Suprafata Bolza

O suprafață Bolza ( curba Bolza ) este o suprafață Riemann compactă de genul 2 cu ordinul maxim posibil al grupului de automorfism conform pentru acest ordin, și anume, cu grupul GL 2 (3) de ordinul 48. Grupul complet de automorfism (inclusiv reflexii) ) este un produs semidirect de ordinul 96. Afin modelul suprafeței Bolza poate fi obținut ca loc al punctelor care satisfac ecuația $GL_{2}(3)\rtimes \mathbb {Z} _{2)$

y^{2}=x^{5}-x

în . Suprafața Bolza este o prelungire netedă unei curbe afine. Dintre toate suprafețele hiperbolice din genul 2, suprafața Bolza are cea mai mare sistolă . Ca suprafață Riemann hipereliptică , ea apare ca o acoperire dublă ramificată a sferei Riemann cu puncte de ramificare la șase vârfuri ale unui octaedru regulat înscrise în sferă, așa cum se poate observa clar din formula de mai sus. ${\mathbb C}^{2}$

Suprafață triunghiulară

O suprafață Bolza este o suprafață triunghiulară (2,3,8) ( triunghi Schwarz ): grupul fuchsian care definește o suprafață Bolza este un subgrup al grupului format din reflexii față de laturile unui triunghi unghiular hiperbolic . Acest subgrup este un subgrup cu un indice de grup de reflexie care constă din produsul unui număr par de reflexii și care are o reprezentare abstractă în termeni de generatori și relații precum și . Grupul fuchsian care definește suprafața Bolza este și un subgrup al grupului triunghiular (3,3,4) , care este subgrupul cu indicele 2 al grupului triunghiular (2,3,8). Grupul (2,3,8) nu are o implementare de algebră cuaternionică , dar grupul (3,3,4) are. ${\tfrac {\pi }{2)), {\tfrac {\pi }{3)), {\tfrac {\pi }{8)}$ ${\displaystyle s_{2},s_{3},s_{8))$ $s_{2}{}^{2}=s_{3}{}^{3}=s_{8}{}^{8}=1$ $s_{2}s_{3}=s_{8}$ $\Gamma$

Sub acțiunea discului Poincaré, regiunea fundamentală a suprafeței Bolza este un octogon regulat cu unghiuri în puncte $\Gamma$ ${\tfrac {\pi }{4}}$

p_{k}=2^{-{\tfrac {1}{4}}}e^{i\left({\tfrac {\pi }{8}}+k{\tfrac {\pi } {4}}\dreapta)}

unde . Părțile opuse ale octogonului sunt identificate sub acțiunea grupului fuchsian. Matricele servesc ca generatoare: $k=0,\ldots ,7$

g_{k}={\begin{pmatrix}1+{\sqrt {2}}&(2+{\sqrt {2}})\alpha e^{i{\tfrac {k\pi }{} 4}}}\\(2+{\sqrt {2}})\alpha e^{-i{\tfrac {k\pi }{4}}}&1+{\sqrt {2}}\end{pmatrix} }

unde și , împreună cu inversele lor. Generatoarele satisfac relatia: $\alpha ={\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}$ $k=0,\ldots ,3$

g_{0}g_{1}^{-1}g_{2}g_{3}^{-1}g_{0}^{-1}g_{1}g_{2}^{-1 }g_{3}=1.

Vezi și

Curba hiperbolică
Cuartica lui Klein
Suprafata Macbeath

Literatură

Oskar Bolza. Despre sextica binară cu transformări liniare în sine // American Journal of Mathematics. - 1887. - T. 10 , nr. 1 . — S. 47–70 . - doi : 10.2307/2369402 . — .
Katz M., Sabourau S. An optimal systolic inequality for CAT(0) metrics in genus two // Pacific J. Math. . - 2006. - T. 227 , nr. 1 . — S. 95–107 . - doi : 10.2140/pjm.2006.227.95 . — arXiv : math.DG/0501017 .
Maclachlan C., Reid A. The Arithmetic of Hyperbolic 3-Manifolds. - New York: Springer, 2003. - T. 219. - (Texte pentru absolvenți în matematică). — ISBN 0-387-98386-4 .

Curbe algebrice

Curbe raționale

Conică definită de cinci puncte
Linie proiectivă
Curba normală rațională
sfera Riemann
Curbă neplană de ordinul trei

Curbe eliptice

Teoria analitică	Funcția eliptică Integrală eliptică Pereche fundamentală de perioade formă modulară
Teoria aritmetică	Numărarea punctelor pe o curbă eliptică Polinoame de diviziune Teorema lui Hasse asupra curbelor eliptice Teorema de torsiune a lui Mazur Curbă eliptică modulară Teorema de modularitate Teorema Mordell–Weil Teorema Nagell-Lutz Curba eliptică suprasingulară Algoritmul lui Shuf Algoritmul Shoof-Elkis-Atkin
Aplicații	Criptografia eliptică Test de primalitate cu curbe eliptice

genul superior

Curbe plate

Teorema AF+BG
teorema lui Bezout
bicangent
Teorema Cayley-Bacharach
sectiune conica
Paradoxul lui Cramer
cub
Ferma strâmbă
Formula pentru legătura dintre gen și gradul curbei
A șaisprezecea problemă a lui Hilbert
Conjectura lui Nagata pentru curbe
Formula Plücker
Curbă plată de gradul al patrulea
Curba plană reală

Suprafețele Riemann

teorema lui Bely
Suprafata Bolz
Rugozitate riemanniana compacta
Desen pentru copii
Diferenţial abelian
Klein quartic
Teorema existenței lui Riemann
Teorema Riemann-Roch
Spațiul Teichmüller
teorema lui Torelli

Clădiri

Curbă duală
Polar și polar
Continuare lină

Structura
curbei

Divizori de curbe	Cartografierea Abel–Jacobi Teoria Brill-Noether Teorema lui Clifford asupra divizorilor speciali Gonalitatea curbei adebraice soiul Jacobi Teorema Riemann-Roch Punctul Weierstrass Legea reciprocității a lui Weyl
Module	Formula ELSV Gromov-Witten invariant pachet Hodge Modulii de suprafață Riemann curbă stabilă
Morfismele	Matricea Hasse–Witt Formula Riemann-Hurwitz Prima colector teorema lui Weber
Puncte singulare	Punct de curbă izolat punct dublu Casp invariant delta Punct de auto-atingere
Pachete de vectori	Teorema Birkhoff-Grothendieck Pachet vector stabil Mănunchiuri vectoriale de curbe algebrice