Istoria logaritmilor

Istoria logaritmilor ca concept algebric poate fi urmărită încă din cele mai vechi timpuri. Sursa ideologică și stimulul pentru utilizarea logaritmilor a fost faptul (cunoscut lui Arhimede [1] ) că la înmulțirea puterilor cu aceeași bază, indicatorii acestora se adună [2] : .

Predecesori

Matematicianul indian din secolul al VIII-lea Virasena , explorând dependențele de putere, a publicat un tabel de exponenți întregi (adică, de fapt, logaritmi) pentru bazele 2, 3, 4 [3] .

Pasul decisiv a fost făcut în Europa medievală. Nevoia de calcule complexe în secolul al XVI-lea a crescut rapid și o mare parte din dificultate a fost asociată cu înmulțirea și împărțirea numerelor cu mai multe cifre, precum și cu extragerea rădăcinilor . La sfârșitul secolului, mai mulți matematicieni, aproape simultan, au venit cu ideea: să înlocuiască înmulțirea consumatoare de timp cu adunarea simplă, comparând progresiile geometrice și aritmetice cu ajutorul unor tabele speciale, în timp ce cea geometrică va fi cea originală. [1] . Apoi împărțirea este înlocuită automat cu o scădere nemăsurat mai simplă și mai fiabilă, iar exponențiarea și extragerea rădăcinii vor fi, de asemenea, simplificate .

Primul care a publicat această idee în cartea sa „ Arithmetica integra ” (1544) a fost Michael Stiefel , care, însă, nu a făcut eforturi serioase pentru punerea în practică a ideii sale [4] [5] . Principalul merit al lui Stiefel este trecerea de la exponenți întregi la exponenți raționali arbitrari [6] (primii pași în această direcție au fost făcuți de Nikolay Orem în secolul al XIV-lea și Nicola Schücke în secolul al XV-lea).

John Napier și „tabelul său uimitor de logaritmi”

În 1614, matematicianul amator scoțian John Napier a publicat o lucrare în latină intitulată Description of the Amazing Table of Logarithms ( în latină:  Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). Avea o scurtă descriere a logaritmilor și proprietăților acestora, precum și tabele de 8 cifre ale logaritmilor sinusurilor , cosinusurilor și tangentelor , cu un pas de 1'. Termenul de logaritm , propus de Napier, s-a impus în știință.

Napier a explicat scopul lucrării sale [7] după cum urmează:

Întrucât în ​​practica artei matematice, colegi matematicieni, nimic nu este mai obositor decât întârzierile uriașe pe care trebuie să le îndurați în cursul unor lungi acțiuni de rutină - înmulțirea și împărțirea, găsirea de rapoarte și extragerea rădăcinilor pătrate și cubice - și numeroasele erori. care poate strecura răspunsul - apoi m-am gândit cu insistență, prin ce artă fiabilă și rapidă aș putea rezolva aceste dificultăți. În cele din urmă, după multă gândire, am găsit o modalitate uimitoare de a scurta acești pași... Este o sarcină plăcută să prezint matematicienilor această metodă pentru uz general.

Napier a conturat teoria calculului tabelelor de logaritmi în cealaltă carte a sa „ Construcția unui tabel uimitor de logaritmi ” ( lat.  Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), publicată postum în 1619 de fiul său Robert.

Judecând după documente, Napier a stăpânit tehnica logaritmului până în 1594 [8] . Scopul imediat al dezvoltării sale a fost de a facilita calcule astrologice complexe pentru Napier [9] ; de aceea au fost incluse în tabele doar logaritmii funcţiilor trigonometrice .

Conceptul de funcție nu exista încă, iar Napier a definit logaritmul cinematic , comparând mișcarea uniformă și logaritmică lentă; de exemplu, el a definit logaritmul sinusului după cum urmează [10] :

Logaritmul unui sinus dat este un număr care crește întotdeauna aritmetic în aceeași rată cu care sinusul complet a început să scadă geometric.

În notația modernă, modelul cinematic Napier poate fi reprezentat printr-o ecuație diferențială [11] :

,

unde M este un factor de scalare introdus pentru ca valoarea să se dovedească a fi un număr întreg cu numărul necesar de cifre ( fracțiunile zecimale nu erau încă utilizate pe scară largă atunci). Napier a luat M = 10.000.000.

Strict vorbind, Napier a tabulat funcția greșită, care se numește acum logaritm. Dacă notăm funcția sa , atunci este legată de logaritmul natural după cum urmează [11] :

Evident, adică logaritmul „sinusului complet” (corespunzător la 90 °) este zero - asta a realizat Napier cu definiția sa. De asemenea, a vrut ca toți logaritmii să fie pozitivi; este ușor de verificat dacă această condiție pentru este îndeplinită. .

Principala proprietate a logaritmului Napier: dacă mărimile formează o progresie geometrică , atunci logaritmii lor formează o progresie aritmetică . Cu toate acestea, regulile pentru logaritmul pentru funcția non-Peer diferă de regulile pentru logaritmul modern, de exemplu:

Dezvoltare ulterioară

După cum sa dovedit curând, din cauza unei erori în algoritm, toate valorile tabelului Napier conțineau numere incorecte după a șasea cifră [12] . Cu toate acestea, acest lucru nu a împiedicat noua metodă de calcul să câștige o mare popularitate, iar mulți matematicieni europeni au preluat compilarea tabelelor logaritmice. Kepler a introdus o dedicație entuziastă lui Napier în cartea de referință astronomică pe care a publicat-o în 1620 (neștiind că inventatorul logaritmilor murise deja). În 1624, Kepler a publicat propria sa versiune a tabelelor logaritmice ( lat.  Chilias Logarithmorum ad totidem numeros rotundos ) [13] . Folosirea logaritmilor ia permis lui Kepler să finalizeze mulți ani de muncă la Tabelele Rudolphiene relativ rapid , ceea ce a cimentat succesul astronomiei heliocentrice .

La câțiva ani după cartea lui Napier, au apărut tabelele logaritmice, folosind o înțelegere mai modernă a logaritmului. Profesorul londonez Henry Briggs a publicat tabele cu 14 cifre de logaritmi zecimali (1617), și nu pentru funcții trigonometrice, ci pentru numere întregi arbitrare până la 1000 (7 ani mai târziu, Briggs a crescut numărul de numere la 20000). În 1619, profesorul de matematică londonez John Spidell a republicat  tabelele logaritmice ale lui Napier, corectate și completate astfel încât acestea să devină de fapt tabele de logaritmi naturali. Spidell avea și logaritmii numerelor în sine până la 1000 (mai mult, logaritmul unității, ca și Briggs, era egal cu zero) - deși Spidell a păstrat scalarea la numere întregi [14] [15] .

În anii 1620, Edmund Wingate și William Oughtred au inventat prima regulă de calcul, care a servit ca instrument de calcul indispensabil pentru un inginer până la apariția calculatoarelor de buzunar [16] . Cu acest instrument compact, puteți efectua rapid toate operațiile algebrice, inclusiv cele care implică funcții trigonometrice [17] . Precizia calculelor este de aproximativ 3 cifre semnificative.

Curând a devenit clar că locul logaritmilor în matematică nu se limitează la confortul computațional. În 1629, matematicianul belgian Gregoire de Saint-Vincent a arătat că aria sub o hiperbolă variază conform legii logaritmice [18] . În 1668, matematicianul german Nicholas Mercator (Kaufmann) a descoperit și publicat în cartea sa Logarithmotechnia extinderea logaritmului într-o „ serie Mercator ” infinită [19] . Potrivit multor istorici, apariția logaritmilor a avut o influență puternică asupra multor concepte matematice, inclusiv:

  1. Formarea și recunoașterea conceptului general de numere iraționale și transcendentale [20] .
  2. Apariția unei funcții exponențiale și conceptul general de funcție numerică , numărul Euler , dezvoltarea teoriei ecuațiilor la diferență [21] .
  3. Noțiuni introductive cu Infinite Series [19] .
  4. Metode generale de rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale de diferite tipuri.
  5. Evoluții substanțiale în teoria metodelor numerice necesare pentru calcularea tabelelor logaritmice exacte.

Până la sfârșitul secolului al XIX-lea, nu a existat o desemnare general acceptată a logaritmului, baza a era indicată fie în stânga, cât și deasupra simbolului jurnalului , apoi deasupra acestuia. În cele din urmă, matematicienii au ajuns la concluzia că locul cel mai convenabil pentru bază este sub linie, după log : simbol . Scurte desemnări ale celor mai comune tipuri de logaritm - pentru zecimal și natural - au apărut mult mai devreme deodată de mai mulți autori și au fost în cele din urmă fixate și până la sfârșitul secolului al XIX-lea [22] .

Aproape de înțelegerea modernă a logaritmului - ca operație inversă ridicării la putere - a apărut pentru prima dată la Wallis (1685) și Johann Bernoulli (1694), și a fost în cele din urmă legitimat de Euler [12] . În cartea „Introducere în analiza infinitului” ( 1748 ), Euler a dat definiții moderne atât ale funcțiilor exponențiale , cât și ale funcțiilor logaritmice, le-a extins în serii de puteri și a notat mai ales rolul logaritmului natural [23] . Euler are și meritul de a extinde funcția logaritmică la domeniul complex .

Tabele logaritmice

Din proprietățile logaritmului, rezultă că, în loc de înmulțirea consumatoare de timp a numerelor cu mai multe valori, este suficient să găsiți (conform tabelelor) și să adăugați logaritmii acestora, apoi să efectuați potențarea folosind aceleași tabele (secțiunea " Antilogaritmi " ) , adică găsiți valoarea rezultatului după logaritmul său. Efectuarea diviziunii diferă doar prin faptul că logaritmii sunt scăzuți.

Primele tabele de logaritmi au fost publicate de John Napier (1614) și conțineau doar logaritmii funcțiilor trigonometrice și cu erori. Independent de el, Jost Bürgi , un prieten al lui Kepler , și-a publicat tabelele ( 1620 ). În 1617 profesorul de matematică de la Oxford Henry Briggs a publicat tabele care includeau deja logaritmii zecimali ai numerelor în sine, de la 1 la 1000, cu 8 (mai târziu 14) cifre. Dar au existat și erori în tabelele Briggs. Prima ediție infailibilă bazată pe tabelele lui Georg Vega ( 1783 ) a apărut abia în 1857 la Berlin ( tabelele lui Bremiker ) [24] .

În Rusia, primele tabele de logaritmi au fost publicate în 1703 cu participarea lui L. F. Magnitsky [25] . Mai multe colecții de tabele de logaritmi au fost publicate în URSS [26] :

  1. Bradis V. M. Tabele matematice cu patru valori. M.: Butarda, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0 . Tabelele Bradis, publicate încă din 1921, au fost folosite în instituțiile de învățământ și în calculele inginerești care nu necesită o mare precizie. Acestea conțineau mantise de logaritmi zecimali ai numerelor și funcții trigonometrice, logaritmi naturali și alte câteva instrumente utile de calcul.
  2. Vega G. Tabele de logaritmi cu șapte cifre, ediția a IV-a, M.: Nedra, 1971. Colecție profesională pentru calcule exacte.
  3. Bremiker K. Tabele logaritmo-trigonometrice. M.: Nauka, 1962. 664 p. Tabelele clasice din șase cifre, convenabile pentru calcule cu funcții trigonometrice .
  4. Tabelele cu cinci cifre ale valorilor naturale ale mărimilor trigonometrice, logaritmii lor și logaritmii numerelor, ediția a 6-a, M .: Nauka, 1972.
  5. Tabele de logaritmi naturali, ediția a II-a, în 2 volume, Moscova: Nauka, 1971.
  6. Tabele din zece cifre ale logaritmilor numerelor complexe. M., 1952.

Extinderea logaritmului la domeniul complex

Primele încercări de a extinde logaritmii la numere complexe au fost făcute la începutul secolelor XVII-XVIII de către Leibniz și Johann Bernoulli , dar nu au reușit să creeze o teorie holistică, în primul rând din cauza faptului că conceptul de logaritm în sine nu era încă clar. definit [27] . Discuția pe această temă a avut loc mai întâi între Leibniz și Bernoulli, iar la mijlocul secolului al XVIII-lea între d'Alembert și Euler. Bernoulli și D'Alembert credeau că ar trebui definit , în timp ce Leibniz a susținut că logaritmul unui număr negativ este un număr imaginar [27] . Teoria completă a logaritmilor numerelor negative și complexe a fost publicată de Euler în 1747-1751 și în esență nu diferă de cea modernă [28] . Deși controversa a continuat (d'Alembert și-a apărat punctul de vedere și l-a argumentat în detaliu într-un articol din Enciclopedia sa și în alte lucrări), abordarea lui Euler până la sfârșitul secolului al XVIII-lea a primit recunoaștere universală.

În secolul al XIX-lea, odată cu dezvoltarea analizei complexe , studiul logaritmului complex a stimulat noi descoperiri. Gauss în 1811 a dezvoltat o teorie completă a multivalorității funcției logaritmice [29] , definită ca integrală a lui . Riemann , bazându-se pe fapte deja cunoscute despre aceasta și funcții similare, a construit o teorie generală a suprafețelor Riemann .

Dezvoltarea teoriei mapărilor conformale a arătat că proiecția Mercator în cartografie , care a apărut chiar înainte de descoperirea logaritmilor (1550), poate fi descrisă ca un logaritm complex [30] .

Literatură

Note

  1. ↑ 1 2 Uspensky Ya. V. Eseu despre istoria logaritmilor, 1923 , p. 9.
  2. ↑ Klein F. Matematica elementară dintr-un punct de vedere superior, 1987 , p. 206.
  3. ↑ Gupta, RC (2000), History of Mathematics in India , în Hoiberg, Dale & Ramchandani, Students' Britannica India: Select essays , New Delhi: Popular Prakashan, p. 329 Arhivat 17 martie 2018 la Wayback Machine 
  4. ↑ Istoria matematicii, volumul II, 1970 , p. 54-55.
  5. ↑ Vivian Shaw Groza, Susanne M. Shelley (1972), Precalculus mathematics , New York: Holt, Rinehart, Winston, p. 182, ISBN 978-0-03-077670-0 , < https://books.google.com/?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182&dq=%22arithmetica+integra%22+logarithm&q=stifel > 
  6. ↑ Klein F. Matematica elementară dintr-un punct de vedere superior, 1987 , p. 210.
  7. ↑ Stewart, Ian . Numerele incredibile ale profesorului Stewart = numerele incredibile ale profesorului Stewart. - M . : Alpina non-fiction, 2016. - S. 244. - 422 p. - ISBN 978-5-91671-530-9 .
  8. ↑ Uspensky Ya. V. Eseu despre istoria logaritmilor, 1923 , p. 13.
  9. ↑ Istoria matematicii, volumul II, 1970 , p. 56.
  10. ↑ Cititor despre istoria matematicii. Analiza matematică. Teoria probabilității / Ed. A. P. Iuşkevici . - M . : Educaţie, 1977. - S. 40. - 224 p.
  11. ↑ 1 2 Istoria matematicii, Volumul II, 1970 , p. 59.
  12. ↑ 1 2 Istoria matematicii, Volumul II, 1970 , p. 61.
  13. ↑ Uspensky Ya. V. Eseu despre istoria logaritmilor, 1923 , p. 39.
  14. ↑ Istoria matematicii, volumul II, 1970 , p. 63.
  15. ↑ Charles Hutton. Tabele matematice. Arhivat la 11 septembrie 2016 la Wayback Machine London, 1811, p. treizeci.
  16. ↑ Istoria matematicii, volumul II, 1970 , p. 65-66.
  17. ↑ Berezin S.I. Rigla de calcul de numărare. - M . : Mashinostroenie, 1968.
  18. ↑ Istoria matematicii, volumul II, 1970 , p. 133.
  19. ↑ 1 2 Uspensky Ya. V. Eseu despre istoria logaritmilor, 1923 , p. 52.
  20. ↑ Klein F. Matematica elementară dintr-un punct de vedere superior, 1987 , p. 51, 286, 352.
  21. ↑ Klein F. Matematica elementară dintr-un punct de vedere superior, 1987 , p. 213, 217.
  22. ↑ Florian Cajori . O istorie a matematicii, ed. a 5-a  (nedefinită) . - Librăria AMS, 1991. - P. 152. - ISBN 0821821024 .
  23. ↑ Rybnikov K. A. Istoria matematicii. În două volume. - M .: Ed. Universitatea de Stat din Moscova, 1963. - T. II. - S. 25.
  24. ↑ Istoria matematicii, volumul II, 1970 , p. 62.
  25. ↑ Gnedenko B. V. Eseuri despre istoria matematicii în Rusia, ediția a II-a. - M. : KomKniga, 2005. - S. 66. - 296 p. - ISBN 5-484-00123-4 .
  26. ↑ Tabele logaritmice // Marea Enciclopedie Sovietică.
  27. ↑ 1 2 Istoria matematicii, Volumul III, 1972 , p. 325-328.
  28. ↑ Rybnikov K. A. Istoria matematicii. În două volume. - M .: Ed. Universitatea de Stat din Moscova, 1963. - T. II. - S. 27, 230-231.
  29. ↑ Matematica secolului al XIX-lea. Volumul II: Geometrie. Teoria funcţiilor analitice, 1981 , p. 122-123.
  30. ↑ Klein F. Matematică elementară dintr-un punct de vedere superior . - M . : Nauka, 1987. - T. II. Geometrie. - S. 159-161. — 416 p.
 Istoria matematicii
Țări și epoci

Secțiuni tematice
Vezi si