Functor (matematică)

Un functor este un tip special de mapare între categorii . Poate fi înțeles ca o mapare care păstrează structura. Functorii dintre categoriile mici sunt morfisme din categoria categoriilor mici . Colecția tuturor categoriilor nu este o categorie în sensul obișnuit, deoarece colecția obiectelor sale nu este o clasă . O modalitate de a depăși astfel de dificultăți teoretice de mulțimi este de a adăuga o axiomă independentă la ZFC despre existența cardinalilor de neatins .

Pentru prima dată, functorii au început să fie luați în considerare în topologia algebrică , în care obiectele algebrice (de exemplu, grupul fundamental ) sunt asociate cu spații topologice , iar homomorfismele dintre aceste obiecte sunt asociate cu mapări continue . Ulterior, functorii s-au răspândit în multe domenii ale matematicii și sunt folosiți pentru a conecta diverse categorii.

Termenul „functor” a fost împrumutat de matematicieni din lucrările filozofului Rudolf Carnap [1] , în timp ce în Carnap cuvântul „functor” se referea la un concept lingvistic [2] .

Definiție

Un functor (covariant) de la categorie la categorie este o mapare care: ${\mathcal {F}}\colon {\mathcal {C}}\la {\mathcal {D}}$ ${\mathcal {C}}$ $\mathcal{D}$

mapează fiecare obiect la un obiect $X\în {\mathcal {C}}$ ${\mathcal {F}}(X)\în {\mathcal {D}},$
mapează fiecare morfism din categorie un morfism din categoria . Această mapare trebuie să aibă următoarele proprietăți: $f:X\la Y$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {F}}(f):{\mathcal {F}}(X)\la {\mathcal {F}}(Y)$ $\mathcal{D}$
- ${\mathcal {F}}({\mathrm {id}}_{A})={\mathrm {id}}_{({\mathcal {F}}(A)))$ ,
- ${\mathcal {F}}(g\circ f)={\mathcal {F}}(g)\circ {\mathcal {F}}(f)$ .

Astfel, functorul trebuie să păstreze morfismele identitare și structura compoziției morfismelor.

În mod similar, un functor contravariant este o hartă care inversează săgețile (adică atribuie un morfism unui morfism ), păstrează morfisme identice și satisface egalitatea: $f:X\la Y$ ${\mathcal {F}}(f):{\mathcal {F}}(Y)\la {\mathcal {F}}(X)$

{\mathcal {F}}(g\circ f)={\mathcal {F}}(f)\circ {\mathcal {F}}(g)

De asemenea, un functor contravariant poate fi definit ca un functor covariant din categoria duală . Unii autori preferă să scrie toate expresiile covariant, iar în loc de cuvintele „functor contravariant de la la ” spun „functor de la la ” (sau, uneori, „functor de la la ”). ${\mathcal {C}}^{{\mathrm {op}}}$ ${\mathcal {C}}$ $\mathcal{D}$ ${\mathcal {C}}^{{\mathrm {op}}}$ $\mathcal{D}$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {D}}^{{\mathrm {op}}}$

Bifunctori și multifunctori

Un bifunctor este un functor a două argumente. Un exemplu natural este functorul Hom , care este covariant într-un argument și contravariant în altul.

Formal, bifunctorii sunt definiți ca functori din categoria de produse . De exemplu, un functor are forma . ${\mathrm {hom}}$ ${\mathcal C}^{{\mathrm {op}}}\times {\mathcal C}\la {\mathbf {Set}}$

Un multifunctor este o generalizare a noțiunii de bifunctor pe variabile. $n$

Exemple

Pentru a specifica un functor, trebuie să-i definești acțiunea nu numai asupra obiectelor de categorie, ci și (mai important) asupra morfismelor: există diferiți functori care acționează în același mod asupra obiectelor, de exemplu, functorul de identitate și functorul anti -identitate. care inversează săgețile.

Fie o subcategorie din categoria . În acest caz, functorul de încorporare este definit , care acționează asupra obiectelor și morfismelor ca înglobări de clasă corespunzătoare . ${\mathcal {C}}$ $\mathcal{D}$ $I:{\mathcal {C}}\hookrightarrow {\mathcal {D}}$

Functor constant: un functor care mapează fiecare obiect de categorie la un obiect de categorie fix și fiecare morfism la morfismul de identitate al acelui obiect. ${\mathcal {C}}$ $\mathcal{D}$ ${\mathcal {C}}$

Endofunctorii sunt orice functori dintr-o categorie în sine.

Spațiu vectorial dual : O mapare care atribuie fiecărui spațiu vectorial duala și fiecărei mapări liniare maparea sa duală (sau transpusă) este un endofunctor contravariant în categoria spațiilor vectoriale.

Fie o categorie specifică , adică o categorie echipată cu un functor univalent în categoria mulțimilor (un caz special al functorului uitător ). Cu ajutorul acestui functor, mulțimile sunt asociate cu obiecte dintr-o categorie și se pot gândi la morfisme ca funcții pe aceste mulțimi care păstrează o structură suplimentară (exemplu: categoria de grupuri , categoria de inele , categoria de mulțimi ). Adjunctul din stânga (dacă există) unui functor uitător este un functor obiect liber (exemplu: modul liber ). ${\mathcal {C}}$

Prelegături : fie un spațiu topologic , apoi submulțimile deschise formează o mulțime parțial ordonată în raport cu includerea, notat cu . Ca și în cazul oricărui poset, se poate asocia o categorie adăugând un singur morfism dacă și numai dacă . Functorii contravarianți de la se numesc presheaves . De exemplu, există un functor din categoria algebrelor reale care asociază o mulțime deschisă cu o algebră de funcții continue cu valori reale pe ea. $X$ $X$ $BOU)$ $BOU)$ $U\la V$ $U\subseteq V$ $BOU)$

Grup fundamental : fiecare spațiu topologic cu un punct marcat poate fi asociat cu un grup fundamental ale cărui elemente sunt clase de echivalență bucle până la homotopie . Dacă este un morfism de spații cu un punct marcat (o mapare continuă care duce un punct marcat al primului spațiu la un punct marcat al celui de-al doilea), fiecare buclă din punct poate fi asociată cu imaginea sa, care este o buclă din punct . Această mapare este în concordanță cu clasele de echivalență și cu operația de compunere, deci este un homomorfism de la la . Este ușor de verificat dacă toate celelalte proprietăți ale unui functor covariant din categoria spațiilor topologice cu punct marcat până la categoria grupurilor sunt valabile . $X$ $x_{0}$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $f:X\la (Y)$ $x_{0}$ $y_0$ $\pi (X,x_{0})$ $\pi (Y,y_{0})$

Mănunchi tangenți și cotangenți : o hartă care asociază o varietate netedă cu mănunchiul său tangent și un difeomorfism de varietăți cu diferenţialul său , este un functor covariant din categoria varietăților netede și difereomorfismelor la categoria fasciculelor vectoriale . În mod similar, mănunchiul cotangent și codiferenţialul unui difeomorfism definesc un functor contravariant. Luarea în considerare a spațiului tangent la un punct fix definește un functor covariant din categoria varietăților netede cu un punct marcat și mapări netede la categoria spațiilor vectoriale.

Produs tensor : dacă este o categorie de spații vectoriale peste un câmp fix, produsul tensor al două spații definește un functor care este covariant în ambele argumente [3] . ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\la {\mathcal {C}}$

Obiectele simpliale sunt functori arbitrari contravarianți de la o categorie simplială la diverse categorii (la categoria mulțimi - o mulțime simplială , la categoria grupuri - o grupă simplială și altele); construcțiile care generalizează noțiunea de complex simplicial joacă un rol important în topologia algebrică.

Un functor atribuie unui câmp grupul lui Galois absolut , iar unui homomorfism de câmp, corespunzătoare $Gal:{\mathbf {Fld}}^{{\mathrm {op}}}\to {\mathbf {Grp}}$ $F$ $Gal({\bar F}/F)$ [ clarifica ] homomorfismul grupurilor Galois.

Proprietăți

Functorul duce diagramele comutative în diagramele comutative.
Functorul duce izomorfismele la izomorfisme.
Compoziția a doi functori este, de asemenea, un functor. Compoziția de funcții este o operație asociativă (unde este definită), astfel încât functorii dintre categorii mici satisfac toate proprietățile morfismelor din categorie.

O categorie a unui obiect este aceeași cu un monoid : morfismele din ea corespund elementelor monoidului, iar operația de compunere a morfismelor corespunde operației definite în monoid. Functorii dintre categoriile cu un singur obiect corespund unu-la-unu homomorfismelor monoide; prin urmare, într-un sens, un functor este o generalizare a noțiunii de homomorfism de monoizi la „monoizi în care operația de compunere nu este definită peste tot”.

Legătura cu alte concepte categorice

Lasă și fii categorii. Mulțimea tuturor morfismelor poate fi considerată mulțimea obiectelor din altă categorie: categoria functorilor . Morfismele din această categorie sunt transformări naturale ale functorilor. ${\mathcal {C}}$ $\mathcal{D}$ ${\mathcal {F}}\colon {\mathcal {C}}\la {\mathcal {D}}$

Functorii sunt adesea specificați folosind proprietăți universale , exemplele includ produse tensorale , produse ale grupurilor, mulțimi sau spații vectoriale, limite directe și inverse . De asemenea, construcțiile universale definesc adesea o pereche de functori adjuncți .

Note

↑ McLane, 2004 , p. 42.
↑ Carnap R. Sintaxa logică a limbajului. - Routledge & Kegan Paul, 1937. - P. 13-14.
↑ Hazewinkel M., Gubareni N. M., Kirichenko V. V. . Algebre, inele și module. Vol. 1 . - Dordrecht: Springer Science & Business Media , 2004. - 380 p. - (Matematica și aplicațiile sale, vol. 575). - ISBN 978-1-4020-2690-4 . - P. 99-100.

Literatură

Bucur I., Delyanu A. . Introducere în teoria categoriilor și functorilor. — M .: Mir , 1972. — 259 p.
Maclain S. Capitolul 2. Construcții în categorii // Categorii pentru un matematician activ. — M .: Fizmatlit , 2004. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 . - S. 43-67.
Tsalenko M. S., Shulgeifer E. G. . Fundamentele teoriei categoriilor. — M .: Nauka , 1974. — 256 p.

Link -uri

marchiz, Jean-Pierre. Teoria categoriilor (engleză) . Enciclopedia Stanford de Filosofie. — Include o bibliografie foarte cuprinzătoare. Consultat la 30 iulie 2013. Arhivat din original la 13 august 2013.