Numar rational

Numărul rațional (din latină raport „raport, diviziune, fracție”) este un număr care poate fi reprezentat ca o fracție obișnuită , unde este un număr întreg și este un număr natural [1] . De exemplu , unde , a . Conceptul de fractie a aparut in urma cu cateva mii de ani, cand, in fata nevoii de masurare a anumitor marimi (lungime, greutate, suprafata etc.), oamenii au realizat ca numerele intregi nu sunt suficiente si a fost necesara introducerea conceptului de fractie. fracție: jumătate, treime etc. Fracțiile și operațiile pe ele au fost folosite, de exemplu, de sumerieni , egiptenii și grecii antici . ${\frac {m}{n}}$ $m$ $n$ ${\frac {2}{3))$ $m=2$ $n=3$

Mulțimea numerelor raționale

Mulțimea numerelor raționale se notează (din latină quotient , „privat”) și poate fi scrisă sub această formă: $\mathbb {Q}$

\mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}\mid m\in \mathbb {Z} ,\n\in \mathbb {N} \right\}.

Se pare că intrări diferite pot reprezenta aceeași fracție, de exemplu, și , (toate fracțiile care pot fi obținute una de la alta prin înmulțirea sau împărțirea numărătorului și numitorului cu același număr natural reprezintă același număr rațional). Deoarece prin împărțirea numărătorului și numitorului unei fracții la cel mai mare divizor comun al lor , se poate obține singura reprezentare ireductibilă a unui număr rațional, se poate vorbi despre mulțimea lor ca pe o mulțime de fracții ireductibile cu numărător întreg și numitor natural: ${\frac {3}{4))$ ${\frac {9}{12}}$

\mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}\mid m\in \mathbb {Z} ,\n\in \mathbb {N} ,\\gcd(m, n)=1\dreapta\}.

Iată cel mai mare divizor comun al numerelor și . $\gcd(m,n)$ $m$ $n$

Mulțimea numerelor raționale este o generalizare naturală a mulțimii numerelor întregi . Este ușor de observat că, dacă un număr rațional are un numitor , atunci este un număr întreg. $a={\frac {m}{n}}$ $n=1$ $a=m$

Mulțimea numerelor raționale este peste tot densă pe axa numerelor : între oricare două numere raționale diferite există cel puțin un număr rațional (și, prin urmare, o mulțime infinită de numere raționale). Cu toate acestea, se dovedește că mulțimea numerelor raționale are o cardinalitate numărabilă (adică toate elementele sale pot fi renumerotate). Încă din vremea grecilor antici , se știa despre existența numerelor care nu pot fi reprezentate ca fracție: ei au demonstrat, în special, că nu este un număr rațional. Insuficiența numerelor raționale de a exprima toate mărimile a condus mai târziu la conceptul de număr real . Spre deosebire de mulțimea numerelor reale (care corespunde unui spațiu unidimensional ), mulțimea numerelor raționale are măsura zero . ${\sqrt {2}}$

Terminologie

Definiție formală

În mod formal, numerele raționale sunt definite ca mulțime de clase de echivalență de perechi în raport cu relația de echivalență dacă . În acest caz, operațiile de adunare și înmulțire sunt definite după cum urmează: $\left\{(m,\;n)\mid m,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\)$ $(m,\;n)\sim (m',\;n')$ $m\cdot n'=m'\cdot n$

$\left(m_{1},\;n_{1}\right)+\left(m_{2},\;n_{2}\right)=\left(m_{1}\cdot n_{2}+ m_{2}\cdot n_{1},\;n_{1}\cdot n_{2}\dreapta);$
$\left(m_{1},\;n_{1}\right)\cdot \left(m_{2},\;n_{2}\right)=\left(m_{1}\cdot m_{2} ,\;n_{1}\cdot n_{2}\dreapta).$

Din definiție se poate observa că nicio operație de adunare sau înmulțire nu duce la apariția unei perechi de formă $(m,0).$

Definiții înrudite

Fracții proprii, improprii și mixte

O fracție se numește corectă dacă modulul numărătorului este mai mic decât modulul numitorului. Fracțiile proprii reprezintă numere raționale, modulo mai mici decât unu . O fracție care nu este proprie se numește fracție improprie și reprezintă un număr rațional mai mare sau egal cu unul în modulo.

O fracție improprie poate fi reprezentată ca suma unui număr întreg și a unei fracții proprii, numită fracție mixtă . De exemplu, . O notație similară (cu un semn de adunare lipsă), deși este folosită în aritmetica elementară , este evitată în literatura matematică strictă datorită asemănării notației pentru o fracție mixtă cu notația pentru produsul unui întreg cu o fracție. $2{\frac {3}{7}}=2+{\frac {3}{7}}={\frac {14}{7}}+{\frac {3}{7}}={\frac {17}{7}}$

Înălțimea tragerii

Înălțimea unei fracții obișnuite este suma modulului numărătorului și numitorului acestei fracții. Înălțimea unui număr rațional este suma modulului numărătorului și numitorului fracției ordinare ireductibile corespunzătoare acestui număr [2] .

De exemplu, pentru a afla înălțimea unei fracții , trebuie mai întâi să obțineți o fracție ireductibilă din ea. O fracție ireductibilă va arăta astfel: . Apoi trebuie să adăugați modulul numărătorului și al numitorului: . Deci înălțimea fracției este . $-{\frac {15}{6}}$ $-{\frac {5}{2}}$ $5+2=7$ $-{\frac {15}{6}}$ $7$

Comentariu

Termenul număr fracționar (fracție) uneori[ clarifica ] este folosit ca sinonim pentru termenul număr rațional și, uneori, ca sinonim pentru orice număr care nu este întreg. În acest din urmă caz, numerele fracționale și raționale sunt lucruri diferite, deoarece atunci numerele raționale non-întregi sunt doar un caz special de numere fracționale.

Proprietăți

Proprietăți de bază

Mulțimea numerelor raționale satisface șaisprezece proprietăți de bază care pot fi ușor obținute din proprietățile numerelor întregi . [3]

Ordinea . Pentru orice numere raționaleși() există o regulă care vă permite să identificați în mod unic între ele una și numai una dintre cele trei relații : "", "" sau "". Această regulă se numește regula de ordonare și este formulată după cum urmează: $A$ $b$ $\forall a,b\in \mathbb {Q}$ $<$ $>$ $=$
- două numere nenegative și sunt legate prin aceeași relație ca două numere întregi și ; $a={\frac {m_{a}}{n_{a}}}$ $b={\frac {m_{b}}{n_{b}}}$ $m_{a}\cdot n_{b}$ $m_{b}\cdot n_{a}$
- două numere negative și sunt legate prin aceeași relație ca două numere nenegative și ; $A$ $b$ $\stanga|b\dreapta|$ $\left|a\right|$
- dacă este nenegativ și este negativ, atunci . $A$ $b$ $a>b$
operatie de adaugare . Pentru orice numere raţionaleşi() există o operaţie binară de adunare , care le asociază cu un număr raţional. În acest caz, numărul în sinese numește suma numerelorșiși este notat, iar procesul de găsire a unui astfel de număr se numește adunare . Regula de adunare are următoarea formă: $A$ $b$ $\forall a,b\in \mathbb {Q}$ $c$ $c$ $A$ $b$ $\left(a+b\dreapta)$ $a={\frac {m_{a}}{n_{a}}},\;b={\frac {m_{b}}{n_{b}}}:a+b\equiv {\ frac {m_{a}}{n_{a}}}+{\frac {m_{b}}{n_{b}}}={\frac {m_{a}\cdot n_{b}+m_{b }\cdot n_{a}}{n_{a}\cdot n_{b}}}$
operația de înmulțire . Pentru orice numere raționaleși() există o operație binară de înmulțire care le asociază cu un număr rațional. În acest caz, numărul în sinese numește produsul numerelorșiși este notat, iar procesul de găsire a unui astfel de număr se mai numește și înmulțire . Regula înmulțirii este următoarea: $A$ $b$ $\forall a,b\in \mathbb {Q}$ $c$ $c$ $A$ $b$ $\left(a\cdot b\dreapta)$ $a={\frac {m_{a}}{n_{a}}},\;b={\frac {m_{b}}{n_{b}}}:a\cdot b\equiv { \frac {m_{a}}{n_{a}}}\cdot {\frac {m_{b}}{n_{b}}}={\frac {m_{a}\cdot m_{b}}{ n_{a}\cdot n_{b}}}$
Tranzitivitatea relației de ordine. Pentru orice triplu denumere raționaleși) dacămai mic decâtșimai mic decât, atuncimai mic decât, iar dacăegalșiegal cu, atunciegal cu. $A$ $b$ $c$ $(\forall a,b,c\in \mathbb {Q}$ $A$ $b$ $b$ $c$ $A$ $c$ $A$ $b$ $b$ $c$ $A$ $c$ $a<b,\;b<c\;\Rightarrow a<c;\;\;\;a=b,\;b=c\;\Rightarrow a=c.$
Comutativitatea adunării. De la o schimbare a locurilor termenilor raționali, suma nu se schimbă. $\forall a,b\in {\mathbb {Q}}~~a+b=b+a$
Asociativitatea adunării. Ordinea în care sunt adăugate trei numere raționale nu afectează rezultatul. $\forall a,b,c\in {\mathbb {Q}}~~\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)$
Prezența lui zero . Există un număr rațional 0 care păstrează orice alt număr rațional atunci când este însumat. $\exists 0\in \mathbb {Q} :~\forall a\in \mathbb {Q} ~~a+0=a$
Prezența numerelor opuse. Orice număr rațional are un număr rațional opus, care, însumat, dă 0. $\forall a\in \mathbb {Q} ~\există \left(-a\right)\in \mathbb {Q}:~~a+\left(-a\right)=0$
Comutativitatea înmulțirii. Prin schimbarea locurilor factorilor raționali, produsul nu se schimbă. $\forall a,b\in {\mathbb {Q}}~~a\cdot b=b\cdot a$
Asociativitatea înmulțirii. Ordinea în care sunt înmulțite trei numere raționale nu afectează rezultatul. $\forall a,b,c\in {\mathbb {Q}}~~\left(a\cdot b\right)\cdot c=a\cdot \left(b\cdot c\right)$
Prezența unei unități . Există un număr rațional 1 care păstrează orice alt număr rațional atunci când este înmulțit. $\exists 1\in \mathbb {Q} :~\forall a\in \mathbb {Q} ~~a\cdot 1=a$
Prezența reciprocelor . Orice număr rațional diferit de zero are un număr rațional invers, înmulțirea cu care dă 1. $\forall a\in \mathbb {Q} ,\;a\neq 0~\exists a^{-1}\in \mathbb {Q} :~~a\cdot a^{-1}=1$
Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea. Operația de înmulțire este în concordanță cu operația de adunare prin legea distribuției: $\forall a,b,c\in {\mathbb {Q}}~~\left(a+b\right)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$
Legătura relației de ordine cu operația de adunare. Același număr rațional poate fi adăugat la părțile din stânga și din dreapta unei inegalități raționale. $\forall a,b,c\in \mathbb {Q} ~~a<b\Leftrightarrow a+c<b+c$
Legătura relației de ordine cu operația de înmulțire. Laturile stânga și dreapta ale unei inegalități raționale pot fi înmulțite cu același număr rațional pozitiv. $\forall a,b,c\in \mathbb {Q} ,\;c>0:a<b\Leftrightarrow a\cdot c<b\cdot c$
Axioma lui Arhimede . Oricare ar fi numărul rațional, puteți lua atât de multe unități încât suma lor va depăși. $A$ $A$ $\forall a\in \mathbb {Q} ~\exists n\in \mathbb {N} :~~\sum _{k=1}^{n}1>a\;\;\Longleftrightarrow \; \forall a\in \mathbb {Q} \;\există n\in \mathbb {N} :n>a$

Proprietăți suplimentare

Toate celelalte proprietăți inerente numerelor raționale nu sunt evidențiate ca fiind de bază, deoarece, în general, ele nu se mai bazează direct pe proprietățile numerelor întregi, ci pot fi demonstrate pe baza proprietăților de bază date sau direct prin definiția lui. vreun obiect matematic. Există o mulțime de astfel de proprietăți suplimentare. Este logic să cităm doar câteva dintre ele.

Relația de ordine „>” (cu ordinea opusă a argumentelor) este de asemenea tranzitivă. $\forall a,b,c\in \mathbb {Q} :a>b,\;b>c\Rightarrow a>c$
Produsul oricărui număr rațional și zero este zero. $\forall a\in {\mathbb {Q}}~~a\cdot 0=0$
Inegalitățile raționale de același semn pot fi adăugate termen cu termen. $\forall a,b,c,d\in \mathbb {Q} ~~a>b,\;c>d\Rightarrow a+c>b+d$
Mulțimea numerelor raționale este un câmp (și anume, câmpul câte a inelului de numere întregi ) în raport cu operațiile de adunare și înmulțire a fracțiilor. $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$ $\left({\mathbb {Q)),+,\cdot \right)$ - camp
În sistemul numeric pozițional, un număr rațional este reprezentat printr-o fracție periodică . Mai mult, prezența unei reprezentări sub forma unei fracții periodice este un criteriu de raționalitate a unui număr real.
Fiecare număr rațional este algebric . ${\mathbb {Q}}\subset {\mathbb {A}}$
Între oricare două numere raționale diferite și există cel puțin un număr rațional astfel încât și . (Ca exemplu de un astfel de număr, putem lua .) Este clar că între și , precum și între și există, de asemenea, cel puțin un număr rațional. Rezultă că între oricare două numere raționale diferite și există infinit de numere raționale. Cu alte cuvinte, nu există două numere raționale adiacente. În special, nu există cel mai mic număr rațional pozitiv. $A$ $b$ $X$ $a<x$ $x<b$ $x=\textstyle {{\frac {a+b}{2}}}$ $A$ $X$ $X$ $b$ $A$ $b$
Nu există un număr rațional cel mai mare sau cel mai mic. Pentru orice număr rațional, există numere raționale (și chiar întregi) și astfel încât și . $X$ $A$ $b$ $a<x$ $x<b$

Numărabilitatea mulțimii numerelor raționale

Pentru a estima numărul de numere raționale, trebuie să găsiți cardinalitatea mulțimii lor. Este ușor de demonstrat că mulțimea numerelor raționale este numărabilă . Pentru a face acest lucru, este suficient să oferim un algoritm care enumeră numerele raționale, adică stabilește o bijecție între mulțimile numerelor raționale și naturale. Următorul algoritm simplu poate servi ca exemplu pentru o astfel de construcție. Este alcătuit un tabel infinit de fracții obișnuite, pe fiecare --lea rând din fiecare --a coloană din care există o fracție . Pentru certitudine, se presupune că rândurile și coloanele acestui tabel sunt numerotate de la unu. Celulele tabelului sunt notate cu , unde este numărul rândului tabelului în care se află celula și este numărul coloanei. $i$ $j$ ${\frac {i}{j}}$ $\left(i,j\dreapta)$ $i$ $j$

Tabelul rezultat este gestionat de un „șarpe” conform următorului algoritm formal.

Dacă poziția curentă este astfel încât — impar și , atunci se alege următoarea poziție . $\left(i,j\dreapta)$ $i$ $j=1$ $\left(i+1,j\dreapta)$
Dacă poziția curentă este astfel încât , și este pară, atunci următoarea poziție este aleasă . $\left(i,j\dreapta)$ $i=1$ $j$ $\stanga(i,j+1\dreapta)$
Dacă suma indicilor pentru poziția curentă este impară, atunci următoarea poziție este . $\left(i,j\dreapta)$ $\stanga(i+j\dreapta)$ $\left(i-1,j+1\right)$
Dacă suma indicilor pentru poziția curentă este pară, atunci următoarea poziție este . $\left(i,j\dreapta)$ $\stanga(i+j\dreapta)$ $\left(i+1,j-1\right)$

Aceste reguli sunt căutate de sus în jos și următoarea poziție este selectată de primul meci.

În procesul unei astfel de ocolire, fiecare număr rațional nou este atribuit următorului număr natural. Adică, fracțiilor li se atribuie numărul 1, fracțiilor - numărul 2 etc. Numai fracțiile ireductibile sunt numerotate. Semnul formal al ireductibilității este egalitatea la unitate a celui mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului fracției. $1/1$ $2/1$

Urmând acest algoritm, se pot enumera toate numerele raționale pozitive. Aceasta înseamnă că mulțimea numerelor raționale pozitive este numărabilă. Este ușor să stabiliți o bijecție între mulțimile numerelor raționale pozitive și negative, atribuind fiecărui număr rațional opusul său. Astfel, mulțimea numerelor raționale negative este de asemenea numărabilă. Unirea lor este de asemenea numărabilă prin proprietatea seturilor numărabile. Mulțimea numerelor raționale este, de asemenea, numărabilă ca unire a unei mulțimi numărabile cu una finită. ${\mathbb {Q}}_{+}$ ${\mathbb {Q}}_{-}$ ${\mathbb {Q}}_{+}\cup {\mathbb {Q}}_{-}$ ${\mathbb {Q}}={\mathbb {Q}}_{+}\cup {\mathbb {Q}}_{-}\cup \left\{0\right\}$

Există și alte moduri de a enumera numerele raționale. De exemplu, folosind structuri precum arborele Culkin-Wilf , arborele Stern-Brokaw sau seria Farey .

Afirmația despre numărabilitatea mulțimii numerelor raționale poate provoca o oarecare nedumerire, deoarece la prima vedere pare că este mult mai mare decât mulțimea numerelor naturale (la urma urmei, între oricare două numere naturale există o mulțime infinită de numere raționale ). De fapt, nu este așa și există suficiente numere naturale pentru a le enumera pe toate raționale.

Insuficiența numerelor raționale

În geometrie , o consecință a așa-numitei axiome a lui Arhimede (într-un sens mai general decât cel menționat mai sus) este posibilitatea de a construi cantități arbitrar mici (adică scurte) exprimate prin numere raționale de forma . Acest fapt creează o impresie înșelătoare că numerele raționale pot măsura orice distanțe geometrice în general . Este ușor să arăți că acest lucru nu este adevărat. $1/n$

Din teorema lui Pitagora se știe că ipotenuza unui triunghi dreptunghic este exprimată ca rădăcina pătrată a sumei pătratelor catetelor sale . Acea. lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic isoscel cu cateta unitară este egală cu , adică un număr al cărui pătrat este 2. ${\sqrt {2}}$

Dacă presupunem că numărul este reprezentat de un număr rațional, atunci există un astfel de număr întreg și un astfel de număr natural încât , iar fracția este ireductibilă, adică numerele și sunt coprime . ${\sqrt {2}}$ $m$ $n$ ${\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}$ ${\frac {m}{n}}$ $m$ $n$

Dacă , atunci , adică . Prin urmare, numărul este par, dar produsul a două numere impare este impar, ceea ce înseamnă că și numărul în sine este par. Deci, există un număr natural astfel încât numărul poate fi reprezentat ca . Pătratul unui număr în acest sens , dar pe de altă parte , înseamnă sau . După cum sa arătat mai devreme pentru numărul , aceasta înseamnă că numărul este par, la fel ca . Dar atunci nu sunt coprime, deoarece ambele sunt divizibile cu 2 . Contradicția rezultată demonstrează că nu este un număr rațional. ${\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}$ $2={\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}\cdot {\frac {m}{n}}={\frac {m^{2 }}{n^{2}}}}$ $m^{2}=2n^{2}$ $m^{2}$ $m$ $k$ $m$ $m=2k$ $m$ $m^{2}=4k^{2}$ $m^{2}=2n^{2}$ $4k^{2}=2n^{2}$ $n^{2}=2k^{2}$ $m$ $n$ $m$ ${\sqrt {2}}$

Din cele de mai sus rezultă că există segmente în plan și, prin urmare, pe dreapta numerică , care nu pot fi măsurate prin numere raționale. Aceasta conduce la posibilitatea extinderii conceptului de numere raționale la numere reale .

Vezi și

Note

↑ Număr rațional // Marea Enciclopedie Rusă : [în 35 de volume] / cap. ed. Yu. S. Osipov . - M . : Marea Enciclopedie Rusă, 2004-2017.
↑ Shikhanovich Yu. A. Introducere în matematica modernă (Concepte inițiale). - M. : Nauka, 1965. - S. 191. - 376 p.
↑ V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sennov . Capitolul 2. Numere reale // Analiza matematică / Ed. A. N. Tihonova . - Ed. a 3-a. , revizuit si suplimentare - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 30-31. — 672 p. — ISBN 5-482-00445-7 .

Literatură

I. Kushnir. Manual de matematică pentru școlari. - Kiev: ASTARTA, 1998. - 520 p.
P. S. Alexandrov. Introducere în teoria mulțimilor și topologia generală. - M .: capete. ed. Fiz.-Matematică. aprins. ed. „Știință”, 1977
I. L. Hmelnițki. Introducere în teoria sistemelor algebrice

Sisteme numerice
Seturi numărabile	numere naturale ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ numere întregi ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rațional ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ algebric ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioadele Calculabil Aritmetic
Numerele reale și extensiile lor	Real ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Complex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Cuaternioni ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Numerele Cayley (octave, octooni) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alterniuni Dual Hipercomplex Superreale Hipermaterial ireal
Instrumente de extensie numerică	Procedura Cayley-Dixon Teorema Frobenius Teorema Hurwitz
Alte sisteme numerice	numere cardinale Numere ordinale (transfinite, ordinale) p-adic Numere supranaturale numere de interval
Vezi si	numere duble Numere irationale numerele transcendentale fascicul numeric Biquaternion

Numerele algebrice
Soiuri	numere întregi algebrice noduri Chebyshev numere constructive întregul lui Eisenstein numere întregi gaussiene Inel Kummer numerele Perron Numerele Piso-Vijayaraghavan Iraționalitate pătratică ℚ Rădăcini din unitate Numerele Salem
Specific	Conway constantă 3 √ 2 φ δS _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2