Produs scalar

Produs punctual (numit uneori produs interior ) - rezultatul unei operații pe doi vectori , care este un scalar , adică un număr care nu depinde de alegerea sistemului de coordonate . Folosit la determinarea lungimii vectorilor și a unghiului dintre ei.

De obicei, pentru produsul scalar al vectorilor se folosește una dintre următoarele notații. $\mathbf {a}$ $\mathbf {b}$

(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ,\ {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}

sau pur și simplu

\mathbf {a} \mathbf {b}

\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle

iar a doua notație este folosită în mecanica cuantică pentru vectorii de stare [1] .

\langle a|b\rangle ;

În cel mai simplu caz , și anume în cazul unui spațiu real euclidian finit-dimensional, uneori se folosesc definiția „geometrică” a produsului scalar al vectorilor nenuli și ca produs al lungimilor acestor vectori cu cosinusul unghiul dintre ele [2] : $\mathbf {a}$ $\mathbf {b}$

(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\theta).

O definiție echivalentă: produsul scalar este produsul dintre lungimea proiecției primului vector pe al doilea și lungimea celui de-al doilea vector (vezi figura). Dacă cel puțin unul dintre vectori este zero, atunci produsul este considerat zero [3] .

Conceptul de produs interior are și un număr mare de generalizări pentru diverse spații vectoriale , adică pentru mulțimi de vectori cu operațiile de adunare și înmulțire cu scalari . Definiția geometrică de mai sus a produsului scalar presupune o definiție preliminară a conceptelor de lungime a unui vector și unghiul dintre ele. În matematica modernă se folosește abordarea inversă: produsul scalar este definit axiomatic, iar prin el, lungimile și unghiurile [4] . În special, produsul interior este definit pentru vectori complecși , spații multidimensionale și infinit-dimensionale , în algebra tensorală .

Produsul punctual și generalizările sale joacă un rol extrem de important în algebra vectorială , teoria varietăților , mecanică și fizică. De exemplu, munca unei forțe în timpul deplasării mecanice este egală cu produsul scalar dintre vectorul forță și vectorul deplasare [5] .

Definiție și proprietăți

Vom spune că un produs scalar este definit într-un spațiu vectorial real sau complex dacă fiecărei perechi de vectori de la i se atribuie un număr din acel câmp numeric peste care este dat satisfăcând următoarele axiome. $L$ $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ $L$ $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$ $L,$

Pentru oricare trei elemente ale spațiului și orice numere , egalitatea este adevărată: (liniaritatea produsului scalar față de primul argument). $\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {b}$ $\mathbb {L}$ $\alpha ,\beta$ $(\alpha \mathbf {a} _{1}+\beta \mathbf {a} _{2},\mathbf {b} )=\alpha (\mathbf {a} _{1},\mathbf {b} )+\beta (\mathbf {a} _{2},\mathbf {b} )$
Pentru orice , egalitatea este adevărată , unde bara înseamnă conjugare complexă . $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )={\overline {(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )))$
Pentru oricare avem: , și numai pentru (definitivitatea pozitivă și, respectiv, nedegenerarea produsului scalar). $\mathbf {a}$ $(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )\geqslant 0$ $(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )=0$ $\mathbf {a} =0$

Rețineți că Axioma 2 implică că este un număr real. Prin urmare, Axioma 3 are sens, în ciuda valorilor complexe (în cazul general) ale produsului scalar. Dacă axioma 3 nu este îndeplinită, atunci produsul se numește nedefinit sau nedefinit . $(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )$

Dacă nu numai pentru , atunci produsul se numește cvasiscalar [6] . $(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )=0$ $\mathbf {a} =0$

Din aceste axiome se obțin următoarele proprietăți:

comutativitate pentru vectori reali : $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=(\mathbf {b} ,\mathbf {a} );$
distributivitatea în raport cu adaosul :şi $(\mathbf {a} +\mathbf {b} ,\mathbf {c} )=(\mathbf {a} ,\mathbf {c} )+(\mathbf {b} ,\mathbf {c} )$ $(\mathbf {c} ,\mathbf {a} +\mathbf {b} )=(\mathbf {c} ,\mathbf {a} )+(\mathbf {c} ,\mathbf {b} ) ;$
liniaritate involutivă față de al doilea argument :(în cazulunuia real, pur și simplu liniaritate față de al doilea argument). $(\mathbf {a} ,(\alpha _{1}\mathbf {b} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {b} _{2}))={\overline {\ alfa _{1))}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} _{1})+{\overline {\alpha _{2))}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} _ {2});$ $L$
$(\alpha \mathbf {a} ,\beta \mathbf {b} )=\alpha {\overline {\beta ))(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$ (care este la fel ca în realitate ). $\alpha \beta (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$ $L$

Există, de asemenea, proprietăți care nu sunt legate de aceste axiome:

non -asociativitate în raport cu înmulțirea cu un vector [7] ':; $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\mathbf {c} \neq \mathbf {a} (\mathbf {b} ,\mathbf {c} )$
ortogonalitate : doi vectori nenuli a și b sunt ortogonali dacă și numai dacă ( a , b ) = 0 (definițiile de mai jos ).

Cometariu. În fizica cuantică, produsul scalar (al funcțiilor de undă cu valori complexe) este definit de obicei ca liniar în al doilea argument (și nu în primul), respectiv, în primul argument va fi liniar involutiv. De obicei, nu există confuzie, deoarece notația tradițională pentru produsul punctual în fizica cuantică este, de asemenea, diferită: , i.e. argumentele sunt separate printr-o țeavă în loc de virgulă, iar parantezele sunt întotdeauna paranteze unghiulare. $\langle \phi |\psi \rangle$

Definiție și proprietăți în spațiul euclidian

Vectori reali

În spațiul euclidian real -dimensional, vectorii sunt definiți prin coordonatele lor - seturi de numere reale într- o bază ortonormală . Puteți defini produsul scalar al vectorilor după cum urmează [4] : $n$ $n$ $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2}\dots a_{n}),\mathbf {b} =(b_{1},b_{2}\dots b_{n})$

\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+\dots +a_ {n}b_{n}.

Verificarea arată că toate cele trei axiome sunt îndeplinite.

De exemplu, produsul scalar al vectorilor și va fi calculat după cum urmează: $(1,3,-5)$ $(4,-2,-1)$

{\begin{aligned}\ (1,3,-5)\cdot (4,-2,-1)&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3.\end{aliniat}}

Se poate dovedi [8] că această formulă este echivalentă cu definiția în termeni de proiecții sau în termeni de cosinus: $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\theta).$

Vectori complexi

Pentru vectorii complecși definim în mod similar [9] : $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2}\dots a_{n}),\mathbf {b} =(b_{1},b_{2}\dots b_{n})$

\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\overline {b_{k)}}=a_{1} {\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots +a_{n}{\overline {b_{n}}}.

Exemplu (pentru ): $n=2$ $(1+i,2)\cdot (2+i,i)=(1+i)\cdot ({\overline {2+i)))+2\cdot {\overline {i))= (1+i)\cdot (2-i)+2\cdot (-i)=3-i.$

Proprietăți

Pe lângă proprietățile generale ale produsului scalar, următoarele sunt valabile pentru vectorii euclidieni multidimensionali:

spre deosebire de înmulțirea scalară obișnuită, unde dacă ab = ac și a ≠ 0, atunci b este egal cu c , acest lucru nu este adevărat pentru înmulțirea scalară vectorială: dacă a b = a c , adică a (b − c) = 0 , atunci în general cazul a și b − c sunt doar ortogonale; dar vectorul 'b − c ' nu este în general egal cu 0 , adică b ≠ c ;
regula produsului : pentru funcțiile vectoriale diferențiabile a ( t ) și b ( t ) relația ( a ( t ), b ( t ))′ = a ′( t ) ⋅ b ( t ) + a ( t ) ⋅ b ′ ( t ) [10] ;
estimarea unghiului dintre vectori: în formula , semnul este determinat doar de cosinusul unghiului (normele vectoriale sunt întotdeauna pozitive). Prin urmare, produsul scalar este mai mare decât 0 dacă unghiul dintre vectori este acut și mai mic decât 0 dacă unghiul dintre vectori este obtuz; $(\mathbf {\mathbf {a} } ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\cdot \cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$
proiecția unui vector pe direcția definită de vectorul unitar : $\mathbf {a}$ $\mathbf {e}$ $a_{e}=(\mathbf {a},\mathbf {e})=|\mathbf {a} ||\mathbf {e} |\cos \angle {(\mathbf {a},\mathbf {e} )}=|\mathbf {a} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}$ , deoarece $|\mathbf {e} |=1;$
aria unui paralelogram acoperită de doi vectori și este egală cu $\mathbf {a}$ $\mathbf {b}$ ${\sqrt {(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )(\mathbf {b} ,\mathbf {b} )-(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )^{2 }}}.$

Teorema cosinusului în spațiu real

Teorema cosinusului este ușor de obținut folosind produsul punctual. Fie laturile triunghiului să fie vectori a , b și c , primii doi dintre care formează unghiul θ , așa cum se arată în imaginea din dreapta. Apoi, urmând proprietățile și definiția produsului scalar în termeni de cosinus:

${\begin{aliniat}\mathbf {\color {orange}c} \cdot \mathbf {\color {orange}c} &=(\mathbf {\color {roșu}a} -\mathbf {\color {albastru}b} )\cdot (\mathbf {\color {roșu}a} -\mathbf {\color {albastru}b} )\\&=\mathbf {\color {roșu}a} \cdot \mathbf { \color {roșu}a} -\mathbf {\color {roșu}a} \cdot \mathbf {\color {albastru}b} -\mathbf {\color {albastru}b} \cdot \mathbf {\color {roșu } }a} +\mathbf {\color {albastru}b} \cdot \mathbf {\color {albastru}b} \\&=|\mathbf {\color {roșu}a} |^{2}-\mathbf { \color {roșu}a} \cdot \mathbf {\color {albastru}b} -\mathbf {\color {roșu}a} \cdot \mathbf {\color {albastru}b} +|\mathbf {\color { albastru}b} |^{2}\\&=|\mathbf {\color {roșu}a} |^{2}-2\mathbf {\color {roșu}a} \cdot \mathbf {\color { albastru }b} +|\mathbf {\color {albastru}b} |^{2}\\&=|\mathbf {\color {roșu}a} |^{2}+|\mathbf {\color {albastru } b} |^{2}-2|\mathbf {\color {roșu}a} |{\cdot }|\mathbf {\color {albastru}b} |\cos \mathbf {\color {violet}\theta } .\\\end{aliniat}}$

Definiții înrudite

În abordarea axiomatică modernă, deja pe baza conceptului de produs scalar al vectorilor, sunt introduse următoarele concepte derivate [11] :

Lungimea unui vector, care este de obicei înțeleasă ca norma sa euclidiană :

|\mathbf {a} |={\sqrt {(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )))

(Termenul „lungime” este de obicei aplicat vectorilor cu dimensiuni finite, dar în cazul calculării lungimii unui drum curbiliniu, este adesea folosit în cazul spațiilor cu dimensiuni infinite).

Unghiul dintre doi vectori nenuli ai spațiului euclidian (în special, planul euclidian) este un număr al cărui cosinus este egal cu raportul dintre produsul scalar al acestor vectori și produsul lungimii lor (norme): $\varphi$

\cos \varphi ={\frac {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |}}\ (0\leqslant \varphi \leqslant \pi ).

Aceste definiţii ne permit să păstrăm formula: iar în cazul general. Corectitudinea formulei pentru cosinus este garantată de inegalitatea Cauci-Bunyakovsky [12] : $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\varphi )$

Pentru orice elemente ale unui spațiu vectorial cu un produs scalar, este valabilă următoarea inegalitate: $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$

\vert (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\vert ^{2}\leqslant (\mathbf {a} ,\mathbf {a} )(\mathbf {b} ,\mathbf {b } )

Dacă spațiul este pseudo-euclidian , conceptul de unghi este definit doar pentru vectorii care nu conțin linii izotrope în interiorul sectorului format de vectori. În acest caz, unghiul însuși este introdus ca un număr al cărui cosinus hiperbolic este egal cu raportul dintre modulul produsului scalar al acestor vectori și produsul lungimilor lor (norme):

|(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )|=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\operatorname {ch} \varphi .

Ortogonali (perpendiculari) sunt vectori al căror produs scalar este egal cu zero. Această definiție se aplică oricărui spațiu cu un produs interior definit pozitiv. De exemplu, polinoamele ortogonale sunt de fapt ortogonale (în sensul acestei definiții) între ele într-un spațiu Hilbert.
Un spațiu (real sau complex) cu un produs interior pozitiv-definit se numește spațiu pre-Hilbert .
- În acest caz, un spațiu real de dimensiuni finite cu un produs scalar pozitiv-definit se numește și euclidian , iar unul complex se numește spațiu hermitian sau unitar .
Cazul în care produsul scalar nu este definit de semn duce la așa-numitul. spatii cu metrica nedefinita . Produsul scalar din astfel de spații nu mai generează o normă (și de obicei este introdus suplimentar). Un spațiu real de dimensiuni finite cu o metrică nedefinită se numește pseudo-euclidian (cel mai important caz special al unui astfel de spațiu este spațiul Minkowski ). Printre spațiile cu dimensiuni infinite cu o metrică nedefinită, spațiile Pontryagin și spațiile Kerin joacă un rol important .

Istorie

Produsul scalar a fost introdus de W. Hamilton în 1846 [13] simultan cu produsul vectorial în legătură cu cuaternioni - respectiv, ca parte scalară și vectorială a produsului a doi cuaternioni, a căror parte scalară este egală cu zero [14] ] .

Variații și generalizări

În spațiul funcțiilor măsurabile reale sau complexe integrabile în pătrat pe un domeniu Ω, se poate introduce un produs scalar pozitiv-definit:

(\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=\int \limits _{\Omega}f(x){\overline {g(x)))d\Omega

Când se utilizează baze non-ortonormale, produsul scalar este exprimat în termeni de componente vectoriale cu participarea tensorului metric [15] : $g_{ij}$

(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=g_{ij}a^{i}b^{j)

În același timp, metrica în sine (mai precis, reprezentarea ei într-o bază dată) este conectată în acest fel cu produsele scalare ale vectorilor de bază : $f_{i}\$

g_{ij}=(\mathbf {f} _{i},\mathbf {f} _{j})

Construcții similare ale produsului scalar pot fi introduse și pe spații cu dimensiuni infinite, de exemplu, pe spații funcționale:

(\mathbf {f},\mathbf {g})=\int \limits _{(\Omega _{1}\times \Omega _{2})}K(x_{1},x_{2 })f(x_{1})g(x_{2})d(\Omega _{1}\times \Omega _{2})

(\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=\int \limits _{\Omega}K(x)f(x)g(x)d\Omega

unde K este o funcție pozitiv-definită, în primul caz simetrică în raport cu permutarea argumentelor (pentru complex x - Hermitian) funcție (dacă trebuie să aveți produsul scalar simetric pozitiv-definit obișnuit).

Cea mai simplă generalizare a unui produs scalar cu dimensiuni finite în algebra tensorială este convoluția peste indici repeți.

Vezi și

Note

↑ Hall B.C. Teoria cuantică pentru matematicieni . - NY: Springer Science & Business Media , 2013. - xvi + 553 p. - (Texte de absolvire a matematicii. Vol. 267). — ISBN 978-1-4614-7115-8 . Arhivat la 31 ianuarie 2016 la Wayback Machine - P. 85.
↑ Aceasta se referă la cel mai mic unghi dintre vectori care nu depășește $\pi.$
↑ Vector Algebra // Mathematical Encyclopedia (în 5 volume). - M .: Enciclopedia Sovietică , 1977. - T. 1. - S. 634.
↑ 1 2 Gelfand, 1971 , p. 30-31.
↑ Targ S. M. Munca de forta // Enciclopedia fizica / Cap. ed. A. M. Prohorov . - M . : Marea Enciclopedie Rusă , 1994. - T. 4. - S. 193-194. - 704 p. - ISBN 5-85270-087-8 .
↑ Kudryavtsev L. D. Analiză matematică. II vol. - M., Şcoala Superioară , 1970. - p. 316.
^ Weisstein , Eric W. Dot Product Arhivat la 29 aprilie 2021 la Wayback Machine . De la MathWorld - O resursă web Wolfram.
↑ Calcul II - Produs punctual . tutorial.math.lamar.edu . Preluat la 9 mai 2021. Arhivat din original la 9 mai 2021. (nedefinit)
↑ Gelfand, 1971 , p. 86.
↑ Stewart, James (2016), Calculus (ed. a 8-a), Cengage , Secțiunea 13.2.
↑ Gelfand, 1971 , p. 34.
↑ §9.5. Spații liniare cu produs interior: euclidian și unitar
↑ Crowe MJ O istorie a analizei vectoriale - Evoluția ideii unui sistem vectorial . - Publicaţiile Courier Dover, 1994. - S. 32. - 270 p. — ISBN 0486679101 . Arhivat pe 6 martie 2019 la Wayback Machine
↑ Hamilton WR Despre Quaternions; sau asupra unui nou sistem de imaginari în algebră // Revista filosofică. Seria a 3-a. - Londra, 1846. - T. 29 . - S. 30 .
↑ Gelfand, 1971 , p. 240.

Literatură

Gelfand I. M. Prelegeri despre algebră liniară. - a 4-a ed. — M .: Nauka, 1971. — 272 p.

Link -uri

Emelin A. Produsul scalar al vectorilor . Preluat: 14 noiembrie 2019. (nedefinit)

Dicționare și enciclopedii	mare danez Mare norvegian Rusă mare

Vectori și matrici

Vectori

Noțiuni de bază	Vector în geometrie Bază Baza ortogonala Coordonatele vectoriale Coliniaritate Ortogonalitatea Dependență liniară Spațiu coloane
Tipuri de vectori	Vector unitar Vector axial vector izotrop Normal Coliniaritate Vector zero Vector rază Vector propriu
Operații pe vectori	Produs scalar produs vectorial produs mixt Produs pseudoscalar Produs dublu cruce
Tipuri de spațiu	spațiu vectorial spatiu afin Spațiul euclidian Spațiul pseudo-euclidian Spațiu normat Spațiul Minkowski

matrici

Noțiuni de bază	Înmulțirea matricei Matrice transpusă Matricea conjugată hermitiană Matricea simetrică matrice inversă Valoare proprie Polinom caracteristic al unei matrice
Matrici speciale	Matrice de identitate Matrice zero Matricea diagonală matricea lambda
Descompuneri de matrice	descompunerea LU Descompunerea Cholesky Descompunerea QR Descompunerea LUP descompunerea unei valori singulare Descompunerea spectrală a unei matrice

Alte