Grupul Mathieu

Grupurile Mathieu  sunt cinci grupuri simple sporadice , M 11 , M 12 , M 22 , M 23 și M 24 , introduse de Émile Leonard Mathieu [1] [2] . Grupurile sunt grupuri de permutare tranzitivă multiplicată de 11, 12, 22, 23 sau 24 de obiecte. Acestea au fost primele grupuri sporadice deschise.

Uneori se folosește notația M 9 , M 10 , M 20 și M 21 pentru grupurile conexe (care acționează asupra mulțimilor cu 9, 10, 20 și respectiv 21 de puncte), și anume stabilizatorii de puncte în grupuri mai mari. Deși nu sunt grupuri simple sporadice, ele sunt subgrupuri ale unor grupuri mai mari și pot fi folosite pentru a le construi. John Conway a arătat că această secvență poate fi extinsă pentru a da un grupoid Mathieu M 13 care acționează pe 13 puncte. M 21 este un grup simplu, dar nu sporadic, fiind izomorf cu PSL(3,4).

Istorie

Mathieu [3] a introdus grupul M 12 ca parte a studiului grupurilor de permutare tranzitivă multiplă și a menționat pe scurt (la p. 274) grupul M 24 , indicând ordinea acestuia. Într-o lucrare din 1873 [2] , el a oferit detalii suplimentare, inclusiv seturi generatoare explicite pentru aceste grupuri, dar grupul nu este ușor de văzut din argumentele sale că grupurile generate nu sunt doar grupuri alternante și, timp de câțiva ani, existența grupurilor a fost în dubiu. Miller [4] a publicat chiar o lucrare care dovedește în mod eronat că M 24 nu există, deși la scurt timp după aceea într-o lucrare din 1900 [5] a recunoscut că proba era greșită și a dat o dovadă că grupurile Mathieu sunt simple. Witt [6] [7] a pus capăt în cele din urmă îndoielilor cu privire la existența acestor grupuri prin construirea lor ca extensii tranzitive succesive ale grupurilor de permutare, precum și grupuri de automorfisme ale sistemelor Steiner .

După grupurile Mathieu, nu au fost descoperite noi grupuri sporadice până în 1965, când a fost descoperit grupul J 1 .

Grupuri tranzitive multiple

Mathieu a fost interesat să găsească grupuri de permutări tranzitive multiplă . Pentru un număr natural k , grupul de permutare G care acționează pe n puncte este k - tranzitiv dacă sunt date două seturi de puncte a 1 , … a k și b 1 , … b k cu proprietatea că toate a i sunt distincte și toți b i sunt diferite, există un element g din G care mapează a i la b i pentru tot i de la 1 la k . Un astfel de grup se spune că este acut k -tranzitiv dacă elementul g este unic (adică acțiunea asupra k -tuplurilor este regulată (strict tranzitivă), nu doar tranzitivă).

Grupul M24 este 5 -tranzitiv, iar grupul M12 este puternic 5  -tranzitiv. Alte grupări Mathieu (simple și nesimple), fiind subgrupe corespunzătoare stabilizatorilor de m -puncte, au o tranzitivitate mai mică ( M 23 este 4-tranzitiv etc.).

Singurele grupuri 4-tranzitive sunt grupurile simetrice S k pentru k cel puțin 4, grupurile alternante A k pentru k egale sau mai mari de 6 și grupurile Mathieu M 24 , M 23 , M 12 și M 11 [8] .

Rezultatul clasic este rezultatul lui Jordan că numai grupurile simetrice și alternante (de grade k și respectiv k  + 2), precum și M 12 și M 11 sunt grupuri de permutare puternic k -tranzitive pentru k cel puțin 4.

Exemple importante de grupuri tranzitive multiplicate sunt grupurile 2-tranzitive și grupurile Zassenhaus . Grupurile Zassenhaus în special includ grupul liniar general proiectiv al liniei proiective peste un câmp finit, PGL(2, F q ), care este puternic 3-tranzitiv (vezi relația duală ) pe elemente.

Tabelul comenzilor și tranzitivitatea

Construirea grupurilor Mathieu

Grupurile Mathieu pot fi construite în moduri diferite.

Grupuri de permutare

M 12 are un subgrup simplu de ordinul 660, un subgrup maxim. Acest subgrup este izomorf cu grupul liniar special proiectiv PSL 2 ( F 11 ) pe un câmp de 11 elemente . Dacă −1 este notat cu a și infinitul cu b , cei doi generatori standard sunt permutări (0123456789a) și (0b)(1a)(25)(37)(48)(69). Al treilea generator, dând M 12 , ia elementul x al grupului F 11 în , ca în permutarea (26a7)(3945).

Acest grup nu este izomorf cu niciunul dintre membrii familiilor infinite de grupuri simple finite și se numește sporadic. M 11 este un stabilizator de punct în M ​​12 și, de asemenea, se dovedește a fi un grup simplu sporadic. M 10 , stabilizatorul a două puncte, nu este sporadic, ci este un grup aproape simplu al cărui comutator este grupul alternant A 6 . Este legat de automorfismul exterior excepțional al grupului A 6 . Stabilizatorul în 3 puncte este un grup unitar proiectiv special PSU(3,2 2 ) care este rezolvabil. Stabilizatorul în 4 puncte este un grup de cuaternioni .

În mod similar, M24 are un subgrup simplu maxim de ordinul 6072 izomorf la PSL2 ( F23 ) . Un generator adaugă câte 1 la fiecare element al câmpului (lăsând fix punctul N la infinit), adică permutația (0123456789ABCDEFGHIJKLM)( N ), iar celălalt este permutarea de inversare a ordinii , (0N)(1M)(2B). )(3F)(4H)(59)(6J)(7D)(8K)(AG)(CL)(EI). Al treilea generator, dând M 24 , traduce elementul x al grupului F 23 în . Calculele arată că aceasta este o permutare a lui (2G968)(3CDI4)(7HABM)(EJLKF).

Stabilizatoarele 1 și 2 puncte, M 23 și M 22 se dovedesc, de asemenea, a fi grupuri simple sporadice. Stabilizatorul în 3 puncte este un grup simplu și este izomorf cu grupul liniar special proiectiv PSL 3 (4).

Aceste construcții au fost citate de Carmichael [9] . Dixon și Mortimer [10] atribuie permutările lui Émile Mathieu.

Grupuri de automorfism ale sistemelor Steiner

Există , până la echivalență , un sistem unic S (5,8,24) Steiner W 24 ( schema Witt ). Grupul M 24 este grupul de automorfism al acestui sistem Steiner, adică setul de permutări care mapează fiecare bloc cu un alt bloc. Subgrupurile M23 și M22 sunt definite ca stabilizatori ai unui punct și, respectiv, a două puncte .

În mod similar, există, până la echivalență, un sistem unic S(5,6,12) Steiner W 12 , iar grupul M 12 este grupul său de automorfism. Subgrupul M 11 este un stabilizator punctual.

W 12 poate fi construit din geometrie afină pe spațiul vectorial F 3 × F 3 , sistemul S (2,3,9).

O construcție alternativă a lui W 12  este „pisicuța” lui Curtis [11] .

O introducere în construirea W 24 cu minunatul generator de octade al lui R. T. Curtis și analogul W 12 al lui Conway ( ) poate fi găsită în cartea lui Conway și Sloan .

Grupuri de automorfism ale codurilor Golay

Grupul M 24 este grupul de automorfisme de permutări ale codului binar extins Golay W , adică grupul de permutări a 24 de coordonate care mapează W în sine. Toate grupurile Mathieu pot fi construite ca grupuri de permutare ale codurilor Golay binare.

M12 are indicele 2 în grupul său de automorfism, iar M12 : 2 este izomorf la un subgrup de M24 . M 12 este un stabilizator de cod de 12 unități. M 12 :2 stabilizează secțiunea în două coduri complementare de 12 biți.

Există o legătură firească între grupurile Mathieu și grupurile Conway mai mari , deoarece rețeaua Leach a fost construită pe codul binar Golay și ambele grupuri, de fapt, se află într-un spațiu de dimensiunea 24. Grupurile Conway se găsesc în Monster . Robert Gries se referă la cele 20 de grupuri sporadice găsite în Monster ca The Happy Family , iar la grupurile Mathieu ca prima generație .

Dessins d'enfants

Grupurile Mathieu pot fi construite folosind dessins d'enfants (fr: desen pentru copii) [12] , iar desenul asociat cu M 12 este numit „Monsieur Mathieu” (Monsieur Mathieu) [13] de le Brun .

Note

1. ↑ Mathieu, 1861 .
2. ↑ 12 Mathieu , 1873 .
3. ↑ Mathieu, 1861 , p. 271.
4. ↑ Miller, 1898 .
5. ↑ Miller, 1900 .
6. ↑ Witt, 1938a .
7. ↑ Witt, 1938b .
8. ↑ Cameron, 1999 , p. 110.
9. ↑ Carmichael, 1956 , p. 151, 164, 263.
10. ↑ Dixon, Mortimer, 1996 , p. 209.
11. ↑ Curtis, 1984 .
12. ↑ Literal - desenul unui copil (fr.). Termenul a fost propus de Grothendieck pentru unul dintre tipurile de înglobare a graficelor.
13. ↑ le Bruyn, 2007 .

Literatură

• Gorenstein D. Grupuri simple finite. — 1985.
• Peter J. Cameron. Grupuri de permutare. - Cambridge University Press , 1999. - V. 45. - (London Mathematical Society Student Textes). - ISBN 978-0-521-65378-7 .
• Robert D. Carmichael. Introducere în teoria grupurilor de ordin finit . - New York: Dover Publications , 1956. - ISBN 978-0-486-60300-1 . Anul publicării originale: 1937
• C. Choi. Pe subgrupurile lui M 24 . I: Stabilizers of Subsets // Tranzacții ale Societății Americane de Matematică. — Societatea Americană de Matematică, 1972a. - Mai ( v. 167 ). — S. 1–27 . - doi : 10.2307/1996123 . — .
• C. Choi. Pe subgrupurile lui M 24 . II: subgrupurile maxime ale M 24  // Tranzacții ale Societății Americane de Matematică. — Societatea Americană de Matematică, 1972b. - Mai ( v. 167 ). — S. 29–47 . - doi : 10.2307/1996124 . — .
• John Horton Conway . Trei prelegeri despre grupuri excepționale // Grupuri simple finite / MB Powell, Graham Higman. - Boston, MA: Academic Press , 1971. - pp. 215-247. — (Proceedings of an Instructional Conference organizată de London Mathematical Society (a NATO Advanced Study Institute), Oxford, septembrie 1969.). - ISBN 978-0-12-563850-0 . Retipărit înConway, Sloane, 1999, pp. 267–298
• John Horton Conway , Richard A. Parker, Simon P. Norton, RT Curtis, Robert A. Wilson. Atlas de grupuri finite . - Oxford University Press , 1985. - ISBN 978-0-19-853199-9 .
• John Horton Conway , Neil JA Sloane . Ambalaje sferice, zăbrele și grupuri . — al 3-lea. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1999. - T. 290. - (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften). - ISBN 978-0-387-98585-5 .
• Curtis RT O nouă abordare combinatorie a M₂₄ // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1976. - T. 79 , nr. 1 . — S. 25–42 . — ISSN 0305-0041 . - doi : 10.1017/S0305004100052075 .
• , ISSN 0305-0041 , DOI 10.1017/S0305004100053251 
• Curtis RT Sistemul Steiner S(5, 6, 12), grupul Mathieu M₁₂ și „pisoiul” // Teoria grupelor computaționale. Proceedings of the London Mathematical Society simpozionul organizat la Durham, 30 iulie–9 august 1982. / Michael D. Atkinson. - Boston, MA: Academic Press , 1984. - pp. 353-358. — ISBN 978-0-12-066270-8 .
• Hans Cuypers. Grupurile Mathieu și geometriile lor . — 1998.
• John D. Dixon, Brian Mortimer. Grupuri de permutare . - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1996. - V. 163. - (Texte de absolvire în matematică). — ISBN 978-0-387-94599-6 . - doi : 10.1007/978-1-4612-0731-3 .
• Ferdinand Georg Frobenius . Über die Charaktere der mehrfach transitiven Gruppen . - Mouton De Gruyter, 1904. - S. 558-571. — (Berlin Berichte). — ISBN 978-3-11-109790-9 .
• Robert L. Jr. Griess. Douăsprezece grupuri sporadice. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1998. - (Monografii Springer în matematică). - ISBN 978-3-540-62778-4 .
• Emile Mathieu. Memoire sur l'étude des fonctions de plusieurs quantités, sur la manière de les fost et sur les substitutions qui les laissent invariables  // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. - 1861. - T. 6 . — S. 241–323 .
• Emile Mathieu. Sur la fonction cinq fois transitive de 24 quantités  // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. - 1873. - T. 18 . — S. 25–46 .  (link indisponibil) Limba: franceza
• Miller GA Despre presupusa funcție de cinci ori tranzitivă a 24 de elemente și 19!/48 de valori.  // Mesager al matematicii. - 1898. - T. 27 . — S. 187–190 .
• Miller GA Sur plusieurs groupes simples  // Bulletin de la Société Mathematique de France. - 1900. - T. 28 . — S. 266–267 .
• Mark Ronan. Simetria și monstrul. - Oxford, 2006. - ISBN 978-0-19-280722-9 . (o introducere pentru cititorul neprofesionist, care descrie grupurile Mathieu într-un context istoric)
• Thomas M. Thompson. De la coduri de corectare a erorilor la sfere de ambalare la grupuri simple . - Mathematical Association of America , 1983. - V. 21. - (Carus Mathematical Monografii). - ISBN 978-0-88385-023-7 .
• Ernst Witt. über Steinersche Systeme // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. — Springer Berlin / Heidelberg, 1938a. - T. 12 . — S. 265–275 . — ISSN 0025-5858 . - doi : 10.1007/BF02948948 .
• Ernst Witt. Die 5-fach transitiven Gruppen von Mathieu // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. — 1938b. - T. 12 . — S. 256–264 . - doi : 10.1007/BF02948947 .
• Lieven le Bruyn. domnule Mathieu . - 2007. Arhivat 1 mai 2010.

Link -uri

• ATLAS: Mathieu group M 10 Arhivat 14 mai 2011 la Wayback Machine
• ATLAS: Mathieu group M 11 Arhivat 14 mai 2011 la Wayback Machine
• ATLAS: Mathieu group M 12 Arhivat 16 iulie 2011 la Wayback Machine
• ATLAS: Mathieu group M 20 Arhivat 16 iulie 2011 la Wayback Machine
• ATLAS: Mathieu group M 21 Arhivat 16 iulie 2011 la Wayback Machine
• ATLAS: Mathieu group M 22 Arhivat 16 iulie 2011 la Wayback Machine
• ATLAS: Mathieu group M 23 Arhivat 16 iulie 2011 la Wayback Machine
• ATLAS: Mathieu group M 24 Arhivat 16 iulie 2011 la Wayback Machine
• Cum se face grupul Mathieu M 24 .
• Mathieu grup M 9 pe GroupNames

• Scientific American Arhivat 8 septembrie 2008 la Wayback Machine Un set de puzzle-uri bazate pe matematica grupurilor Mathieu
• Sporadic M12 Arhivat 2 decembrie 2017 pe Wayback Machine O aplicație pentru iPhone care implementează puzzle-uri bazate pe M 12 , prezentată ca o permutare „învârtire” și o permutare „swap” selectabilă