Distribuție uniformă continuă

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 12 octombrie 2020; verificările necesită 5 modificări .

Distribuție uniformă continuă
Probabilitate densitate
funcția de distribuție
Desemnare	${\mathcal {U}}(a,b)$
Opțiuni	$a,b\in (-\infty ,\infty )$ , — factor de deplasare , — factor de scară $A$ $ba$
Purtător	$a\leqslant x\leqslant b$
Probabilitate densitate	${\begin{matrix}{\dfrac {1}{ba}}&a\leqslant x\leqslant b\\\\0&\ x<a\ ,\ x>b\end{matrix}}$
funcția de distribuție	${\begin{matrix}0&x<a\\{\dfrac {xa}{ba}}&~~~~~a\leqslant x<b\\1&x\geqslant b\end{matrix))$
Valorea estimata	${\frac {a+b}{2}}$
Median	${\frac {a+b}{2}}$
Modă	orice număr din segment $[a,b]$
Dispersia	${\frac {(ba)^{2}}{12}}$
Coeficient de asimetrie	$0$
Coeficientul de kurtoză	$-{\frac {6}{5}}$
Entropia diferenţială	$\ln(ba)$
Funcția generatoare a momentelor	${\frac {e^{{tb}}-e^{{ta}}}{t(ba)))$
functie caracteristica	${\frac {e^{{itb}}-e^{{ita}}}{it(ba)))$

O distribuție uniformă continuă în teoria probabilității este distribuția unei variabile reale aleatoare care ia valori aparținând unui anumit interval de lungime finită, caracterizată prin faptul că densitatea de probabilitate pe acest interval este aproape peste tot constantă.

Definiție

Ei spun că o variabilă aleatoare are o distribuție uniformă continuă pe segmentul , unde , dacă densitatea ei are forma: $[a,b]$ $a,b\în \mathbb{R}$ $f_{X}(x)$

f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}{\dfrac {1}{ba}),&x\in [a,b]\\0,&x\nu \in [ a,b]\end{matrice}}\dreapta..

Scrie: . Uneori, valorile densității la punctele de limită și sunt modificate în altele, de exemplu, sau . Întrucât integrala Lebesgue a densității nu depinde de comportamentul acesteia din urmă pe seturi de măsură zero, aceste variații nu afectează calculele distribuțiilor de probabilitate asociate. $X\simU[a,b]$ $x=a$ $x=b$ $0$ ${\frac {1}{2(ba))}$

Funcția de distribuție

Integrând densitatea definită mai sus, obținem:

F_{X}(x)\equiv \mathbb {P} (X\leqslant x)=\left\{{\begin{matrix}0,&x<a\\{\dfrac {xa}{ba} },&a\leqslant x<b\\1,&x\geqslant b\end{matrice}}\right..

Deoarece densitatea de distribuție uniformă este discontinuă la punctele limită ale segmentului , funcția de distribuție în aceste puncte nu este diferențiabilă. În alte puncte, egalitatea standard este valabilă: $[a,b]$

{\frac {d}{dx}}F_{X}(x)=f_{X}(x),\;\forall x\in \mathbb{R} \setminus \{a,b\}

Funcția generatoare a momentelor

Prin integrare simplă, obținem funcția generatoare a momentelor :

M_{X}(t)={\frac {e^{{tb}}-e^{{ta}}}{t(ba))))

de unde găsim toate momentele interesante ale distribuției uniforme continue:

{\mathbb {E}}\left[X\right]={\frac {a+b}{2}}

{\mathbb {E}}\left[X^{2}\right]={\frac {a^{2}+ab+b^{2}}{3}}

\operatorname {D} \left[X\right]={\frac {(ba)^{2}}{12}}

În general,

{\mathbb {E}}\left[X^{n}\right]={\frac {1}{n+1}}\sum \limits _{{k=0}}^{n}{a^ {k}b^{{nk))}={\frac {b^{{n+1}}-a^{{n+1}}}{(ba)(n+1)}}

Distribuție uniformă standard

Dacă și , adică , atunci o astfel de distribuție uniformă continuă se numește standard . $a=0$ $b=1$ $X\simU[0,1]$

Există o afirmație elementară:

Dacă o variabilă aleatoare și , atunci .

X\simU[0,1]

Y=a+(ba)X

Y\sim U[\min(a,b),\max(a,b)]

Astfel, având în vedere un generator de mostre aleatorii dintr-o distribuție uniformă continuă standard, este ușor să construiți un generator de eșantion pentru orice distribuție uniformă continuă.

Mai mult, având un astfel de generator și cunoscând funcția inversă funcției de distribuție a unei variabile aleatoare, se poate construi un generator de eșantion de orice distribuție continuă (nu neapărat uniformă) folosind metoda transformării inverse . Prin urmare, variabilele aleatoare standard distribuite uniform sunt uneori numite variabile aleatoare de bază .

Există și transformări parțiale care fac posibilă obținerea unor distribuții aleatorii de alt tip pe baza unei distribuții uniforme. Deci, de exemplu, pentru a obține o distribuție normală , se folosește transformarea Box-Muller .

Vezi și

Distribuții de probabilitate
Discret	Bernoulli Binom Geometric hipergeometrică Logaritmic Binom negativ Poisson Uniformă discretă Multinom
Absolut continuu	Beta Weibulla Gamma- hiperexponenţială Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gauss) Logistică Nakagami Pareto Pearson semicircular uniformă continuă Orez Rayleigh Student Tracey - Vidoma Pescar Chi-pătrat Exponenţial Varianta-gama Normal multivariat copulă