Înscrise și excercurile unui triunghi

Un cerc înscris într-un triunghi este un cerc în interiorul unui triunghi tangent la toate laturile sale; cel mai mare cerc care poate fi în interiorul unui triunghi. Centrul acestui cerc este punctul de intersecție al bisectoarelor triunghiului și se numește incentrul triunghiului.

Excercul unui triunghi este un cerc care se află în afara triunghiului și atinge o latură a triunghiului și prelungirea celorlalte două laturi . Orice triunghi are trei cercuri distincte, fiecare tangent la o latură diferită a triunghiului. Centrul excercului este intersecția dintre bisectoarea unui unghi intern și bisectoarele celorlalte două unghiuri externe . Deoarece bisectoarea unui unghi intern este perpendiculară pe bisectoarea unui unghi extern adiacent, centrul cercului înscris împreună cu cele trei centre ale excercurilor formează un sistem ortocentric [1] .

Nu toate poligoanele cu mai mult de trei laturi au un cerc înscris. Cele care au se numesc descrise .

Relația cu aria unui triunghi

Razele înscrise și ale cercurilor sunt strâns legate de aria unui triunghi. [2]

Cercul înscris

Fie are înscris un cerc de rază r cu centrul I . Fie a lungimea lui BC , b lungimea lui AC și c lungimea lui AB . Fie ca cercul înscris să atingă AB într-un punct C′ , atunci este o linie dreaptă. Atunci raza C'I va fi înălțimea triunghiului . Astfel, are o bază de lungime c și înălțime r și, prin urmare, aria sa este egală cu . În mod similar are zonă și are zonă . Deoarece aceste trei triunghiuri se divid , obținem asta $\triunghi ABC$ $\angle AC'I$ $\triunghi IAB$ $\triunghi IAB$ ${\tfrac {1}{2}}cr$ $\triunghi IAC$ ${\tfrac {1}{2}}br$ $\triunghi IBC$ ${\tfrac {1}{2}}ar$ $\triunghi ABC$

\Delta ={\frac {1}{2}}(a+b+c)r=pr,

unde este aria și este semiperimetrul acesteia . $\Delta$ $\triunghi ABC$ $p={\frac {1}{2}}(a+b+c)$

Pentru a obține o formulă alternativă, luați în considerare . Acesta este un triunghi dreptunghic, în care unul dintre catete este egal cu r , iar celălalt este egal cu . Același lucru este valabil și pentru . Întregul triunghi este format din 6 astfel de triunghiuri, iar aria totală este: $\triunghi IC'A$ $r\cdot \mathrm {ctg} {\frac {\angle A}{2)}$ $\triunghi IB'A$

\Delta =r^{2}\cdot (\mathrm {ctg} {\frac {\angle A}{2)}+\mathrm {ctg} {\frac {\angle B}{2)}+ \mathrm {ctg} {\frac {\unghi C}{2)))

Cercuri

Fie excercul tangent la latura AB să atingă prelungirea laturii AC în punctul G , iar raza acestui cerc să fie , iar centrul său să fie . Atunci este înălțimea triunghiului , la fel și aria . Din aceleași motive, are o suprafață , dar are o zonă . Apoi $r_{c}$ $IC}$ $eu_{c}G$ $\triunghi ACI_{c}$ $\triunghi ACI_{c}$ ${\tfrac {1}{2}}br_{c}$ $\triunghi BCI_{c}$ ${\tfrac {1}{2}}ar_{c}$ $\triunghi ABI_{c}$ ${\tfrac {1}{2}}cr_{c}$

\Delta ={\frac {1}{2}}(a+bc)r_{c}=(pc)r_{c}

Deci, din cauza simetriei,

\Delta =pr=(pa)r_{a}=(pb)r_{b}=(pc)r_{c)

Prin legea cosinusului, obținem

\cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}

Combinând acest lucru cu identitatea , obținem $\sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1$

\sin A={\frac {\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2 }+2a^{2}c^{2}}}{2bc}}

Dar , așa $\Delta ={\tfrac {1}{2}}bc\sin A$

{\begin{aligned}\Delta &={\frac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2 }b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a +b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)))\\&={\sqrt {p(pa)(pb)(pc)))),\ sfârșit {aliniat}}

și aceasta este formula lui Heron pentru a calcula aria unui triunghi având în vedere laturile sale.

Combinând formula lui Heron cu , obținem $pr=\Delta$

r^{2}={\frac {\Delta ^{2}}{p^{2}}}={\frac {(pa)(pb)(pc)}{p}}

La fel, dă $(pa)r_{a}=\Delta$

r_{a}^{2}={\frac {p(pb)(buc)}{pa))

Din aceste formule se poate observa că excercurile sunt întotdeauna mai mari decât cele înscrise și cel mai mare cerc corespunde celei mai lungi laturi, iar cel mai mic dintre excercurile corespunde celei mai mici laturi. O combinație suplimentară de formule duce la: [3]

\Delta ={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.

Raportul dintre aria unui cerc înscris și aria unui triunghi este mai mic sau egal cu , iar egalitatea se realizează numai pe triunghiuri regulate . [patru] ${\frac {\pi }{3{\sqrt {3))))$

Build- uri înrudite

Cercul de nouă puncte și punctul Feuerbach

Teorema cercului lui Euler . Punctele de mijloc ale segmentelor de înălțime de la ortocentru la vârfurile triunghiului se numesc puncte Euler . Bazele medianelor , bazele înălțimilor și punctele Euler se află pe același cerc , numit cerc de nouă puncte . [5]

Teorema lui Feuerbach . Cercul de nouă puncte este tangent la toate cele trei excercuri și, de asemenea, la cercul înscris în patru puncte diferite. Unul dintre ele este punctul tangent al cercului Euler și cercul înscris cunoscut sub numele de punctul Feuerbach .

Triunghi și punct Gergonne

Triunghiul Gergonne (pentru triunghiul ABC ) este definit de trei puncte de contact ale cercului înscris pe trei laturi. Aceste vârfuri vor fi notate cu T A și așa mai departe Punctul T A se află opus vârfului A .

Acest triunghi Gergonne T A T B T C este cunoscut și sub denumirea de triunghi de tangență al triunghiului ABC .

Trei drepte AT A , BT B și CT C se intersectează într-un punct - punctul Gergonne și sunt notate cu Ge - X(7) . Punctul lui Gergonne se află în interiorul unui cerc ortocentroid deschis cu un centru perforat. [6]

În mod interesant, punctul Gergonne al triunghiului este punctul de intersecție al symmedianilor triunghiului Gergonne. Un set complet de proprietăți ale punctului Gergonne poate fi găsit în articolul lui Dekov. [7]

Coordonatele triliniare ale vârfurilor triunghiului de tangență sunt date prin formule

vârf $A=0:\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\dreapta):\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$
vârf $B=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):0:\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$
vârf $C=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):0$

Coordonatele triliniare ale punctului Gergonne

\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{ 2}\stânga({\frac {C}{2}}\dreapta)

sau, în mod echivalent, prin teorema sinusului ,

{\frac {bc}{b+ca}}:{\frac {ca}{c+ab}}:{\frac {ab}{a+bc}}

Punctul Gergonne este conjugarea izotomică a punctului Nagel .

Triunghiul și punctul Nagel

Triunghiul Nagel (vezi figura de mai sus) pentru triunghiul ABC este definit de vârfurile T A , T B și T C , care sunt punctele de contact ale excercurilor triunghiului ABC și punctul X A este opus laturii A etc. Descris în jurul valorii de triunghi T A T B T C cercul se numește cercul Mandart (un caz special al elipsei Mandart ). Trei drepte AT A , BT B și CT C bisectează perimetrul și se intersectează într-un punct Nagel Na - X(8) .

Coordonatele triliniare ale punctelor de tangență ale triunghiului de către excercuri sunt date prin formule

vârf $A=0:\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\dreapta):\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$
vârf $B=\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):0:\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$
vârf $C=\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):0$

Coordonatele triliniare ale punctului Nagel sunt date prin formule

\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\csc ^{ 2}\stânga({\frac {C}{2}}\dreapta)

sau, în mod echivalent, prin teorema sinusului ,

{\frac {b+ca}{a}}:{\frac {c+ab}{b}}:{\frac {a+bc}{c}}

Punctul Nagel este conjugarea izotomică a punctului Gergonne .

Coordonatele triliniare ale triunghiurilor înscrise

Coordonatele triliniare ale vârfurilor triunghiului format din bazele bisectoarelor sunt date de formulele

vârf $A=0:1:1$
vârf $B=1:0:1$
vârf $C=1:1:0$

Coordonatele triliniare ale unui triunghi format din punctele de contact ale laturilor de către cercuri sunt date prin formulele

vârf $A=-1:1:1$
vârf $B=1:-1:1$
vârf $C=1:-1:-1$

Ecuații în cerc

Fie x : y : z coordonatele triliniare ale punctului , și fie u = cos 2 (A/2) , v = cos 2 (B/2) , w = cos 2 (C/2) . Cele patru cercuri descrise mai sus pot fi definite în oricare dintre cele două moduri: [8]

Cercul înscris:

\ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy=0

\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z} }\cos {\frac {C}{2}}=0

A- inscripționat extern:

\ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz+2wuzx+2uvxy=0

\pm {\sqrt {-x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z }}\cos {\frac {C}{2}}=0

B- inscripționat extern:

\ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz-2wuzx+2uvxy=0

\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {-y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z }}\cos {\frac {C}{2}}=0

C- inscripționat extern:

\ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz+2wuzx-2uvxy=0

\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {-z }}\cos {\frac {C}{2}}=0

Alte proprietăți ale cercului înscris

Unele formule cu raza unui cerc înscris

$r={\frac {pa}{\operatorname {ctg} (\alpha /2)))={\frac {pb}{\operatorname {ctg} (\beta /2)))={\frac {pc}{\operatorname {ctg} (\gamma /2)}}$ , este semiperimetrul triunghiului ( teorema cotangentei ). $p$

Raza cercului înscris nu este mai mare de o nouă parte din suma altitudinilor triunghiului. [9]

Inegalitatea lui Euler : raza cercului înscris nu depășește jumătate din raza cercului circumscris, iar egalitatea este valabilă doar pentru un triunghi echilateral. [zece]

Să presupunem că punctele tangente ale cercului înscris împart laturile în segmente de lungime x și y , y și z , z și x . Atunci cercul înscris are o rază [11]

r={\sqrt {\frac {xyz}{x+y+z))}

iar aria triunghiului este

K={\sqrt {xyz(x+y+z))).

Dacă înălțimile coborâte pe laturile a , b și c sunt h a , h b și h c , atunci raza cercului înscris r este egală cu o treime din media armonică a acestor înălțimi, adică

r={\frac {1}{h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}}}.

Produsul dintre raza cercului înscris r și raza cercului circumscris R a unui triunghi cu laturile a , b și c este [1]

rR={\frac {abc}{2(a+b+c))).

Câteva relații între laturile, razele cercului înscris și ale cercului circumferitor: [12]

ab+bc+ca=s^{2}+(4R+r)r,

a^{2}+b^{2}+c^{2}=2s^{2}-2(4R+r)r.

Orice linie care trece printr-un triunghi și împarte aria și perimetrul triunghiului în jumătate trece prin centrul cercului înscris. Pot exista trei, două sau una astfel de linii. [13]

Perpendicularele ridicate pe laturile triunghiului în punctele de contact ale cercurilor se intersectează într-un punct. Acest punct este simetric cu centrul cercului înscris în raport cu centrul cercului circumscris [14] .

Formule pentru distanțe până la centrul unui cerc înscris sau al unui cerc

Teorema lui Euler

Teorema lui Euler afirmă că într-un triunghi: [10]

(R-r_{in})^{2}=d^{2}+r_{in}^{2},

unde R și r in sunt razele cercurilor circumscrise și, respectiv, înscrise, și d este distanța dintre centrele acestor cercuri.

Pentru excercuri, ecuația arată astfel:

(R+r_{ex})^{2}=d^{2}+r_{ex}^{2},

unde r ex este raza unuia dintre cercurile exterioare și d este distanța dintre centrele cercului circumferitor și ale cercului exterior. [15] [16] [17]

Pătratând și aducând like-urile din prima formulă a lui Euler de mai sus, avem:

Distanța la pătrat de la centrul cercului înscris I la centrul cercului circumscris O este dată de ecuația [18]

OI^{2}=d^{2}=R(R-2r_{in}),

La fel pentru a doua formulă:

d^{2}=R(R+2r_{ex}).

Alte formule pentru distanțe până la centrul unui cerc înscris sau al unui cerc

Distanța de la centrul cercului înscris la centrul N al cercului de nouă puncte este [18]

IN={\frac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {1}{2}}R.

Distanța de la vârf la punctele tangente ale cercului înscris pe laturile adiacente este jumătate din suma lungimilor laturilor adiacente minus jumătate din latura opusă. [19] Deci, pentru vârful B și punctele de contact adiacente T A și T C ,

BT_{A}=BT_{C}={\frac {BC+AB-AC}{2}}.

Dacă desemnăm centrul cercului înscris al triunghiului ABC cu litera I , obținem [20]

{\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}} =1

și [21]

IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2}.

Dacă desemnăm pentru I centrul cercului înscris al triunghiului ABC , AD este bisectoarea unghiului A , atunci ${\frac {AI}{DI}}={\frac {AB+AC}{BC}}$
Centrul cercului înscris se află într-un triunghi ale cărui vârfuri sunt punctele medii ale laturilor triunghiului. [optsprezece]
Teorema tridentului sau teorema trefoilului , sau teorema lui Kleiner : Dacă D este punctul de intersecție al bisectoarei unghiului A cu cercul circumscris triunghiului ABC , I și J sunt centrele tangentei înscrise și, respectiv, excercului la latura BC , atunci . $|DI|=|DB|=|DC|=|DJ|$

Teorema lui Munsion (parte integrantă a Teoremei Tridentului ). Punctele mijlocii ale celor trei segmente care leagă centrul cercului înscris cu centrele excercurilor se află pe cercul circumscris. [zece]

Teorema lui Harcourt . Fie triunghiul dat de vârfurile sale A , B și C , laturile opuse vârfurilor au lungimile a , b și c , aria este egală cu K și linia atinge cercul înscris în triunghi într-un punct arbitrar. Să notăm distanțele de la vârfurile triunghiului la dreapta drept „, b ” și c „, în timp ce dacă vârful și centrul cercului se află pe laturile opuse ale dreptei, distanța este considerată negativă. Apoi

aa^{\prime }+bb^{\prime }+cc^{\prime }=2K.

Alte proprietăți ale excercurilor

Următoarea relație este valabilă pentru raza r a cercului înscris, raza R a cercului circumscris, semiperimetrul s și razele excercurilor r a , r b , r c : [12]

r_{a}+r_{b}+r_{c}=4R+r,

r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{c}r_{a}=s^{2},

r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}=(4R+r)^{2}-2s^{2},

Cercul care trece prin centrele excercurilor are raza 2 R . [12]

Dacă H este ortocentrul triunghiului ABC , atunci [12]

r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=AH+BH+CH+2R,

r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=AH^{2}+BH^{2}+CH^{2} +(2R)^{2}.

Vârfurile A , B și C ale triunghiului ABC sunt bazele înălțimilor triunghiului J A J B ,J C ,

unde J A J B ,J C sunt centrele excercurilor. [zece]

Perpendicularele ridicate pe laturile triunghiului în punctele de contact ale cercurilor se intersectează într-un punct. Acest punct este simetric cu centrul cercului înscris în raport cu centrul cercului circumscris [14] .
Centrul Spieker al unui triunghi este centrul radical al excercurilor sale [22] . Dacă desenăm 6 tangente la 3 excercuri ale triunghiului din centrul triunghiului lui Spiker, atunci toate lungimile lor vor fi egale între ele.

Circumferința lui Apollonius

Definiția cercului lui Apollonius

Fie dat triunghiul ABC . Fie excercurile triunghiului ABC , opuse vârfurilor A , B și C , respectiv E A , E B , E C (vezi figura). Apoi , cercul E al lui Apollonius (prezentat cu verde în figura din dreapta) atinge în interior trei cercuri ale triunghiului ABC în punctele E A , E B și , respectiv, E C (vezi figura). [23] .

Raza cercului lui Apollonius

Raza cercului lui Apollonius este , unde r este raza cercului înscris și s este jumătatea perimetrului triunghiului. [24] ${\frac {r^{2}+s^{2}}{4r}}$

Definiția punctului Apollonius Ap

Punctul Apollonius Ap în Encyclopedia of Triangle Centers (ETC) a lui Clark Kimberlingeste denumit centrul triunghiului sub numele X(181).
Punctul Apollonius Ap sau X(181) este definit după cum urmează:

Fie A' , B' și C' punctele de tangență ale cercului Apollonius E cu excercurile corespunzătoare. Apoi liniile AA' , BB' și CC' se intersectează într-un punct Ap , care se numește punctul Apollonius al triunghiului ABC .

Conjugarea izogonală

O conjugare izogonală are exact patru puncte fixe (adică puncte care sunt conjugate la ele însele): centrul cercului înscris și centrele excercurilor triunghiului. [25]

Ortocentrul unui triunghi este conjugat izogonal cu centrul cercului circumscris acestui triunghi. [25]

Generalizare la alte poligoane

Unele (dar nu toate) patrulatere au un cerc înscris. Se numesc patrulatere circumscrise . Dintre proprietățile acestor patrulatere, cel mai important este că sumele laturilor opuse sunt egale. Această afirmație se numește teorema Pitot .
Unele (dar nu toate) patrulatere au un cerc. Se numesc patrulatere în afara cercului . Dintre proprietățile acestor patrulatere, teorema lui Urquhart notează cea mai importantă proprietate . Ea pretinde:
Dacă laturile opuse ale unui patrulater convex ABCD se intersectează în punctele E și F , atunci

AB+BC=AD+DC\quad \Leftrightarrow \quad AE+EC=AF+FC.

Vezi și

Excerciază
Patrulaterul necircumscris
Cerc înscris
Figuri înscrise și circumscrise pentru un triunghi
Secțiune conică inscripționată
sferă înscrisă
Înălțimea triunghiului
Puncte remarcabile ale triunghiului
Incentrul sau Centrul cercului înscris
Cerc
Cerc circumscris
Patrulaterul circumscris
Ortocentru
Gradul unui punct în raport cu un cerc
Teorema lui Mansion
teorema tridentului
Teorema lui Tebo 2 și 3
teorema lui Harcourt
Apollonius arată
Gradul unui punct în raport cu un cerc
Centrul Spieker
Centroid
Centroid triunghiular
Elipsa Mandat
Elipsa Steiner

Note

↑ 1 2 Roger A. Johnson. Geometrie Euclidiană Avansată . - Dover, 2007 (original - 1929) .. - P. 189 , #298(d).
↑ HSM Coxeter. Introducere în Geometrie . - 2. - Wiley, 1961 ..
↑ Marcus Baker. O colecție de formule pentru aria unui triunghi plan. - ianuarie 1885. - T. partea 1, vol. 1(6) . — S. 134-138 . . Vezi și partea 2 din volum. 2(1), septembrie 1885, 11-18.)
↑ D. Minda, S. Phelps. Triunghiuri, elipse și polinoame cubice // American Mathematical Monthly . - octombrie 2008. - Emisiune. 115 . — P. 679-689: Teorema 4.1. .
↑ S. I. Zetel. Noua geometrie a triunghiului. - Moscova: UCHPEDGIZ, 1962. - S. 52-53 Capitolul III.
↑ Christopher J. Bradley, Geoff C. Smith. Locațiile centrelor triunghiului // Forum Geometricorum. - 2006. - Emisiune. 6 . - S. 57-70. .
↑ Deko Dekov. Matematică generată de computer: punctul Gergonne // Journal of Computer-generated Euclidean Geometry. - 2009. - T. 1 . — P. 1–14. . Arhivat din original pe 5 noiembrie 2010.
↑ William Allen Whitworth. Coordonate triliniare și alte metode de geometrie analitică modernă a două dimensiuni. - 2012. - S. 210-215. — (Cărți uitate).
↑ Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann. Secretele triunghiurilor. - Prometheus Books, 2012. - P. 289.
↑ 1 2 3 4 A. D. Kulanin, S. N. Fedin. Geometria triunghiului în probleme. - M . : Casa de carte „LIBROKOM”, 2009. - ISBN 978-5-397-00786-3 .
↑ Thomas Chu. Pentagonul. - Primăvara, 2005. - P. 45, sarcina 584 ..
↑ 1 2 3 4 Amy Bell. Teorema triunghiului dreptunghic a lui Hansen, inversul său și o generalizare // Forum Geometricorum. - 2006. - Emisiune. 6 . — S. 335–342 .
↑ Dimitrios Kodokostas. Egalizatoare triunghiulare // Revista de matematică. - 2010. - Emisiune. 83, aprilie . - S. 141-146. .
↑ 1 2 Myakishev, 2002 , p. 11, punctul 5.
↑ Roger Nelson. Inegalitatea triunghiului lui Euler prin demonstrație fără cuvinte // Revista de matematică. - februarie 2008. - Emisiune. 81(1) . - S. 58-61 .
↑ R.A. Johnson. geometria modernă. - Boston: Houghton Mifflin, 1929. - P. 187.
↑ Lev Emelyanov, Tatiana Emelyanova. Formula lui Euler și porismul lui Poncelet // Forum Geometricorum. - 2001. - Emisiune. 1 . — S. 137–140. .
↑ 1 2 3 William N. Franzsen. Distanța de la incentru la linia Euler // Forum Geometricorum. - 2011. - T. 11 . — S. 231–236 . .
↑ Gazeta Matematică , iulie 2003, 323-324.
↑ Patricia R. Allaire, Junmin Zhou, Haishen Yao. Demonstrarea unei identități de elipsă din secolul al XIX-lea // Gazeta matematică. - 2012. - Emisiune. 96, martie . - S. 161-165. .
↑ Nathan Altshiller-Court. Geometrie colegiului. - Dover Publications, 1980. - P. 121, # 84.
↑ Odenhal, 2010 , p. 35-40.
↑ Darij Grinberg, Paul Yiu. Cercul Apollonius ca un cerc Tucker // Forum Geometricorum. - 2002. - Emisiune. 2 . - S. 175-182 .
↑ Milorad R. Stevanovi´c. Cercul Apollonius și centrele triunghiului aferente // Forum Geometricorum. - 2003. - Emisiune. 3 . — S. 187-195. .
↑ 1 2 V. V. Prasolov. Punctele Brocard și conjugarea izogonală. - M . : MTsNPO, 2000. - (Biblioteca „Educația matematică”). — ISBN 5-900916-49-9 .

Literatură

Myakishev A.G. Elemente de geometrie triunghiulară. — M .: MTsNMO, 2002.
Clark Kimberling. Centrele triunghiulare și triunghiurile centrale // Congressus Numerantium. - 1998. - Emisiune. 129 . - S. i-xxv, 1-295 .
Sandor Kiss. Triunghiurile Orthic-of-Intouch și Intouch-of-Orthic // Congressus Numerantium. - 2006. - Emisiune. 6 . - S. 171-177 .
Boris Odenhal. Unele centre de triunghi asociate cu cercurile tangente la excercurile // Forum Geometricorum. - 2010. - or. 10 .

Link -uri

Derivarea formulei pentru raza cercului unui triunghi
Weisstein, Eric W. Incircle (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .

Site-uri cu conținut interactiv

Triunghi incentr Triunghi incerc Incercul unui poligon regulat Cu animatii interactive
Construirea incentrului / cercului unui triunghi cu busolă și dreptar O demonstrație animată interactivă
Teorema cercurilor egale la tăierea nodului
Teorema celor cinci cercuri la tăierea nodului
Perechi de cercuri într-un patrulater la tăierea nodului
Un applet Java interactiv pentru incenter