Distribuția Bernoulli

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 1 octombrie 2021; verificările necesită 4 modificări .

distribuția Bernoulli
Funcția de probabilitate
funcția de distribuție
Opțiuni	$p\in(0,1)$ $q\equiv 1-p$
Purtător	$k=\{0,1\}$
Funcția de probabilitate	${\begin{matrice}q&k=0\\p~~&k=1\end{matrice}}$
funcția de distribuție	${\begin{matrice}0&k<0\\q&0\leq k<1\\1&k\geq 1\end{matrice))$
Valorea estimata	$p$
Modă	${\begin{cases}0,&q>p\\0,1,&q=p\\1,&q<p\end{cases}}$
Dispersia	$pq$
Coeficient de asimetrie	${\frac {qp}{{\sqrt {pq))))$
Coeficientul de kurtoză	${\frac {6p^{2}-6p+1}{p(1-p)))$
Entropia diferenţială	$-q\ln qp\ln p$
Funcția generatoare a momentelor	$q+pe^{t}$
functie caracteristica	$q+pe^{it}$

Distribuția Bernoulli în teoria probabilității și statistica matematică este o distribuție de probabilitate discretă care modelează un experiment aleatoriu de natură arbitrară, cu o probabilitate predeterminată de succes sau eșec.

Definiție

O variabilă aleatoare are o distribuție Bernoulli dacă ia doar două valori: și cu probabilități și respectiv. În acest fel: $X$ $unu$ $0$ $p$ $q\equiv 1-p$

{\mathbb {P}}(X=1)=p

{\mathbb {P}}(X=0)=q

Se obișnuiește să spunem că un eveniment corespunde „succesului” și unui eveniment corespunde „eșecului”. Aceste nume sunt condiționate și, în funcție de sarcina specifică, pot fi înlocuite cu altele opuse. $\{X=1\}$ $\{X=0\}$

Proprietăți

Limitare proprietate

Proprietatea limită este descrisă de teorema lui Poisson :

Să existe o secvență de serii de încercări Bernoulli, unde este probabilitatea de „reușit”, este numărul de „reușite”. $p_n$ $\mu _{n}$

Atunci dacă

$\lim _{{n\to \infty }}p_{n}=0;$
$\lim _{{n\to \infty }}np_{n}=\lambda ;$
$\lambda >0,$

apoi

\lim _{{n\to \infty }}P(\omega :\mu _{n}(\omega )=m)=e^{{-\lambda }}{\cfrac {\lambda ^{m} {m!}}.

Momente ale distribuției Bernoulli

{\mathbb {E}}[X]=p

\operatorname {D}[X]=p(1-p)=pq

, deoarece: .

\operatorname {E} X^{2}-\left(\operatorname {E} X\right)^{2}=pp^{2}=p\cdot (1-p)=pq

În general, este ușor să vezi asta

\mathbb {E} \left[X^{n}\right]=\Pr(X=1)\cdot 1^{n}+\Pr(X=0)\cdot 0^{n}= p\cdot 1^{n}+q\cdot 0^{n}=p=\mathbb {E} [X],\forall n\in \mathbb {N}

Notă

Dacă variabilele aleatoare independente au o distribuție Bernoulli cu probabilitate de succes , atunci $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $p$

Y=\sum \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}

are o distribuție binomială cu grade de libertate. $n$

Vezi și

Problemă cu ruina jucătorului # Schema Bernoulli .

Literatură

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), „Distribuție binomială”, Enciclopedia matematicii, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

Distribuții de probabilitate
Discret	Bernoulli Binom Geometric hipergeometrică Logaritmic Binom negativ Poisson Uniformă discretă Multinom
Absolut continuu	Beta Weibulla Gamma- hiperexponenţială Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gauss) Logistică Nakagami Pareto Pearson semicircular uniformă continuă Orez Rayleigh Student Tracey - Vidoma Pescar Chi-pătrat Exponenţial Varianta-gama Normal multivariat copulă