Vector (matematică)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 15 aprilie 2022; verificările necesită 14 modificări .

Vector (din lat. vector - „carrier”, „carrier”, „carrier”) - în cel mai simplu caz, un obiect matematic caracterizat prin mărime și direcție. De exemplu, în geometrie și în științele naturii, un vector este un segment direcționat al unei drepte în spațiul euclidian (sau pe un plan) [1] .

Exemple: vector rază , viteză , moment de forță . Dacă un sistem de coordonate este dat în spațiu , atunci vectorul este definit în mod unic de un set de coordonate ale acestuia. Prin urmare, în matematică, informatică și alte științe, un set ordonat de numere este adesea numit și vector. Într-un sens mai general, un vector în matematică este considerat ca un element al unui spațiu vectorial (liniar) .

Este unul dintre conceptele fundamentale ale algebrei liniare . Atunci când se folosește cea mai generală definiție, vectorii sunt aproape toate obiectele studiate în algebra liniară, inclusiv matrice , tensori , totuși, dacă aceste obiecte sunt prezente în contextul înconjurător, un vector este înțeles ca un vector rând sau, respectiv , un vector coloană, o tensor de primul rang. Proprietățile operațiilor pe vectori sunt studiate în calculul vectorial .

Notație

Un vector reprezentat printr-un set de elemente (componentă) este notat în următoarele moduri: $n$ $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$

\langle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\,\rangle ,\ \left(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\,\right) ,\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\,\}

Pentru a sublinia faptul că este un vector (și nu un scalar), utilizați un font supraliniar, săgeată deasupra capului, font bold sau gotic:

{\bar a},\ {\vec a},{\mathbf a},{\mathfrak A},\ {\mathfrak a}.

Adunarea vectorială este aproape întotdeauna notă cu un semn plus:

{\vec {a}}+{\vec {b}}

Înmulțirea cu un număr este pur și simplu scrisă lângă el, fără un semn special, de exemplu:

k{\vec {b}}

iar numărul este de obicei scris în stânga.

Înmulțirea unui vector cu o matrice se notează și prin scrierea una lângă alta, fără un semn special, dar aici permutarea factorilor afectează în general rezultatul. Actiunea unui operator liniar asupra unui vector este indicata si prin scrierea operatorului in stanga, fara semn special.

Merită să țineți cont de faptul că înmulțirea unui vector cu o matrice necesită scrierea componentelor primului ca un rând, în timp ce înmulțirea unei matrice cu un vector necesită scrierea celui din urmă sub formă de coloană. Pentru a sublinia în continuare faptul că vectorul participă la operație ca șir, semnul de transpunere se scrie : ${\vec {a}}$ ${\vec {a}}^{T}$

Istorie

Intuitiv, un vector este înțeles ca un obiect având o mărime, o direcție și (opțional) un punct de aplicare. Începuturile calculului vectorial au apărut odată cu modelul geometric al numerelor complexe ( Gauss , 1831). Operațiile avansate pe vectori au fost publicate de Hamilton ca parte a calculului său cuaternion (componentele imaginare ale unui cuaternion formau un vector). Hamilton a propus însuși termenul de vector ( lat. vector , purtător ) și a descris unele dintre operațiile de analiză vectorială . Acest formalism a fost folosit de Maxwell în lucrările sale despre electromagnetism , atrăgând astfel atenția oamenilor de știință asupra unui nou calcul. Elementele de analiză vectorială a lui Gibbs (1880) au apărut curând, iar apoi Heaviside (1903) a dat analizei vectoriale un aspect modern [2] .

Nu există desemnări vectoriale general acceptate; se folosesc caractere aldine, o liniuță sau o săgeată deasupra unei litere, alfabetul gotic etc. [2]

În geometrie

În geometrie, vectorii sunt înțeleși ca segmente direcționate. Această interpretare este adesea folosită în grafica computerizată prin construirea de hărți luminoase folosind normale de suprafață . De asemenea, folosind vectori, puteți găsi zonele de diferite forme, de exemplu, triunghiuri și paralelograme , precum și volumele corpurilor: tetraedru și paralelipiped .
Uneori, o direcție este identificată cu un vector.

Un vector în geometrie este asociat în mod natural cu un transfer ( transfer paralel ), ceea ce clarifică în mod evident originea numelui său ( vector lat. , purtător ). Într-adevăr, orice segment direcționat definește în mod unic un fel de translație paralelă a unui plan sau spațiu și invers, o translație paralelă definește în mod unic un singur segment direcționat (fără ambiguitate - dacă considerăm că toate segmentele direcționate de aceeași direcție și lungime sunt egale - adică considerați-i ca vectori liberi ).

Interpretarea unui vector ca traducere ne permite să introducem operația de adăugare a vectorului într-un mod natural și intuitiv evident - ca o alcătuire (aplicare succesivă) a două (sau mai multe) traduceri; același lucru este valabil și pentru operația de înmulțire a unui vector cu un număr.

În algebra liniară

În algebra liniară, un vector este un element al unui spațiu liniar, care corespunde definiției generale prezentate mai jos. Vectorii pot avea o natură diferită: segmente direcționate, matrice, numere, funcții și altele, dar toate spațiile liniare de aceeași dimensiune sunt izomorfe între ele.
Acest concept de vector este cel mai adesea folosit atunci când se rezolvă sisteme de ecuații algebrice liniare , precum și când se lucrează cu operatori liniari (un exemplu de operator liniar este un operator de rotație ). Adesea această definiție este extinsă prin definirea unei norme sau a unui produs scalar (poate ambele împreună), după care se operează cu spații normate și euclidiene , conceptul de unghi între vectori este asociat cu un produs scalar, iar conceptul de lungime a vectorului. este asociată cu o normă. Multe obiecte matematice (de exemplu, matrice , tensoare etc.), inclusiv cele cu o structură mai generală decât o listă ordonată finită (și uneori chiar numărabilă), satisfac axiomele spațiului vectorial , adică din punctul de vedere al algebrei. , sunt vectori .

În analiza funcțională

În analiza funcțională sunt considerate spații funcționale - spații liniare de dimensiuni infinite . Elementele lor pot fi funcții. Pe baza acestei reprezentări a funcției, se construiește teoria seriei Fourier . În mod similar, cu algebra liniară, se introduce adesea o normă, un produs interior sau o metrică în spațiul funcțiilor. Unele metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale se bazează pe conceptul unei funcții ca element al unui spațiu Hilbert , de exemplu, metoda elementelor finite .

Definiție generală

Definiția cea mai generală a unui vector este dată prin intermediul algebrei generale :

Se notează (F gotic) un câmp cu un set de elemente , operație aditivă , operație multiplicativă și elemente neutre corespunzătoare : unitate aditivă și unitate multiplicativă . $\mathfrak F$ $F$ $+$ $*$ $0$ $unu$
Se notează (V gotic) vreun grup abelian cu set de elemente , funcționare aditivă și, în consecință, cu identitate aditivă . ${\mathfrak V}$ $V$ $+$ ${\mathbf 0}$

Cu alte cuvinte, fie și . ${\mathfrak F}=\langle F;+,*\rangle$ ${\mathfrak V}=\langle V;+\rangle$

Dacă există o operațiune astfel încât pentru oricare și pentru oricare sunt valabile următoarele relații: $F\ori V\la V$ $a,b\în F$ ${\mathbf x},{\mathbf y}\în V$

$(a+b)\times \mathbf {x} =a\times \mathbf {x} +b\times \mathbf {x}$ ,
$a\times (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=a\times \mathbf {x} +a\times \mathbf {y}$ ,
$(a*b)\times \mathbf {x} =a\times (b\times \mathbf {x} )$ ,
$1\times \mathbf {x} =\mathbf {x}$ ,

apoi

${\mathfrak V}$ se numește spațiu vectorial peste un câmp (sau spațiu liniar), $\mathfrak F$
elementele se numesc vectori , $V$
elementele sunt scalari , $F$
operația indicată este înmulțirea unui vector cu un scalar . $F\ori V\la V$

Multe rezultate în algebra liniară au fost generalizate la module unitare pe câmpuri necomutative și chiar la module arbitrare peste inele ; astfel, în cazul cel mai general, în unele contexte, orice element al unui modul peste un inel poate fi numit vector.

Interpretare fizică

Un vector ca structură care are atât mărime (modul) cât și direcție este considerat în fizică ca un model matematic de viteză , forță și mărimi aferente, cinematice sau dinamice. Modelul matematic al multor câmpuri fizice (de exemplu, un câmp electromagnetic sau un câmp de viteză a fluidului) sunt câmpuri vectoriale .

Spațiile vectoriale abstracte multidimensionale și infinit-dimensionale (în spiritul analizei funcționale ) sunt utilizate în formalismul lagrangian și hamiltonian aplicat la sisteme mecanice și alte sisteme dinamice și în mecanica cuantică (vezi vectorul de stare ).

Vector ca o secvență

Vector — ( secvență , tuplu ) elemente omogene. Aceasta este definiția cea mai generală, în sensul că este posibil să nu existe operații vectoriale convenționale date, pot fi mai puține dintre ele sau pot să nu satisfacă axiomele uzuale ale spațiului liniar . În această formă, un vector este înțeles în programare , unde, de regulă, este notat printr-un nume de identificare cu paranteze pătrate (de exemplu, obiect[] ). Lista de proprietăți modelează definiția clasei și stării unui obiect acceptată în teoria sistemelor . Deci tipurile de elemente ale vectorului determină clasa obiectului, iar valorile elementelor determină starea acestuia. Cu toate acestea, această utilizare a termenului este probabil deja dincolo de domeniul de aplicare acceptat de obicei în algebră și, într-adevăr, în matematică în general.

Un set ordonat de n numere se numește vector aritmetic. Notate cu , numerele sunt numite componente ale vectorului aritmetic. Mulțimea vectorilor aritmetici pentru care sunt definite operațiile de adunare și înmulțire cu un număr se numește spațiul vectorilor aritmetici [3] . ${\overline {x}}=(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})$ $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ $R^{n}$

Vezi și

Note

↑ Vector // Enciclopedie matematică (în 5 volume) . - M . : Enciclopedia Sovietică , 1977. - T. 1.
↑ 1 2 Alexandrova N. V. Istoria termenilor matematici, concepte, notație: Dicționar-carte de referință . - Ed. a 3-a. - Sankt Petersburg. : LKI, 2008. - S. 22 -23. — 248 p. - ISBN 978-5-382-00839-4 .
↑ Capitolul 2. Spațiul vectorilor aritmetici R n // Algebra liniară. IET MPEI Note de curs scurte .

Literatură

Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Algebră vectorială în exemple și probleme . - M . : Şcoala superioară , 1985. - 232 p.
Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Noi întâlniri cu geometria. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Biblioteca Cercului Matematic).
(engleză) JV Field, The Invention of Infinity: Mathematics and Art in the Renaissance , Oxford University Press , 1997 ISBN 0198523947
F. Casiro, A. Deledicq, Pythagore et Thalès Les éditions du Kangourou 1998 ISBN 2-87694-040-X
R. Pouzergues, Les Hexamys , IREM de Nice, IremOuvrage, 1993 Cote : IM8974 Lire Arhivat 25 februarie 2021 la Wayback Machine
D. Lehmann et Rudolf Bkouche , Initiation à la géométrie , PUF, 1988, ISBN 2130401600
Y. Sortais, La Géométrie du triangle. Exercices resolus , Hermann, 1997, ISBN 270561429X
Y. Ladegaillerie, Géométrie pour le CAPES de mathématiques , Ellipses Marketing, 2002 ISBN 2729811486
J. Perez, Mécanique physique , Masson, 2007 ISBN 2225553416
MB Karbo, Le graphisme et l'internet , Compétence micro, nr.26, 2002 ISBN 2912954959

Link -uri

(engleză) Premières utilisations connues des termes mathématiques de J. Miller

Vectori și matrici

Vectori

Noțiuni de bază	Vector în geometrie Bază Baza ortogonala Coordonatele vectoriale Coliniaritate Ortogonalitatea Dependență liniară Spațiu coloane
Tipuri de vectori	Vector unitar Vector axial vector izotrop Normal Coliniaritate Vector zero Vector rază Vector propriu
Operații pe vectori	Produs scalar produs vectorial produs mixt Produs pseudoscalar Produs dublu cruce
Tipuri de spațiu	spațiu vectorial spatiu afin Spațiul euclidian Spațiul pseudo-euclidian Spațiu normat Spațiul Minkowski

matrici

Noțiuni de bază	Înmulțirea matricei Matrice transpusă Matricea conjugată hermitiană Matricea simetrică matrice inversă Valoare proprie Polinom caracteristic al unei matrice
Matrici speciale	Matrice de identitate Matrice zero Matricea diagonală matricea lambda
Descompuneri de matrice	descompunerea LU Descompunerea Cholesky Descompunerea QR Descompunerea LUP descompunerea unei valori singulare Descompunerea spectrală a unei matrice

Alte