Integrala Riemann

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 13 aprilie 2022; verificările necesită 3 modificări .

Integrala Riemann este cea mai utilizată formă a integralei definite . Foarte des, termenul „integrală definită” se referă la integrala Riemann și este studiată ca fiind prima dintre toate integralele definite în toate cursurile de analiză matematică. [1] Introdus de Bernhard Riemann în 1854 și este una dintre primele formalizări ale conceptului de integrală . [2]

Descriere informală

Integrala Riemann este o formalizare a conceptului de zonă sub un grafic. Să împărțim segmentul peste care căutăm zona într-un număr finit de subsegmente. Pe fiecare dintre subsegmente, selectăm un anumit punct al graficului și construim un dreptunghi vertical cu subsegmentul ca bază până la acel punct al graficului. Luați în considerare o figură obținută din astfel de dreptunghiuri. Aria S a unei astfel de figuri cu o împărțire specifică în segmente cu lungimi va fi dată de suma: $\Delta x_{i}$

\sigma =\sum _{i}f(x_{i})\Delta x_{i)

Este clar intuitiv că, dacă reducem lungimile acestor subsegmente, atunci aria unei astfel de figuri se va apropia din ce în ce mai mult de zona de sub grafic. Această remarcă este cea care conduce la definirea integralei Riemann. [3]

Definiție

Definiție clasică

Fie definită o funcție cu valoare reală pe intervalul . Vom număra . $[a,b]$ $f$ $a<b$

Pentru a defini o integrală, în primul rând, este necesar să definim mai întâi conceptul de divizare a unui segment și celelalte definiții legate de acesta.

O partiție (nemarcată) a unui segment este un set finit de puncte ale segmentului , care include punctele și . După cum se poate vedea din definiție, o partiție include întotdeauna cel puțin două puncte. Punctele de împărțire pot fi aranjate în ordine crescătoare: . Setul tuturor partițiilor unui segment va fi notat cu . $[a,b]$ $[a,b]$ $A$ $b$ $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{{n-1}}<x_{n}=b$ $[a;b]$ $T[a;b]$

Punctele de divizare între care nu există alte puncte de divizare sunt numite adiacente . Un segment ale cărui capete sunt puncte de despicare adiacente se numește segment de despărțire parțială . Notăm astfel de segmente ca . Lungimea unui segment parțial al partiției este notată cu . Lungimea celui mai mare dintre segmente se numește diametrul partiției . Pentru compartimentare , diametrul acestuia va fi notat ca . $\Delta _{i}=[x_{i-1};x_{i}]$ $\Delta _{i}$ $\Delta x_{i}$ $\tau$ $d(\tau )$

Un marcaj de partiție este un set ordonat finit astfel încât . Setul tuturor marcajelor partiției va fi notat ca . $(\xi _{1},\ldots,\xi _{n})$ $\xi _{i}\in \Delta _{i)$ $\tau$ $\Xi (\tau )$

O partiție etichetată este o pereche ordonată , unde este o partiție neetichetată și este o etichetare . Setul tuturor partițiilor marcate ale unui segment va fi notat ca . $(\tau ,\xi )$ $\tau$ $\xi$ $\tau$ $[a;b]$ $T'[a;b]$

După toate aceste definiții, putem trece la definirea directă a integralei Riemann.

Să fie dată o partiție etichetată . Suma integrală Riemann a unei funcții pe o partiție etichetată se numește . Integrala Riemann va fi limita acestor sume pe măsură ce diametrul partiției tinde spre zero. Cu toate acestea, există o subtilitate aici: aceasta este limita unei funcții cu partiții marcate ca argumente, nu numere, iar noțiunea obișnuită de limită atunci când se apropie de un punct nu se aplică aici. Este necesar să oferim o descriere formală a ceea ce înțelegem prin sintagma „limită la diametrul partiției care tinde spre zero” $(\tau ,\xi )$ $f$ $(\tau ,\xi )$ $\sigma (f,\tau,\xi)=\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta x_{i)$

Fie o funcție care atribuie un număr partiției etichetate. Numărul se numește limita funcției atunci când diametrul partiției tinde spre zero dacă $g:T'[a;b]\rightarrow \mathbb {R}$ $c$ $g$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall (\tau,\xi)\in T'[a;b],d(\tau)<\delta:|g(\tau ,\xi )-c|<\varepsilon

Desemnare: $c=\lim _{d(\tau)\to 0}g(\tau,\xi)$

O astfel de limită este un caz special al limitei de bază . Într-adevăr, notăm setul tuturor partițiilor etichetate cu diametrul mai mic decât . Atunci setul este o bază pe setul , iar limita definită mai sus nu este altceva decât limita peste această bază. Astfel, pentru astfel de limite, toate proprietățile inerente limitelor de bază sunt satisfăcute. $\delta$ $D'_{\delta )$ ${\mathfrak {B}}=\{D'_{\delta}|\delta >0\)$ $T'[a;b]$

În cele din urmă, putem defini integrala Riemann. Integrala Riemann a unei funcții din intervalul de la până la $f$ $A$ $b$ este limita sumelor Riemann integrale ale unei funcții pe partițiile etichetate ale unui segment cu un diametru al partiției care tinde spre zero. Folosind notația integrală, aceasta se scrie după cum urmează: $f$ $[a;b]$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{d(\tau)\to 0}\sigma (f,\tau,\xi)

Integrala Riemann este de asemenea definită pentru cazul . Căci este definit ca $a\geq b$ $a>b$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx

Pentru cum $a=b$

\int _{a}^{a}f(x)\,dx=0

[patru]

Prin integralele Darboux

Integrala Riemann poate fi definită într-un mod alternativ în termeni de integrale Darboux. De obicei, o astfel de definiție este dovedită ca o proprietate, iar teorema despre echivalența lor se numește teorema lui Darboux . Avantajele unei astfel de definiții sunt că ne permite să renunțăm la noțiunea de partiție etichetată, limita de partiție, și oferă o vedere mai clară a conceptului de integrabilitate.

Pentru o partiție neetichetată , notăm cel mai mic infimum al funcției de pe segmentul , și să notăm cel mai mare supremum. $\tau$ $m_i$ $f$ $\Delta _{i}$ $M_{i}$

Suma Darboux inferioară se numește . $s(f,\tau)=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i)$

Suma superioară a lui Darboux se numește . [5] $S(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i)$

Integrala Darboux inferioară se numește . $I_{*}=\sup _{\tau \in T[a;b]}s(f,\tau )$

Integrala superioară Darboux se numește . [6] $I^{*}=\inf _{\tau \in T[a;b]}S(f,\tau )$

Integrale Darboux există pentru orice funcție mărginită pe intervalul de integrare. Dacă integralele Darboux coincid și sunt finite, atunci funcția se numește integrabilă Riemann pe intervalul , iar acest număr în sine se numește integrală Riemann. [7] $f$ $[a;b]$

Integrala Darboux poate fi definită și în termeni de limită peste partițiile neetichetate, cu diametrul partiției tinzând spre zero. Limita peste partițiile neetichetate este definită în mod similar cu limita peste partițiile etichetate, dar vom oficializa și această noțiune. Fie o funcție care atribuie un număr unei partiții neetichetate. Numărul se numește limita funcției atunci când diametrul partiției tinde spre zero dacă $g:T[a;b]\rightarrow \mathbb {R}$ $c$ $g$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall \tau \in T[a;b],d(\tau )<\delta :|g(\tau )-c|<\ varepsilon

Denumire: [8] $c=\lim _{d(\tau)\to 0}g(\tau)$

O astfel de limită este, de asemenea, un caz special al limitei de bază. Baza aici va fi decorul , unde . [9] Atunci: ${\mathfrak {B}}=\{D_{\delta }|\delta >0\}$ $D_{\delta}=\{\tau \in T[a;b]|d(\tau )<\delta \)$

Integrala Darboux inferioară se numește . $I_{*}=\lim _{d(\tau)\to 0}s(f,\tau)$

Integrala superioară Darboux se numește . [zece] $I^{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )$

Funcții integrabile

O funcție pentru care integrala Riemann există în limitele de la până (dacă limita este egală cu infinit, atunci se consideră că integrala nu există) se numește integrabilă Riemann pe segmentul [a;b] . [11] Setul de funcții care sunt integrabile pe interval se numește mulțime de funcții care sunt integrabile pe interval și se notează cu . $A$ $b$ $f:[a;b]\rightarrow \mathbb {R}$ $[a;b]$ $[a;b]$ $R[a;b]$

Condiția principală și cea mai convenabilă pentru integrabilitate este criteriul Lebesgue: mulțimea de funcții integrabile pe un interval este exact mulțimea de funcții care sunt mărginite și continue aproape peste tot pe acest interval. Acest criteriu face posibilă aproape imediat obținerea majorității condițiilor suficiente pentru integrabilitate. Cu toate acestea, demonstrarea acestei afirmații este destul de complicată, motiv pentru care este adesea omisă într-o prezentare metodică, iar dovezile ulterioare se bazează pe criteriul Riemann. Demonstrarea existenței integralei Riemann pe baza criteriului Riemann este mai dificilă decât pe baza criteriului Lebesgue.

Criterii de integrabilitate

criteriul lui Cauchy . O funcție este Riemann integrabilă pe un segmentdacă $[a,b]$

\forall \varepsilon >0\\exists \delta >0\\forall (\tau ',\xi '),(\tau '',\xi '')\in T'[a;b], d(\tau ')<\delta ,d(\tau '')<\delta :|\sigma (f,\tau ',\xi ')-\sigma (f,\tau '',\xi '' )|<\varepsilon

[12] Acest criteriu nu este altceva decât o înregistrare a criteriului Cauchy de convergență în baza pentru cazul integralei Riemann.

criteriul Darboux. Funcția este Riemann integrabilă pe interval dacă și numai dacă integrala superioară Darboux coincide cu cea inferioară și este finită. [13] $[a,b]$

O definiție alternativă a integralei Riemann se bazează pe acest criteriu.

criteriul lui Riemann . Definim oscilația unei funcții pe mulțime ca . [paisprezece] $f(x)$ $E$ $\omega (f,G)=\sup _{x\in E}f(x)-\inf _{x\in E}f(x)=\sup _{x,y\in E} |f(x)-f(y)|$

Apoi suma unei funcții de pe o partiție se numește . [15] [16]

\Omega

f

\tau

\Omega (f,\tau)=\sum _{i=1}^{n}\omega (f,\Delta _{i})=S(f,\tau)-s(f,\ tau)

O funcție este Riemann integrabilă dacă și numai dacă este mărginită și limita sumelor pe măsură ce diametrul partiției tinde spre zero este egală cu . [17]

\Omega

0

Criteriul infinit al lui Riemann. Există, de asemenea, o variație a criteriului Riemann folosind noțiunea de muchie exactă mai degrabă decât de limită: funcția este integrabilă dacă și numai dacă . [18] [19] $\inf _{\tau \in T[a;b]}\Omega (f,\tau )=0$
Criteriu Riemann special. De fapt, condiții mai slabe pot fi cerute în criteriul Riemann.

Se notează prin împărțirea segmentului în segmente egale. Funcția este integrabilă pe acest segment dacă și numai dacă șirul tinde spre zero. [douăzeci]

\tau_n

n

\Omega (f,\tau _{n})

Criteriul infinit infinit al lui Riemann. O funcție este integrabilă pe un segment dacă și numai dacă . [21] $\inf _{n\in \mathbb {N} }\Omega (f,\tau _{n})=0$
Criteriul Dubois-Reymond. Să definim fluctuația unei funcții într-un punct drept limita inferioară exactă a valorii fluctuațiilor unei funcții în vecinătatea acestui punct (dacă domeniul funcției nu include vecinătatea completă a punctului, atunci numai sunt luate în considerare acele puncte ale vecinătăţii care sunt incluse în domeniul de definiţie).

\omega (f,x_{0})=\inf _{U(x_{0})}\omega (f,U(x_{0})\cap X)

[paisprezece] De fapt, oscilația unei funcții într-un punct este diferența dintre o funcție și una continuă. În punctul de continuitate este egal cu , în punctul de discontinuitate este mai mare decât .

0

0

O funcție este Riemann integrabilă dacă și numai dacă este mărginită și pentru oricare mulțime de puncte la care are măsură Jordan zero (adică pentru oricare poate fi acoperită de un set finit de intervale cu o lungime totală mai mică de ). [22]

\varepsilon

x\in[a;b]

\omega (f,x)\geq \varepsilon

\delta>0

\delta

criteriul Lebesgue. O funcție este Riemann integrabilă pe un segment dacă și numai dacă este mărginită pe acest segment, iar mulțimea de puncte în care este discontinuă are măsură Lebesgue zero (adică pentru oricare poate fi acoperită de o familie numărabilă de intervale cu o lungime totală mai mică de ). [23] $[a,b]$ $\varepsilon >0$ $\varepsilon$

Condiții suficiente pentru integrabilitate

Toate condițiile suficiente de integrabilitate enumerate mai jos decurg aproape imediat din criteriul Lebesgue.

O funcție continuă pe un interval este integrabilă pe acesta [24]
O funcție mărginită pe un interval, discontinuă la un număr finit al punctelor sale, este integrabilă pe acest interval [25]
Funcție monotonă pe un interval, integrabilă pe acesta [26]
Produsul unei funcții integrabile și al unui număr este integrabil [27]
Suma funcțiilor integrabile este integrabilă [27]
Produsul funcțiilor integrabile este integrabil [28]
Dacă raportul a două funcții integrabile este mărginit, atunci este integrabil. Un caz special este dacă setul de valori numitorului nu are un punct limită. [paisprezece] $0$
Modulul unei funcții integrabile este integrabil. [29]
Compoziția funcțiilor , unde este continuă pe segment și este integrabilă pe , integrabilă pe . [treizeci] $f(g(x))$ $f$ $[\inf g(x),\sup g(x)]$ $g$ $[a;b]$ $[a;b]$
Dacă o funcție este integrabilă pe un anumit interval, atunci este integrabilă pe oricare dintre subsegmentele sale. [31]
Fie și să fie o funcție integrabilă pe și . Apoi este integrabil pe . [32] $a<b<c$ $f$ $[a;b]$ $[b;c]$ $[a;c]$

Proprietăți

Proprietățile ulterioare sunt valabile numai dacă integralele corespunzătoare există.

O condiție necesară pentru integrabilitate. O funcție integrabilă pe un segment este mărginită pe acesta. [33] $[a;b]$
Non-negativitate. Pentru o funcție nenegativă pe interval, $[a;b]$ $a<b$ $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\geq 0$ [34]
Pozitivitate. Pentru o funcție nenegativă și continuă pe un segment , , care este diferit de zero cel puțin într-un punct $[a;b]$ $a<b$ $\int _{a}^{b}f(x)\,dx>0$ [35]
Liniaritate. $\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a }^{b}g(x)\,dx$ [27]

Pentru existența tuturor acestor trei integrale este suficientă existența a două dintre ele. Pentru oricine

\lambda \in \mathbb {R}

\int _{a}^{b}\lambda f(x)\,dx=\lambda \int _{a}^{b}f(x)\,dx

[27] Existența integralei drepte implică existența celei stângi. Dacă , atunci existența stângii implică existența dreptei.

\lambda \neq 0

Aditivitate. Pentru numere arbitrare $a,b,c$ $\int _{a}^{c}f(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{c}f( x)\,dx$ [32]

Pentru existența tuturor acestor trei integrale, este suficient fie să existe o integrală peste un segment mai mare, fie peste două mai mici.

Monoton. Lasă și mai departe . Apoi $a<b$ $f(x)\leq g(x)$ $[a;b]$ $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx$ [34]
Nota. Să , , . Apoi $a<b$ $m=\inf _{x\in[a;b]}f(x)$ $M=\sup _{x\in [a;b]}f(x)$

m(ba)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(ba)

[36]

Evaluarea modulului. Lasă . $a<b$ $\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\, dx$ [29]

Pentru ca aceste două integrale să existe, existența integralei stângi este suficientă. Există o variație a acestei proprietăți pentru arbitrare și .

A

b

\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \left|\int _{a}^{b}\left|f(x)\right |\,dx\dreapta|

[37]

Teorema valorii medii . Pentru o mai bună înțelegere, formulăm mai întâi teorema valorii medii într-o formulare ușor simplificată.

Valoarea medie a unei funcții pe un segment se numește .

f

[a;b]

{\frac {1}{ba}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx

Teorema valorii medii spune că o funcție continuă pe un segment își ia valoarea medie la un moment dat pe acest segment.

\există c\in [a;b]:f(c)={\frac {1}{ba))\int _{a}^{b}f(x)\,dx

Puteți scrie această condiție fără a împărți pentru a acoperi cazul când .

ba

a=b

\există c\in [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)(ba)

Într-o astfel de notație, teorema valorii medii este adevărată pentru orice valori ale și .

A

b

De fapt, o condiție mult mai generală este adevărată. Fie integrabil pe , , . Apoi

f

[a;b]

m=\inf _{x\in[a;b]}f(x)

M=\sup _{x\in [a;b]}f(x)

\există \mu \in [m;M]:\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\mu (ba)

[36] Această teoremă este uneori numită și teorema valorii medii integrale pentru a o distinge de următoarele. [38]

Teorema valorii medii generalizate . Fie funcția să fieintegrabilă pe segmentul,,, iar funcția să fieintegrabilă și de semn constant. Apoi $f$ $[a;b]$ $m=\inf _{x\in[a;b]}f(x)$ $M=\sup _{x\in [a;b]}f(x)$ $g$

\există \mu \in [m;M]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=\mu \int _{a}^{b}g (x)\,dx

[39] Teorema este din nou adevărată pentru orice și .

A

b

Pentru această teoremă, se poate da și o variație în cazul continuității . [40]

f

\există c\in [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(c)\int _{a}^{b} g(x)\,dx

Uneori, această teoremă, și nu cea anterioară, se numește teorema valorii medii. De asemenea, pentru a o distinge de următoarea, această teoremă se numește prima teoremă a valorii medii . [41]

A doua teoremă a valorii medii . Fie ca funcția să fieintegrabilă pe intervalul, iar funcția să fiemonotonă. Apoi $f$ $[a;b]$ $g$

\există c\in [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=g(a)\int _{a}^{c} f(x)\,dx+g(b)\int _{c}^{b}f(x)\,dx

[42] A doua teoremă a valorii medii are variații pentru funcțiile nenegative . Fie ca funcția să fie integrabilă pe segmentul , iar funcția să fie nenegativă și să nu crească. Apoi

g

f

[a;b]

g

\există c\in [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=g(a)\int _{a}^{c} f(x)\,dx

[43] Fie funcția să fie integrabilă în intervalul , iar funcția să fie nenegativă și nedescrescătoare. Apoi

f

[a;b]

g

\există c\in [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=g(b)\int _{c}^{b} f(x)\,dx

[43]

Independență față de seturile de măsură zero. Dacă două funcții sunt integrabile într-un interval și sunt egale aproape peste tot pe acesta, atunci integralele lor sunt de asemenea egale. Astfel, valoarea integralei Riemann nu depinde de valoarea funcției pe o mulțime de măsură zero. Totuși, existența sa depinde: de exemplu, zero și funcția Dirichlet sunt egale aproape peste tot, dar integrala primei funcție există, dar nu și a celei de-a doua.

Integrală cu limita superioară a variabilei

Funcția definită folosind integrala după cum urmează $h(x)$

h(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt

se numește integrală cu limită superioară a variabilei . [38]

Proprietăți:

Domeniul definiției este intervalul în care intră punctul. $\int _{a}^{x}f(t)\,dt$ $A$
Integrala cu limita superioară variabilă este continuă. [38] $\int _{a}^{x}f(t)\,dt$
Mai mult, integrala cu o limită variabilă superioară este o funcție Lipschitz
În punctele în care este continuă, integrala cu limita superioară a variabilei este diferențiabilă și valoarea derivatei sale este egală cu . [44] $X$ $f(x)$ $\int _{a}^{x}f(t)\,dt$ $f(x)$

Ultima proprietate permite utilizarea unei integrale cu o limită superioară a variabilei pentru a nota antiderivată a unei funcții. Astfel, se leagă integrala nedefinită și cea definită prin următoarea relație:

\int f(x)\,dx=\int _{a}^{x}f(t)\,dt+C

Această egalitate este adevărată și dacă este integrabilă și are antiderivată pe . [45] $f$ $[a;b]$

Calcul

Pentru a calcula integralele Riemann în cele mai simple cazuri, se folosește formula Newton-Leibniz, care este o consecință a proprietăților unei integrale cu limită superioară a variabilei.

Formula Newton-Leibniz . Fiecontinuu pe,antiderivatul său pe,. Apoi $f(x)$ $[a;b]$ $F(x)$ $[a;b]$ $a \neq b$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)

[46]

În calculele practice, se folosesc și următoarele metode:

Substituția variabilă . Să fie necesar să se calculeze integrala

\int _{a}^{b}f(x)\,dx

Se efectuează înlocuirea , după care se recalculează limitele de integrare și diferența:

x=\varphi (t)

a=\varphi (\alpha), b=\varphi (\beta), dx=\varphi '(t)\,dt

Apoi

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{\alpha }^{\beta}f(\varphi (t))\varphi '(t)\,dt

Pentru ca o astfel de înlocuire să fie legală, sunt necesare continuitate și diferențiere continuă și monotonitate strictă . [47]

f

\varphi

Integrare pe părți . Metoda de integrare pe părți constă în aplicarea următoarei formule:

\int _{a}^{b}u\,dv=(uv){\bigr |}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}v\,du

Formula este legală dacă și sunt diferențiabile continuu. [48]

u

v

De fapt, multe dintre condițiile specificate pentru formula Newton-Leibniz și cele două metode de mai sus sunt redundante și pot fi slăbite semnificativ. [49] [48] [50] Cu toate acestea, astfel de condiții vor fi mai complicate, în plus, pentru majoritatea cazurilor practice, aceste condiții sunt suficiente. Mai mult, în formă redusă, aceste condiții garantează și existența tuturor integralelor, ceea ce ne permite să ne restrângem doar la verificarea acestor condiții simple înainte de a aplica metodele adecvate.

Integrarea unei funcții impare . Fie integrabilă o funcție impară pe un segment. Apoi $f$ $[-a;a]$

\int _{-a}^{a}f(x)\,dx=0

[51]

Integrarea unei funcții par . Fie o funcție pară integrabilă pe un interval. Apoi $f$ $[-a;a]$

\int _{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int _{0}^{a}f(x)\,dx

[51]

Integrarea unei funcţii periodice . Lasă -l să aibă un punct și să fie integrabil pe . Apoi este integrabil pe orice interval și pentru orice $f$ $T$ $[0;T]$ $A$

\int _{a}^{a+T}f(x)\,dx=\int _{0}^{T}f(x)\,dx

[51]

Istorie

Definiția de mai sus a unei integrale a fost dată de Cauchy [52] și a fost aplicată numai funcțiilor continue.

Riemann în 1854 (publicat în 1868 [2] , în rusă pentru prima dată în 1914 [53] [54] ) a dat aceeași definiție fără asumarea continuității. Forma modernă a teoriei lui Riemann a fost dată de Darboux (1879).

Variații și generalizări

Integrală Riemann a funcțiilor parțial date. Uneori este logic să definim integrala Riemann pentru funcțiile parțial definite pe interval . Se determină dacă, pentru orice extindere a unei funcții la una complet dată, integrala ei este egală cu aceeași valoare. În acest caz, această valoare este considerată a fi integrala Riemann a funcției date parțial. De exemplu: puteți lua în considerare funcții care nu sunt definite la un număr finit de puncte. Dacă, în plus, în toate celelalte puncte sunt continue aproape peste tot, atunci orice extensie la o funcție complet dată este integrabilă, iar valorile lor sunt egale, deoarece valoarea integralei nu depinde de valoarea unui set de măsură. zero. Pentru astfel de funcții, există chiar și o generalizare a formulei Newton-Leibniz. [55] Cu toate acestea, chiar și pentru un set numărabil, acesta nu este întotdeauna cazul. Să luăm o funcție definită numai pe mulțimea numerelor iraționale. Poate fi extins în diferite moduri până la și până la funcția Dirichlet. Într-un caz este integrabil, în celălalt nu este. Pe de altă parte, dacă luăm în considerare , care este nedefinit pe mulțimea Cantor , atunci orice completare a unei astfel de funcție va fi integrabilă. $[a;b]$ $0$ $0$ $0$
Integrala Riemann a funcțiilor cu valori vectoriale. Integrala Riemann poate fi definită pentru funcții cu valori în orice spațiu vectorial topologic peste . De exemplu, putem considera integrala funcțiilor vectoriale (funcții cu valori în spațiul euclidian ). Astfel de funcții sunt integrate în funcție de coordonate, motiv pentru care aproape toate proprietățile sunt transferate și lor. [56] $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$
Integrala improprie a lui Riemann . Uneori este nevoie să se ia în considerare o integrală pe un interval infinit sau dintr-o funcție nemărginită. Integrala improprie este o generalizare a integralei Riemann la astfel de cazuri. Pentru intervale infinite, integrala improprie este definită după cum urmează:

\int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx=\lim _{y\to +\infty }\int _{a}^{y}f(x)\, dx

Pentru intervale finite cu o funcție nemărginită în vecinătatea limitei superioare se definește după cum urmează:

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{y\to b-}\int _{a}^{y}f(x)\,dx

Cazurile rămase sunt definite în mod similar. Dacă există infinite puncte de discontinuitate în interiorul intervalului sau dacă ambele limite sunt infinite, atunci integrala de aditivitate se împarte în mai multe. Caracteristica cheie a acestei definiții este că, pentru funcțiile integrabile, astfel de limite coincid cu integralele obișnuite (numite proprii pentru a distinge de cele improprii). Astfel, integrala Riemann improprie este doar o generalizare proprie.

Integrală Riemann multiplă . Integrala multiplă este luată din funcțiile multor variabile dintr-o anumită submulțime. Sunt luate în considerare împărțirile acestor seturi în subseturi măsurabile Iordaniei . În ele sunt marcate puncte și sunt compilate sume integrale (în loc de lungimile intervalelor, se iau măsurile Jordan ale submulților corespunzătoare). Diametrul unui subset al unei astfel de partiții este supremul tuturor distanțelor dintre puncte. Diametrul partiției în sine este diametrul minim al partițiilor subsetului. Limita sumelor integrale pe măsură ce diametrul partițiilor tinde spre zero se numește integrală multiplă. $\mathbb {R} ^{n}$

Multe proprietăți ale integralelor multiple coincid cu cele obișnuite, dar unele nu (de exemplu, formula de modificare a variabilelor). Contrar concepției greșite populare, ele nu sunt o generalizare exactă a integralei Riemann, deoarece integrala multiplă este preluată de o mulțime nedirecționată, iar cea obișnuită necesită setarea direcției segmentului.

Integrală curbilinie . Similar cu integrala multiplă, este luată dintr-o funcție a mai multor variabile, dar deja de-a lungul unei curbe. Curba este, de asemenea, împărțită în subcurbe, valorile funcției sunt înmulțite cu lungimile subcurbelor corespunzătoare și se adună.
Integrală de suprafață . Aproape asemănătoare cu integrala curbilinie, cu diferența că este preluată pe suprafață, iar valorile funcțiilor din punctele marcate sunt înmulțite cu aria secțiunilor corespunzătoare.
integrala Lebesgue . O abordare alternativă a definiției integralei. Aici, în loc să împărțim domeniul de definire al funcției integrabile, domeniul valorilor este împărțit, după care punctele de împărțire sunt înmulțite cu măsurile imaginilor inverse ale acestor segmente și însumate între ele. Pe măsură ce punctul superior al partiției crește, cel inferior scade, iar diametrul său tinde spre zero, astfel de sume tind spre integrala Lebesgue.

Vezi și

Integrala Lebesgue și integrala Daniel echivalentă , integrala Young
Stieltjes integral
Integrală Riemann multiplă
Integrală necorespunzătoare

Note

↑ Fikhtengolts, 2003 , p. 107.
↑ 1 2 Riemann (articol), 1868 , p. 101-103.
↑ Fikhtengolts, 2003 , p. 104.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 218.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 190.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 204-205.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 208.
↑ Ilyin, 1985 , p. 337.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 189.
↑ Ilyin, 1985 , p. 338.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 186-188.
↑ Kudryavtsev, 2003 , p. 539.
↑ Kudryavtsev, 2003 , p. 553.
↑ 1 2 3 Kudryavtsev, 2003 , p. 556.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 224.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 181.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 180.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 185.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 205.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 186.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 187.
↑ Kudryavtsev, 2003 , p. 563.
↑ Kudryavtsev, 2003 , p. 567.
↑ Kudryavtsev, 2003 , p. 548.
↑ Kudryavtsev, 2003 , p. 549.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 198.
↑ 1 2 3 4 Kudryavtsev, 2003 , p. 573.
↑ Kudryavtsev, 2003 , p. 574.
↑ 1 2 Kudryavtsev, 2003 , p. 578.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 203.
↑ Kudryavtsev, 2003 , p. 571.
↑ 1 2 Kudryavtsev, 2003 , p. 572.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 179.
↑ 1 2 Kudryavtsev, 2003 , p. 576.
↑ Kudryavtsev, 2003 , p. 577.
↑ 1 2 Fikhtengolts, 2003 , p. 125.
↑ Kudryavtsev, 2003 , p. 579.
↑ 1 2 3 Kudryavtsev, 2003 , p. 587.
↑ Fikhtengolts, 2003 , p. 126.
↑ Fikhtengolts, 2003 , p. 127.
↑ Kudryavtsev, 2003 , p. 583.
↑ Fikhtengolts, 2003 , p. 132.
↑ 1 2 Arkhipov, 1999 , p. 215.
↑ Kudryavtsev, 2003 , p. 588.
↑ Kudryavtsev, 2003 , p. 590.
↑ Kudryavtsev, 2003 , p. 591.
↑ Kudryavtsev, 2003 , p. 596.
↑ 1 2 Kudryavtsev, 2003 , p. 600.
↑ Kudryavtsev, 2003 , p. 593.
↑ Kudryavtsev, 2003 , p. 601.
↑ 1 2 3 Vilenkin, 1979 , p. 72.
↑ Cauchy, 1831 .
↑ Riemann (carte), 1914 .
↑ Arkhipov, 1999 , p. 196.
↑ Kudryavtsev, 2003 , p. 595.
↑ Kudryavtsev, 2003 , p. 607.

Literatură

V.A. Ilyin , V.A. Sadovnici , Bl. H. Sennov . Analiza matematică. Curs inițial. - al 2-lea, revizuit. - M . : Editura Universității din Moscova, 1985. - T. 1. - 660 p.
Fikhtengol's G. M. Curs de calcul diferențial și integral în trei volume. - Ed. al 8-lea. - M. : Nauka, 2003. - T. 2. - 864 p.
Arkhipov G.I. , Sadovnichiy V.A. , Chubarikov V.N. Prelegeri de analiză matematică / Ed. V. A. Sadovnichy. - Ed. I. - M . : Şcoala superioară , 1999. - 695 p. - ISBN 5-06-003596-4 .
Kudryavtsev L. D. Curs de analiză matematică. În 3 volume. T. 1. Calcul diferenţial şi integral al funcţiilor unei variabile - M. : Drofa, 2003. - 704 p.
Vilenkin N.Ya., Kunitskaya E.S., Mordkovich A.G. Analiza matematică. Calcul integral. - M . : Prosveschenie, 1979. - 176 p.
Cauchy AL Sur la mécanique céleste et sur un nou calcul numit calcul des limites. — Torino, 1831.
Riemann B. Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe // Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. - 1868. - Vol. 13. - P. 87-132.
Riemann B. Despre posibilitatea exprimării unei funcţii folosind o serie trigonometrică // Descompunerea funcţiilor în serii trigonometrice / Lejeune-Diriclet, Riemann, Lipschitz; Pe. G. A. Gruzintsev și S. N. Bernstein. - Harkov: Harkov Mathematical Society, 1914. - (Biblioteca de matematică Harkov. Seria B; Nr. 2).

Link -uri

Tabele de integrale nedefinite și definite - EqWorld: Lumea ecuațiilor matematice.
Definirea riguroasă a integralei Riemann .

Dicționare și enciclopedii	Mare catalană Rusă mare
În cataloagele bibliografice	NKC : ph135430

Calcul integral

Principal

Generalizări
ale integralei Riemann

Transformări integrale

Integrare numerică

teoria măsurării

subiecte asemănătoare

Liste de integrale