Diviziune (matematică)

Divizia

Desemnare	obelus
Opus	multiplicare
Fișiere media la Wikimedia Commons

Împărțirea ( operația de împărțire ) este inversul înmulțirii . Diviziunea este indicată prin două puncte , obelus , bară oblică sau scrisă ca o fracție . $:$ $\div$ $/$

Pentru numerele naturale, împărțirea înseamnă găsirea numărului (coeficientul) care trebuie luat de atâtea ori (divizor) pentru a obține (dividendul) dat.

Cu alte cuvinte, aceasta este găsirea numărului maxim posibil de repetări de scădere a unui divizor dintr-un dividend; sau găsirea unei valori atât de mari care poate fi scăzută din dividend de câte ori este indicat în divizor.

Luați în considerare, de exemplu, împărțirea la : $paisprezece$ $3$

De câte ori este conținut în ? $3$ $paisprezece$

Repetând operația de scădere din , aflăm că este conținută de patru ori și mai rămâne un număr „rămas” . $3$ $paisprezece$ $3$ $paisprezece$ $2$

În acest caz, numărul se numește divizibil , numărul este divizorul , numărul este câtul (incomplet) , iar numărul este restul (din împărțire) . $paisprezece$ $3$ $patru$ $2$

Coeficientul , raportul sau raportul complet al numerelor se numește un astfel de număr care . În cazul în care și , câtul lor total poate fi scris ca o fracție sau o fracție zecimală . $A$ $b$ $c$ $a=b\cdot c$ $a=14$ $b=3$ ${\frac {14}{3}}$ $4,(6)$

Numerele parțiale complete și incomplete și coincid dacă și numai dacă este divizibil egal ( este divizibil ) cu . Proprietatea corespunzătoare a unei perechi date de numere se numește divizibilitate . $A$ $b$ $A$ $b$

Forme și terminologie

Diviziunea este scrisă folosind unul dintre „ semnele de divizare ” - „ ” între argumente, această formă de notație se numește notație infixă . În acest context , semnul de diviziune este un operator binar . Semnul de împărțire nu are o denumire specială, cum ar fi semnul de adunare, care se numește „plus”. $\div ,~/,~:$

Cel mai vechi caracter utilizat pare să fie slash-ul (/). A fost folosit pentru prima dată de matematicianul englez William Oughtred în Clavis Mathematicae în 1631.
Matematicianul german Leibniz a preferat semnul de două puncte (:).El a folosit acest simbol în lucrarea sa Acta eruditorum din 1684. Înainte de Leibniz, acest semn a fost folosit de englezul Johnson în 1633 în cartea sa, dar ca semn de fracție, și nu de divizare. în sens restrâns.
Johann Rahn a introdus semnul obelus (÷) ca semn de diviziune, a apărut în Teutsche Algebra din 1659. Semnul lui Rahn este adesea denumit „marca de diviziune engleză”.

În manualele de matematică în limba rusă, două puncte (:) sunt folosite în principal. Bara oblică (/) este utilizată în notația computerizată. Rezultatul este scris folosind semnul egal " ", de exemplu: $=$

a:b=c

;

6:3=2

(„șase împărțit la trei este egal cu doi”);

65:5=13

(„şaizeci şi cinci împărţit la cinci este egal cu treisprezece”).

Proprietăți

Operația de împărțire pe mulțimi numerice are următoarele proprietăți principale: $\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$

Împărțirea nu este permutabilă (nu comutativă) - de la o schimbare a locurilor argumentelor, coeficientul se modifică:

a:b\neq b:a;

Împărțirea nu este asociativă - atunci când împărțirea a trei sau mai multe numere este efectuată succesiv, succesiunea operațiilor este importantă, rezultatul se va schimba:

(a:b):c\neq a:(b:c);

Diviziunea este distributivă corectă, aceasta este proprietatea de consistență a două operații binare definite pe aceeași mulțime, cunoscută și sub numele de legea distributivă [1] :

Distributivitatea :

(a+b):x=(a:x)+(b:x),~x\neq 0;

În ceea ce privește împărțirea, mulțimea are un singur element neutru în dreapta (numărul ), împărțirea cu unul (sau un element neutru) dă un număr egal cu originalul: $A$ $unu$

Element neutru din dreapta:

x:1=x;

În ceea ce privește împărțirea, există un singur element reciproc în mulțime, obținut prin împărțirea unu la un număr, care dă un număr care este inversul originalului: $A$

Element invers :

1:x={\frac {1}{x}}=x^{-1},~x\neq 0;

În ceea ce privește împărțirea, există un singur element zero în stânga în mulțime - un număr împărțit la orice număr dă zero: $A$ $0$

Element zero în stânga:

0:x=0,\quad \exists 0\in A,~x\neq 0;

Conform regulilor aritmeticii obișnuite, împărțirea la zero (element zero) nu este definită; $0$

Împărțirea la zero :

x:0=\infty ,\quad \exists 0\in A,~x\neq 0;

Împărțirea cu elementul opus dă minus unu:

x:(-x)=-1,\quad \exists !-x\in A,~x\neq 0.

Rezultatul împărțirii nu este întotdeauna sigur pentru mulțimi de numere naturale și numere întregi , pentru a obține un număr natural sau întreg ca rezultat al împărțirii, dividendul trebuie să fie un multiplu al divizorului. Este imposibil să obțineți un rezultat fracționar în aceste numere. În acest caz, vorbim despre împărțirea cu rest . Adică, împărțirea acestor mulțimi este o operație binară parțială . $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$

Operația de împărțire, definită pe mulțimi (în câmpuri ) de numere raționale , reale și complexe , dă un număr (privat) aparținând aceleiași mulțimi, prin urmare, mulțimile sunt închise față de operația de împărțire (la punctul 0 există un discontinuitate de al doilea fel - deci inelele numerelor raționale, reale și complexe sunt deschise în raport cu diviziunea). ${\mathbb {Q}}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {Q_{-0}} ,\mathbb {R_{-0}} ,\mathbb {C_{-0}}$

În expresiile matematice, operația de împărțire are prioritate față de operațiile de adunare și scădere, adică se realizează înaintea acestora.

Efectuarea unei diviziuni

Diviziunea este un hiperoperator de scădere și se reduce la scădere secvențială. :

$a:b=\operatorname {hyper-2} (a,b)=\operatorname {hyper} (a,-2,b)=a^{(-2)}b=c.$

$a{^{(-2)}}b=a:b=a\underbrace {-bb-\dots -b} _{c}.$

unde: este o succesiune de operații de scădere efectuate o singură dată. $-bb-\dots -b$ $c$

Într-o soluție practică a problemei împărțirii a două numere , este necesar să o reduceți la o succesiune de operații mai simple: scădere , comparare , transfer etc. Pentru aceasta, au fost dezvoltate diferite metode de împărțire, de exemplu, pentru numere, fracții. , vectori etc. În manualele de matematică în limba rusă, algoritmul este utilizat în prezent diviziuni de coloane . În acest caz, împărțirea trebuie considerată ca o procedură (spre deosebire de o operațiune).

O diagramă care ilustrează locurile pentru scrierea dividendului, divizorului, coeficientului, restului și calculelor intermediare la împărțirea la o coloană:

Din diagrama de mai sus se poate observa că câtul dorit (sau câtul incomplet când se împarte cu un rest) va fi scris sub divizor sub linia orizontală. Și calculele intermediare vor fi efectuate sub dividend și trebuie să aveți grijă de disponibilitatea spațiului pe pagină în avans. În acest caz, ar trebui să ne ghidăm după regulă: cu cât diferența dintre numărul de caractere este mai mare în intrările dividendului și divizorului, cu atât este necesar mai mult spațiu.

Un algoritm aproximativ pentru procedura de împărțire a numerelor naturale la o coloană

După cum puteți vedea, procedura este destul de complicată, constă dintr-un număr relativ mare de pași, iar la împărțirea numerelor mari, poate dura mult timp. Această procedură este aplicabilă împărțirii numerelor naturale și întregi (sub rezerva semnului). Pentru alte numere se folosesc algoritmi mai complexi.

Operațiile aritmetice asupra numerelor din orice sistem numeric pozițional sunt efectuate după aceleași reguli ca și în sistemul zecimal , deoarece toate se bazează pe regulile de efectuare a operațiilor pe polinoamele corespunzătoare [2] . În acest caz, trebuie să utilizați tabelul de scădere corespunzător bazei date a sistemului numeric. $P$

Un exemplu de împărțire a numerelor naturale în sisteme de numere binar , zecimal și hexazecimal :

110010│ 101 │ 0 — 0 50800│ 25 │ 0 — 0 CD530│ A8 │ 0 — 0 101 │1010 │ -101 — 1 50 │530│ A8 │ 0 — 0 101 │1010 │ -101 — 1 50 │ 50 │ 50 │ 50 │ 50 │ 50 │ 50 │ 20325 — 3 1F8 │ -1F8 — 3 101 80 │ -100 — 4 5D3 │ -2A0 — 4 101 75 │ ... — ... 540 │ -348 — 5 00 50 930 │ 6 -30 │ │ -30 │ 498 — 7 0.0.0.│ -540 - 8 │ -5E8 - 9 │ -690 - A │ -738 - B │ -7E0 - C │ -888 - D │ -930 - E

Împărțirea numerelor

Numerele naturale

Să folosim definiția numerelor naturale ca clase de echivalență de mulțimi finite . Să notăm clasele de echivalență ale mulțimilor finite generate prin bijecții cu ajutorul parantezelor: . Apoi operația matematică „diviziunea” este definită după cum urmează: $\mathbb {N}$ $C,A,B,R$ $[C],[A],[B],[R]$

$\quad [C]=[A]:[B]=[\rightarrow (A/B)]\quad \&\quad [R]$ - se numește împărțirea în părți egale (găsirea numărului de elemente din fiecare subset al partiției), numere private și numărul de elemente ale fiecărui subset al partiției; $A$ $b$
$\quad [C]=[A]:[B]=[A/(\rightarrow B)]\quad \&\quad [R]$ - se apelează împărțirea după conținut (găsirea numărului de subseturi ale partiției), numere private și numărul (număr) de subseturi ale partiției; $A$ $b$

unde: este o partiție a unei mulțimi finite în submulțimi disjunse la fel de numeroase , astfel încât: $A/B$

$B_{\alpha }=B_{\beta},$ $\quad \bigcup \limits _{\alpha \in C}B_{\alpha }+R=A,$ $\quad \bigcap _{\alpha,\beta \in C}(B_{\alpha },B_{\beta},R)=\{\emptyset \},$ pentru orice coeficienți astfel încât $\alpha ,\beta \in C$ $\alpha \not =\beta ;$

$R$ este restul (mulțimea elementelor rămase), , $\{\emptyset \}\leqslant R<B$

$\sageata dreapta$ — operațiune nulă „selectare element”.

În cazul în care un număr natural nu este divizibil cu altul fără rest, vorbim de împărțire cu rest . Următoarea restricție este impusă restului (astfel încât să fie corect, adică determinat unic): , , $0\leqslant r<|b|$ $a=b\cdot c+r$

unde: - dividend, - divizor, - coeficient, - rest. $A$ $b$ $c$ $r$

Această operație pe clase este introdusă corect, adică nu depinde de alegerea elementelor de clasă și coincide cu definiția inductivă.

Operația aritmetică „împărțire” este parțială pentru mulțimea numerelor naturale , (pentru semicercul numerelor naturale). $\mathbb {N}$

Relația dintre împărțirea numerelor naturale și împărțirea mulțimilor finite în clase face posibilă justificarea alegerii acțiunii de împărțire la rezolvarea unor probleme, de exemplu, de următorul tip:

„12 creioane au fost împărțite în 3 cutii în mod egal. Câte creioane sunt în fiecare cutie? Problema are în vedere o mulțime cu 12 elemente. Acest set este împărțit în 3 subseturi egale. Este necesar să se cunoască numărul de elemente din fiecare astfel de submulțime. Acest lucru poate fi găsit prin împărțirea - 12 carate. : 3 buc. După ce am calculat valoarea acestei expresii, obținem răspunsul la întrebarea problemei - există 4 creioane în fiecare cutie.
„Ar trebui aranjate 12 creioane în cutii, câte 3 creioane în fiecare. De câte cutii veți avea nevoie? Problema are în vedere un set de 12 elemente care este împărțit în submulțimi, fiecare dintre ele având 3 elemente, este necesar să se afle numărul de astfel de submulțimi. Poate fi găsit prin împărțire - 12 carate. : 3 ct. După ce am calculat valoarea acestei expresii, obținem răspunsul la întrebarea problemei - sunt necesare 4 casete.

Pentru a împărți numerele naturale în sistemul de notație pozițională pentru numere, algoritmul de împărțire este folosit de o coloană.

Diviziune întreagă

Împărțirea numerelor întregi arbitrare nu diferă semnificativ de împărțirea numerelor naturale - este suficient să împărțiți modulele lor și să țineți cont de regula semnului .

Cu toate acestea, împărțirea numerelor întregi cu un rest nu este definită în mod unic. Într-un caz, (precum și fără rest), modulele sunt considerate mai întâi și, ca urmare, restul capătă același semn ca și divizorul sau dividendul (de exemplu, cu un rest (-1)); într-un alt caz, conceptul de rest este direct generalizat și restricțiile sunt împrumutate de la numerele naturale: $-7/(-3)=2$

-7\equiv 2{\pmod 3}

Pentru a elimina ambiguitatea, se adoptă un acord: restul diviziunii este întotdeauna nenegativ.

Împărțirea numerelor raționale

Închiderea mulțimii numerelor întregi prin operația de împărțire duce la extinderea acesteia la mulțimea numerelor raționale. Acest lucru duce la faptul că rezultatul împărțirii unui număr întreg la altul este întotdeauna un număr rațional . Mai mult decât atât, numerele rezultate (raționale) susțin deja pe deplin operația de împărțire (sunt închise în raport cu aceasta).

Regula de împărțire a fracțiilor ordinare: ${\frac {a}{b)):{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot c}}={\frac {ad}{bc}}$

Împărțirea numerelor reale

Mulțimea numerelor reale este un câmp ordonat continuu , notat cu . Mulțimea numerelor reale nu este numărabilă, puterea sa se numește puterea continuumului . Operațiile aritmetice pe numere reale reprezentate prin fracții zecimale infinite sunt definite ca o continuare continuă [3] a operațiilor corespunzătoare asupra numerelor raționale. $\mathbb {R}$

Având în vedere două numere reale care pot fi reprezentate ca zecimale infinite :

\alpha =\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\},

\beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\},

definite, respectiv , de secvențele fundamentale de numere raționale (satisfăcând condiția Cauchy ), notate ca: și , atunci numărul lor privat se numește numărul definit de șirurile parțiale și : $\alpha =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\gamma =[c_{n}]$ $\{un}\}$ $\{b_{n}\}$

\gamma =\alpha :\beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}]:[b_{n}]=[a_{n}/b_{n}]

număr real , îndeplinește următoarea condiție: $\gamma =\alpha :\beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} ;~~~~(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a':b'\leqslant \alpha /\beta \leqslant a'':b'')\Rightarrow (a':b'\leqslant \gamma \leqslant a'' :b'').

Astfel, câtul a două numere reale este un astfel de număr real care este conținut între toate detaliile formei pe de o parte și toate particularitățile formei pe de altă parte [4] . Secțiunea Dedekind face posibilă determinarea unică a rezultatului divizării. $\alfa$ $\beta$ $\gamma$ $a':b'$ $a'':b''$

În practică, pentru a împărți două numere și , este necesar să le înlocuiți cu precizia necesară cu numere raționale aproximative și . Pentru valoarea aproximativă a numerelor private, luați privatul numerelor raționale indicate . În același timp, nu contează din ce parte (prin deficiență sau prin exces) numerele raționale luate aproximează și . Împărțirea se face conform împărțirii printr-un algoritm de coloană. $\alfa$ $\beta$ $A$ $b$ $\alpha :\beta$ $a:b$ $\alfa$ $\beta$

Eroarea absolută a unui număr aproximativ parțial: , eroarea absolută a unui număr este luată egală cu jumătate din ultima unitate a cifrei acestui număr. $\Delta \left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {|b|\cdot \Delta a+|a|\cdot \Delta b}{b^{2}} }$

Eroarea relativă a coeficientului este egală cu suma erorilor relative ale argumentelor: . Rezultatul obținut este rotunjit la prima cifră semnificativă corectă, cifra semnificativă a numărului aproximativ este corectă dacă eroarea absolută a numărului nu depășește jumătate din unitatea cifrei corespunzătoare acestei cifre. $\delta \left({\frac {a}{b}}\right)=\delta a+\delta b$

Un exemplu de împărțire , până la a treia zecimală: $\gamma =\pi:e$

Rotunjim aceste numere la a 4-a zecimală (pentru a îmbunătăți acuratețea calculelor);
Obținem: ; $\pi \aprox 3,1416,\ e\aprox 2,7183$
Împărțim la o coloană :; $\gamma =\pi:e\aprox 3,1416:2,7183\aprox 1,1557$
Rotunjirea la a treia zecimală: . $\gamma \aproximativ 1,156$

Program

Pe mulțimea de perechi de numere reale, intervalul funcției de diviziune are grafic forma unui paraboloid hiperbolic - o suprafață de ordinul doi [5] . $\mathbb {R} ^{2}$ $c=a:b~$

Deoarece , atunci pentru aceste mulțimi domeniul funcției de divizare va aparține acestei suprafețe. $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$

Împărțirea numerelor complexe

Setul de numere complexe cu operații aritmetice este un câmp și este de obicei notat cu simbolul . $\mathbb {C}$

Forma algebrică

Coeficientul a două numere complexe în notație algebrică este un număr complex egal cu:

z=c+fi={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a+di}{b+ei}}={\frac {ab+de}{ b^{2}+e^{2}}}+{\frac {db-ae}{b^{2}+e^{2}}}i,

unde: — numere complexe, , — unitate imaginară ; . $z,z_{1},z_{2)$ $a,b,c,d,e,f\in \mathbb {R}$ $i$ $z_{2}\neq 0,~~~b+ei\neq 0$

În practică, câtul numerelor complexe se găsește înmulțind dividendul și divizorul cu conjugatul complex al divizorului:

$z=c+fi={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a+di}{b+ei}}={\frac {(a+di) (b-ei)}{(b+ei)(b-ei)}}={\frac {ab+de}{b^{2}+e^{2}}}+{\frac {db-ae }{b^{2}+e^{2}}}i,$ $~~z_{2}\neq 0,~~~b+ei\neq 0;$

divizorul devine un număr real, iar două numere complexe sunt înmulțite la numărător, apoi fracția rezultată este împărțită termen cu termen. Rezultatul este definit pentru toată lumea $b+ei\neq 0=0+0i$

Forma trigonometrică

Pentru a împărți două numere complexe în notație trigonometrică , trebuie să împărțiți modulul dividendului la modulul divizorului și să scădeți argumentul divizor din argumentul dividendului:

$z=c+fi={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a+di}{b+ei}}={\frac {r_{1}( \cos \varphi _{1}+i\sin \varphi _{1})}{r_{2}(\cos \varphi _{2}+i\sin \varphi _{2})))={\ frac {r_{1}}{r_{2}}}(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2} ),$

unde: - modulul şi argumentul unui număr complex; . ${\displaystyle r_{n}=|z_{n}|=|x+yi|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}};~~~\varphi _{n}=\ operatorname {Arg} (z_{n})=\operatorname {arctg} {\biggl (}{\frac {x}{y}}{\biggr )))$ $z_{2}\neq 0,~~~r_{2}\neq 0$

Adică, modulul câtului a două numere complexe este egal cu câtul modulelor, iar argumentul este diferența dintre argumentele dividendului și divizorului.

Forma exponențială (exponențială)

Împărțirea unui număr complex în formă exponențială la un număr complex se reduce la rotirea vectorului corespunzător numărului cu un unghi și modificarea lungimii acestuia cu un factor. Pentru numerele complexe private în formă exponențială, egalitatea este adevărată: $z_{1}=a+di=r_{1}e^{i\varphi _{1))$ $z_{2}=b+ei=r_{2}e^{i\varphi _{2}}$ $z_{1}$ $\operatorname {Arg} (z_{2})$ $|z_{2}|$

$z=c+fi={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a+di}{b+ei}}={\frac {r_{1}e ^{i\varphi _{1}}}{r_{2}e^{i\varphi _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}e^{i (\varphi _{1}-\varphi _{2})};$

unde: - numărul e ; . $e=2{,}718281828\dots$ $z_{2}\neq 0,~~~r_{2}\neq 0$

Notație exponențială

În notație exponențială, numerele sunt scrise ca , unde este mantisa , este caracteristica numărului , este baza sistemului numeric, . Pentru a împărți două numere care sunt scrise în formă exponențială, este necesar să se separe mantisa și caracteristicile: $a=\pm x\cdot P^{\pm n)$ $X$ $P^{n}$ $P$ $n\în \mathbb{Z }$ $(a\cdot P^{n}):(b\cdot P^{k})=(a:b)\cdot (P^{n}:P^{k})={\frac { a}{b}}\cdot P^{nk}.$

De exemplu:

(6{,}34\cdot 10^{4}):~(2{,}16\cdot 10^{-2})=(6{,}34:~2{,}16)\ cdot (10^{4}:10^{-2})\aprox 2{,}935\cdot 10^{(4-(-2))}\aprox 2{,}94\cdot 10^{4+ 2}\aproximativ 2{,}94\cdot 10^{6}.

Împărțirea mărimilor fizice

Unitatea de măsură a unei mărimi fizice are un nume specific ( dimensiune ): pentru lungime (L) - metru (m), pentru timp (T) - secundă (s), pentru masă (M) - gram (g) și așadar pe. Prin urmare, rezultatul măsurării unei anumite mărimi nu este doar un număr, ci un număr cu numele [6] . Numele este un obiect independent care participă în mod egal la operația de divizare. La efectuarea unei operații de împărțire pe mărimi fizice, atât componentele numerice în sine, cât și numele lor sunt împărțite.

Pe lângă mărimile fizice dimensionale, există mărimi adimensionale (cantitative) care sunt formal elemente ale axei numerice , adică numere care nu sunt legate de anumite fenomene fizice (măsurate prin „bucăți”, „timpi”, etc.). La împărțirea numerelor care reprezintă mărimi fizice la o mărime adimensională, numărul divizibil își schimbă mărimea și păstrează unitatea de măsură. De exemplu, dacă luați 15 cuie și le puneți în 3 cutii, atunci, ca urmare a împărțirii, obținem 5 cuie în fiecare cutie:

15~{\text{gw):3=5~{\text{gw)).

Împărțirea mărimilor fizice eterogene ar trebui considerată ca găsirea unei noi mărimi fizice care este fundamental diferită de mărimile pe care le împărțim. Dacă este posibil din punct de vedere fizic să creați un astfel de coeficient, de exemplu, atunci când găsiți muncă, viteză sau alte cantități, atunci această cantitate formează un set diferit de cele inițiale. În acest caz, compoziției acestor cantități i se atribuie o nouă denumire ( termen nou ), de exemplu: densitate , accelerație , putere , etc. [7] .

De exemplu, dacă împărțiți lungimea la timpul corespunzător unui proces fizic, obțineți un număr numit (cantitate fizică) care corespunde aceluiași proces fizic, care se numește „viteză” și se măsoară în „metri pe secundă”: $L=8~{\text{m}}~$ $T=2~{\text{s)),~$ $V=4~{\text{m/s)).$

V=L:T=8~{\text{m}}:2~{\text{s}}=4~~{\text{(m:s)))=4~{\text{ Domnișoară}}.

Când descriem procesele fizice prin mijloace matematice, un rol important îl joacă conceptul de omogenitate, ceea ce înseamnă, de exemplu, că „1 kg de făină” și „1 kg de cupru” aparțin unor seturi diferite {făină} și {cupr} , respectiv, și nu pot fi separate direct. De asemenea, conceptul de omogenitate sugerează că cantitățile divizibile aparțin unui proces fizic. Este inacceptabil să împărțiți, de exemplu, viteza unui cal la timpul unui câine.

Împărțirea în algebră

Spre deosebire de cele mai simple cazuri aritmetice, pe mulțimi și structuri arbitrare, diviziunea poate fi nu numai nedefinită, dar poate avea și o multitudine de rezultate.

De obicei, în algebră, diviziunea este introdusă prin conceptul de identitate și elemente inverse. Dacă elementul de identitate este introdus în mod unic (de obicei axiomatic sau prin definiție), atunci elementul invers poate fi adesea fie stânga ( ) fie dreapta ( ). Aceste două elemente inverse pot exista sau nu separat, egale sau nu egale între ele. $x^{{-1}}*x=e$ $x*x^{{-1}}=e$

De exemplu, raportul matricelor este determinat prin matricea inversă, în timp ce chiar și pentru matricele pătrate poate fi:

B^{{-1}}\cdot A\neq A\cdot B^{{-1}}

Raportul tensorilor nu este în general definit.

Împărțirea polinoamelor

În termeni generali, repetă ideile de împărțire a numerelor naturale, deoarece un număr natural nu este altceva decât valorile unui polinom, în care coeficienții sunt cifre, iar baza sistemului numeric este în loc de o variabilă:

5334_{8}=5\cdot 8^{3}+3\cdot 8^{2}+3\cdot 8^{1}+4\cdot 8^{0}=\left.(5x^{3} +3x^{2}+3x+4)\right|_{{x=8}}

Prin urmare, următoarele sunt definite în mod similar: coeficientul, divizorul, dividendul și restul (cu singura diferență că restricția se impune asupra gradului restului). Prin urmare, împărțirea pe o coloană este aplicabilă și împărțirii polinoamelor .

Diferența constă în faptul că la împărțirea polinoamelor, accentul principal este pus pe gradele dividendului și al divizorului, și nu pe coeficienți. Prin urmare, se presupune de obicei că câtul și divizorul (și, prin urmare, restul) sunt definite până la un factor constant.

Împărțire cu zero

Prin definiția seturilor de numere, împărțirea cu numărul 0 nu este definită. Coeficientul de împărțire a oricărui număr altul decât zero la zero nu există, deoarece în acest caz niciun număr nu poate satisface definiția unui cot [8] . Pentru a determina această situație, se presupune că rezultatul acestei operații este considerat „infinit de mare” sau „egal cu infinitul ” (pozitiv sau negativ, în funcție de semnul operanzilor). Din punct de vedere geometric , se realizează o extensie afină a dreptei numerice . Adică, succesiunea obișnuită de numere reale este „comprimată” astfel încât să fie posibil să se opereze cu limitele acestei secvențe. Două cantități abstracte infinit de mari sunt introduse ca granițe (condiționale) . Din punct de vedere al topologiei generale , o compactare în două puncte a dreptei numerice se realizează prin adăugarea a două puncte idealizate (infinite cu semnul opus). Scrie: $\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ $+\infty ,-\infty$

a:0=\pm \infty

, Unde

a\neq 0.

Dacă facem o extensie proiectivă a mulțimii numerelor reale prin introducerea unui punct idealizat care leagă ambele capete ale dreptei reale, atunci din punctul de vedere al topologiei generale se va realiza o compactare într-un punct a dreptei reale prin adăugând infinit nesemnat. Să suplimentăm setul de numere rezultat cu un nou element , ca rezultat obținem , pe această bază se construiește o structură algebrică numită „ Roată ” (Roată) [9] . Termenul a fost luat din cauza asemănării cu imaginea topologică a prelungirii proiective a dreptei reale și a punctului 0/0. Modificările efectuate transformă acest sistem algebric într-un monoid atât prin operația de adunare (cu zero ca element neutru), cât și prin operația de înmulțire (cu unitatea ca element neutru). Acesta este un tip de algebră în care diviziunea este întotdeauna definită. În special, împărțirea la zero are sens. $\infty ~$ $\perp =0/0$ $\mathbb {R} _{\perp }^{\infty}=\mathbb {R} \cup \{\infty,\perp \)$ ${\mathfrak {W}}=\langle \mathbb {R} _{\perp }^{\infty},0,1,+,\cdot,/\rangle ~$

Există și alte sisteme algebrice cu împărțirea la zero. De exemplu, „pajiști comune” (pajiști comune) [10] . Sunt puțin mai simple, deoarece nu extind spațiul prin introducerea de elemente noi. Scopul se atinge ca la roti, prin transformarea operatiilor de adunare si inmultire, precum si respingerea impartirii binare.

Vezi și

Note

↑ Deci aceste proprietăți sunt numite în manualele pentru clasele elementare
↑ Sisteme numerice, 2006 , p. 3.
↑ Deoarece relația de ordine liniară a fost deja introdusă pe mulțimea numerelor reale, putem defini topologia dreptei reale: ca mulțimi deschise, luăm toate uniunile posibile de intervale de forma $\{x:\alpha <x<\beta \}$
↑ Ilyin, 1985 , p. 46.
↑ Ecuația poate fi ușor redusă printr-o schimbare a variabilelor la ecuația unui paraboloid hiperbolic . $z={\frac {x}{y)}$ ${\frac {z^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2x$
↑ Volinskaya N. I. Lecție integrată de fizică și matematică, Măsurarea mărimilor fizice și a unităților lor, școala 7, Brest . brestschool7.iatp.by. Preluat la 18 aprilie 2016. Arhivat din original la 7 august 2016. (nedefinit)
↑ Makarov Vladimir Petrovici. Despre „dimensiunea” mărimilor fizice . lithology.ru, Lithology.RF. Preluat la 18 aprilie 2016. Arhivat din original la 6 mai 2016. (nedefinit)
↑ M. Ya. Vygodsky Manual de matematică elementară.
↑ Jesper Carlstrom. Divizia Wheels-On de către Zero. - Stockholm: Departamentul de Matematică Universitatea din Stockholm, 2001. - 48 p.
↑ Jan A. Bergstra și Alban Ponse. Împărțire după Zero în Pajiști comune . - Țările de Jos: Secțiunea Teoria Informaticii Institutul de Informatică, Facultatea de Științe Universitatea din Amsterdam, 2014. - 16 p. Arhivat pe 26 martie 2018 la Wayback Machine

Literatură

Ilyin V.A. etc Analiza matematică. Curs inițial. (neopr.) . - Universitatea de Stat din Moscova, 1985. - T. 1. - 662 p.
Sisteme numerice . - Vologda: GOU SPO „Colegiul de Inginerie Vologda”, 2006. - S. 3. - 16 p.

Dicționare și enciclopedii	Mare norvegian Brockhaus și Efron Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	GND : 4150319-3 J9U : 987007557947605171 LCCN : sh85038610 NDL : 00575006 NKC : ph896353