Constanta gaussiana (matematica)

Constanta gaussiana (desemnare - G) - o constanta matematica este definita ca reciproca mediei aritmetice-geometrice a unei perechi de numere, si anume, din unitate si radacina patrata a lui 2 :

G={\frac {1}{\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {2}}\right)))=0,8346268\dots

(secvența A014549 în OEIS )

Constanta este numită după Carl Friedrich Gauss , care în 1799 [1] a descoperit că

G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4)}))

G={\frac {1}{2\pi }}\mathrm {B} \left({\tfrac {1}{4}}, {\tfrac {1}{2}}\right)

unde Β desemnează funcția beta .

Relația cu alte constante

Constanta gaussiană poate fi folosită pentru a exprima funcția gamma atunci când i se oferă un argument : ${\frac {1}{4))$

\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}

Ca o alternativa,

G={\frac {\left[\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)\right]^{2}}{2{\sqrt {2\pi ^{3 }}}}}

și întrucât și sunt independente din punct de vedere algebric , constanta gaussiană este transcendentală . $\pi$ $\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)$

Lemniscate constante

Constanta gaussiană poate fi utilizată în determinarea constantelor lemniscate.

Gauss și alții folosesc echivalentul [2] [3].

\varpi =\pi G

care este o constantă lemniscate cunoscută în teoria funcţiilor lemniscate.

Cu toate acestea, John Todd folosește o terminologie diferită - în articolul său, numerele și sunt numite constante lemniscate, dintre care prima $A$ $B$

A={\frac {\pi G}{2}}={\frac {\varpi }{2}}={\frac {1}{4}}\mathrm {B} \left({\ frac {1}{4)),{\frac {1}{2}}\dreapta)

si a doua constanta:

B={\frac {1}{2G}}={\frac {1}{4}}\mathrm {B} \left({\frac {1}{2)),{\frac {3 {4}}\dreapta).

Ele apar la aflarea lungimii arcului lemniscat . și Theodor Schneider și -au dovedit transcendența în 1937 și respectiv 1941. [patru] $A$ $B$

Alte formule

Formula care exprimă G în termenii funcțiilor theta Jacobi este următoarea:

G=\vartheta _{01}^{2}\left(e^{-\pi }\right)

Există, de asemenea, reprezentări în serie cu convergență rapidă, cum ar fi următoarele:

G={\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\dreapta)^{2}.

Constanta poate fi exprimată și ca un produs infinit

G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right).

Această constantă apare în evaluarea integralelor

{\frac {1}{G}}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\sin(x)))\,dx=\int _ {0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\cos(x)))\,dx

G=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {\cosh(\pi x)}))

Reprezentând o constantă ca o fracție continuă:

G=[0,1,5,21,3,4,14,1,1,1,1,1,3,1,15,1,3,8,36,1,2,5, 2,1,1,2,2,6,9,1,1,1,3,1,\puncte ].

(secvența A053002 în OEIS )

Note

↑ Nielsen, Mikkel Slot. Convexitatea la licență: probleme și soluții. - iulie 2016. - P. 162. - ISBN 9789813146211 .
↑ Kobayashi, Hiroyuki & Takeuchi, Shingo (2019), Aplicații ale funcțiilor trigonometrice generalizate cu doi parametri
↑ Asai, Tetsuya (2007), Eliptic Gauss Sums și Hecke L-value at s=1
↑ Todd, John Constantele lemniscate . A.C.M. D.L. (1975). Preluat la 19 iulie 2021. Arhivat din original la 19 iulie 2021. (nedefinit)

Surse

Weisstein, Eric W. Gauss's Constant (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .

Numere cu nume proprii

Constante matematice

Algebric

Transcendental ,
probabil transcendental

Grade de o mie

numere vechi rusești

Alte puteri de zece

Puterile de doisprezece

Altele întregi

Alte numere

unitate imaginară