Condiții inițiale și limită

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 26 mai 2021; verificarea necesită 1 editare .

În teoria ecuațiilor diferențiale , condițiile inițiale și la limită sunt o completare la ecuația diferențială de bază ( obișnuită sau diferențială parțială ), care specifică comportamentul acesteia la momentul inițial de timp sau, respectiv, la limita regiunii luate în considerare.

De obicei, o ecuație diferențială nu are o singură soluție, ci o întreagă familie de ele. Condițiile inițiale și de limită vă permit să alegeți dintre ele unul care corespunde unui proces sau fenomen fizic real. În teoria ecuațiilor diferențiale obișnuite, se demonstrează o teoremă privind existența și unicitatea unei soluții la o problemă cu o condiție inițială (așa-numita problemă Cauchy ). Pentru ecuațiile cu diferențe parțiale, unele teoreme de existență și unicitate pentru soluții sunt obținute pentru anumite clase de probleme de valoare inițială și limită.

Terminologie

Uneori, condițiile inițiale din problemele non-staționare, cum ar fi soluția ecuațiilor hiperbolice sau parabolice, sunt denumite și condiții la limită .

Pentru problemele staționare, există o împărțire a condițiilor la limită în principale și naturale .

Condițiile principale au de obicei forma , unde este limita regiunii . $u(\partial \Omega )=g$ $\partial \Omega$ $\Omega$

Condițiile naturale conțin și derivata soluției față de normala la limită.

Exemplu

Ecuația descrie mișcarea unui corp în câmpul gravitațional al pământului . Este satisfăcută de orice funcție pătratică de forma în care sunt numere arbitrare. Pentru a izola o lege specifică a mișcării, este necesar să se indice coordonatele inițiale ale corpului și viteza acestuia, adică condițiile inițiale . ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-g$ $y(t)=-gt^{2}/2+at+b,$ $a,b$

Corectitudinea stabilirii condițiilor la limită

Problemele de fizică matematică descriu procese fizice reale și, prin urmare, afirmația lor trebuie să îndeplinească următoarele cerințe naturale:

Soluția trebuie să existe într-o clasă de funcție;
Soluția trebuie să fie unică în orice clasă de funcții;
Soluția trebuie să depindă continuu de date (condiții inițiale și la limită, interceptare, coeficienți etc.).

Cerința unei dependențe continue a soluției se datorează faptului că datele fizice, de regulă, sunt determinate aproximativ din experiment și, prin urmare, trebuie să fii sigur că rezolvarea problemei în cadrul modelului matematic ales va nu depind semnificativ de eroarea de măsurare. Din punct de vedere matematic, această cerință poate fi scrisă, de exemplu, după cum urmează (pentru independență față de termenul liber):

Să fie date două ecuații diferențiale: cu aceiași operatori diferențiali și aceleași condiții la limită, atunci soluțiile lor vor depinde continuu de termenul liber dacă: $Lu=F_{1},~Lu=F_{2}$

\forall \varepsilon >0~\exists \delta >0:~\left(\|F_{1}-F_{2}\|<\delta \right)\Rightarrow \left(\|u_{1 }-u_{2}\|<\varepsilon \right)

, unde , - soluții ale ecuațiilor corespunzătoare.

tu_{1}

u_{2)

Setul de funcții pentru care sunt îndeplinite cerințele enumerate se numește clasa de corectitudine . Stabilirea incorectă a condiţiilor la limită este bine ilustrată de exemplul lui Hadamard .

Vezi și

Literatură

Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Ecuații ale fizicii matematice. - Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0310-X .
Akhtyamov AM Teoria identificării condițiilor la limită și aplicațiile acesteia. — M. : Fizmatlit, 2009.
Akhtyamov A. M. , Sadovnichy V. A. , Sultanaev Ya. T. Probleme inverse Sturm-Liouville cu condiții de limită nedegradabile. - M. : Editura Universității din Moscova, 2009.

Fizică matematică

Tipuri de ecuații

Condiții de frontieră

Ecuații ale fizicii matematice

Difuzie și convecție	Ecuația căldurii Ecuația de difuzie Ecuația Mason-Weaver
Hidrodinamică	Ecuația de transfer Ecuații Navier-Stokes Ecuația lui Euler Ecuația Gromeka-Lamb Ecuația vortexului Ecuația burgerii Ecuații pentru apă puțin adâncă Ecuația Korteweg-de Vries
Electromagnetism	Ecuațiile lui Maxwell Ecuația Helmholtz Ecuația Landau-Lifshitz Ecuația Poisson ecranată
Mecanica cuantică	Ecuația Schrödinger Ecuația Heisenberg Ecuația Rarita-Schwinger Ecuația lui Hartree Ecuația lui Dirac Ecuația Klein-Gordon
Modele generale	Ecuația de continuitate ecuația de undă Ecuația Fokker-Planck Ecuația Poisson

Metode de rezolvare

Metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale

Metode grilă

Metode cu elemente finite	Metoda elementului finit metoda Galerkin Metoda Galerkin discontinuă Metoda cu elemente finite la scară multiplă Metoda Multigrid
Alte Metode	Metoda diferențelor finite Metoda volumului finit metoda lui Godunov Metoda elementului de limită

Metode non-grilă

Studiul ecuațiilor

subiecte asemănătoare