Grup ciclic

Un grup ciclic este un grup care poate fi generat de un singur element a , adică toate elementele sale sunt puteri ale lui a (sau, folosind terminologia aditivă, poate fi reprezentat ca na , unde n este un număr întreg ). Notatie matematica: . $(G,\cdot )$ $G=\lange a\rangle$

În ciuda numelui său, un grup nu trebuie să reprezinte literalmente un „ciclu”. Se poate întâmpla ca toate gradele să fie diferite. Grupul astfel generat se numește grupul ciclic infinit și este izomorf cu grupul de numere întregi prin adunare $g^{n}$ $(\mathbb {Z} ,+).$

Proprietăți

Toate grupurile ciclice sunt abeliene .
Fiecare grup ciclic finit este izomorf cu grupul = cu adiție modulo n (se notează și cu ), iar fiecare grup infinit este izomorf cu , grupul de numere întregi modulo n. $\mathbb {Z} _{n}$ $\{0,1,\dots ,n-1\}$ $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$
- În special, pentru fiecare număr natural n există un grup ciclic unic (până la izomorfism) de ordinul n .
Fiecare subgrup al unui grup ciclic este ciclic.
Un grup ciclic de ordin n are exact φ( n ) generatori, unde φ este funcția Euler .
Dacă p este prim , atunci orice grup de ordinul p este ciclic și unic până la izomorfism (aceasta rezultă din teorema lui Lagrange ).
Un produs direct al două grupe de ordin ciclic și este ciclic dacă și numai dacă n și m sunt coprimi. $n$ $m$
- De exemplu, izomorf la , dar nu izomorf la . $\mathbb {Z} _{12}$ $\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{4}$ $\mathbb {Z} _{6}\times \mathbb {Z} _{2}$
Teorema fundamentală a grupurilor abeliene generate finit afirmă că orice grup abelian generat finit se descompune în mod unic într-un produs direct al grupărilor ciclice primare . Grupul primar poate fi un grup ciclic , unde p este un număr prim sau . $\mathbb {Z} _{p^{n}}$ $\mathbb {Z}$
Grupul multiplicativ al oricărui câmp finit este ciclic (este generat de un element al câmpului de ordinul cel mai înalt).
Inelul de endomorfism al unui grup este izomorf cu inelul . Sub acest izomorfism, numărul r corespunde unui endomorfism care atribuie unui element suma lui r a instanțelor sale. O astfel de mapare ar fi o bijecție dacă și numai dacă r este relativ prim față de n , astfel încât grupul de automorfism este izomorf . $\mathbb {Z} _{n}$ $\mathbb {Z} _{n}$ $\mathbb {Z} _{n}$ $\mathbb {Z} _{n}$ $\mathbb {Z} _{n}^{\times }$

Exemple

Grupul rădăcinilor unității puterii n prin înmulțire.
Grupul Galois al oricărei extensii finite a unui câmp finit este finit și ciclic; invers, având în vedere un câmp finit F și un grup ciclic finit G , există o extensie finită F al cărei grup Galois este G.

Dovezi

Declarație . Fiecare subgrup al unui grup ciclic este ciclic.

Dovada . Fie un grup ciclic și un subgrup al grupului . Dacă un grup este trivial (constă dintr-un element), atunci este și ciclic. Dacă este un subgrup trivial (constă din elementul de identitate sau coincide cu întregul grup G), atunci este ciclic. În cele ce urmează , în cursul dovezii, vom presupune că și nu sunt banale. $G$ $H$ $G$ $G$ $H=G$ $H$ $H$ $H$ $G$ $H$

Fie un element generator al grupului și să fie cel mai mic număr întreg pozitiv astfel încât . Afirmație: $g$ $G$ $n$ $g^{n}\în H$ $H=\langle g^{n}\rangle$

\langle g^{n}\rangle \subseteq H

{\forall a\in \langle g^{n}\rangle }\ {\exists z\in \mathbb {Z} }\mid {a=(g^{n})^{z))

g^{n}\în H\Rightarrow (g^{n})^{z}\in H\Rightarrow a\in H

Prin urmare, .

\langle g^{n}\rangle \subseteq H

H\subseteq \langle g^{n}\rangle

Lasă .

h\în H

h\in H\Rightarrow h\in G\Rightarrow \exists x\in {\mathbb {Z} }\mid h=g^{x}

. Conform algoritmului de divizare

\exists q,r\in {\mathbb {Z} }\mid 0\leq r\leq n-1\land x=qn+r

h=g^{x}=g^{qn+r}=g^{qn}g^{r}=(g^{n})^{q}g^{r}\Rightarrow g^{r} =h(g^{n})^{-q}

h,g^{n}\în H\Rightarrow g^{r}\în H

. Pe baza modului în care am ales și a faptului că , tragem concluzia că .

n

0\leq r\leq n-1

r=0

r=0\Rightarrow h=(g^{n})^{q}g^{0}=(g^{n})^{q}\in \langle g^{n}\rangle

. Prin urmare, .

H\subseteq \langle g^{n}\rangle

Literatură

Vinberg E. B. Curs de algebră. — M.: Factorial Press, 2001.
Hamermesh M. Teoria grupurilor și aplicarea ei la problemele fizice. — M.: Mir, 1966.

Teoria grupurilor
Noțiuni de bază	Subgrup Subgrup normal Grup de factori Muncă direct semidirectă gratuit
Proprietăți algebrice	grup comutativ Grup ciclic grup ordonat Transformați grupul Grup solubil Lema lui Schreier teorema lui Lagrange teoremele lui Sylow Clasificarea grupurilor finite simple
grupuri finite	Grupa ciclică finită C n Grupul simetric S n Grupul diedric D n Grupa alternativă A n Grupul Cvadruplu Klein grupurile Mathieu M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ grupuri Conway Co 1 Co2 _ Co3 _ grupuri Janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Grupuri de pescari F22 _ F 23 F24 _ Monstru (M)
Grupuri topologice	Grupuri de minciuni Grupul ortogonal O(n) Grup ortogonal special SO(n) Grupa unitară U(n) Grup unitar special SU(n) Grupa simplectică Sp(n) Simplu excepțional grupul Lorentz grupul Poincaré
Algoritmi pe grupuri	Schreier - Sims Todd - Coxeter transformata Fourier