Grup discret

Un grup topologic G se numește grup discret dacă nu are niciun punct limită (adică, pentru orice element al lui G , există o vecinătate care conține doar acel element). În mod echivalent, un grup G este discret dacă și numai dacă elementul său neutru este un punct izolat [1] . Cu alte cuvinte, topologia indusă în G este un spațiu discret . De exemplu, numerele întregi formează un subgrup discret de numere reale (cu topologia metrică standard ), dar numerele raționale nu. Un grup discret este un grup topologic G dotat cu o topologie discretă . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$

Orice grup poate fi echipat cu o topologie discretă. Deoarece orice mapare dintr-un spațiu discret este continuă , homomorfismele topologice dintre grupurile discrete sunt exact homomorfisme între grupurile subiacente. Prin urmare, există un izomorfism între categoria grupurilor și categoria grupurilor discrete. Prin urmare, grupurile discrete pot fi identificate cu grupuri subiacente (non-topologice).

Există mai multe cazuri în care un grup topologic sau Lie este prevăzut cu succes cu o topologie discretă „nenaturală”. Acest lucru se întâmplă, de exemplu, în teoria compactificării Bohr și în teoria coomologiei grupurilor a grupurilor Lie.

Un grup de izometrie discretă este un grup de izometrii astfel încât, pentru orice punct dintr-un spațiu metric, mulțimea de imagini ale curenților sub izometrii este o mulțime discretă . Un grup de simetrie discretă este un grup de simetrie care este un grup de izometrie discretă.

Proprietăți

Deoarece grupurile topologice sunt omogene , trebuie luat în considerare doar un singur punct pentru a determina dacă un grup topologic este discret. În special, un grup topologic este discret dacă și numai dacă singletonul care conține elementul de identitate este o mulțime deschisă .

Un grup discret este același cu un grup Lie cu dimensiune zero (în grupurile discrete nenumărate , a doua axiomă de numărabilitate nu este valabilă , astfel încât autorii care solicită ca grupurile Lie să îndeplinească aceste cerințe nu le consideră a fi grupuri Lie). Componenta de identitate a unui grup discret este doar un subgrup trivial , în timp ce grupul de componente este izomorf cu grupul însuși.

Deoarece numai topologia Hausdorff este discretă pe o mulțime finită, un grup topologic Hausdorff finit trebuie să fie discret. Aceasta implică faptul că orice subgrup finit al unui grup Hausdorff este discret.

Un subgrup discret H al unui grup G este cocompact dacă există o submulțime compactă K a lui G astfel încât HK = G.

Subgrupurile normale discrete joacă un rol important în teoria grupărilor de acoperire și grupărilor izomorfe local. O subgrupă normală discretă a unui grup conectat G se află în mod necesar în centrul grupului G și, prin urmare, este abelian .

Alte proprietati :

un alt grup discret este un grup complet deconectat
orice subgrup al unui grup discret este discret.
orice grup de factori ai unui grup discret este discret.
produsul unui număr finit de grupuri discrete este un grup discret.
un grup discret este compact dacă și numai dacă este finit.
orice grup discret este local compact .
orice subgrup discret al unui grup Hausdorff este închis.
orice subgrup discret al unui grup Hausdorff compact este finit.

Exemple

Grupurile de margine și grupurile de ornamente sunt subgrupuri discrete ale grupului de izometrie al planului euclidian. Grupurile de ornamente sunt compacte, dar grupurile de borduri nu.
Un grup cristalografic înseamnă de obicei un subgrup discret cocompact de izometrii ale unui spațiu euclidian. Uneori, totuși, o grupare cristalografică poate fi un subgrup discret cocompact al unei grupări Lie nilpotente sau solubile .
Orice grup triunghiular T este un subgrup discret al grupului de izometrie al sferei (dacă T este finit), planul euclidian (dacă T are un subgrup de indice finit ) sau planul hiperbolic . $\mathbb {Z} +\mathbb {Z}$
Grupurile fuchsiane sunt, prin definiție, subgrupuri discrete ale grupului de izometrie a planului hiperbolic.
- Un grup fuchsian care păstrează orientarea care acționează pe modelul semiplanului superior al planului hiperbolic este un subgrup discret al grupului Lie , grupul de izometrii care păstrează orientarea din modelul semiplanului superior al planului hiperbolic. $PSL(2,\mathbb {R} )$
- Grupul fuchsian este uneori considerat un caz special al grupului kleinian atunci când planul hiperbolic este încorporat izometric în spațiul hiperbolic tridimensional și acțiunea grupului este extinsă de la plan la întreg spațiul.
- Grupul modular este considerat un subgrup discret al grupului . Grupul modular este o zăbrele, dar nu este cocompact. $PSL(2,\mathbb {Z} )$ $PSL(2,\mathbb {R} )$ $PSL(2,\mathbb {R} )$
Grupurile kleiniene sunt, prin definiție, subgrupuri discrete ale grupului de izometrie a unui spațiu hiperbolic tridimensional . Acestea includ grupuri cvasi-fucsiane .
- Un grup Klein care păstrează orientarea care acționează în jumătatea superioară a unui model spațial hiperoblic tridimensional este un subgrup discret al grupului Lie , grupul de izometrii care păstrează orientarea din modelul tridimensional al semiplanului superior al unui spațiu hiperoblic. . $PSL(2,\mathbb {C} )$
O rețea dintr- un grup Lie este un subgrup discret astfel încât măsura Haar a spațiului coeficient este finită.

Vezi și

Note

↑ Pontrjagin, 1946 , p. 54.

Literatură

Leon Pontrjagin. Grupuri topologice . — Princeton University Press , 1946.
Grup discret de transformări //Enciclopedia de matematică . — EMS Press , 2001.
Subgrup discret //Enciclopedia de matematică . — EMS Press , 2001.

Teoria grupurilor
Noțiuni de bază	Subgrup Subgrup normal Grup de factori Muncă direct semidirectă gratuit
Proprietăți algebrice	grup comutativ Grup ciclic grup ordonat Transformă grupul Grup solubil Lema lui Schreier teorema lui Lagrange teoremele lui Sylow Clasificarea grupurilor finite simple
grupuri finite	Grupa ciclică finită C n Grupul simetric S n Grupul diedric D n Grupa alternativă A n Grupul Cvadruplu Klein grupurile Mathieu M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ grupuri Conway Co 1 Co2 _ Co3 _ grupuri Janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Grupuri de pescari F22 _ F 23 F24 _ Monstru (M)
Grupuri topologice	Grupuri de minciuni Grupul ortogonal O(n) Grup ortogonal special SO(n) Grupa unitară U(n) Grup unitar special SU(n) Grupa simplectică Sp(n) Simplu excepțional grupul Lorentz grupul Poincaré
Algoritmi pe grupuri	Schreier - Sims Todd - Coxeter transformata Fourier