Grupul Fuchs

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 15 ianuarie 2022; verificările necesită 2 modificări .

Grupul fuchsian este un subgrup discret al grupului PSL(2, R ) . Grupul poate fi gândit ca un grup de mișcări ale planului hiperbolic sau mapări conforme ale discului unității sau mapări conforme ale semiplanului superior . În consecință, un grup fuchsian poate fi considerat ca un grup care acționează pe oricare dintre aceste spații. În alte interpretări, un grup fuchsian este definit ca un grup cu un număr finit de generatori , sau ca un subgrup care conține elemente care păstrează orientarea. De asemenea, este acceptabil să se definească un grup fuchsian ca fiind kleinian $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$ $\mathrm {PGL} (2,\mathbb {R} )$ (grup discret de PSL(2, C ) ), care este conjugat la un subgrup al grupului . $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$

Grupurile fuchsiane sunt folosite pentru a crea un model fuchsian al suprafețelor Riemann . În acest caz, grupul poate fi numit grupul de suprafață fuchsian . Într-un fel, grupurile fuchsiane fac pentru geometria non-euclidiană ceea ce fac grupurile cristalografice pentru geometria euclidiană . Unele dintre desenele lui Escher se bazează pe grupuri fuchsiane (pentru modelul de disc al geometriei lui Lobachevsky ).

Grupurile generale fuchsiane au fost primele studiate de Henri Poincaré [1] , care a devenit interesat de articolul lui Lazarus Fuchs [2] , iar acest nume provine de la numele său.

Grupuri fuchsiane pe semiplanul superior

Să fie semiplanul superior . Apoi este un model al planului hiperbolic care este prevăzut cu metrica $\mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} :\mathrm {Im} (z)>0$ ${\mathbb {H}}$

ds={\frac {1}{y}}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}.

Grupul PSL(2, R ) acționează asupra unei transformări liniare fracționale (care este cunoscută sub numele de transformarea Möbius ): ${\mathbb {H}}$

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot z={\frac {az+b}{cz+d)).

Această acțiune este eficientă și de fapt izomorfă cu grupul tuturor mișcărilor care păstrează orientarea . $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$ ${\mathbb {H}}$

Un grup fuchsian poate fi definit ca un subgrup al unui grup care acționează discontinuu asupra . Acesta este $\Gamma$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$ ${\mathbb {H}}$

Pentru orice z , orbitele nu au puncte limită în . ${\mathbb {H}}$ ${\Gamma}z=\{{\gamma}z\colon \gamma \in \Gamma \)$ ${\mathbb {H}}$

O definiție echivalentă este un grup fuchsian când . Înseamnă că: $\Gamma$ $\Gamma$

Orice succesiune de elemente care converge către elementul de identitate în topologia obișnuită a convergenței punctuale este în cele din urmă constantă, adică există un număr întreg N astfel încât pentru orice n > N , unde E este matricea identității. $\{\gamma _{n}\}$ $\Gamma$ $\gamma _{n}=E$

Deși discontinuitatea și discretitatea sunt echivalente în acest caz, acest lucru nu este adevărat pentru cazul grupurilor arbitrare de homeomorfisme conforme care acționează asupra întregii sfere Riemann (în contrast cu ). Mai mult, grupul fuchsian este discret, dar are puncte limită pe dreapta reală Im z = 0 - elementele vor avea z = 0 pentru orice număr rațional, iar numerele raționale sunt dense în . ${\mathbb {H}}$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$

Definiție de bază

Transformarea liniar-fracțională, definită de o matrice de , păstrează sfera Riemann , dar trimite semiplanul superior la un disc deschis . Transformarea conjugată la o astfel de transformare trimite un subgrup discret la un subgrup discret al grupului , păstrând în același timp . $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )$ $\mathbf {P} ^{1}(\mathbb {C} )=\mathbb {C} \cup \infty$ ${\mathbb {H}}$ $\Delta$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )$ $\Delta$

Aceasta dă naștere următoarei definiții a unui grup fuchsian . Lasa acționează invariabil pe propriul disc deschis , adică . Atunci este fuchsiană dacă și numai dacă este valabilă oricare dintre următoarele proprietăți echivalente: $\Gamma \subset \mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )$ $\Delta \subset \mathbb {C} \cup \infty$ $\Gamma (\Delta )=\Delta$ $\Gamma$

$\Gamma$ este un grup discret (ținând cont de topologia standard de pe ). $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )$
$\Gamma$ acționează corespunzător discontinuu în fiecare punct . $z\in \Delta$
multimea este o submultime a regiunii de discontinuitate a . $\Delta$ $\Omega (\Gamma)$ $\Gamma$

Adică, oricare dintre aceste trei proprietăți poate fi folosită ca definiție a unui grup fuchsian, celelalte decurg din definiția aleasă ca teoremă. Este importantă noțiunea de submulțime discontinuă invariantă adecvată . Așa-numitul grup Picard este discret, dar nu păstrează niciun disc în sfera Riemann. Mai mult, nici grupul modular , care este un grup fuchsian, nu acționează discontinuu pe linia reală. Are puncte limită în numere raționale . De asemenea, ideea a ceea ce este un subset propriu al regiunii de discontinuitate este importantă. Dacă aceasta nu este prezentă, subgrupul se numește grup kleinian . $\Delta$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} [i])$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ $\Delta$

De obicei, fie un disc unitar deschis , fie un semiplan superior este luat ca regiune invariantă . $\Delta$

Seturi de limite

Având în vedere caracterul discret al acțiunii, orbita punctului z din semiplanul superior sub acțiune nu are puncte de condensare în semiplanul superior. Totuși, pot exista puncte limită pe axa reală. Fie setul limită al grupului , adică setul de puncte limită pentru . Apoi . Setul de limite poate fi gol sau poate consta din unul sau două puncte sau poate consta dintr-un număr infinit. În acest din urmă caz, există două opțiuni: ${\Gamma }z$ $\Gamma$ $\Lambda (\Gamma)$ $\Gamma$ ${\Gamma }z$ $z\in \mathbb {H}$ $\Lambda (\Gamma)\subseteq \mathbb {R} \cup \infty$

Un grup fuchsian de primul tip este un grup pentru care setul limită este o linie reală închisă . Acest lucru se întâmplă atunci când spațiul coeficient are volum finit, dar există grupuri fuchsiane de primul fel cu covolum infinit. $\mathbb {R} \cup \infty$ $\mathbb {H} /\Gamma$

În caz contrar, se spune că grupul fuchsian este de al doilea tip . În mod echivalent, este un grup pentru care setul limită este un set perfect , adică un set dens nicăieri pe . Deoarece nu este nicăieri dens, rezultă că orice punct limită este în mod arbitrar aproape de o mulțime deschisă care nu aparține setului de limită. Cu alte cuvinte, setul de limită este setul Cantor . $\mathbb {R} \cup \infty$

Tipul unui grup fuchsian nu trebuie să fie același dacă este considerat ca un grup kleinian - de fapt, toate grupurile fuchsiane sunt grupuri kleiniene de al doilea tip, deoarece seturile lor limită (ca grupuri kleiniene) sunt submulțimi proprii ale sferei Riemann. cuprinse într-un cerc.

Exemple

Un exemplu de grup fuchsian este grupul modular . Este un subgrup al grupului format din transformări liniar-fracționale $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ $\mathrm {PSL} (2,R)$

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}

unde a , b , c , d sunt numere întregi. Spațiul coeficient este spațiul de module al curbelor eliptice . $\mathbb {H} /\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$

Grupurile fuchsiane includ și grupuri pentru fiecare n > 0. Aici constă din transformări liniar-fracționale de forma de mai sus, unde elementele matricei $\Gamma (n)$ $\Gamma (n)$

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}

sunt comparabile cu elementele matricei identitare în raport cu submodulul n .

Un exemplu cocompact este (obișnuit) Grupul de triunghi (2,3,7) (prin rotații), care conține toate grupurile fuchsiane ale suprafețelor quartice Klein și McBeath , ca și alte grupuri Hurwitz . Mai general, orice grup von Dyck hiperbolic (un subgrup al grupului triunghiular cu indicele 2 corespunzător mișcărilor de păstrare a orientării) este un grup fuchsian.

Toate sunt grupuri fuchsiane de primul fel .

Toate subgrupurile ciclice hiperbolice și parabolice ale grupului sunt fuchsiene. $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$
Orice subgrup ciclic eliptic este fuchsian dacă și numai dacă este finit.
Orice grup fuchsian abelian este ciclic.
Niciun grup fuchsian nu este izomorf . $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$
Să fie un grup fuchsian non-abelian. Atunci normalizatorul grupului este fuchsian. $\Gamma$ $\Gamma$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$

Proprietăți metrice

Dacă h este un element hiperbolic, lungimea de translație L a acțiunii de grup în semiplanul superior este legată de urma lui h ca matrice prin relația $2\times 2$

|\mathrm {tr} \;h|=2\cosh {\frac {L}{2)).

O proprietate similară este valabilă pentru sistola suprafeței Riemann corespunzătoare dacă grupul fuchsian este lipsit de torsiune și este cocompact.

Vezi și

Grup cvasi-fucsian
Grup cristalografic non-euclidian
Grupul Schottky

Literatură

Lazarus Fuchs . Ueber eine Klasse von Funktionen mehrerer Variablen, welche durch Umkehrung der Integrale von Lösungen der linearen Differentialgleichungen mit rationalen Coeffizienten entstehen // J. Reine Angew. Matematică.. - 1880. - T. 89 . — S. 151–169 .
Hershel M. Farkas, Irwin Kra. Vezi secțiunea 1.6 // Constante Theta, suprafețe Riemann și grupul modular. — Providence R.I.: Societatea Americană de Matematică . — ISBN 978-0-8218-1392-8 .
Henryk Iwaniec . Vezi capitolul 2. // Metode spectrale ale formelor automorfe, ediția a doua. - Providence, RI: America Mathematical Society, 2002. - V. 53. - ( Studii postuniversitare în matematică ). - ISBN 978-0-8218-3160-1 .
Svetlana Katok . Grupuri fuchsiane. - Chicago: University of Chicago Press, 1992. - ISBN 978-0-226-42583-2 .
David Mumford , Seria Caroline, David Wright. Perlele lui Indra: Viziunea lui Felix Klein . - Cambridge University Press, 2002. - ISBN 978-0-521-35253-6 . .
Peter J. Nicholls. Teoria ergodică a grupurilor discrete. - Cambridge: Cambridge University Press, 1989. - V. 143. - (London Mathematical Society Lecture Note Series). - ISBN 978-0-521-37674-7 .
Henri Poincare . Théorie des groupes fuchsiens // Acta Mathematica . - Springer Olanda, 1882. - T. 1 . — S. 1–62 . — ISSN 0001-5962 . - doi : 10.1007/BF02592124 .
Ernest B. Winberg . Enciclopedie matematică / redactor-șef I.M. Vinogradov. - Enciclopedia Sovietică, 1977. - V. 5.