Teorema lui Arrow

Teorema lui Arrow (cunoscută și sub numele de Paradoxul săgeții sau Teorema dictaturii lui Arrow ) este o teoremă de „imposibilitate a democrației” ca o „ alegere colectivă ”, altfel cunoscută sub numele de „teorema inevitabilității dictatorului”. Formulat de economistul american Kenneth Arrow în 1951 . [1] Sensul acestei teoreme este că în cadrul abordării ordinaliste nu există o metodă de combinare a preferințelor individuale pentru trei sau mai multe alternative, care să satisfacă anumite condiții destul de corecte și să dea întotdeauna un rezultat consistent logic.

Abordarea ordinalistă se bazează pe faptul că preferințele individului cu privire la alternativele oferite pentru alegere nu pot fi măsurate cantitativ, ci doar calitativ, adică o alternativă este mai proastă sau mai bună decât alta.

În cadrul abordării cardinale, care presupune măsurabilitatea cantitativă a preferințelor, teorema lui Arrow nu funcționează în cazul general. [2] [3]

Formulări

1951 redactare

Să fie N ≥ 2 alegători care votează pentru n ≥ 3 candidați (din punct de vedere al teoriei deciziilor, candidații sunt numiți alternative ). Fiecare alegător are o listă ordonată de alternative. Sistemul de vot este o funcție care transformă un set de N astfel de liste ( profil de vot ) într-o listă ordonată comună.

Sistemul electoral poate avea următoarele proprietăți:

Versatilitate Pentru orice profil de vot, există un rezultat - o listă ordonată de n alternative. completitudine Sistemul de vot poate produce toate n ! permutări de alternative. Monoton Dacă, în toate N listele, o alternativă x rămâne pe loc sau se deplasează în sus, iar ordinea celorlalte nu se schimbă, atunci în lista generală x trebuie să rămână pe loc sau să se deplaseze în sus. Absența unui dictator Nu există alegător a cărui preferință ar determina rezultatul alegerilor, indiferent de preferințele altor alegători. Independență față de alternativele externe Dacă profilul de vot este modificat astfel încât alternativele x și y din toate N listele să rămână în aceeași ordine, atunci ordinea lor nu se va modifica în rezultatul final.

Pentru N ≥ 2 și n ≥ 3, nu există un sistem de vot care să îndeplinească toate cele cinci condiții.

1963 redactare

În formularea din 1963, condițiile lui Arrow sunt următoarele.

Versatilitate Absența unui dictator Independență față de alternativele externe Eficiența Pareto sau principiul unanimității dacă fiecare alegător are o alternativă x în listă mai mare decât y , atunci același lucru ar trebui să fie și în rezultatul final.

Pentru N ≥ 2 și n ≥ 3, nu există un sistem de vot care să îndeplinească toate cele patru condiții.

Dovada

Să introducem următoarea notație:

$O$ este un set de rezultate pe care fiecare agent le clasifică în funcție de preferințele sale.
$L_i$ este ordinea liniară a preferințelor agentului-lea pe mulțimea dată de relația . $i$ $O$ $\succ _{i)$
$[\succ ']$ — profil de preferință (un tuplu ale cărui elemente sunt preferințele tuturor agenților).
$W:L^{N}\la L_{W}$ este o funcție de bunăstare socială.
$\succ _{W}$ - preferinte colective.

Să dăm definiții formale:

Pareto eficient :Pareto eficient dacă pentru orice rezultat. $W$ $o_{1},o_{2}\în O,\forall i(o_{1}\succ _{i}o_{2})\Rightarrow (o_{1}\succ _{W}o_{ 2})$
Independența alternativelor străine : independent de alternativele străine dacă pentru orice rezultat și pentru oricare două profiluri de preferință și . $W$ $o_{1},o_{2}\in O$ $[\succ ']$ ${\textstyle [\succ '']\in L_{n},\forall i(o_{1}\succ '_{i}o_{2}\Leftrightarrow o_{1}\succ ''_{i}o_ {2})\Rightarrow (o_{1}\succ '_{W([\succ '])}o_{2}\Leftrightarrow o_{1}\succ ''_{W([\succ '']) }o_{2})}$
Absența unui dictator : presupunem că nu există dictator pentru dacă nu există așa ceva . $W$ $i$ $\forall o_{1},o_{2}\in O(o_{1}\succ _{i}o_{2}\Rightarrow o_{1}\succ _{W}o_{2})$
Teorema lui Arrow : dacă , atunci orice funcție de bunăstare socială Pareto-eficientă independentă de alternativele străine are un dictator. $|O|\geq 3$ $W$

Vom efectua dovada în 4 etape.

Etapa 1. Dacă fiecare agent plasează un rezultat în partea de sus sau de jos a listei sale de preferințe (fără a cere ca toți agenții să acționeze în același mod), atunci rezultatul va fi fie în partea de sus, fie în partea de jos a listei.

b

\succ _{W}

b

Să luăm un profil arbitrar, astfel încât rezultatul pentru toți agenții din el să fie în partea de sus sau în partea de jos a listei de preferințe . Acum să presupunem că afirmația noastră este falsă, adică există astfel încât și . Să modificăm apoi profilul astfel încât pentru toți agenții , fără a schimba clasamentul rezultatelor rămase. Să desemnăm profilul primit . Deoarece, după o astfel de modificare, rezultatul b pentru fiecare agent va rămâne în continuare fie în poziția de sus, fie de jos în lista preferințelor sale, apoi din independența lui W față de alternativele străine, putem concluziona că în noul profil și . Prin urmare, datorită tranzitivității, obținem . Dar am presupus că pentru toți agenții , atunci datorită eficienței Pareto ar trebui să fie . Contradicția rezultată dovedește afirmația. $[\succ ]$ $i$ $b$ $\succ _{i)$ $a,c\in O$ $a\succ _{W}b$ $b\succ _{W}c$ $[\succ ]$ $c\succ _{i}a$ $[\succ ']$ $a\succ _{W}b$ $b\succ _{W}c$ $\succ _{W}$ $a\succ _{W}c$ $c\succ _{i}a$ $c\succ _{W}a$

Etapa 2. Pentru fiecare rezultat , există un agent care este central , în sensul că, schimbându-și votul, el poate muta rezultatul de la cea mai de jos poziție din listă la cea mai înaltă poziție din acea listă. Cu alte cuvinte, există două profiluri și , care diferă doar prin preferințele agentului , care se află la sfârșitul listei pentru și la începutul listei pentru .

b

b

\succ _{W}

[\succ ^{1}]

[\succ ^{2}]

i

b

[\succ _{W}^{1}]

[\succ _{W}^{2}]

Luați în considerare orice profil de preferințe în care toți agenții plasează rezultatul în partea de jos a listei lor de preferințe . Este clar că rezultatul este, de asemenea, în cea mai de jos poziție (datorită eficienței Pareto). Lăsați toți agenții să rearanjeze pe rând rezultatul de la cea mai mică la cea mai înaltă poziție în listele lor de preferințe, fără a modifica clasarea celorlalte rezultate. Când toți agenții pun un rezultat pe primul loc în lista lor de preferințe, acesta va fi primul pentru . Deci la un moment dat se va schimba. Să fie un agent care, rearanjat în acest fel , s-a schimbat (pentru prima dată). Să notăm - profilul de preferință chiar înainte de a fi mutat și - profilul de preferință imediat după mutare . Astfel, în rezultat și-a schimbat poziția în , în timp ce pentru toți agenții este fie în poziția de sus, fie în cea de jos a . Prin urmare, în virtutea aserțiunii dovedite în etapa 1, rezultatul ocupă cea mai înaltă poziție. $b$ $\succ _{i)$ $\succ _{W}$ $b$ $b$ $b$ $\succ _{W}$ $\succ _{W}$ $n^{*}$ $b$ $\succ _{W}$ $[\succ ^{1}]$ $n^{*}$ $b$ $[\succ ^{2}]$ $n^{*}$ $b$ $[\succ ^{2}]$ $b$ $\succ _{W}$ $b$ $\succ _{i)$ $\succ _{W}$ $b$

Etapa 3.

n^{*}

este un dictator peste toate perechile care nu includ .

<a,c>

b

Să alegem orice element din pereche . Fără a pierde generalitatea, alegem a. Apoi, construiți din profil după cum urmează: în , mutați rezultatul a pe prima poziție, lăsând restul clasamentului neschimbat; în mod arbitrar pentru toți ceilalți agenți, schimbați între ei și . Apoi, ca în , obținem asta (datorită independenței față de alternativele străine) și, ca în , obținem că . Apoi . Acum să construim un profil de preferință după cum urmează: pentru toți agenții, plasăm rezultatul într-o poziție arbitrară în lista de preferințe ; pentru agent, plasăm rezultatul într-o poziție arbitrară înainte de rezultat . Este clar că datorită independenței față de alternativele străine . Am obținut că toți agenții, cu excepția lui, au profiluri de preferințe complet arbitrare, iar rezultatul s-a bazat doar pe presupunerea că . $<a,c>$ $[\succ ^{2}]$ $[\succ ^{3}]$ $\succ _{n^{*}}$ $A$ $c$ $[\succ ^{1}]$ $a\succ _{W}b$ $[\succ ^{2}]$ $b\succ _{W}c$ $a\succ _{W}c$ $[\succ ^{4}]$ $b$ $\succ _{i)$ $n^{*}$ $A$ $c$ $a\succ _{W}c$ $n^{*}$ $a\succ _{W}c$ $a\succ _{n^{*}}c$

Etapa 4.

n^{*}

- dictator peste toate cuplurile .

<a,b>

Să luăm în considerare un rezultat. În virtutea etapei 2, există un agent central pentru acest rezultat, care este, de asemenea, un dictator pentru toate perechile , unde, în special, . Dacă agentul ar fi un dictator peste , nicio modificare a preferințelor agentului nu ar putea schimba clasamentul în . Dar în etapa 2, agentul s-a mutat de pe ultimul loc pe primul în , și astfel a trebuit să schimbe și . Prin urmare, putem concluziona că coincide cu , adică există un dictator. $n^{**}$ $<A,B>$ $A=a, B=b$ $n^{**}\neq n^{*}$ $<a,b>$ $n^{*}$ $A$ $b$ $\succ _{W}$ $n^{*}$ $b$ $\succ _{W}$ $A$ $b$ $n^{**}$ $n^{*}$ $n^{*}$

Dovada este completă.

Consecință practică

Teorema lui Arrow poate fi ușor reformulată:

„În sistemele electorale fără dictator, în care este implementat principiul unanimității, principiul independenței față de alternativele străine nu poate fi îndeplinit”.

Aceasta înseamnă că adăugarea de candidați suplimentari la vot poate afecta clasarea finală a candidaților inițiali (principali). În practică, în astfel de sisteme, o astfel de tehnologie de manipulare a alegerilor precum „Adăugarea de candidați fictivi ” poate funcționa. Un candidat fictiv este un candidat care nu are un obiectiv real de a câștiga alegerile, dar joacă un rol pur tehnic de a slăbi unul dintre candidații principali, „trăgând” o parte din publicul său de susținere asupra lui.

Teorema lui Arrow afirmă astfel că toate sistemele electorale sunt vulnerabile la această tehnică de manipulare, cu excepția celor în care decizia finală este luată de o singură persoană.

Vezi și

Paradoxul Condorcet este un paradox al alegerilor, generalizat de teorema lui Arrow.
Alegerea colectivă și valorile individuale

Link -uri

Note

↑ Kenneth J. Arrow , 1951, a 2-a ed., 1963. Social Choice and Individual Values , Yale University Press. ISBN 0-300-01364-7
↑ Votul cardinal: Calea de a scăpa de imposibilitatea alegerii sociale
↑ The Possibility of Social Choice, p.189 Arhivat 7 ianuarie 2010 la Wayback Machine

Paradoxurile teoriei deciziei
măgarul lui Buridan dopuri Morton vot porcul spinos prizonier inventator navigare state noi prevenire luarea deciziilor rețea de vânzare cu amănuntul putere de voință toxină toleranţă Abilene Verde Condorcet Newcomb parrondo Fenno Fredkin Ellsberg Săgeată

Alegeri și campanii electorale
Institutul Electoral	Alegeri directe / Alegeri indirecte Alegeri alternative / Alegeri non-alternative Alegeri competitive / Alegeri necompetitive Alegere prin tragere la sorți Referendum Critica la adresa instituirii alegerilor
Nivelul alegerilor	Alegeri nationale Alegeri parlamentare Alegeri prezidentiale Alegeri regionale Alegeri municipale
Sistemele electorale	Majoritate (majoritate simplă) proporţional amestecat preferenţial Binom Votarea de rating metoda Schulze vot de aprobare
Campanie electorala	Calendarul electoral primare Nominalizarea candidatului Înregistrarea candidatului perioada campaniei Revotați Repetă alegerile Alegeri anticipate Candidat ( tehnic ) Fondul electoral Angajament electoral consultanta politica Campanie electorala Întâlnire cu alegătorii Promisiuni electorale sediu electoral Asociația Electorală Blocul electoral lista de partide Locomotivă Comitetul electoral Ziua Tăcerii
Vot	Votul anticipat Votul absentei Ziua votului exit poll Numărarea voturilor Bariera de interes vot deschis Vot secret Abstinenta Buletin de vot stricat voce de protest Prezența la vot Boicota Votați cu picioarele Votul electronic Alegeri pe internet Procesul electoral cabină de vot Urnă Vot Împotriva tuturor Observarea alegerilor
Vot	obiectiv Subiectiv ( activ , pasiv ) universal Tsezovoe
Geografia electorală	circumscripție Secție de votare gerrymandering locuri putrede stări de leagăn sultanate electorale
Încălcări ale alegerilor	Umplutura buletinelor de vot Utilizarea unei resurse administrative Carusel Manipularea opiniei publice Mituirea alegătorilor Frauda la vot Fotografierea buletinului Grilă
Psefologie	Absenteism Democratie reprezentativa Paradoxul Condorcet Teorema lui Arrow