Omega (permanent)

Constanta omega este o constantă matematică , definită ca singurul număr real care satisface ecuația

\Omega e^{\Omega}=1

Această valoare este , unde este funcția W Lambert . Numele provine de la un nume alternativ pentru funcția W a lui Lambert, funcția omega. Valoare numerica : $W(1)$ $W$ $\Omega$

\Omega =0,567\,143\,290\,409\,783\,872\,999\,968\,662\,210\,355\,549\,753\,815\,787\ ,186\,512\,508\,135\,131\,079\ldots

(secvența A030178 în OEIS )

{\frac {1}{\Omega }}=1,763\,222\,834\,351\,896\,710\,225\,201\,776\,951\,707\,080\ ,436\,017\,986\,667\,473\,634\,570\,456\,905\ldots

(secvența A030797 în OEIS )

Proprietăți

Reprezentarea ca punct fix al afișajului

Relația definitorie poate fi exprimată, de exemplu, ca

\ln {\biggl (}{\frac {1}{\Omega }}{\biggr )}=\Omega

-\ln(\Omega )=\Omega

e^{-\Omega }=\Omega

Calcul

Poate fi calculat iterativ pornind de la estimarea inițială și luând în considerare succesiunea $\Omega$ $\Omega _{0)$

\Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n)}

Această secvență converge la pe măsură ce n merge la infinit. Acest lucru se datorează faptului că este punctul fix atrăgător al funcției . Cu toate acestea, este mult mai eficient să folosiți relația de recurență $\Omega$ $\Omega$ $e^{-x}$

\Omega _{n+1}={\frac {1+\Omega _{n}}{1+e^{\Omega _{n}}}}

deoarece funcţia

f(x)={\frac {1+x}{1+e^{x}))

pe lângă faptul că are același punct fix, are și o derivată care dispare acolo. Aceasta garantează convergența pătratică; adică numărul de cifre corecte se dublează aproximativ cu fiecare iterație.

Folosind metoda lui Halley , se poate aproxima folosind convergența cubică: $\Omega$

\Omega _{j+1}=\Omega _{j}-{\frac {\Omega _{j}e^{\Omega _{j)}-1}{e^{\Omega _{ j}}(\Omega _{j}+1)-{\frac {(\Omega _{j}+2)(\Omega _{j}e^{\Omega _{j}}-1)}{ 2\Omega _{j}+2}}}}}

Reprezentări integrale

Identitatea lui Viktor Adamczyk:

\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}={\frac { 1}{1+\Omega}}

O altă relație asociată cu I. Meso [1] [2] :

\Omega ={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \int _{0}^{\pi }\log \left({\frac {e^{e^{it} }-e^{-it}}{e^{e^{it}}-e^{it}}}\right)dt

\Omega ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\log \left(1+{\frac {\sin t}{t}}e^{ t\cott}\dreapta)dt

Transcendenta

Constanta este transcendentă . Acest lucru poate fi văzut ca o consecință directă a teoremei Lindemann–Weierstrass . Să presupunem că este algebric. Prin teoremă este transcendental, dar ; contradicţie. Prin urmare, trebuie să fie un număr transcendental. $\Omega$ $\Omega$ ${\displaystyle e^{-\Omega ))$ $\Omega =e^{-\Omega )$ $\Omega$

Vezi și

Funcția W a lui Lambert

Note

↑ István, Mező O reprezentare integrală pentru ramura principală a lui Lambert funcția W . Consultat la 7 noiembrie 2017. Arhivat din original la 28 decembrie 2016. (nedefinit)
↑ Mező, István (2020), O reprezentare integrală pentru funcția Lambert W, arΧiv : 2012.02480 . .

Surse

Weisstein, Eric W. Omega Constant (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
Constanta Omega (1.000.000 de cifre) , < http://ankokudan.org/d/d.htm?mathlistindex-e.html > . Preluat la 25 decembrie 2017.

Numere cu nume proprii

Constante matematice

Algebric

Transcendental ,
probabil transcendental

Grade de o mie

numere vechi rusești

Alte puteri de zece

Puterile de doisprezece

Altele întregi

Alte numere

unitate imaginară