Ecuație diferențială obișnuită

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 13 ianuarie 2022; verificările necesită 2 modificări .

O ecuație diferențială obișnuită (ODE) este o ecuație diferențială pentru o funcție a unei variabile. (Acest lucru este diferit de o ecuație diferențială parțială , unde necunoscutul este o funcție a mai multor variabile.) Astfel, EDO sunt ecuații de forma

F(x,y,y',y'',...,y^{{(n)}})=0,\qquad (1)

unde este o funcție necunoscută (eventual o funcție vectorială , atunci , de regulă, este și o funcție vectorială cu valori într-un spațiu de aceeași dimensiune ; în acest caz, se vorbește de un sistem de ecuații diferențiale), în funcție de variabila independentă , primul înseamnă diferențiere față de . Numărul (ordinea celei mai mari derivate incluse în ecuația dată) se numește ordinea ecuației diferențiale (1). $y(x)$ $F$ $X$ $X$ $n$

Variabila independentă este adesea interpretată (în special în ecuațiile diferențiale care apar în probleme de fizică și alte științe naturale) ca timp , deci este adesea notat cu litera . O variabilă este o valoare (sau un set de valori, dacă este o funcție vectorială) care se modifică în timp. De exemplu, poate însemna un set de coordonate ale unui punct din spațiu; în acest caz, ecuația (1) descrie mișcarea unui punct în spațiu, adică modificarea coordonatelor sale în timp. Variabila independentă ia de obicei valori reale, cu toate acestea, sunt luate în considerare și ecuații diferențiale în care variabila este complexă (așa-numitele ecuații cu timp complex ). $X$ $t$ $y$ $y$ $y$ $X$ $X$

Cele mai comune ecuații diferențiale ale formei

y^{{(n)}}=f(x,y,y',y'',...,y^{{(n-1)}}),\qquad (2)

în care cea mai mare derivată se exprimă în funcţie de variabile şi derivate ordine mai puţin.Astfel de ecuaţii diferenţiale se numesc normale sau rezolvate în raport cu derivata . $y^{{(n)}}$ $X,$ $y$ $y^{(i))$ $n.$

Spre deosebire de ecuațiile de forma (2), ecuațiile diferențiale de forma (1) se numesc ecuații care nu sunt rezolvate în raport cu ecuațiile diferențiale derivate sau implicite .

Soluția clasică a ecuației diferențiale (2) este o funcție diferențiabilă în timp care satisface ecuația în toate punctele domeniului său de definiție . De obicei, există un întreg set de astfel de funcții și, pentru a alege una dintre ele, este necesar să se impună o condiție suplimentară . Condiția inițială pentru ecuația (2) este condiția $n$ $y(x)$

y(x_{0})=y_{0},\ y'(x_{0})=y_{0}^{{(1)}},y''(x_{0})=y_{0} ^{{(2)}},\,\ldots ,\,y^{{(n-1)}}(x_{0})=y_{0}^{{(n-1)}},\ qquad(3)

unde este o valoare fixă a variabilei independente (un moment fix de timp) și și sunt, respectiv, valorile fixe ale funcției și toate derivatele acesteia până la ordin inclusiv. Ecuația diferențială (2) împreună cu condiția inițială (3) se numește problema inițială sau problema Cauchy : $x_{0}$ $y_0$ $y_{0}^{{(i)}}$ $y$ $n-1$

\left\{{\begin{array}{lcl}y^{{(n)}}=f(x,y,y',y'',...,y^{{(n-1)} }),\\{}\\y(x_{0})=y_{0},\ y'(x_{0})=y_{0}^{{(1)}},y''(x_ {0})=y_{0}^{{(2)}},\,\ldots ,\,y^{{(n-1)}}(x_{0})=y_{0}^{{ (n-1)}}.\end{matrice}}\dreapta.

Teorema existenței și unicității pentru o soluție a unei ecuații diferențiale obișnuite descrie mulțimea tuturor soluțiilor unei ecuații diferențiale obișnuite. Este poziţia teoretică principală în studiul ecuaţiilor diferenţiale obişnuite. [unu]

Teorema Picard afirmă că sub restricții suficient de generale asupra funcției din partea dreaptă a ecuației (2), problema Cauchy pentru această ecuație are o soluție unică definită pe un interval al axei timpului care conține valoarea inițială (acest interval, în general vorbind , poate să nu coincidă cu întreaga axă). Principalele sarcini și rezultate ale teoriei ecuațiilor diferențiale: existența și unicitatea soluționării diferitelor probleme pentru EDO, metode de rezolvare a celor mai simple EDO , un studiu calitativ al soluțiilor la EDO fără a găsi forma lor explicită. $f$ $X$ $x_{0}$

Istorie

Ecuații diferențiale au fost deja întâlnite în lucrările lui I. Newton și G. Leibniz ; termenul „ecuaţii diferenţiale” îi aparţine lui Leibniz. Newton, când creează calculul „fluxiunilor” și „fluent”, a stabilit două sarcini: să determine relația dintre fluctuațiile dintr-o relație dată între fluenți; folosind o ecuație dată care conține fluxuri, găsiți relația dintre fluenți. Din punct de vedere modern, prima dintre aceste probleme (calculul derivatelor lor din funcții) se referă la calculul diferențial, iar a doua este conținutul teoriei ecuațiilor diferențiale ordinare. Problema găsirii integralei nedefinite F(x) a funcției f(x) a fost considerată de Newton pur și simplu ca un caz special al celei de-a doua probleme. O astfel de abordare a fost destul de justificată pentru Newton ca creatorul fundamentelor științelor naturale matematice: într-un număr foarte mare de cazuri, legile naturii care guvernează anumite procese sunt exprimate sub formă de ecuații diferențiale, iar calculul fluxului de aceste procese se reduc la rezolvarea unei ecuații diferențiale. [2]

Principala descoperire a lui Newton, cea pe care a considerat necesar să o clasifice și să o publice doar ca anagramă, este următoarea: „Data aequatione quotcunque fluentes quantitae involvete fluxiones invenire et viceversa”. Tradus în limbaj matematic modern, aceasta înseamnă: „Este util să rezolvi ecuații diferențiale”. În prezent, teoria ecuațiilor diferențiale este un conglomerat greu de observat de un număr mare de idei și metode diverse, extrem de utile pentru tot felul de aplicații și stimulând constant cercetările teoretice în toate departamentele de matematică. [3] [4]

Exemple

Una dintre cele mai simple aplicații ale ecuațiilor diferențiale este soluția problemei netriviale de a găsi traiectoria unui corp din proiecțiile de accelerație cunoscute. De exemplu, conform celei de-a doua legi a lui Newton, accelerația unui corp este proporțională cu suma forțelor care acționează; ecuația diferențială corespunzătoare are forma . Cunoscând forțele care acționează (partea dreaptă), puteți rezolva această ecuație și, având în vedere condițiile inițiale (coordonate și viteza la momentul inițial), găsiți traiectoria punctului. $m{\ddot {x}}=F(x,t)$
Ecuaţia diferenţială , împreună cu condiţia iniţială , defineşte exponentul : . Dacă denotă timpul, atunci această funcție descrie, de exemplu, creșterea unei populații în condiții de resurse nelimitate, precum și multe alte lucruri. $y'=y$ $y(0)=1$ $y(x)=e^{x}$ $X$
Soluția ecuației diferențiale , a cărei parte dreaptă nu depinde de funcția necunoscută, este integrala nedefinită $y'=f(x)$

y(x)=\int \!f(x)\,dx+C,

unde este o constantă arbitrară. $C$

Ecuații diferențiale de ordinul întâi

Ecuații de variabile separabile

O ecuație diferențială se numește ecuație cu variabile separabile (separatoare) dacă partea dreaptă poate fi reprezentată ca . Atunci, în cazul lui , soluția generală a ecuației este . ${\punct {y}}=f(x,y)$ $y'=f_{1}(x)f_{2}(y)$ $f_{2}(y)\neq 0$ $\int \!{\frac {dy}{f_{2}(y)}}=\int \!f_{1}(x)\,dx$

Exemple de probleme fizice care conduc la ecuații cu variabile separabile Răcirea corpului

Lăsați — temperatura corpului, — temperatura ambiantă ( ). Fie - cantitatea de căldură , - capacitatea termică specifică . Apoi, cantitatea de căldură transferată mediului înainte de egalizarea temperaturii este exprimată prin formula , sau, în formă diferențială, . Pe de altă parte, viteza de transfer de căldură poate fi exprimată ca , unde este un anumit coeficient de proporționalitate. Eliminând din aceste două ecuații , obținem o ecuație cu variabile separabile: $T$ $T_{0}$ $T>T_{0}$ $Q$ $c$ $Q=mc(T-T_{0})$ $dQ=mc\,dT$ $dQ=-k(T-T_{0})\,dt$ $k$ $dQ$

mc\,dT=-k(T-T_{0})\,dt

Soluția generală a acestei ecuații este familia de funcții . $T=T_{0}+Ce^{{-{\frac {kt}{mc))))$

Ecuații omogene

O ecuație diferențială se numește omogenă dacă este o funcție omogenă de grad zero. O funcție se numește grad omogen dacă egalitatea este valabilă pentru orice . ${\punct {y}}=f(x,y)$ $f(x,y)$ $f(x,y)$ $k$ $\lambda>0$ $f(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{k}f(x,y)$

Substituția se reduce pentru o ecuație omogenă la o ecuație cu variabile separabile: $y(x)=xz(x)$ $x>0$

f(x,xz)=x^{0}f(1,z)=f(1,z)

{\dot {y}}=x{\dot {z}}+z

Înlocuind în ecuația inițială, obținem:

{\dot {z}}={\frac {1}{x}}(f(1,z)-z)

care este o ecuație variabilă separabilă.

Ecuații cvasiomogene

O ecuație diferențială se numește cvasi -omogenă dacă relația este valabilă pentru orice . ${\punct {y}}=f(x,y)$ $\lambda>0$ $f\left(\lambda ^{\alpha}x,\lambda ^{\beta}y\right)=\lambda ^{\beta -\alpha}f(x,y)$

Această ecuație se rezolvă prin înlocuirea : $y=z^{\frac {\beta }{\alpha }}$

{\punct {z}}={\frac {\alpha }{\beta }}\left(z^{{-{\frac {1}{\alpha }}}}\right)^{{\beta - \alpha }}f\left(x,z^{{\frac {\beta }{\alpha }}}\right)

În virtutea cvasiomogenității, stabilirea , obținem: $\lambda =z^{-{\frac {1}{\alpha )))$

\left(z^{{-{\frac {1}{\alpha }}}}\right)^{{\beta -\alpha }}f\left(x,z^({\frac {\beta } {\alpha ))}\right)=f\left({\frac {x}{z)),1\right)

{\punct {z}}={\frac {\alpha }{\beta }}f\left({\frac {x}{z}},1\dreapta)

care este evident o ecuaţie omogenă.

Ecuații liniare

O ecuație diferențială se numește liniară și poate fi rezolvată prin trei metode: metoda factorului integrator, metoda variației constante sau metoda Bernoulli. $y'+a(x)y=b(x)$

Metoda factorului de integrare

Să fie dată o funcție - un factor integrator, sub forma: $\mu (x)$

\mu (x)=e^{\int \!a(x)\,dx)

Înmulțim ambele părți ale ecuației inițiale cu , obținem: $\mu (x)$

{\dot {y}}e^{\int \!a(x)\,dx}+ya(x)e^{\int \!a(x)\,dx}=b(x) \mu(x)

Este ușor de observat că partea stângă este derivata funcției în raport cu . Deci ecuația poate fi rescrisă: $\mu (x)y(x)$ $X$

(\mu (x)y(x))'=b(x)\mu (x)

Să integrăm:

y(x)\mu (x)=\int \!b(x)\mu (x)\,dx+C

Deci soluția ecuației liniare ar fi:

y(x)=e^{-\int \!a(x)\,dx}\left(\int \!b(x)\mu (x)\,dx+C\right)

Metoda variației constante (metoda Lagrange)

Se consideră o ecuație omogenă . Evident, aceasta este o ecuație cu variabile separabile, soluția ei: ${\dot {y}}+a(x)y=0$

y(x)=ce^{-\int \!a(x)\,dx)

Soluțiile ecuației inițiale vor fi căutate sub forma:

y(x)=c(x)e^{-\int \!a(x)\,dx)

Înlocuind soluția rezultată în ecuația inițială:

{\dot {c}}=b(x)e^{\int \!a(x)\,dx}

primim:

c(x)=c_{1}+\int \!b(x)e^{\int \!a(x)\,dx}\,dx

unde este o constantă arbitrară. $c_{1}$

Astfel, soluția ecuației inițiale poate fi obținută prin înlocuirea ecuației omogene în soluție: $c(x)$

y(x)=e^{{-\int \!a(x)\,dx}}\left(c_{1}+\int \!b(x)e^{{\int \!a(x) )\,dx}}\,dx\dreapta)

Ecuația lui Bernoulli

Ecuația diferențială se numește ecuația Bernoulli (pentru sau obținem o ecuație liniară neomogenă sau omogenă). At este un caz special al ecuației Riccati . Numit după Jacob Bernoulli , care a publicat această ecuație în 1695 . Metoda de rezolvare folosind o înlocuire care reduce această ecuație la una liniară a fost găsită de fratele său Johann Bernoulli în 1697 . ${\punct {y}}+a(x)y=b(x)y^{n}$ $n=0$ $n=1$ $n=2$

Ecuație diferențială binomială

Aceasta este o ecuație a formei

\left(y'\right)^{m}=f(x,y),

unde este un număr natural și este un polinom în două variabile [5] .

m

f(x,y)

Literatură

Tutoriale

Arnold V. I. Ecuații diferențiale ordinare, - Orice ediție.
Arnold V. I. Capitole suplimentare ale teoriei ecuațiilor diferențiale ordinare, - Oricare

ediție.

Arnold V. I. Metode geometrice în teoria ecuațiilor diferențiale ordinare, - Orice ediție.
Arnold V. I. , Ilyashenko Yu. S. Ecuații diferențiale ordinare, — Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Modern prob. mat. Fundam. regia, 1985, volumul 1.
Petrovsky I. G. Prelegeri despre teoria ecuațiilor diferențiale ordinare, - Orice ediție.
Pontryagin L. S. Ecuații diferențiale ordinare, - Orice ediție.
Stepanov V.V. Curs de ecuații diferențiale, - Orice ediție.
Tricomi F. Ecuații diferențiale, - Orice ediție.
Filippov A. F. Introducere în teoria ecuațiilor diferențiale, - Orice ediție.
Philips G. Ecuații diferențiale, - Orice ediție.
Hartman F. Ecuații diferențiale ordinare, - Orice ediție.
Elsgolts L. E. Ecuații diferențiale și calculul variațiilor, - Orice ediție.
Zaitsev, V. F. , Polyanin, A. D. Ecuații diferențiale ordinare în 2 ore, Partea 1 . - M. : Editura Yurayt, 2022. - 385 p. - (Educatie inalta). - ISBN 978-5-534-02685-6 .
Zaitsev, V. F. , Polyanin, A. D. Ecuații diferențiale ordinare în 2 ore, Partea 2 . - M . : Editura Yurayt, 2022. - 196 p. - (Educatie inalta). - ISBN 978-5-534-02690-0 .

Caiete de sarcini

Filippov A. F. Culegere de probleme pe ecuații diferențiale, - Orice ediție.

Referințe

Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations, - Any edition.
Zaitsev V. F., Polyanin A. D. Manual de ecuații diferențiale ordinare, - Orice ediție.

Note

↑ L.S. Pontryagin Ecuații diferențiale și aplicațiile lor. - M. , Nauka , 1988. - c. cincisprezece
↑ [bse.sci-lib.com/article029636.html TSB. Ecuatii diferentiale.]
↑ Arnold V. I. Capitole suplimentare ale teoriei ecuațiilor diferențiale ordinare.
↑ Arnold V. I. Metode geometrice în teoria ecuațiilor diferențiale ordinare.
↑ Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations (nedefinite) . - Ed. a 3-a .. - Boston, MA: Academic Press , 1997. - P. 120.

Dicționare și enciclopedii	Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	NDL : 00574993 NKC : ph123625

Fizică matematică

Tipuri de ecuații

Condiții de frontieră

Ecuații ale fizicii matematice

Difuzie și convecție	Ecuația căldurii Ecuația de difuzie Ecuația Mason-Weaver
Hidrodinamică	Ecuația de transfer Ecuații Navier-Stokes Ecuația lui Euler Ecuația Gromeka-Lamb Ecuația vortexului Ecuația burgerii Ecuații pentru apă puțin adâncă Ecuația Korteweg-de Vries
Electromagnetism	Ecuațiile lui Maxwell Ecuația Helmholtz Ecuația Landau-Lifshitz Ecuația Poisson ecranată
Mecanica cuantică	Ecuația Schrödinger Ecuația Heisenberg Ecuația Rarita-Schwinger Ecuația lui Hartree Ecuația lui Dirac Ecuația Klein-Gordon
Modele generale	Ecuația de continuitate ecuația de undă Ecuația Fokker-Planck Ecuația Poisson

Metode de rezolvare

Metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale

Metode grilă

Metode cu elemente finite	Metoda elementului finit metoda Galerkin Metoda Galerkin discontinuă Metoda cu elemente finite la scară multiplă Metoda Multigrid
Alte Metode	Metoda diferențelor finite Metoda volumului finit metoda lui Godunov Metoda elementului de limită

Metode non-grilă

Studiul ecuațiilor

subiecte asemănătoare