Comanda 4 fagure dodecaedral
| Comanda 4 fagure dodecaedral | |
|---|---|
| Tip de | Faguri obișnuiți hiperbolici |
| Simbolul Schläfli | {5,3,4} {5,3 1,1 } |
| Diagramele Coxeter-Dynkin |
      ↔ 
|
| celule | {5,3} |
| Fațete | Pentagon {5} |
| figura coastelor | pătrate {4} |
| Figura de vârf | Octaedru |
| Faguri duali | Faguri cubici comanda 5 |
| grupul Coxeter | BH 3 , [5,3,4] DH 3 , [5,3 1,1 ] |
| Proprietăți | Faguri obișnuiți, cvasi-regulați |
În spațiul 3D hiperbolic , ordinul 4 faguri dodecaedrici sunt unul dintre cele patru teselații compacte obișnuite de umplere a spațiului (sau faguri ). Având simbolul Schläfli {5,3,4}, fagurele are patru dodecaedre în jurul fiecărei margini și 8 dodecaedre în jurul fiecărui vârf într- un aranjament octaedric . Vârfurile de tip fagure sunt construite pe 3 axe ortogonale. Corpul dual al fagurilor este faguri cubici de ordinul 5 .
Fagurii geometrici sunt celule poliedrice care umplu spațiul în așa fel încât să nu rămână goluri libere. Fagurii sunt un exemplu de concept matematic mai general de placare în spații de orice dimensiune.
Fagurii de miere sunt de obicei construiti în spațiul obișnuit euclidian („plat”) ca fagurii uniformi convexi . Ele pot fi construite și în spații non-euclidiene, cum ar fi fagurii omogene hiperbolici . Orice poliedru uniform finit poate fi proiectat pe circumsfera sa pentru a forma un fagure uniform pe spațiul sferic.
Descriere
Unghiul diedric al unui dodecaedru este de ~116,6°, deci nu este posibil să plasați 4 dodecaedre pe o muchie în spațiul tridimensional euclidian. Cu toate acestea, în spațiul hiperbolic, dodecaedrul poate fi dimensionat astfel încât unghiurile sale diedrice să scadă la 90 de grade, caz în care patru dodecaedre umplu exact spațiul din jurul fiecărei margini.
Simetrie
Fagurii sunt construiti cu semisimetrie, {5,3 1,1 }, cu două tipuri (culori) de plăci hexagonale în construcția Wythoff .↔.
Desene
Poliedre și faguri înrudite
Există patru tipuri de faguri compacti obișnuiți în spațiul hiperbolic 3D:
{5,3,4} |
{4,3,5} |
{3,5,3} |
{5,3,5} |
Există cincisprezece tipuri de faguri uniformi în familia [5,3,4] a grupurilor Coxeter , inclusiv aceste forme regulate.
| {5,3,4}
|
r{5,3,4}
|
t{5,3,4}
|
rr{5,3,4}
|
t 0,3 {5,3,4}
|
tr{5,3,4}
|
t 0,1,3 {5,3,4}
|
t0,1,2,3 { 5,3,4 }
|
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| {4,3,5}
|
r{4,3,5}
|
t{4,3,5}
|
rr{4,3,5}
|
2t{4,3,5}
|
tr{4,3,5}
|
t 0,1,3 {4,3,5}
|
t0,1,2,3 { 4,3,5 }
|
Există unsprezece tipuri de faguri uniformi în familia ramificată [5,3 1,1 ] a grupurilor Coxeter, inclusiv faguri în formă alternativă. Această construcție poate fi reprezentată prin alternarea (ca pe o tablă de șah) cu două culori de celule dodecaedrice.
Acești faguri sunt, de asemenea, înrudiți cu fagurii cubi cu 16 celule și fagurii de țiglă hexagonală de ordinul 4 , toți având figuri octaedrice de vârf:
| Faguri obișnuiți {p,3,4} | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Spaţiu | S3 _ | E 3 | H3 _ | ||||||||
| Vedere | Final | afin | Compact | Paracompact | Neocompact | ||||||
| Nume | {3,3,4}
|
{4,3,4}   
|
{5,3,4}
|
{6,3,4}   
|
{7,3,4}
|
{8,3,4}  
|
... {∞,3,4} 
| ||||
| Imagine | |||||||||||
| celule | {3,3}
|
{4,3}
|
{5,3}
|
{6,3}
|
{7,3}
|
{8,3}
|
{∞,3}
| ||||
Acești faguri fac parte dintr-o secvență de poliedre 4D și faguri cu celule dodecaedrice :
| Spaţiu | S3 _ | H3 _ | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Vedere | Final | Compact | Paracompact | Neocompact | |||
| Nume | {5,3,3}
|
{5,3,4}
|
{5,3,5}
|
{5,3,6}
|
{5,3,7}
|
{5,3,8}
|
... {5,3,∞}
|
| Imagine | |||||||
figura de vârf 
|
{3,3}
|
{3,4}
|
{3,5}
|
{3,6}
|
{3,7}
|
{3,8}
|
{3,∞}
|
Faguri dodecaedrici trunchiați complet de ordinul 4
| Faguri dodecaedrici trunchiați complet de ordinul 4 | |
|---|---|
| Tip de | Faguri omogene în spațiu hiperbolic |
| Simbolul Schläfli | r{5,3,4} r{5,3 1,1 } |
| Diagramele Coxeter-Dynkin |
↔
|
| celule | r{5,3} {3,4} |
| Fațete | Triunghiuri {3} Pentagoane {5} |
| Figura de vârf | cub |
| grupul Coxeter | BH 3 , [5,3,4] DH 3 , [5,3 1,1 ] |
| Proprietăți | Vertex-tranzitiv, margine-tranzitiv |
Faguri dodecaedrici trunchiați complet de ordinul 4’ ,, au celule alternante octaedrice și icosidodecaedrice , cu un cub ca figura de vârf .
Există patru tipuri de faguri obișnuiți compacti complet trunchiați:
| Imagine | ||||
|---|---|---|---|---|
| Desemnare | r{5,3,4}
|
r{4,3,5}
|
r{3,5,3}
|
r{5,3,5}
|
Figura de vârf |
Faguri dodecaedrici trunchiați de ordinul 4
| Faguri dodecaedrici trunchiați de ordinul 4 | |
|---|---|
| Tip de | Faguri omogene în spațiu hiperbolic |
| Simbolul Schläfli | t{5,3,4} t{5,3 1,1 } |
| Diagramele Coxeter-Dynkin |
↔
|
| celule | t{5,3} {3,4} |
| Fațete | Triunghiuri {3} Decagoane {10} |
| Figura de vârf | piramidă pătrată |
| grupul Coxeter | BH 3 , [5,3,4] DH 3 , [5,3 1,1 ] |
| Proprietăți | Vertex tranzitiv |
Faguri dodecaedrici trunchiați de ordinul 4 ,, au celule octaedrice și dodecaedrice trunchiate cu un cub ca figura de vârf .
Fagurii pot fi considerați ca un analog al plăcilor pentagonale trunchiate hiperbolice bidimensionale de ordinul 4 t{5,4} cu pentagon trunchiat și fețe pătrate:
Faguri înrudiți| Imagine | ||||
|---|---|---|---|---|
| Desemnare | t{5,3,4}
|
t{4,3,5}
|
t{3,5,3}
|
t{5,3,5}
|
Figura de vârf |
Comanda 4 faguri dodecaedrici bitrunchiati
| Comanda 4 fagure dodecaedral bitruncat Comanda 5 fagure cubic bitruncat | |
|---|---|
| Tip de | Faguri omogene în spațiu hiperbolic |
| Simbolul Schläfli | 2t{5,3,4} 2t{5,3 1,1 } |
| Diagramele Coxeter-Dynkin |
↔
|
| celule | t{3,5} t{3,4} |
| Fațete | Triunghiuri {3} Pătrate {4} Hexagoane {6} |
| Figura de vârf | Tetraedru |
| grupul Coxeter | BH 3 , [5,3,4] DH 3 , [5,3 1,1 ] |
| Proprietăți | Vertex tranzitiv |
Comandați 4 fagure dodecaedric bitruncat sau comandați 5 fagure cubi bitruncat ,, au octaedre trunchiate și icosaedre trunchiate ca celule și un tetraedru ca figură de vârf .
Faguri înrudiți
| Imagine | |||
|---|---|---|---|
| Desemnare | 2t{4,3,5}
|
2t{3,5,3}
|
2t{5,3,5}
|
Figura de vârf |
Faguri dodecaedrici teșiți de ordinul 4
| Fagure dodecaedral teșit de ordinul 4 | |
|---|---|
| Tip de | Faguri omogene în spațiu hiperbolic |
| Simbolul Schläfli | rr{5,3,4} rr{5,3 1,1 } |
| Diagramele Coxeter-Dynkin |
↔
|
| celule | rr{3,5} r{3,4} {}x{4} cub |
| Fațete | Triunghiuri {3} Pătrate {4} Pentagoane {5} |
| Figura de vârf | prisma triunghiulara |
| grupul Coxeter | BH 3 , [5,3,4] DH 3 , [5,3 1,1 ] |
| Proprietăți | Vertex tranzitiv |
Fagure dodecaedral oblic de ordinul 4 ,, au celule rombicosidodecaedrice , cuboctaedrice și cubice și o prismă triunghiulară ca vârf .
Faguri înrudiți
| Patru tipuri de faguri compacti obișnuiți teșiți în H 3 | |||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
Ordine trunchiată oblic 4 faguri dodecaedrici
| Faguri dodecaedrici trunchiați oblic de ordinul 4 | |
|---|---|
| Tip de | Faguri omogene în spațiu hiperbolic |
| Simbolul Schläfli | tr{5,3,4} tr{5,3 1,1 } |
| Diagramele Coxeter-Dynkin |
↔
|
| celule | tr{3,5} t{3,4} {}x{4} Cuburi |
| Fațete | pătrate {4} hexagoane {6} decagoane {10} |
| Figura de vârf | sfenoid oglindă |
| grupul Coxeter | BH 3 , [5,3,4] DH 3 , [5,3 1,1 ] |
| Proprietăți | Vertex tranzitiv |
Fagurii dodecaedrici trunchiați oblic de ordinul 4 sunt faguri uniformi cu o diagramă Coxeter-Dynkinşi având ca figură de vârf un sfenoid oglindă .
Faguri înrudiți
| Imagine | ||||
|---|---|---|---|---|
| Desemnare | tr{5,3,4}
|
tr{4,3,5}
|
tr{3,5,3}
|
tr{5,3,5}
|
Figura de vârf |
Faguri dodecaedrici trunchiați de ordinul 4
| Faguri dodecaedrici trunchiați de ordinul 4 | |
|---|---|
| Tip de | Faguri omogene în spațiu hiperbolic |
| Simbolul Schläfli | t 0,1,3 {5,3,4} |
| Diagramele Coxeter-Dynkin |
|
| celule | t{5,3} rr{3,4} {}x{10} {}x{4} |
| Fațete | Triunghiuri {3} Pătrate {4} Decagoane {10} |
| Figura de vârf | piramida cvadrupla |
| grupul Coxeter | BH3 , [ 5,3,4] |
| Proprietăți | Vertex tranzitiv |
Fagurii dodecaedrici trunchiați de ordinul 4 sunt faguri uniformi cu o diagramă Coxeter-Dynkinși o piramidă patruunghiulară ca o figură de vârf .
Faguri înrudiți
| Patru tipuri de faguri compacti obișnuiți trunchiați de plug în H 3 | |||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
Vezi și
- Faguri omogene convexi în spațiu hiperbolic
- Sfera de omologie Poincaré Spațiu dodecaedral Poincaré
- Seifert –Weber space Seifert–Weber spațiu dodecaedral
- Lista poliedrelor și compușilor multidimensionali obișnuiți
Note
Literatură
- Coxeter . Tabelele I și II: Politopuri obișnuite și faguri //Politopi obișnuiți . — al 3-lea. ed.. - Dover Publications, 1973. - p . 294-296 . — ISBN 0-486-61480-8 .
- Coxeter . Capitolul 10: Faguri obișnuiți în spațiul hiperbolic, Tabelele rezumative II,III,IV,V // Frumusețea geometriei: Douăsprezece eseuri . - Dover Publications, 1999. - S. 212-213 . - ISBN 0-486-40919-8 .
- Jeffrey R. Săptămâni. Capitolul 16-17: Geometrii pe trei varietăți I,II // Forma spațiului. — al 2-lea. — ISBN 0-8247-0709-5 .
- NW Johnson . Politopuri uniforme. - 1991. - (Manuscris).
- NW Johnson . Teoria politopilor și fagurilor uniformi. - Universitatea din Toronto, 1966. - (Teza de doctorat).
- NW Johnson . Capitolul 13: Grupuri Coxeter hiperbolice // Geometrii și transformări. — 2015.