celule	{3,3,5/2}	600 {3,3}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	191	0	H 4 [5,3,3]	Mare mare stelată 120 de celule
Mare grozav de 120 de celule	{5/2,3,3}	120 {5/2,3}	720 {5/2}	1200 {3}	600 {3,3}	191	0	H 4 [5,3,3]	Super 600 de celule

Există 4 permutări de stele obișnuite nereușite ale politopilor: {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2 }. Celulele și figurile lor de vârf există, dar nu acoperă hipersfera cu un număr finit de reprezentări.

Dimensiunea cinci și mai sus

În spațiul cu cinci dimensiuni , politopii obișnuiți pot fi notați ca , unde este un tip cu 4 fețe, este un tip de celulă, este un tip cu 2 fețe, este o figură cu față, este o figură de margine și este un vârf figura. $\{p,q,r,s\}$ $\{p,q,r\)$ $\{p,q\)$ $\{p\}$ $\{s\}$ $\{r,s\)$ $\{q,r,s\)$

O figură de vârf (a unui politop cu 5 dimensiuni) este un politop cu 4 dimensiuni format din vârfurile adiacente vârfului dat. O figură de muchie (a unui poliedru cu 5 dimensiuni) este un poliedru format din fețe în jurul fiecărei muchii. Forma feței (poliedru 5-dimensional) este un poliedru format din celule în jurul fiecărei fețe.

Un 5-politop obișnuit există numai dacă și sunt 4-politopi obișnuiți. $\{p,q,r,s\}$ $\{p,q,r\)$ $\{q,r,s\)$

In functie de valoare

{\frac {\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{q)}\right)}{\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{p }}\right)}}+{\frac {\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{r}}\right)}{\sin ^{2}\left({\frac { \pi {s}}\right)}}

obțineți tipul de spațiu

<1

: Tigla sferică 4D sau poliedru 5D

{\displaystyle=1}

: Tigla euclidiană 4-dimensională

>1

: Placare hiperbolica 4D

Din aceste constrângeri, obținem 3 poliedre convexe, zero politopi neconvexe, 3 plăci 4-dimensionale și 5 plăci hiperbolice 4-dimensionale. Nu există poliedre regulate neconvexe în 5D și mai sus.

Bulging

În dimensiunile 5 și mai sus, există doar trei tipuri de poliedre regulate convexe [10] .

Nume	Simbol Schläfli { p 1 ,...,p n −1 }	coxeter	k -fețe	Tipul fațetei	Figura de vârf	Dual
n -simplex	{ 3n− 1 }	...		{ 3n −2 }	{ 3n −2 }	Auto-dual
n -cub	{4,3n − 2 }	...	$2^{nk}{n \alege k)$	{4,3n − 3 }	{ 3n −2 }	n -ortoplex
n - ortoplex	{ 3n − 2,4 }	...	$2^{k+1}{n \alegeți {k+1}}$	{ 3n −2 }	{ 3n − 3,4 }	n -cub

Există, de asemenea, cazuri improprii în care unele numere din simbolul Schläfli sunt egale cu 2. De exemplu, {p,q,r,...2} este un politop sferic regulat impropriu în cazul {p,q,r... } este un politop sferic regulat, iar {2,...p,q,r} este un politop sferic regulat impropriu când {...p,q,r} este un politop sferic obișnuit. Astfel de poliedre pot fi folosite ca fațete care dă forme de forma {p,q,...2...y,z}.

Spații cu cinci dimensiuni

Nume	Simbol Schläfli { p,q,r,s} Coxeter	Numărul de fațete (fețe cu patru dimensiuni ) {p,q,r}	Celule ( fețe 3D ) {p,q}	Fețe (2D) {p}	coaste	Vârfurile	Forma feței {s}	Figura de margine {r,s}	Figura vârfului {q,r,s}
Hexateron	{3,3,3,3}	6 {3,3,3}	15 {3,3}	20 {3}	cincisprezece	6	{3}	{3,3}	{3,3,3}
Penteract	{4,3,3,3}	10 {4,3,3}	40 {4,3}	80 {4}	80	32	{3}	{3,3}	{3,3,3}
5-ortoplex	{3,3,3,4}	32 {3,3,3}	80 {3,3}	80 {3}	40	zece	{patru}	{3,4}	{3,3,4}

Hexateron	Penteract	5-ortoplex

Spațiu cu șase dimensiuni

Nume	Schläfli	Vârfurile	coaste	Fațete (2D)	Celule (3D)	fețe 4D	fețe 5D
6-simplex	{3,3,3,3,3}	7	21	35	35	21	7
Hexeract	{4,3,3,3,3}	64	192	240	160	60	12
6-ortoplex	{3,3,3,3,4}	12	60	160	240	192	64

6-dimensional simplex	Hexeract	ortoplex 6-dimensional

Spațiu șapte-dimensional

Nume	Schläfli	Vârfurile	coaste	Fațete (2D)	Celule (3D)	fețe 4D	fețe 5D	fețe 6D	χ
7-simplex	{3,3,3,3,3,3}	opt	28	56	70	56	28	opt	2
Hepteract	{4,3,3,3,3,3}	128	448	672	560	280	84	paisprezece	2
7-ortoplex	{3,3,3,3,3,4}	paisprezece	84	280	560	672	448	128	2

7-simplex	Hepteract	7-ortoplex

Spațiu opt-dimensional

Nume	Schläfli	Vârfurile	coaste	Fațete (2D)	Celule (3D)	fețe 4D	fețe 5D	fețe 6D	fețe 7D
8-simplex	{3,3,3,3,3,3,3}	9	36	84	126	126	84	36	9
Octeract	{4,3,3,3,3,3,3}	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16
8-ortoplex	{3,3,3,3,3,3,4}	16	112	448	1120	1792	1792	1024	256

8-simplex	Octeract	8-ortoplex

Spațiu nou-dimensional

Nume	Schläfli	Vârfurile	coaste	Fațete (2D)	Celule (3D)	fețe 4D	fețe 5D	fețe 6D	fețe 7D	fețe 8D	χ
9-simplex	{3 8 }	zece	45	120	210	252	210	120	45	zece	2
Entereract	{4,3 7 }	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	optsprezece	2
9-ortoplex	{3 7 ,4}	optsprezece	144	672	2016	4032	5376	4608	2304	512	2

9-simplex	Entereract	9-ortoplex

Spațiu zece-dimensional

Nume	Schläfli	Vârfurile	coaste	Fațete (2D)	Celule (3D)	fețe 4D	fețe 5D	fețe 6D	fețe 7D	fețe 8D	fețe 9D
10-simplex	{ 39 }	unsprezece	55	165	330	462	462	330	165	55	unsprezece
Deceract	{4,3 8 }	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	douăzeci
10-ortoplex	{3 8 ,4}	douăzeci	180	960	3360	8064	13440	15360	11520	5120	1024

10-simplex	Deceract	10-ortoplex

...

Neconvex

Nu există poliedre regulate neconvexe de dimensiuni 5 sau mai mari.

Poliedre proiective regulate

Un politop regulat proiectiv ( n + 1) există dacă placarea n -sferică regulată originală {p,q,...} este simetrică central . Astfel de poliedre se numesc semi-{p,q,...} și conțin jumătate din câte elemente. Coxeter le dă simbolul {p,q,...}/2, în timp ce McMullen scrie {p,q,...} h/2 , unde h este numărul Coxeter . [unsprezece]

Poligoane regulate cu un număr par de laturi au poligoane proiective semi- 2n -gonale, {2p}/2.

Există 4 politopi proiectivi obișnuiți , corespunzătoare a 4 din cele 5 solide platonice .

Semicubul și semi-octaedrul se generalizează la semi - n -cuburi și semi- n - ortoplexuri în orice dimensiune.

Poliedre proiective regulate în spațiul 3D

Hemi-politopi regulați tridimensionali

Nume	Coxeter McMullen	chipuri	Margini	Noduri	χ
Jumătate de cub	{4,3}/2 {4,3} 3	3	6	patru	unu
Semioctaedru	{3,4}/2 {3,4} 3	patru	6	3	unu
Semidodecaedru	{5.3}/2 {5.3} 5	6	cincisprezece	zece	unu
Semiicozaedrul	{3.5}/2 {3.5} 5	zece	cincisprezece	6	unu

Poliedre proiective regulate în patru dimensiuni

În spațiul cu 4 dimensiuni, 5 din 6 poliedre regulate convexe formează 4-politopi proiectivi. Cele 3 cazuri speciale sunt jumătate douăzeci și patru de celule, jumătate șase sute de celule și jumătate sute douăzeci de celule.

Semipolitopuri regulate 4-dimensionale! Simbol
Coxeter Simbolul
McMullen celule chipuri coaste Vârfurile χ

semi -teseract	{4,3,3}/2	{4,3,3} 4	patru	12	16	opt
semi -şaisprezece celule	{3,3,4}/2	{3,3,4} 4	opt	16	12	patru
semi douăzeci și patru de celule	{3,4,3}/2	{3,4,3} 6	12	48	48	12
semi 120 celule	{5,3,3}/2	{5,3,3} 15	60	360	600	300
semi șase sute de celulă	{3,3,5}/2	{3,3,5} 15	300	600	360	60

Politopuri proiective obișnuite în spațiul cinci-dimensional

Există doar 2 semipolitopi proiectivi regulați convexe în spațiile de dimensiunea 5 și mai sus.

Nume	Schläfli	fețe 4D	Celule (3D)	Fațete (2D)	coaste	Vârfurile	χ
semi -penteract	{4,3,3,3}/2	5	douăzeci	40	40	16	unu
semi pentacross	{3,3,3,4}/2	16	40	40	douăzeci	5	unu

Infinitesimale

Infinitul este unpoliedrucu un număr infinit de fațete. Un top neste unn-dimensional: 2-top-infinit = infinit-gon (apeirogon), 3-infinit-top = infinit-top în spațiul 3D etc.

Există două clase geometrice principale de infinittopuri: [12]

Faguri obișnuiți în spațiu n - dimensional, umplând complet spațiul n - dimensional.
Infinitopuri regulate oblice care conțin varietăți n -dimensionale în spații superioare.

Spațiu unidimensional (infinite)

Un apeirogon direct este o placare regulată a unei linii drepte cu împărțirea sa în infinit de segmente egale. Are infinit de vârfuri și muchii. Simbolul său Schläfli este {∞} și diagrama lui Coxeter este.

...... _

Apeirogonii din planul hiperbolic , dintre care apeirogonul regulat {∞} este cel mai notabil, pot avea curbură, ca poligoanele finite din planul euclidian, și au vârfuri situate pe horocicluri sau hipercicluri .

Apeirogonii regulați cu convergență la infinit au simbolul {∞} și există pe horocicluri, deși în general pot exista pe hipercicluri.

{∞}	{πi/λ}
Infinitul pe un horociclu	Infinitul pe un hiperciclu

Mai sus sunt prezentate două apeirogoni hiperbolici pe un disc Poincaré . Figura din dreapta prezintă linii perpendiculare care separă regiunile fundamentale separate printr-o distanță λ între ele.

Infinități spațiale

Apeirogonii oblici în spațiul bidimensional (plan) formează un zigzag. Dacă zigzagul este simetric și uniform, apeirogonul este corect.

Apeirogonurile oblice pot fi construite într-un spațiu de orice dimensiune. În spațiul tridimensional, apeirogonii oblici formează o spirală și pot fi la stânga sau la dreapta.

spațiu bidimensional	Spațiu 3D
Apeirogon sub formă de zigzag	apeirogon spiralat

Spațiu bidimensional (infinite)

Dale euclidiene

Există trei plăci regulate ale avionului. Toate trei au caracteristica Euler (χ) 0.

Nume	mozaic pătrat (cadrilă)	mozaic triunghiular (deltatil)	Parchet hexagonal (hexatil)
Simetrie	p4m, [4,4], (*442)	p6m, [6,3], (*632)
Schläfli {p,q}	{4,4}	{3,6}	{6,3}
Diagrama Coxeter
Imagine

Există două plăci regulate improprii - {∞,2}, un diedru cu unghi infinit , obținut din două apeirogoane , fiecare dintre ele umplend un semiplan și placarea sa duală {2,∞}, un osoedru cu unghi infinit , care poate fi reprezentat ca un număr infinit de drepte paralele.

{∞,2} ,	{2,∞} ,

Tiling stele euclidiene

Nu există plăci regulate ale planului după poligoane stele . Există o infinitate de perechi de numere pentru care este îndeplinită condiția de tiling plat (1/ p + 1/ q = 1/2), de exemplu, {8/3.8}, {10/3.5}, {5/2.10}, {12/5,12} etc., dar niciuna dintre aceste stele nu este potrivită pentru placare.

Placuri hiperbolice

Tilingurile unui spațiu bidimensional hiperbolic sunt tilinguri hiperbolice . Există infinit de multe plăci regulate în H 2 . După cum s-a menționat mai sus, orice pereche pozitivă { p , q } astfel încât 1/ p + 1/ q < 1/2 dă o tiling hiperbolic. De fapt, pentru triunghiul general Schwartz ( p , q , r ) același lucru este valabil și pentru 1/ p + 1/ q + 1/ r < 1.

Există multe moduri diferite de a reprezenta planul hiperbolic, inclusiv modelul disc Poincaré , care mapează planul pe un disc, așa cum se arată mai jos. Toate fețele poligonale ale plăcilor trebuie tratate ca echilaterale, iar poligoanele devin mai mici pe măsură ce vă apropiați de marginea discului datorită proiecției, care este similară cu efectul unei camere cu ochi de pește .

Există o infinitate de topuri plate regulate 3-infinite ca plăci regulate ale planului hiperbolic de forma {p,q}, unde p+q<pq/2.

{3,7}, {3,8}, {3,9} ... {3,∞}
{4,5}, {4,6}, {4,7} ... {4,∞}
{5,4}, {5,5}, {5,6} ... {5,∞}
{6,4}, {6,5}, {6,6} ... {6,∞}
{7,3}, {7,4}, {7,5} ... {7,∞}
{8,3}, {8,4}, {8,5} ... {8,∞}
{9,3}, {9,4}, {9,5} ... {9,∞}
...
{∞,3}, {∞,4}, {∞,5} ... {∞,∞}

Exemple:

Placuri sferice (platonice) / euclidiene / hiperbolice (disc Poincare: compact / paracompact / necompac ) cu simbolurile lor Schläfli
p\q	3	patru	5	6	7	opt	...	∞	...	iπ/λ
3	( tetraedru ) {3,3}	( octaedru ) {3,4}	( icosaedru ) {3,5}	( țiglă delta ) {3,6}	{3,7}	{3,8}		{3,∞}		{3,iπ/λ}
patru	( cub ) {4,3}	( cadril ) {4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}		{4,∞}		{4,iπ/λ}
5	( dodecaedru ) {5,3}	{5,4}	{5,5}	{5,6}	{5,7}	{5,8}		{5,∞}		{5,iπ/λ}
6	( hexatil ) {6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}		{6,∞}		{6,iπ/λ}
7	{7,3}	{7,4}	{7,5}	{7,6}	{7,7}	{7,8}		{7,∞}		{7,iπ/λ}
opt	{8,3}	{8,4}	{8,5}	{8,6}	{8,7}	{8,8}		{8,∞}		{8,iπ/λ}
...
∞	{∞,3}	{∞,4}	{∞,5}	{∞,6}	{∞,7}	{∞,8}		{∞,∞}		{∞,iπ/λ}
...
iπ/λ	{ip/λ,3}	{ip/λ,4}	{ip/λ,5}	{ip/λ,6}	{ip/λ,7}	{ip/λ,8}		{iπ/λ,∞}		{iπ/λ,iπ/λ}

Tiling stele hiperbolice

Există două tipuri infinite de plăci hiperbolice ale căror fețe sau figuri de vârfuri sunt poligoane stele — { m /2, m } și dualii lor { m , m /2} cu m = 7, 9, 11, .... Mozaice { m / 2, m } sunt stelații de { m , 3} tilings, în timp ce dual tilings { m , m /2} sunt fațete ale {3, m } tilings și măriri { m , 3} tilings.

Schemele { m /2, m } și { m , m / 2} continuă pentru m impar < 7 ca poliedre : dacă m = 5, obținem un dodecaedru mic stelat și un dodecaedru mare , iar cu m = 3 obținem un tetraedru . Celelalte două solide Kepler-Poinsot ( dodecaedrul mare stelat și icosaedrul mare ) nu au analogi în plăcile hiperbolice obișnuite. Dacă m este par, în funcție de modul în care alegem definiția lui { m /2}, putem obține fie o acoperire degenerată a unei alte plăci, fie o joncțiune de plăci .

Nume	Schläfli	Tipul feței {p}	Figura de vârf {q}	Densitate [ en	Simetrie	dual
Placare heptagonală de ordinul 7	{7/2,7}	{7/2}	{7}	3	*732 [7,3]	Placare cu heptagramă heptagonală
Tiling heptagonal heptagram	{7,7/2}	{7}	{7/2}	3	*732 [7,3]	Tiglare heptagramă a ordinului 7
Mozaicul Eneagramului Ordinului 9	{9/2,9}	{9/2}	{9}	3	*932 [9,3]	Eneagrama placare cu nouă fețe
Eneagrama placare cu nouă fețe	{9,9/2}	{9}	{9/2}	3	*932 [9,3]	Comanda 9 Eneagrama placare cu nouă fețe
Mozaic de genecagramă de ordinul 11	{11/2,11}	{11/2}	{unsprezece}	3	*11.3.2 [11.3]	Hendecagram placare placare cu unsprezece unghi
Hendecagram placare placare cu unsprezece unghi	{11,11/2}	{unsprezece}	{11/2}	3	*11.3.2 [11.3]	Mozaic de genecagramă de ordinul 11
p - tiling gram de ordine p	{ p / 2, p }	{ p /2}	{ p }	3	* p . 32 [p, 3]	p - gram p - tigla de cărbune
p -gram tiling p -angle tiling	{ p , p /2}	{ p }	{ p /2}	3	* p . 32 [p, 3]	p -gram tiling of order p

Skew infinitities in euclidian 3-space

Există trei infinite regulate oblice în spațiul euclidian 3D cu un poligon spațial regulat ca figuri de vârf [13] [14] [15] . Au același aranjament de vârf și același aranjament de margine ca 3 faguri convexe uniformi .

6 pătrate în jurul fiecărui vârf: {4,6|4}
4 hexagoane în jurul fiecărui vârf: {6,4|4}
6 hexagoane în jurul fiecărui vârf: {6,6|3}

Poligon oblic regulat
{4,6\|4}	{6,4\|4}	{6,6\|3}

Există treizeci de infinitate regulate în spațiul tridimensional euclidian [17] . Acestea includ atât cele enumerate mai sus, cât și alte 8 infinitate „pure”. Toate sunt asociate cu faguri cubi {4,3,4}. Restul au fețe poligonale spațiale: {6,6} 4 , {4,6} 4 , {6,4} 6 , {∞,3} a , {∞,3} b , {∞,4} .*3 , {∞,4} 6,4 , {∞,6} 4,4 și {∞,6} 6,3 .

Infinități oblice în spațiul 3D hiperbolic

Există 31 de infinitate oblice regulate în spațiul tridimensional hiperbolic [18] :

14 compacte: {8.10|3}, {10.8|3}, {10.4|3}, {4.10|3}, {6.4|5}, {4.6|5} , {10,6|3}, {6 ,10|3}, {8,8|3}, {6,6|4}, {10,10|3},{6,6|5}, { 8,6|3} și {6,8|3}.
17 paracompact: {12.10|3}, {10.12|3}, {12.4|3}, {4.12|3}, {6.4|6}, {4.6|6} , {8,4|4}, {4, 8|4}, {12,6|3}, {6,12|3}, {12,12|3}, {6,6|6}, { 8,6|4}, {6,8|4}, { 12.8|3}, {8.12|3} și {8.8|4}.

Teselații ale spațiului tridimensional euclidian
Există o singură placă regulată nedegenerată a spațiului tridimensional ( fagure ), {4, 3, 4} [19] :

Nume Schläfli
{p,q,r} coxeter
Tipul
de celulă
{p,q} Tipul
feței
{p}
Figura de margine
{r}
Figura vârfului
{q,r} χ Dual

fagure cubic {4,3,4} {4,3} {patru} {patru} {3,4} 0 Auto-dual
Plasări necorespunzătoare ale spațiului tridimensional euclidian
Există șase plăci regulate necorespunzătoare, perechi bazate pe trei plăci euclidiene obișnuite. Celulele și figurile de vârf ale acestora sunt { 2,n} osoedre regulate , {n,2} diedre și plăci euclidiene. Aceste teselații regulate necorespunzătoare sunt legate structural de fagurii uniformi prismatici prin operația de trunchiere. Ele sunt omologii de dimensiuni înalte ale ordinului 2 tiling cu unghi infinit [en și osoedrul cu unghi infinit .

Schläfli
{p,q,r} Diagrama
Coxeter Tipul
de celulă
{p,q} Tipul
feței
{p}
Figura de margine
{r}
Figura vârfului
{q,r}

{2,4,4 {2,4} {2} {patru} {4,4}

{2,3,6 {2,3} {2} {6} {3,6}

{2,6,3} {2,6} {2} {3} {6,3}

{4,4,2} {4,4} {patru} {2} {4,2}

{3,6,2} {3,6} {3} {2} {6,2}

{6,3,2} {6,3} {6} {2} {3,2}
Tilings ale spațiului tridimensional hiperbolic

4 piepteni obișnuiți compacti

{5,3,4}
{5,3,5

{4,3,5
{3,5,3

4 din 11 piepteni obișnuiți paracompacți

{3,4,4}
{3,6,3

{4,4,3}
{4,4,4}

Există zece faguri obișnuiți plati în spațiul tridimensional hiperbolic [20] ( enumerați mai sus ca plăci):

4 compacte: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4} și {5,3,5}

6 paracompacte: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6} , {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} și {6,3,6}.

Tiglarea cu 3 spații hiperbolice poate fi numită faguri hiperbolici . Există 15 faguri hiperbolici în H 3 , 4 compacti și 11 paracompacți.

Nume
simbol Schläfli {
p,q,r} coxeter
Tipul
de celulă
{p,q} Tipul
feței
{p}
Figura de margine
{r}
Figura vârfului
{q,r} χ Dual

Faguri icosaedrici {3,5,3} {3,5} {3} {3} {5,3} 0 Auto-dual

Faguri cubici comanda 5 {4,3,5} {4,3} {patru} {5} {3,5} 0 {5,3,4}

Comanda 4 fagure dodecaedral {5,3,4} {5,3} {5} {patru} {3,4} 0 {4,3,5}

Fagure dodecaedral ordinul 5 {5,3,5} {5,3} {5} {5} {3,5} 0 Auto-dual

Există, de asemenea, 11 faguri H 3 paracompacți (cu celule infinite (euclidiene) și/sau figuri de vârfuri): {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4 , 3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5 } și {6,3,6}.

Nume
simbol Schläfli {
p,q,r} coxeter
Tipul
de celulă
{p,q} Tpi
margine
{p}
Figura de margine
{r}
Figura vârfului
{q,r} χ Dual

Faguri tetraedrici de ordinul 6 {3,3,6} {3,3} {3} {6} {3,6} 0 {6,3,3}

Faguri de mozaic hexagonal {6,3,3} {6,3} {6} {3} {3,3} 0 {3,3,6}

Comanda 4 fagure octaedric {3,4,4} {3,4} {3} {patru} {4,4} 0 {4,4,3}

Faguri de mozaic pătrați {4,4,3} {4,4} {patru} {3} {4,3} 0 {3,3,4}

Faguri de mozaic triunghiular {3,6,3} {3,6} {3} {3} {6,3} 0 Auto-dual

Faguri cubici comanda 6 {4,3,6} {4,3} {patru} {patru} {3,4} 0 {6,3,4}

Comandați 4 faguri de mozaic hexagonal {6,3,4} {6,3} {6} {patru} {3,4} 0 {4,3,6}

Faguri de mozaic pătrați comanda 4 {4,4,4} {4,4} {patru} {patru} {4,4} 0 {4,4,4}

Fagure dodecaedral ordinul 6 {5,3,6} {5,3} {5} {5} {3,5} 0 {6,3,5}

Fagure de mozaic hexagonal comanda 5 {6,3,5} {6,3} {6} {5} {3,5} 0 {5,3,6}

Faguri de mozaic hexagonal comanda 6 {6,3,6} {6,3} {6} {6} {3,6} 0 Auto-dual

Soluțiile necompacte există ca grupuri Lorentzian Coxeter și pot fi vizualizate cu o zonă deschisă în spațiu hiperbolic (un tetraedru fundamental cu unele părți inaccesibile din cauza infinitului), iar unele sunt desenate mai jos arătând intersecția lor cu planul. Toți fagurii care nu sunt afișați în tabele și care nu au un 2 în simbolul lor Schläfli sunt necompacți.
Faguri sferici / euclidieni / hiperbolici ( compacti / paracompact / necompact ) {p,3,r}

relatii cu publicul 3 patru 5 6 7 opt ...∞

3

{3,3,3}

{3,3,4}

{3,3,5}

{3,3,6}

{3,3,7}

{3,3,8}

{3,3,∞}

patru

{4,3,3}

{4,3,4}

{4,3,5}

{4,3,6}

{4,3,7}

{4,3,8}

{4,3,∞}

5

{5,3,3}

{5,3,4}

{5,3,5}

{5,3,6}

{5,3,7}

{5,3,8}

{5,3,∞}

6

{6,3,3}

{6,3,4}

{6,3,5}

{6,3,6}

{6,3,7}

{6,3,8}

{6,3,∞}

7

{7,3,3}
{7,3,4}
{7,3,5}
{7,3,6}
{7,3,7}
{7,3,8}
{7,3,∞}

opt
{8,3,3}
{8,3,4}
{8,3,5}
{8,3,6}
{8,3,7}
{8,3,8}
{8,3,∞}

... ∞
{∞,3,3}
{∞,3,4}
{∞,3,5}
{∞,3,6}
{∞,3,7}
{∞,3,8}
{∞,3,∞}

q = 4 q = 5 q = 6

relatii cu publicul 3 patru 5

3

{3,4,3}

{3,4,4}

{3,4,5}

patru

{4,4,3}

{4,4,4}

{4,4,5}

5

{5,4,3}

{5,4,4}

{5,4,5}

relatii cu publicul 3 patru

3

{3,5,3}

{3,5,4}

patru

{4,5,3}

{4,5,4}

5

{5,5,3}

{5,5,4}

relatii cu publicul 3 patru

3

{3,6,3}

{3,6,4}

patru

{4,6,3}

{4,6,4}

5

{5,6,3}

{5,6,4}

Nu există faguri stelați hiperbolici în H 3 - toate formele cu un poliedru stelat regulat ca celulă, figură de vârf sau ambele se dovedesc a fi sferice.

Spațiu cu patru dimensiuni (5-edre infinite)
Placuri euclidiene ale spațiului cu 4 dimensiuni
Există trei tipuri de regulate infinite ( faguri ) care pot umple spațiul euclidian cu patru dimensiuni:

Nume
Simbol Schläfli {
p,q,r,s} Tipul
fațetei
{p,q,r} Tipul
de celulă
{p,q} Tipul
feței
{p} forma
feței
{s}
Figura de margine
{r,s}
Figura vârfului
{q,r,s} Dual

Faguri Tesseract {4,3,3,4} {4,3,3} {4,3} {patru} {patru} {3,4} {3,3,4} Auto-dual

Fagure cu 16 celule {3,3,4,3} {3,3,4} {3,3} {3} {3} {4,3} {3,4,3} {3,4,3,3}

Fagure cu douăzeci și patru de celule {3,4,3,3} {3,4,3} {3,4} {3} {3} {3,3} {4,3,3} {3,3,4,3}

Fragment de fagure proiectat {4,3,3,4}
(fagure Tesseract)
Fragment de celule proiectat {3,3,4,3}
(fagure cu șaisprezece celule)
Fragment de celule proiectat {3,4,3,3}
(fagure de miere cu 24 de celule)

Există, de asemenea, două cazuri improprii, {4,3,4,2} și {2,4,3,4}. Există trei tipuri obișnuite plate de faguri în spațiul euclidian cu 4 dimensiuni: [19]

{4,3,3,4}, {3,3,4,3} și {3,4,3,3}.

Există șapte faguri convexi regulați plate într-un spațiu hiperbolic cu 4 dimensiuni: [20]

5 compacte: {3,3,3,5}, {5,3,3,3}, {4,3,3,5}, {5,3,3,4}, {5,3,3 , 5}

2 paracompacte: {3,4,3,4} și {4,3,4,3}.

Există patru tipuri de stele regulate plate de faguri în spațiul hiperbolic cu 4 dimensiuni: [20]

{5/2.5.3.3}, {3.3.5.5/2}, {3.5.5/2.5} și {5.5/2.5.3}.
Tilings de 4-spații hiperbolice
Există șapte faguri obișnuiți convexi și patru faguri în formă de stea în spațiul H 4 [21] . Cinci tipuri convexe sunt compacte și două sunt paracompacte.
Cinci faguri obișnuiți compacti în H 4 :

Nume
Simbol Schläfli {
p,q,r,s} Tipul
fațetei
{p,q,r} Tipul
de celulă
{p,q} Tipul
feței
{p} forma
feței
{s}
Figura de margine
{r,s}
Figura vârfului
{q,r,s} Dual

Fagure cu cinci celule ordinul 5 {3,3,3,5} {3,3,3} {3,3} {3} {5} {3,5} {3,3,5} {5,3,3,3}

120 de faguri de celule {5,3,3,3} {5,3,3} {5,3} {5} {3} {3,3} {3,3,3} {3,3,3,5}

Tesseract honeycomand 5 {4,3,3,5} {4,3,3} {4,3} {patru} {5} {3,5} {3,3,5} {5,3,3,4}

120 de celule ordine 4 celule {5,3,3,4} {5,3,3} {5,3} {5} {patru} {3,4} {3,3,4} {4,3,3,5}

120 celule comanda 5 faguri {5,3,3,5} {5,3,3} {5,3} {5} {5} {3,5} {3,3,5} Auto-dual

Două tipuri regulate paracompacte de faguri în H 4 : {3,4,3,4}, {4,3,4,3}.

Nume
Simbol Schläfli {
p,q,r,s} Tipul
fațetei
{p,q,r} Tipul
de celulă
{p,q} Tipul
feței
{p} forma
feței
{s}
Figura de margine
{r,s}
Figura vârfului
{q,r,s} Dual

24 celule ordine 4 celule {3,4,3,4} {3,4,3} {3,4} {3} {patru} {3,4} {4,3,4} {4,3,4,3}

Fagure cubic {4,3,4,3} {4,3,4} {4,3} {patru} {3} {4,3} {3,4,3} {3,4,3,4}

Soluțiile necompacte există ca grupări Lorentzian Coxeter și pot fi vizualizate folosind o zonă deschisă în spațiu hiperbolic (o celulă fundamentală de cinci celule cu unele părți de neatins din cauza infinitului). Toți fagurii care nu sunt afișați în tabele și care nu au un 2 în simbolul lor Schläfli sunt necompacți.
Faguri sferici / euclidieni / hiperbolici ( compact / paracompac / necompac ) {p,q,r,s}

q=3, s=3
relatii cu publicul 3 patru 5

3
{3,3,3,3}

{3,3,4,3}

{3,3,5,3}

patru
{4,3,3,3}

{4,3,4,3}

{4,3,5,3}

5
{5,3,3,3}

{5,3,4,3}

{5,3,5,3}

q=3, s=4
relatii cu publicul 3 patru

3
{3,3,3,4}

{3,3,4,4}

patru
{4,3,3,4}

{4,3,4,4}

5
{5,3,3,4}

{5,3,4,4}

q=3, s=5
relatii cu publicul 3 patru

3 {3,3,3,5}

{3,3,4,5}

patru {4,3,3,5}

{4,3,4,5}

5
{5,3,3,5}

{5,3,4,5}

q=4, s=3
relatii cu publicul 3 patru

3
{3,4,3,3}

{3,4,4,3}

patru
{4,4,3,3}

{4,3,4,3}

q=4, s=4
relatii cu publicul 3 patru

3 {3,4,3,4}

{3,4,4,4}

patru
{4,4,3,4}

{4,4,4,4}

q=4, s=5
relatii cu publicul 3 patru

3 {3,4,3,5}

{3,4,4,5}

patru
{4,4,3,5}

{4,4,4,5}

Tiling stele de 4-spații hiperbolice
Există patru tipuri de faguri stelați obișnuiți în spațiul H 4 :

Nume
Simbol Schläfli {
p,q,r,s} Tipul
fațetei
{p,q,r}
Tipul de celule
{p,q} Tipul
feței
{p} forma
feței
{s}
Figura de margine
{r,s}
Figura vârfului
{q,r,s} Dual densitate
_

Fagure dintr-un mic cu 120 de celule stelate {5/2,5,3,3} {5/2,5,3 {5/2.5} {5} {5} {3,3} {5,3,3} {3,3,5,5/2} 5

Ordine pentagramă de 600 de celule {3,3,5,5/2} {3,3,5} {3,3} {3} {5/2} {5.5/2} {3,5,5/2} {5/2,5,3,3} 5

Fagure icosaedric cu 120 de celule ordinul 5 {3,5,5/2,5} {3,5,5/2} {3,5} {3} {5} {5/2.5} {5,5/2,5} {5.5/2.5.3} zece

Faguri de miere cu 120 de celule mari {5.5/2.5.3} {5,5/2,5} {5.5/2} {5} {3} {5,3} {5/2,5,3} {3,5,5/2,5} zece

Spațiu cincidimensional (6 poliedre cu unghiuri infinite)

Există un singur fagure plat obișnuit în spațiul euclidian de 5: ( enumerat mai sus ca plăci) [19]

{4,3,3,3,4}

Există cinci faguri obișnuiți plate în 5-spații hiperbolici, toți paracompacți: ( enumerate mai sus ca plăci) [20]

{3,3,3,4,3}, {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,4,3,3,4} și {4 ,3,3,4,3}
Un s de mosaic al unui spațiu euclidian de 5
Fagurele hipercubic este singura familie de faguri obișnuiți care poate placa un spațiu de orice dimensiune (cinci sau mai multe) format din fațete hipercubice , patru în jurul fiecărei fețe (n-2) dimensionale.

Nume Schläfli
{ p 1 , p 2 , ..., p n −1 } Tipul
fațetei
Figura de vârf Dual

Parchet pătrat {4,4} {patru} {patru}
Auto -dual

fagure cubic {4,3,4} {4,3} {3,4}
Sine - dual

Faguri Tesseract {4,3 2 ,4} {4,3 2 } {3 2 ,4}
Sine - dual

5-cubi fagure {4,3 3 ,4} {4,3 3 } {3 3 ,4}
Sine - dual

6-cubi fagure {4,3 4 ,4} {4,3 4 } {3 4 ,4}
Sine - dual

7-cubi faguri {4,3 5 ,4} {4,3 5 } {3 5 ,4}
Sine - dual

8-cubi faguri {4,3 6 ,4} {4,3 6 } {3 6 ,4}
Sine - dual

faguri hipercubici n -dimensionali {4,3 n−2 ,4} {4,3n −2 } { 3n−2 ,4}
Sine - dual

În E 5 există și cazuri improprii {4,3,3,4,2}, {2,4,3,3,4}, {3,3,4,3,2}, {2,3,3 , 4,3}, {3,4,3,3,2} și {2,3,4,3,3}. În E n , {4,3 n−3 ,4,2} și {2,4,3 n−3 ,4} sunt întotdeauna plăci euclidiene improprii.
Tilings ale spațiului hiperbolic 5-dimensional
Există 5 tipuri obișnuite de fagure în H 5 , toate paracompacte. Acestea includ fațete infinite (euclidiene) sau forme de vârf: {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,3,3,4,3}, {3, 4,3,3,4} și {4,3,3,4,3}.
Există două plăci regulate necompacte într-un spațiu hiperbolic de dimensiunea 5 sau mai mare și nu există plăci regulate paracompacte într-un spațiu hiperbolic de dimensiunea 6 sau mai mare.

Nume
Simbol Schläfli {
p,q,r,s,t} Tipul
fațetei
{p,q,r,s}
tip cu 4 fețe
{p,q,r}
tipul de celulă
{p,q}
tipul feței
{p}
figura celulei
{t}
figura feței
{s,t}
figura de margine
{r,s,t}
Figura de vârf
{q,r,s,t} Dual

5-orthoplex honeycomb {3,3,3,4,3} {3,3,3,4} {3,3,3} {3,3} {3} {3} {4,3} {3,4,3} {3,3,4,3} {3,4,3,3,3}

Faguri cu douăzeci și patru de celule {3,4,3,3,3} {3,4,3,3} {3,4,3} {3,4} {3} {3} {3,3} {3,3,3} {4,3,3,3} {3,3,3,4,3}

Fagure cu 16 celule {3,3,4,3,3} {3,3,4,3} {3,3,4} {3,3} {3} {3} {3,3} {4,3,3} {3,4,3,3}
Sine - dual

24 celule ordine 4 celule {3,4,3,3,4} {3,4,3,3} {3,4,3} {3,4} {3} {patru} {3,4} {3,3,4} {4,3,3,4 {4,3,3,4,3}

Faguri Tesseract {4,3,3,4,3} {4,3,3,4 {4,3,3} {4,3} {patru} {3} {4,3} {3,4,3} {3,3,4,3} {3,4,3,3,4}

Deoarece nu există n -politopi stelați obișnuiți pentru n ≥ 5 care ar putea fi celule potențiale sau figuri de vârfuri, nu mai există faguri stelați hiperbolici în H n pentru n ≥ 5.

Dimensiunea 6 și mai sus (infinitul 7-dimensional+)
Tilings ale spațiului hiperbolic 6-dimensional și mai sus
Nu există plăci adecvate compacte sau paracompacte ale unui spațiu hiperbolic de dimensiunea 6 sau mai mare. Toate valorile întregi neenumerate oferă o tiling necompactă a unui spațiu n - dimensional hiperbolic.

Compuși de poliedre

Conexiuni 2D

Pentru orice număr natural n, există un poligon stea regulat cu n vârfuri cu simbolul Schläfli {n/m} pentru orice m < n/2 (strict vorbind, {n/m}={n/(n−m)} ), unde m și n sunt relativ primi . Dacă m și n nu sunt relativ primi, poligonul rezultat va avea n / m laturi. O nouă cifră se obține prin rotirea acestor n / m -gonuri cu un vârf (spre stânga) până când numărul de rotații ajunge la numărul n / m minus unu și prin combinarea acestor cifre rotite. În cazul extrem, când n / m este egal cu 2, obținem o cifră de n / 2 segmente. O astfel de figură se numește poligon stelar degenerat .
În alte cazuri, când n și m au un divizor comun, obținem un poligon stea cu un n mai mic , iar versiunile obținute prin rotație pot fi combinate cu acesta. Aceste forme sunt numite forme stelare , poligoane stelare improprii sau poligoane compuse . Aceeași notație { n / m } este adesea folosită pentru ei , deși unii autori, precum Grünbaum (1994), preferă (cu unele calificări) forma k { n } ca fiind mai corectă, unde, în general, k = m .
O altă complicație apare atunci când conectăm două sau mai multe poligoane stele, cum ar fi două pentagrame care diferă în rotație cu 36° și sunt înscrise într-un decagon. Este mai corect în acest caz să scrieți sub forma k { n / m }, în cazul nostru 2{5/2}, decât să folosiți {10/4} folosit în mod obișnuit.
Notația Coxeter extinsă pentru conectarea poligoanelor este c { m , n ,...}[ d { p , q ,...}] e { s , t ,...}, care reflectă acel d distinct { p , q ,...} acoperă împreună vârfurile { m , n ,...} c ori și fețele { s , t ,...} e ori. Dacă nu există { m , n ,...} valid, prima parte a intrării este eliminată, lăsând [ d { p , q ,...}] e { s , t ,...}. Cazul opus este dacă nu există { s , t ,...} corect. Dualul lui c { m , n ,...}[ d { p , q ,...}] e { s , t ,...} este e { t , s ,...}[ d { q , p ,...}] c { n , m ,...}. Dacă c sau e este egal cu 1, acestea pot fi omise. Pentru a conecta poligoane, această notație se reduce la { nk }[ k { n / m }]{ nk }. De exemplu, o hexagramă poate fi scrisă ca {6}[2{3}]{6}.
Exemple pentru n =2..10, nk ≤30

2{2}
3{2}
4{2}
5{2}
6{2}
7{2}
8{2}
9{2}
10{2}
11{2}
12{2}
13{2}
14{2}
15{2}

2{3}
3{3}
4{3}

5{3}
6{3}
7{3}
8{3}
9{3}
10{3}
2{4}
3{4}
4{4}
5{4}
6{4}
7{4}

2{5}
3{5}
4{5}
5{5}
6{5}
2{5/2}
3{5/2}
4{5/2}
5{5/2}
6{5/2}
2{6}
3{6}
4{6}
5{6}

2{7}
3{7}
4{7}
2{7/2}
3{7/2}
4{7/2}
2{7/3}
3{7/3}
4{7/3}
2{8}
3{8}
2{8/3}
3{8/3}

2{9}
3{9}
2{9/2}
3{9/2}
2{9/4}
3{9/4}
2{10}
3{10}
2{10/3}
3{10/3}

2{11}
2{11/2}
2{11/3}
2{11/4}
2{11/5}
2{12}
2{12/5}
2{13}
2{13/2}
2{13/3}
2{13/4}
2{13/5}
2{13/6}

2{14}
2{14/3}
2{14/5}
2{15}
2{15/2}
2{15/4}
2{15/7}

Poligoanele spațiale regulate creează, de asemenea, conexiuni, care pot fi observate în marginile conexiunii prismatice a antiprismelor , de exemplu:
Legături corecte ale poligoanelor spațiale
Conectarea
pătratelor spațiale Conexiunea
hexagoanelor spațiale Conectarea
decagoanelor spațiale

Două {2}#{ } Trei {2}#{ } Două {3}#{ } Două {5/3}#{ }

Conexiuni 3D

Conexiunile politopice regulate pot fi definite ca conexiuni care, la fel ca politopii obișnuiți, sunt tranzitive la vârf , tranzitive de margine și tranzitive de față . După această definiție, există 5 conexiuni corecte.

Simetrie [4,3], O h [5,3] + , I [5,3], I h

Dualitate auto-dual Perechi duble

Imagine

Sferic

Poliedre octaedru stelat 5 {3,3} 10 {3,3 5 {4,3} 5 {3,4}

coxeter {4,3} [2 {3,3} ] {3,4} {5,3} [5 {3,3} ] {3,5} 2 {5,3} [10 {3,3} ]2 {3,5} 2 {5,3} [5 {4,3} ] [5 {3,4} ]2 {3,5}
Conexiuni pe planul euclidian și hiperbolic
Există optsprezece familii cu doi parametri de conexiuni regulate ale plăcilor plane euclidiene. Pe planul hiperbolic sunt cunoscute cinci familii cu un parametru și șaptesprezece cazuri izolate, dar caracterul complet al acestei liste nu a fost încă dovedit.
Familiile de compuși ai planului euclidian și hiperbolic 2 { p , p } (4 ≤ p ≤ ∞, p este întreg) sunt asemănătoare octaedrelor stelate sferice , 2 {3,3}.
Câteva exemple de conexiuni regulate euclidiene și hiperbolice
Auto-dual Auto-dual Auto-dual

2 {4,4} 2 {6,3} 2 {3,6} 2 {∞,∞}

{{4,4}} sau a{4,4} sau {4,4}[2{4,4}]{4,4}
+ sau [2{6,3}]{3,6} a{6,3} sau {6,3}[2{3,6}]
+sau {{∞,∞}} sau a{∞,∞} sau {4,∞}[2{∞,∞}]{∞,4}
+sau

3 {6,3} 3 {3,6} 3 {∞,∞}

2{3,6}[3{6,3}]{6,3} {3,6}[3{3,6}]2{6,3}
++
++

Conexiuni în spațiul 4D
Proiecții ortografice

75 {4,3,3} 75 {3,3,4}

În spațiul cu 4 dimensiuni, există treizeci și două de conexiuni regulate ale politopilor regulați, pe care Coxeter le -a enumerat în cartea sa Regular Polytopes : [22]
Conjuncții regulate auto-duale
Compus Simetrie Locația vârfului Dispunerea celulei

120 {3,3,3} [5,3,3], ordinul 14400 {5,3,3} {3,3,5}

5 {3,4,3} [5,3,3], ordinul 14400 {3,3,5} {5,3,3}
Conexiuni adecvate ca perechi duble
Compusul 1 Compusul 2 Simetrie Locația vârfurilor (1) Dispunerea celulei (1) Locația vârfurilor (2) Dispunerea celulelor (2)

3 {3,3,4} [23] 3 {4,3,3} [3,4,3], ordinul 1152 {3,4,3} 2{3,4,3} 2{3,4,3} {3,4,3}

15 {3,3,4} 15 {4,3,3} [5,3,3], ordinul 14400 {3,3,5} 2{5,3,3} 2{3,3,5} {5,3,3}

75 {3,3,4} 75 {4,3,3} [5,3,3], ordinul 14400 5{3,3,5} 10{5,3,3} 10{3,3,5} 5{5,3,3}

75 {3,3,4} 75 {4,3,3} [5,3,3], ordinul 14400 {5,3,3} 2{3,3,5} 2{5,3,3} {3,3,5}

300 {3,3,4} 300 {4,3,3} [5,3,3] + , comanda 7200 4{5,3,3} 8{3,3,5} 8{5,3,3} 4{3,3,5}

600 {3,3,4} 600 {4,3,3} [5,3,3], ordinul 14400 8{5,3,3} 16{3,3,5} 16{5,3,3} 8{3,3,5}

25 {3,4,3} 25 {3,4,3} [5,3,3], ordinul 14400 {5,3,3} 5{5,3,3} 5{3,3,5} {3,3,5}

Există două conexiuni diferite de 75 de teseracte: unul folosește aceleași vârfuri ca și cel cu 120 de celule, iar celălalt folosește aceleași vârfuri ca și cel cu 600 de celule. Prin urmare, rezultă că compușii duali corespunzători ai 75 de șaisprezece celule sunt de asemenea diferiți.
Compuși auto-duali de stele
Compus Simetrie Locația vârfului Dispunerea celulei

5 {5.5/2.5} [5,3,3] + , comanda 7200 {5,3,3} {3,3,5}

10 {5.5/2.5} [5,3,3], ordinul 14400 2{5,3,3} 2{3,3,5}

5 {5/2,5,5/2} [5,3,3] + , comanda 7200 {5,3,3} {3,3,5}

10 {5/2,5,5/2} [5,3,3], ordinul 14400 2{5,3,3} 2{3,3,5}
Conexiuni stea obișnuite ca perechi duble
Conexiune1 Conexiune2 Simetrie Locația vârfurilor (1) Dispunerea celulei (1) Locația vârfurilor (2) Dispunerea celulelor (2)

5 {3,5,5/2 5 {5/2,5,3 [5,3,3] + , comanda 7200 {5,3,3} {3,3,5} {5,3,3} {3,3,5}

10 {3,5,5/2} 10 {5/2,5,3 [5,3,3], ordinul 14400 2{5,3,3} 2{3,3,5} 2{5,3,3} 2{3,3,5}

5 {5.5/2.3} 5 {3.5/2.5} [5,3,3] + , comanda 7200 {5,3,3} {3,3,5} {5,3,3} {3,3,5}

10 _ 10 {3.5/2.5} [5,3,3], ordinul 14400 2{5,3,3} 2{3,3,5} 2{5,3,3} 2{3,3,5}

5 {5/2,3,5 5 {5,3,5/2} [5,3,3] + , comanda 7200 {5,3,3} {3,3,5} {5,3,3} {3,3,5}

10 {5/2,3,5 10 {5,3,5/2} [5,3,3], ordinul 14400 2{5,3,3} 2{3,3,5} 2{5,3,3} 2{3,3,5}

Există, de asemenea, paisprezece îmbinări parțial regulate care sunt fie tranzitive de vârf, fie tranzitive de celulă, dar nu ambele. Cele șapte îmbinări parțial regulate tranzitive de vârf sunt duale cu cele șapte îmbinări parțial regulate tranzitive de celulă.
Conexiuni parțial corecte ca perechi duble
Compusul 1
este tranzitiv la vârf
Tranzitiv celular compus 2 Simetrie

2 celule hexagonale [24] 2 teseracte [4,3,3], ordinul 384

100 douăzeci și patru de celule 100 douăzeci și patru de celule [5,3,3] + , comanda 7200

200 douăzeci și patru de celule 200 douăzeci și patru de celule [5,3,3], ordinul 14400

5 șase sute de celule 5 sute douăzeci de celule [5,3,3] + , comanda 7200

10 șase sute de celule 10 sute douăzeci de celule [5,3,3], ordinul 14400
Conexiuni stea parțial obișnuite ca perechi duale
Connection1
sunt tranzitive la vârf Join2
cell tranzitiv Simetrie

5 {3,3,5/2 5 {5/2,3,3 [5,3,3] + , comanda 7200

10 {3,3,5/2 10 {5/2,3,3 [5,3,3], ordinul 14400
Conexiuni în 3-spații euclidian
Singurele conexiuni euclidiene obișnuite în fagure sunt familia infinită de conexiuni cu fagure cubi care împărtășesc vârfuri și fețe cu alți faguri cubi. Această conexiune poate avea orice număr de celule cubice. Notația Coxeter este {4,3,4}[ d {4,3,4}]{4,3,4}.

Conexiuni în spații cinci-dimensionale și superioare

Nu există conexiuni corecte în spațiile cu cinci și șase dimensiuni. Sunt cunoscuți trei compuși cu șapte dimensiuni (16, 240 și 480 7-simplici ) și șase compuși cu opt dimensiuni (16, 240 și 480 octracte sau 8- ortoplexi ). Există, de asemenea, o conexiune de simplexuri n -dimensionale în spațiul n -dimensional, cu condiția ca n să fie cu o putere mai mică decât o putere a doi, precum și două conexiuni (o conexiune de cuburi n -dimensionale și conexiunea sa duală a ortoplexurilor n -dimensionale ) într-un spațiu n -dimensional, dacă n este o putere a două.
Notația Coxeter pentru acești compuși (unde α n = {3 n −1 }, β n = {3 n −2 .4 }, γ n = {4.3 n −2 }:

7-simplici: c γ 7 [16 c α 7 ] c β 7 , unde c = 1, 15 sau 30

8-ortoplexuri: c γ 8 [16 c β 8 ]

8-cuburi: [16 c γ 8 ] c β 8

Caz general (când n = 2 k și d = 2 2 k − k − 1 , k = 2, 3, 4, ...):

Simplexuri: γ n −1 [ d α n −1 ]β n −1

Ortoplexuri: γ n [ d β n ]

Hipercuburi: [ d γ n ]β n
Conexiune euclidiană în fagure
Este cunoscută o familie infinită de conexiuni euclidiene regulate de fagure de dimensiuni cinci și mai sus - o conexiune de faguri hipercubici care împart vârfuri și fețe cu alți faguri hiperbolici. Această conexiune poate avea un număr arbitrar de celule hiperbolice. Notația Coxeter pentru acești compuși este δ n [ d δ n ]δ n unde δ n = {∞} pentru n = 2 și {4,3 n −3 ,4} pentru n ≥ 3.

Poliedre abstracte

Conceptul de poliedru abstract a apărut atunci când s-a încercat să studieze poliedre fără a le lega de spațiul geometric în care sunt situate. Acestea includ mosai de spații sferice, euclidiene și hiperbolice, mosai ale altor varietăți și multe alte obiecte care nu au o topologie bine definită, dar sunt caracterizate prin topologia lor „locală”. Există infinit de multe poliedre abstracte în orice dimensiune. Vezi atlas pentru exemple. Câteva exemple notabile de poliedre regulate abstracte care sunt greu de găsit în altă parte sunt cele unsprezece -cell , {3,5,3} și cincizeci și șapte de celule , {5,3,5}, care au politopi proiectivi regulați ca celule și figuri de vârfuri.
Elementele unui poliedru abstract sunt corpul său (elementul maxim), fețele, muchiile, vârfurile și poliedrul zero (mulțimea goală). Aceste elemente abstracte pot fi afișate în spațiu obișnuit sau luate ca forme geometrice. Unele poliedre abstracte au implementări bine formate sau plauzibile , altele nu. Un steag este un set de elemente înrudite ale fiecărei dimensiuni. Pentru un poliedru cu patru dimensiuni, acesta este un corp, o față, o margine a acestei fețe, un vârf al muchiei și un poliedru zero. Se spune că un poliedru abstract este regulat dacă simetriile sale combinatorii sunt tranzitive pe steagurile sale, adică oricare dintre steagurile sale poate fi tradus prin simetria poliedrului în oricare altul. Poliedrele regulate abstracte sunt o zonă activă de cercetare.
Cinci astfel de poliedre abstracte regulate care nu pot fi realizate în mod plauzibil au fost date de Coxeter în cartea sa Regular Polytopes (1977) și mai târziu în articolul lui JM Wills „The combinatorially regular polyhedra of index 2” (1987) [25] . Ele sunt echivalente din punct de vedere topologic cu un toroid . Construcția lor prin plasarea a n fețe în apropierea fiecărui vârf poate fi continuată la nesfârșit, dând o placare a planului hiperbolic.

Poliedru
Rombotricontaedrul mijlociu
Dodecodedecaedru
Triambikycosaedru mijlociu
Dodecaedru bitrigonal
Dodecaedru crestat

Figura de vârf {5}, {5/2}
(5,5/2) 2
{5}, {5/2}
(5,5/3) 3

Fațete 30 de diamante
12 pentagoane
12 pentagrame
20 de hexagoane
12 pentagoane
12 pentagrame
20 de hexagrame

Mozaic
{4, 5
{5, 4
{6, 5
{5, 6
{6, 6}{6, 6

χ −6 −6 −16 −16 −20

Ele apar ca perechi duble:

Triacontaedrul rombic mijlociu și dodecodecaedrul sunt duali unul față de celălalt.

Triambikycosaedrul mijlociu și dodecaedrul bitrigonal sunt duali unul față de celălalt.

Dodecaedrul crestat este auto-dual.

Vezi și

Poligon
poligon regulat

poligon stea

Poliedru
Poliedru regulat (5 solide platonice obișnuite și 4 solide Kepler-Poinsot )
Poliedru uniform

poliedru 4D
4-politopi obișnuiți (16 4-politopi obișnuiți, 4 convexe și 10 stele (Schläfli-Hess))

Poliedru uniform cu patru dimensiuni

Parchet (geometrie)
Teselarea planului euclidian cu poligoane regulate

Faguri convexi uniformi

Poliedre multidimensionale regulate
Poliedru uniform cu patru dimensiuni

Harta corectă

Note

↑ Coxeter, 1973 , p. 129.

↑ McMullen, Schulte, 2002 , p. treizeci.

↑ Johnson, 2012 , p. 86.

↑ Coxeter, 1973 , p. 120.

↑ Coxeter, 1973 , p. 124.

↑ În literatura engleză - skew polygon, literalmente - un poligon oblic . În literatura rusă, termenul de poligon spațial a prins rădăcini , iar termenul de poliedru oblic corespunde termenului de poliedru oblic ( poliedru oblic ). Acest articol folosește termenul poliedru oblic pentru dimensiunile 4 și mai sus.

↑ Coxeter, 1973 , p. 66-67.

↑ Sursa . Data accesului: 10 ianuarie 2016. Arhivat din original pe 29 noiembrie 2014. (nedefinit)

↑ În engleză, se folosesc următoarele nume pentru poliedre: polyhedra - un poliedru tridimensional, polychoron - un poliedru cu patru dimensiuni, politop - un poliedru de dimensiunea 5 și mai mare. În rusă, de regulă, termenul de poliedru , uneori politop , este folosit pentru toate aceste specii .

↑ Coxeter (1973 ), Tabelul I: Politopi regulați, (iii) Trei politopi regulați pentru dimensiunile n (n>=5), pp. 294–295.

↑ Politopuri regulate abstracte, p. 162-165 [1] Arhivat 15 septembrie 2019 la Wayback Machine

↑ Grünbaum, B.; „Poliedre regulate—vechi și noi”, Aeqationes mathematicae , voi. 16 (1977), pp. 1–20.

↑ Coxeter, 1937 , p. 33–62.

↑ Coxeter, Politopii obișnuiți și semi-regulari II 2.34

↑ The Symmetry of Things, 2008, Capitolul 23 Obiecte cu simetrie primară , Poliedre platonice infinite , pp. 333–335

↑ McMullen, Schulte, 2002 , p. 224.

↑ McMullen, Schulte, 2002 , p. Secțiunea 7E.

↑ Garner, CWL Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space. Canada. J Math. 19, 1179–1186, 1967. [2] Arhivat 2 aprilie 2015 la Wayback Machine Notă: articolul spune că sunt 32, dar unul este auto-dual, deci rămâne 31.

↑ 1 2 3 Coxeter, 1973 , p. 296, Tabelul II: Faguri obișnuiți.

↑ 1 2 3 4 Coxeter, 1999 , p. Capitolul 10

↑ Coxeter, 1956 , p. 213, Tabelul IV.

↑ Coxeter, 1973 , p. 305 Tabelul VII.

↑ Richard Klitzing, Uniform compound, stelat icositetrachoron Arhivat 4 martie 2016 la Wayback Machine

↑ Richard Klitzing, Uniform compound, demidistesseract Arhivat 4 martie 2016 la Wayback Machine

↑ The Regular Polyhedra (of index two) Arhivat 4 martie 2016 la Wayback Machine , David A. Richter

Literatură

HSM Coxeter . Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1954, Amsterdam, voi. III. - Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1956. - P. 155-169. . Retipărit în HSM Coxeter . Capitolul 10, pp. 199–214 // Frumusețea geometriei: douăsprezece eseuri . - Mineola, NY: Dover Publications, Inc., 1999. - ISBN 0-486-40919-8 . . Vezi, în special, tabelele II,III,IV,V, pp. 212–213 dinThe Beauty of Geometry.

HSM Coxeter . Politopuri obișnuite. — al 3-lea. — Dover Publications, Inc., 1973.. Vezi în special Tabelele I și II: Politopi obișnuiți și faguri, pp. 294–296.

Norman W. Johnson. Conferința internațională de matematică a distanțelor și aplicațiilor. — 2–5 iulie 2012, Varna, Bulgaria, 2012. — P. 85–95.

HSM Coxeter. Poliedre oblice regulate în trei și patru dimensiuni // Proc. London Math. Soc.. - 1937. - Emisiune. 43 . — p. 33–62 .

Peter McMullen, Egon Schulte. Politopuri regulate abstracte. - Cambridge University Press, 2002. - V. 92. - (Enciclopedia Matematicii și aplicațiile sale). - ISBN 0-521-81496-0 . - doi : 10.1017/CBO9780511546686 .

DMY Sommerville. O introducere în geometria n dimensiuni. — New York: Dover Publications, Inc., 1958. . Reeditare 1930, EP Dutton. Vezi capitolul X: Politopii obișnuiți.

Vizualizarea fagurilor hiperbolici Roice Nelson, Henry Segerman, (2015) [4]

Link -uri

Solidele platonice

Corpurile Kepler-Poinsot

Rabatabile politop 4d obișnuite

Glosar multidimensional (vezi Hexacosichoron și Hecatonicosachoron )

Politope Viewer

Politopuri și ambalarea optimă a p punctelor în sfere n dimensionale

Atlas de poliedre regulate mici

Poliedre regulate de-a lungul timpului I. Hubard, Polytopes, Maps and their Symmetries

Poliedre
Corect
Tridimensional
(solide platonice)
tetraedru regulat

cub

Octaedru

Dodecaedru

icosaedru

4D
Cinci celule

tesseract

Celulă hexazecimală

douăzeci şi patru de celule

120 de celule

Șase sute de celule

Dimensiune mai mare
(indicată între paranteze)
Simplex obișnuit

Hypercube ( Penteract (5)

Hexeract (6)

Hepteract (7)

Octeract (8)

Enneract (9)

Deceract (10) )

Hiperoctaedru

Regular
neconvex
dodecaedru stelat

Icosidodecaedru stelat

icosaedru stelat

poliedru stelar

octaedru stelat

Tridimensional după numărul de
fețe (indicat între paranteze)
Monoedru (1)

diedru (2)

Triedru (3)

Tetraedru (4)

Pentaedru (5)

Hexaedru (6)

Heptaedru (7)

Octaedru (8)

Enneaedrul (9)

Decaedru (10)

Endecaedru (11)

Dodecaedru (12)

Tridecaedru (13)

Tetradecaedru (14)

Pentadecaedru (15)

Hexadecaedru (16)

Heptadecaedru (17)

Octadecaedru (18)

Eneadecaedru (19)

Icosaedru (20)

Icosotetraedru (24)

Triacontaedru (30)

Hexacontaedru (60)

Enneacontaedru (90)

Hectotriadiohedron (132)

Apeirohedron (∞)

convex
Solide arhimediene
Cuboctaedru

icosidodecaedru

tetraedru trunchiat

octaedru trunchiat

Icosaedru trunchiat

cub trunchiat

dodecaedru trunchiat

Rombicuboctaedru

Rombicosidodecaedru

Cuboctaedru trunchiat

Icosidodecaedru rombotruncat

cub snub

dodecaedru snub

organismele catalane
dodecaedru rombic

Rombotricontaedrul

Triakistetraedrul

Tetrakishexaedru

Pentakisdodecaedru

Triakisoctaedrul

Triakisicosaedrul

Icositetraedrul deltoidal

Hexecontaedrul deltoidal

Hexakisoctaedru

hexakisicosaedru

Icositetraedru pentagonal

Hexecontaedru pentagonal

Prisme

prisma triunghiulara

prismă pătrangulară

Prismă pentagonală

Prismă hexagonală

prismă heptagonală

Prismă octogonală

Prismă cu nouă unghiuri

Prismă decagonală

Prismă cu unsprezece unghi

Prismă dodecagonală

poliedre Johnson

piramidă pătrată

Piramida pentagonală

Dom cu trei pante

Dom cu patru brațe

cupolă cu cinci pante

rotondă cu cinci pante

Piramidă triunghiulară alungită

Piramidă patruunghiulară alungită

Piramidă pentagonală alungită

Piramidă patruunghiulară alungită răsucită

Piramidă pentagonală alungită răsucită

bipiramida triunghiulara

Bipiramidă pentagonală

Bipiramidă triunghiulară alungită

Bipiramidă patruunghiulară alungită

Bipiramidă pentagonală alungită

Bipiramidă patruunghiulară alungită răsucită

Dom triunghiular alungit

Dom cu șold alungit

Dom alungit cu cinci laturi

Rotondă alungită cu cinci pante

Dom triunghiular alungit răsucit

Dom alungit răsucit cu patru trepte

Dom alungit răsucit cu cinci trepte

Rotondă răsucită alungită cu cinci pante

Gyrobifastigium

Bidom drept cu trei pante

Bidom drept cu patru pante

Bidom cu patru pante

Bidom drept cu cinci pante

Bi-dom înclinat cu cinci

Cupola dreaptă cu cinci pante

Dom-orotonda cu cinci pante

Birotunda dreaptă cu cinci pante

Bidom drept alungit cu trei pante

Bidom rotit cu trei pante alungite

Girobicupol pătrat alungit

Bidom drept alungit cu cinci pante

Bi-dom alungit cu cinci pante

Cupola dreaptă alungită cu cinci pante

Cupolă alungită, întoarsă cu cinci pante

Birotunda dreaptă alungită cu cinci pante

Birotunda alungită cu cinci pante

Bidom răsucit alungit cu trei pante

Bi-dom răsucit alungit cu patru lanțuri

Bidom răsucit alungit cu cinci pante

Cupola răsucită alungită cu cinci pante

Birotunda alungită răsucită cu cinci pante

Prismă triunghiulară extinsă

Prismă triunghiulară dublu extinsă

Prismă triunghiulară triplă extinsă

Prismă pentagonală extinsă

Prismă pentagonală dublu extinsă

Prismă hexagonală extinsă

Prismă hexagonală extinsă dublu opusă

Prismă hexagonală extinsă dublu oblic

Prismă hexagonală triplă extinsă

dodecaedru mărit

Dodecaedrul întins de două ori

Dodecaedrul întins de două ori

Dodecaedru triplu sporit

Icosaedru dublu tăiat oblic

Icosaedru tăiat triplu

Icosaedru cu tăietură triplă mărită

Tetraedru trunchiat sporit

Cub trunchiat sporit

Cub trunchiat dublu mărit

Dodecaedru trunchiat mărit

Dodecaedru trunchiat dodecaedru dublu extins

Dodecaedru dodecaedru

Dodecaedru trunchiat triplu-augmentat

Rombicosidodecaedru răsucit

Rombicosidodecaedru dublu răsucit

Rombicosidodecaedru dublu răsucit

Rombicosidodecaedru tri-răsucit

Tăiați rombicosidodecaedrul

Rombicosidodecaedru trunchiat răsucit invers

Rombicosidodecaedru trunchiat răsucit oblic

Rombicosidodecaedru trunchiat dublu răsucit

Rombicosidodecaedru tăiat dublu opus

Rombicosidodecaedrul tăiat oblic de două ori

Rombicosidodecaedru tăiat dublu răsucit

Rombicosidodecaedru trisectat

biclinoid scuamos

Antiprismă pătrată snub

coroană de pană

Coroană de pană extinsă

Coroană cu pană mare

Coroană mare aplatizată

Biclinic cu centuri

Serporotonda dublă

Clinorotondă triunghiulară turtită

Piramidă

Bipiramida

antiprismă

Zonoedru

Paralelipiped

Romboedru

prismatoid

Tetraedru

Piramida trunchiată

Pentagondodecaedru

paraleloedru

Dom

Rotunda

Birotonda

Deltaedrul

Dodecaedru trapecerombic

Dodecaedrul Bilinsky

Poliedru ciclic

Formule ,
teoreme ,
teorii
Teorema de baleiaj a lui Alexandrov

teorema lui Bleecker

Teorema politopului lui Cauchy

Teorema politopului Lindelöf

Teorema poliedrelor lui Minkowski

teorema lui Sabitov

Teorema lui Euler pentru poliedre

formula Schläfli

Alte
Simbolul Schläfli

Notație Conway

poliedrul Silashi

poliedrul Chasar

poliedrul Schoenhardt

Poliedru flexibil ( poliedrul Steffen )

poliedrul Hanner

Holyhedron

Poliedru de permutare

tetraedru ortocentric

Tetraedru izoedric

cuboid

Grupul poliedrului

Dodecaedre

Unghi solid

cub unitar

Scanează

Parchet

Scutoid

Faguri de miere regulați și uniformi convexe fundamentale în spații de dimensiuni 2–10

Familie ${\tilde{A}}_{n-1}$ ${\tilde{C}}_{n-1}$ ${\tilde{B}}_{n-1}$ ${\tilde{D}}_{n-1}$ ${\tilde{G}}_2$ // _ ${\tilde{F}}_4$ ${\tilde {E}}_{n-1}$

Mozaic omogen {3 [3] } δ3 _ hδ 3 qδ 3 Hexagonal

Faguri convexi omogene {3 [4] } δ4 _ hδ 4 qδ 4

fagure uniform bidimensional {3 [5] } δ5 _ h5 5 q5 5 Fagure de 24 de celule

fagure uniform în șase dimensiuni {3 [6] } δ6 _ hδ 6 qδ 6

fagure uniform în șapte dimensiuni {3 [7] } δ7 _ hδ 7 qδ 7 222 _

fagure uniform opt-dimensional {3 [8] } δ8 _ hδ 8 qδ 8 1 33 • 3 31

fagure uniform nou-dimensional {3 [9] } δ9 _ hδ 9 qδ 9 1 52 • 2 51 • 5 21

Faguri uniformi n -dimensionali {3 [n] } δn _ hδn _ qδn _ 1 k2 • 2 k1 • k 21

mozaicuri geometrice
Periodic
pitagoreică

Rombic

Triunghiul Schwartz

dreptunghiular
Domino

Pentagonal

Mozaic omogen

Faguri
Colorat

convex

Mozaic divizat

Grup cristalografic plat

Construcția Wythoff

Aperiodic
Ammann-Binker

Set aperiodic de mozaic
Listă

O singură provocare
Sokolara — Taylor

Gilbert

Penrose

roată

Domed

Seturi de împărțire și auto -lipire
Sfinx

Truche

Alte
Non- izoedric și izoedric

Arhitectural și reflectorizant

Circle Limit III

Grafică pe computer

fagurii

Marginea tranzitivă

Pachet

Sarcini
Van

heesh

pătrarea

Placi de mozaic
criteriul lui Conway

Girih

Împărțirea regulată a avionului

zăbrele obișnuite

Înlocuiri

Diagrama Voronoi

Foderberg

Prin configurarea vârfurilor
Sferic
2n _

3 3 n

V3 3.n _

42.n _ _

V4 2.n _

Corect
2∞ _

3 6

4 4

6 3

semi
-corect
3 2 .4.3.4

V3 2.4.3.4 _

3 3 .4 2

3 3 .∞

3 4 .6

V3 4.6 _

3.4.6.4

(3.6) 2

3.12 2

4 2 .∞

4.6.12

4,8 2

hiperbolic
_
3 2 .4.3.5

3 2 .4.3.6

3 2 .4.3.7

3 2 .4.3.8

3 2 .4.3.∞

3 2 .5.3.5

3 2 .5.3.6

3 2 .6.3.6

3 2 .6.3.8

3 2 .7.3.7

3 2 .8.3.8

3 3 .4.3.4

3 2 .∞.3.∞

3 4 .7

3 4 .8

3 4 .∞

3 5 .4

3 7

3 8

3∞ _

(3.4) 3

(3.4) 4

3.4.6 2.4 _

3.4.7.4

3.4.8.4

3.4.∞.4

3.6.4.6

(3,7) 2

(3,8) 2

3.14 2

3.16 2

(3.∞) 2

3.∞ 2

4 2 .5.4

4 2 .6.4

4 2 .7.4

4 2 .8.4

4 2 .∞.4

4 5

4 6

4 7

4 8

4∞ _

(4,5) 2

(4,6) 2

4.6.12

4.6.14

V4.6.14

4.6.16

V4.6.16

4.6.∞

(4,7) 2

(4,8) 2

4.8.10

V4.8.10

4.8.12

4.8.14

4.8.16

4.8.∞

4.10 2

4.10.12

4.12 2

4.12.16

4.14 2

4.16 2

4.∞ 2

(4.∞) 2

5 4

5 5

5 6

5∞ _

5.4.6.4

(5.6) 2

5,8 2

5.10 2

5.12 2

(5.∞) 2

6 4

6 5

6 6

6 8

6.4.8.4

(6,8) 2

6,8 2

6.10 2

6.12 2

6.16 2

7 3

74 _

7 7

7.6 2

7,8 2

7.14 2

8 3

8 4

8 6

8 8

8 12

8.6 2

8.16 2

∞ 3

∞ 4

∞ 5

∞∞ _

∞.6 2

∞.8 2

Schläfli {p,q,r}	Tipul de celulă {p,q}	Tipul feței {p}	Figura de margine {r}	Figura vârfului {q,r}
{2,4,4	{2,4}	{2}	{patru}	{4,4}
{2,3,6	{2,3}	{2}	{6}	{3,6}
{2,6,3}	{2,6}	{2}	{3}	{6,3}
{4,4,2}	{4,4}	{patru}	{2}	{4,2}
{3,6,2}	{3,6}	{3}	{2}	{6,2}
{6,3,2}	{6,3}	{6}	{2}	{3,2}

Nume	simbol Schläfli { p,q,r}	Tipul de celulă {p,q}	Tipul feței {p}	Figura de margine {r}	Figura vârfului {q,r}	Dual
Faguri icosaedrici	{3,5,3}	{3,5}	{3}	{3}	{5,3}	Auto-dual
Faguri cubici comanda 5	{4,3,5}	{4,3}	{patru}	{5}	{3,5}	{5,3,4}
Comanda 4 fagure dodecaedral	{5,3,4}	{5,3}	{5}	{patru}	{3,4}	{4,3,5}
Fagure dodecaedral ordinul 5	{5,3,5}	{5,3}	{5}	{5}	{3,5}	Auto-dual

Nume	simbol Schläfli { p,q,r}	Tipul de celulă {p,q}	Tpi margine {p}	Figura de margine {r}	Figura vârfului {q,r}	Dual
Faguri tetraedrici de ordinul 6	{3,3,6}	{3,3}	{3}	{6}	{3,6}	{6,3,3}
Faguri de mozaic hexagonal	{6,3,3}	{6,3}	{6}	{3}	{3,3}	{3,3,6}
Comanda 4 fagure octaedric	{3,4,4}	{3,4}	{3}	{patru}	{4,4}	{4,4,3}
Faguri de mozaic pătrați	{4,4,3}	{4,4}	{patru}	{3}	{4,3}	{3,3,4}
Faguri de mozaic triunghiular	{3,6,3}	{3,6}	{3}	{3}	{6,3}	Auto-dual
Faguri cubici comanda 6	{4,3,6}	{4,3}	{patru}	{patru}	{3,4}	{6,3,4}
Comandați 4 faguri de mozaic hexagonal	{6,3,4}	{6,3}	{6}	{patru}	{3,4}	{4,3,6}
Faguri de mozaic pătrați comanda 4	{4,4,4}	{4,4}	{patru}	{patru}	{4,4}	{4,4,4}
Fagure dodecaedral ordinul 6	{5,3,6}	{5,3}	{5}	{5}	{3,5}	{6,3,5}
Fagure de mozaic hexagonal comanda 5	{6,3,5}	{6,3}	{6}	{5}	{3,5}	{5,3,6}
Faguri de mozaic hexagonal comanda 6	{6,3,6}	{6,3}	{6}	{6}	{3,6}	Auto-dual

Nume	Simbol Schläfli { p,q,r,s}	Tipul fațetei {p,q,r}	Tipul de celulă {p,q}	Tipul feței {p}	forma feței {s}	Figura de margine {r,s}	Figura vârfului {q,r,s}	Dual
Faguri Tesseract	{4,3,3,4}	{4,3,3}	{4,3}	{patru}	{patru}	{3,4}	{3,3,4}	Auto-dual
Fagure cu 16 celule	{3,3,4,3}	{3,3,4}	{3,3}	{3}	{3}	{4,3}	{3,4,3}	{3,4,3,3}
Fagure cu douăzeci și patru de celule	{3,4,3,3}	{3,4,3}	{3,4}	{3}	{3}	{3,3}	{4,3,3}	{3,3,4,3}

Nume	Simbol Schläfli { p,q,r,s}	Tipul fațetei {p,q,r}	Tipul de celulă {p,q}	Tipul feței {p}	forma feței {s}	Figura de margine {r,s}	Figura vârfului {q,r,s}	Dual
Fagure cu cinci celule ordinul 5	{3,3,3,5}	{3,3,3}	{3,3}	{3}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	{5,3,3,3}
120 de faguri de celule	{5,3,3,3}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{3}	{3,3}	{3,3,3}	{3,3,3,5}
Tesseract honeycomand 5	{4,3,3,5}	{4,3,3}	{4,3}	{patru}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	{5,3,3,4}
120 de celule ordine 4 celule	{5,3,3,4}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{patru}	{3,4}	{3,3,4}	{4,3,3,5}
120 celule comanda 5 faguri	{5,3,3,5}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	Auto-dual

Nume	Simbol Schläfli { p,q,r,s}	Tipul fațetei {p,q,r}	Tipul de celulă {p,q}	Tipul feței {p}	forma feței {s}	Figura de margine {r,s}	Figura vârfului {q,r,s}	Dual
24 celule ordine 4 celule	{3,4,3,4}	{3,4,3}	{3,4}	{3}	{patru}	{3,4}	{4,3,4}	{4,3,4,3}
Fagure cubic	{4,3,4,3}	{4,3,4}	{4,3}	{patru}	{3}	{4,3}	{3,4,3}	{3,4,3,4}

Nume	Simbol Schläfli { p,q,r,s}	Tipul fațetei {p,q,r}	Tipul de celule {p,q}	Tipul feței {p}	forma feței {s}	Figura de margine {r,s}	Figura vârfului {q,r,s}	Dual	densitate _
Fagure dintr-un mic cu 120 de celule stelate	{5/2,5,3,3}	{5/2,5,3	{5/2.5}	{5}	{5}	{3,3}	{5,3,3}	{3,3,5,5/2}	5
Ordine pentagramă de 600 de celule	{3,3,5,5/2}	{3,3,5}	{3,3}	{3}	{5/2}	{5.5/2}	{3,5,5/2}	{5/2,5,3,3}	5
Fagure icosaedric cu 120 de celule ordinul 5	{3,5,5/2,5}	{3,5,5/2}	{3,5}	{3}	{5}	{5/2.5}	{5,5/2,5}	{5.5/2.5.3}	zece
Faguri de miere cu 120 de celule mari	{5.5/2.5.3}	{5,5/2,5}	{5.5/2}	{5}	{3}	{5,3}	{5/2,5,3}	{3,5,5/2,5}	zece

Nume	Schläfli { p 1 , p 2 , ..., p n −1 }	Tipul fațetei	Figura de vârf	Dual
Parchet pătrat	{4,4}	{patru}	{patru}	Auto -dual
fagure cubic	{4,3,4}	{4,3}	{3,4}	Sine - dual
Faguri Tesseract	{4,3 2 ,4}	{4,3 2 }	{3 2 ,4}	Sine - dual
5-cubi fagure	{4,3 3 ,4}	{4,3 3 }	{3 3 ,4}	Sine - dual
6-cubi fagure	{4,3 4 ,4}	{4,3 4 }	{3 4 ,4}	Sine - dual
7-cubi faguri	{4,3 5 ,4}	{4,3 5 }	{3 5 ,4}	Sine - dual
8-cubi faguri	{4,3 6 ,4}	{4,3 6 }	{3 6 ,4}	Sine - dual
faguri hipercubici n -dimensionali	{4,3 n−2 ,4}	{4,3n −2 }	{ 3n−2 ,4}	Sine - dual

Nume	Simbol Schläfli { p,q,r,s,t}	Tipul fațetei {p,q,r,s}	tip cu 4 fețe {p,q,r}	tipul de celulă {p,q}	tipul feței {p}	figura celulei {t}	figura feței {s,t}	figura de margine {r,s,t}	Figura de vârf {q,r,s,t}	Dual
5-orthoplex honeycomb	{3,3,3,4,3}	{3,3,3,4}	{3,3,3}	{3,3}	{3}	{3}	{4,3}	{3,4,3}	{3,3,4,3}	{3,4,3,3,3}
Faguri cu douăzeci și patru de celule	{3,4,3,3,3}	{3,4,3,3}	{3,4,3}	{3,4}	{3}	{3}	{3,3}	{3,3,3}	{4,3,3,3}	{3,3,3,4,3}
Fagure cu 16 celule	{3,3,4,3,3}	{3,3,4,3}	{3,3,4}	{3,3}	{3}	{3}	{3,3}	{4,3,3}	{3,4,3,3}	Sine - dual
24 celule ordine 4 celule	{3,4,3,3,4}	{3,4,3,3}	{3,4,3}	{3,4}	{3}	{patru}	{3,4}	{3,3,4}	{4,3,3,4	{4,3,3,4,3}
Faguri Tesseract	{4,3,3,4,3}	{4,3,3,4	{4,3,3}	{4,3}	{patru}	{3}	{4,3}	{3,4,3}	{3,3,4,3}	{3,4,3,3,4}

2{2}	3{2}	4{2}	5{2}	6{2}	7{2}	8{2}	9{2}	10{2}	11{2}	12{2}	13{2}	14{2}	15{2}
2{3}	3{3}	4{3}	5{3}	6{3}	7{3}	8{3}	9{3}	10{3}	2{4}	3{4}	4{4}	5{4}	6{4}	7{4}
2{5}	3{5}	4{5}	5{5}	6{5}	2{5/2}	3{5/2}	4{5/2}	5{5/2}	6{5/2}	2{6}	3{6}	4{6}	5{6}
2{7}	3{7}	4{7}	2{7/2}	3{7/2}	4{7/2}	2{7/3}	3{7/3}	4{7/3}	2{8}	3{8}	2{8/3}	3{8/3}
2{9}	3{9}	2{9/2}	3{9/2}	2{9/4}	3{9/4}	2{10}	3{10}	2{10/3}	3{10/3}
2{11}	2{11/2}	2{11/3}	2{11/4}	2{11/5}	2{12}	2{12/5}	2{13}	2{13/2}	2{13/3}	2{13/4}	2{13/5}	2{13/6}
2{14}	2{14/3}	2{14/5}	2{15}	2{15/2}	2{15/4}	2{15/7}

Conectarea pătratelor spațiale		Conexiunea hexagoanelor spațiale	Conectarea decagoanelor spațiale
Două {2}#{ }	Trei {2}#{ }	Două {3}#{ }	Două {5/3}#{ }

Dualitate	auto-dual			Perechi duble
Simetrie	[4,3], O h	[5,3] + , I	[5,3], I h
Imagine
Sferic
Poliedre	octaedru stelat	5 {3,3}	10 {3,3	5 {4,3}	5 {3,4}
coxeter	{4,3} [2 {3,3} ] {3,4}	{5,3} [5 {3,3} ] {3,5}	2 {5,3} [10 {3,3} ]2 {3,5}	2 {5,3} [5 {4,3} ]	[5 {3,4} ]2 {3,5}

Auto-dual	Auto-dual		Auto-dual
2 {4,4}	2 {6,3}	2 {3,6}	2 {∞,∞}

{{4,4}} sau a{4,4} sau {4,4}[2{4,4}]{4,4} + sau	[2{6,3}]{3,6}	a{6,3} sau {6,3}[2{3,6}] +sau	{{∞,∞}} sau a{∞,∞} sau {4,∞}[2{∞,∞}]{∞,4} +sau
	3 {6,3}	3 {3,6}	3 {∞,∞}

	2{3,6}[3{6,3}]{6,3}	{3,6}[3{3,6}]2{6,3} ++	++

Compus	Simetrie	Locația vârfului	Dispunerea celulei
120 {3,3,3}	[5,3,3], ordinul 14400	{5,3,3}	{3,3,5}
5 {3,4,3}	[5,3,3], ordinul 14400	{3,3,5}	{5,3,3}

Compusul 1	Compusul 2	Simetrie	Locația vârfurilor (1)	Dispunerea celulei (1)	Locația vârfurilor (2)	Dispunerea celulelor (2)
3 {3,3,4} [23]	3 {4,3,3}	[3,4,3], ordinul 1152	{3,4,3}	2{3,4,3}	2{3,4,3}	{3,4,3}
15 {3,3,4}	15 {4,3,3}	[5,3,3], ordinul 14400	{3,3,5}	2{5,3,3}	2{3,3,5}	{5,3,3}
75 {3,3,4}	75 {4,3,3}	[5,3,3], ordinul 14400	5{3,3,5}	10{5,3,3}	10{3,3,5}	5{5,3,3}
75 {3,3,4}	75 {4,3,3}	[5,3,3], ordinul 14400	{5,3,3}	2{3,3,5}	2{5,3,3}	{3,3,5}
300 {3,3,4}	300 {4,3,3}	[5,3,3] + , comanda 7200	4{5,3,3}	8{3,3,5}	8{5,3,3}	4{3,3,5}
600 {3,3,4}	600 {4,3,3}	[5,3,3], ordinul 14400	8{5,3,3}	16{3,3,5}	16{5,3,3}	8{3,3,5}
25 {3,4,3}	25 {3,4,3}	[5,3,3], ordinul 14400	{5,3,3}	5{5,3,3}	5{3,3,5}	{3,3,5}

Compus	Simetrie	Locația vârfului	Dispunerea celulei
5 {5.5/2.5}	[5,3,3] + , comanda 7200	{5,3,3}	{3,3,5}
10 {5.5/2.5}	[5,3,3], ordinul 14400	2{5,3,3}	2{3,3,5}
5 {5/2,5,5/2}	[5,3,3] + , comanda 7200	{5,3,3}	{3,3,5}
10 {5/2,5,5/2}	[5,3,3], ordinul 14400	2{5,3,3}	2{3,3,5}

Conexiune1	Conexiune2	Simetrie	Locația vârfurilor (1)	Dispunerea celulei (1)	Locația vârfurilor (2)	Dispunerea celulelor (2)
5 {3,5,5/2	5 {5/2,5,3	[5,3,3] + , comanda 7200	{5,3,3}	{3,3,5}	{5,3,3}	{3,3,5}
10 {3,5,5/2}	10 {5/2,5,3	[5,3,3], ordinul 14400	2{5,3,3}	2{3,3,5}	2{5,3,3}	2{3,3,5}
5 {5.5/2.3}	5 {3.5/2.5}	[5,3,3] + , comanda 7200	{5,3,3}	{3,3,5}	{5,3,3}	{3,3,5}
10 _	10 {3.5/2.5}	[5,3,3], ordinul 14400	2{5,3,3}	2{3,3,5}	2{5,3,3}	2{3,3,5}
5 {5/2,3,5	5 {5,3,5/2}	[5,3,3] + , comanda 7200	{5,3,3}	{3,3,5}	{5,3,3}	{3,3,5}
10 {5/2,3,5	10 {5,3,5/2}	[5,3,3], ordinul 14400	2{5,3,3}	2{3,3,5}	2{5,3,3}	2{3,3,5}

Compusul 1 este tranzitiv la vârf	Tranzitiv celular compus 2	Simetrie
2 celule hexagonale [24]	2 teseracte	[4,3,3], ordinul 384
100 douăzeci și patru de celule	100 douăzeci și patru de celule	[5,3,3] + , comanda 7200
200 douăzeci și patru de celule	200 douăzeci și patru de celule	[5,3,3], ordinul 14400
5 șase sute de celule	5 sute douăzeci de celule	[5,3,3] + , comanda 7200
10 șase sute de celule	10 sute douăzeci de celule	[5,3,3], ordinul 14400

Connection1 sunt tranzitive la vârf	Join2 cell tranzitiv	Simetrie
5 {3,3,5/2	5 {5/2,3,3	[5,3,3] + , comanda 7200
10 {3,3,5/2	10 {5/2,3,3	[5,3,3], ordinul 14400

Poliedru	Rombotricontaedrul mijlociu	Dodecodedecaedru	Triambikycosaedru mijlociu	Dodecaedru bitrigonal	Dodecaedru crestat
Figura de vârf	{5}, {5/2}	(5,5/2) 2	{5}, {5/2}	(5,5/3) 3
Fațete	30 de diamante	12 pentagoane 12 pentagrame	20 de hexagoane	12 pentagoane 12 pentagrame	20 de hexagrame
Mozaic	{4, 5	{5, 4	{6, 5	{5, 6	{6, 6}{6, 6
χ	−6	−6	−16	−16	−20