Constanta De Bruijn-Newman

Constanta de Bruijn-Newman este o constantă matematică , notată cu Λ. Numit după Nicholas Govert de Bruyne și Charles M. Newman.

Descriere

Luați în considerare funcția xi Riemann:

\Xi (iz)={\frac {1}{2}}\left(z^{2}-{\frac {1}{4}}\right)\pi ^{-{\frac { z}{2}}-{\frac {1}{4}}}\Gamma \left({\frac {1}{2}}z+{\frac {1}{4}}\right)\zeta \ stânga(z+{\frac {1}{2}}\dreapta)

Expresia poate fi reprezentată ca transformată Fourier : ${\frac {\Xi (z/2)}{8}}$

\Phi (t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(2\pi ^{2}n^{4}e^{9t}-3\pi n^{2 }e^{5t}\right)e^{-\pi n^{2}e^{4t}}}

pentru . Atunci notăm transformata Fourier ca : $t\in \mathbb {R} \geq 0$ $\Phi (t)e^{\lambda t^{2)}$ $H(\lambda,z)$

{\mathcal {F}}_{t}\left[\Phi (t)e^{\lambda t^{2}}\right]=H(\lambda,z)

Constanta este definită în termenii zerourilor funcției H(λ, z). Are zerouri reale dacă și numai dacă λ ≥ Λ. Constanta este strâns legată de ipoteza Riemann privind zerourile funcției zeta Riemann .

Înțeles

De Bruijn a arătat [1] în 1950 că H are doar zerouri reale pentru λ > 1/2 și, în plus, dacă H are doar zerouri reale pentru unele λ, atunci H are și zerouri reale pentru valori mai mari ale lui λ . Limita superioară a lui De Bruijn Λ ≤ 1/2 nu a fost dovedită până în 2008, când Haseo Ki, Young-One Kim și Jungseob Lee au demonstrat [2] că Λ < 1/2, făcând demonstrația riguroasă [3] .

În decembrie 2018, proiectul Polymath a îmbunătățit limita superioară a constantei Λ la 0,22 [4] [5] .

Din aprilie 2020, cea mai bună limită superioară pentru constantă este Λ ≤ 0,2 [6] .

Calcule serioase pentru a găsi limita inferioară au fost făcute din 1988 și sunt încă în desfășurare (din 2018):

An	Limita inferioară Λ
1988	−50
1991	−5
1990	-0,385
1994	−4,379×10 −6
1993	−5,895×10 −9 [7]
2000	−2,7×10 −9 [8]
2011	−1,1×10 −11 [9]
2018	≥ 0 [10] [11]

Deoarece este o transformată Fourier , atunci H are o reprezentare Wiener-Hopf: $H(\lambda,x)$ $F(e^{\lambda x}\Phi )$

\xi (1/2+iz)=A{\sqrt {\pi }}(\lambda )^{-1}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{{ \frac {-1}{4\lambda }}(xz)^{2}}H(\lambda ,x)dx

care este valabil numai pentru valorile nenegative ale lui λ. În limita λ tinde spre 0, atunci dacă λ este negativ, H este definit după cum urmează: $H(0,x)=\xi (1/2+ix)$

H(\lambda,z)=B{\sqrt {\pi }}(\lambda )^{-1}\int \limits _{-\infty }^{\infty}e^{{\frac {-1}{4\lambda }}(xz)^{2}}\xi (1/2+ix)dx

Aici A și B sunt constante reale.

În ianuarie 2018, Brad Rogers și Terence Tao au publicat un articol pe arXiv.org , în care susțin că constanta de Bruijn-Newman este nenegativă [10] [11] [5] .

Note

↑ Nicolaas Govert de Bruijn. Rădăcinile integralelor triginometrice (engleză) // Duke Math. J.. - 1950. - Vol. 17 , nr. 3 . — P. 197–226 . Arhivat din original pe 10 septembrie 2018.
↑ Haseo Ki, Young-One Kim, Jungseob Lee. Despre constanta de Bruijn–Newman // Progrese în matematică. - 2009. - Vol. 222 , nr. 1 . - P. 281-306 . — ISSN 0001-8708 . Arhivat din original pe 9 august 2017.
↑ Regiuni fără zero . Preluat la 9 august 2018. Arhivat din original la 12 iunie 2018. (nedefinit)
↑ Mergând sub Λ ≤ 0,22? . Preluat la 9 august 2018. Arhivat din original la 13 august 2018. (nedefinit)
↑ 1 2 Charles M. Newman, Wei Wu. Constante de tip de Bruijn-Newman în teoria analitică a numerelor și fizica statistică . arXiv:1901.06596 [math-ph] (19 ianuarie 2019). Preluat la 15 martie 2019. Arhivat din original la 22 ianuarie 2020. (nedefinit)
↑ Dave Platt, Tim Trudgian. Ipoteza Riemann este adevărată până la 3⋅10^12 . arXiv:2004.09765 [math.NT] (21 aprilie 2020). Preluat la 2 mai 2021. Arhivat din original la 17 aprilie 2021. (nedefinit)
↑ G. Csordas, A.M. Odlyzko, W. Smith, R.S. Varga. O nouă pereche de zerouri Lehmer și o nouă limită inferioară pentru constanta De Bruijn–Newman Lambda // Electronic Transactions on Numerical Analysis. - 1993. - Vol. 1 . — P. 104–111 . Arhivat din original pe 19 august 2021.
↑ Andrew Odlyzko. O limită îmbunătățită pentru constanta de Bruijn–Newman // Algoritmi numerici. - 2000. - Vol. 25 . - P. 293-303 .
↑ G. Csordas, A.M. Odlyzko, W. Smith, R.S. Varga. O limită inferioară îmbunătățită pentru constanta de Bruijn–Newman // Matematica calculului. - 2011. - Vol. 80 , nr. 276 . — P. 2281–2287 .
↑ 1 2 Brad Rodgers, Terence Tao. Constanta De Bruijn–Newman este nenegativă. — 2018.
↑ 1 2 Constanta De Bruijn-Newman este nenegativă (19 ianuarie 2018). Preluat la 9 august 2018. Arhivat din original la 11 iulie 2018. (nedefinit)

Numere cu nume proprii

Constante matematice

Algebric

Transcendental ,
probabil transcendental

Grade de o mie

numere vechi rusești

Alte puteri de zece

Puterile de doisprezece

Altele întregi

Alte numere

unitate imaginară