Funcția numerică

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 17 aprilie 2020; verificările necesită 3 modificări .

O funcție numerică (în matematică ) este o funcție care acționează de la un spațiu numeric (mulțime) la un alt spațiu numeric (mulțime) [1] . Mulțimile numerice sunt mulțimi de numere naturale ( ), întregi ( ), raționale ( ), reale ( ) și complexe ( ) împreună cu operații algebrice definite pentru mulțimile corespunzătoare . Pentru toate seturile numerice enumerate, cu excepția numerelor complexe, este definită și o relație de ordine liniară , care permite compararea numerelor în mărime. Spațiile numerice sunt seturi numerice împreună cu o funcție de distanță definită pe setul corespunzător. $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

În cel mai general caz, o funcție numerică este o funcție care ia valori în câmpul numerelor reale și este definită pe un spațiu metric arbitrar (cel mai adesea) . Acesta este, de exemplu, indicatorul sau funcția caracteristică a setului . Un alt exemplu de funcție numerică este funcția distanță (sau, echivalent, metrica).

Funcțiile numerice date pe o mulțime de numere reale sau complexe se numesc funcții ale unei variabile reale sau, respectiv, complexe și fac obiectul analizei :

funcțiile cu valoare reală ale unei variabile reale sunt luate în considerare în calcul ,
funcțiile cu valori complexe ale unei variabile complexe sunt luate în considerare în analiza complexă .

Cel mai important subiect de luat în considerare în analiză este reprezentarea funcţiilor numerice sub forma unui sistem de aproximări (seri numerice şi funcţionale).

Funcțiile numerice au atât proprietăți generale pe care le pot avea mapările de spații metrice arbitrare (de exemplu, continuitate), cât și un număr de proprietăți direct legate de natura spațiilor numerice. Acestea sunt proprietățile

diferențiabilitate , integrabilitate , însumabilitate , măsurabilitate (pentru funcții numerice arbitrare);

si de asemenea proprietatile

paritate ( ciudățenie ), monotonitate (pentru funcții cu valori reale ale unei variabile reale);
analiticitate , multiplicitate (pentru funcții cu valori complexe ale unei variabile complexe).

Funcțiile numerice sunt utilizate pe scară largă în practică în rezolvarea problemelor aplicate.

Proprietăți

Proprietăți asociate relației de comandă

Fie dată o funcție Atunci $f\colon M\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .$

o functie se numeste crescand cu daca $f$ $M$

\forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)\geq f(y);

o funcţie se numeşte strict crescătoare pe dacă $f$ $M$

\forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)>f(y);

o functie se numeste descrescatoare cu daca $f$ $M$

\forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)\leq f(y);

o funcţie se numeşte strict descrescătoare pe dacă $f$ $M$

\forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)<f(y).

Se spune că o funcție (strict) crescătoare sau descrescătoare este (strict) monotonă.

Periodicitate

O funcție se numește periodică cu o perioadă dacă este adevărată $f\colon M\la N$ $T\nu=0$

f(x+T)=f(x),\quad \forall x\în M

Dacă această egalitate nu este satisfăcută pentru niciunul , atunci funcția se numește aperiodic . $T\în M,\,T\nu =0$ $f$

Paritate

O funcție se numește impară dacă egalitatea $f\colon X\la \mathbb {R}$

f(-x)=-f(x),\quad \forall x\in X.

O funcție este numită chiar dacă egalitatea $f$

f(-x)=f(x),\quad \forall x\in X.

Funcția extrema

Fie o funcție și un punct interior al domeniului de definiție $f\colon M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} ,$ $x_{0}\în M^{0}$ $f.$

$x_{0}$ se numeste punct maxim absolut (global) daca $\forall x\in M\quad f(x)\leq f(x_{0});$
$x_{0}$ se numeste punct minim absolut daca $\forall x\in M\quad f(x)\geq f(x_{0}).$

Function Graph

Să fie dată o mapare . Atunci graficul său este mulțimea , unde denotă produsul cartezian al mulțimilor și . $F:X\la Y$ $\Gamma$
$\Gamma =\{(x,F(x))\mid x\in X\}\subset X\times Y$
$X \time Y$ $X$ $Y$
- Graficul unei funcții continue este o curbă pe un plan bidimensional. $F:{\mathbb {R}}\la {\mathbb {R}}$
- Graficul unei funcții continue este o suprafață în spațiu tridimensional. $F:{\mathbb {R}}^{2}\la {\mathbb {R}}$

Exemple

Funcția Dirichlet
- Returnează unu dacă argumentul este un număr rațional , dacă este irațional atunci returnează zero . $D(x)={\begin{cases}1,&x\in {\mathbb {Q}}\\0,&x\nu \in {\mathbb {Q}}\end{cases}}$
- Domeniul de definiție: (întreaga axă numerică ). $\mathbb {R}$
- Interval de valori: . $\left\{0,1\right\}$

funcția sgn(x).
- Returnează semnul argumentului. $\operatorname{sgn} x={\begin{cases}+1,&x>0\\0,&x=0\\-1,&x<0\end{cases}}$
- Domeniul de definire: . $\mathbb {R}$
- Interval de valori: . $\left\{-1,0,+1\right\}$

$y={\sqrt {1-x^{2}}}$
- Domeniul de definire: . $\stanga[-1,+1\dreapta]$
- Interval de valori: . $\stanga[0,+1\dreapta]$

Factorială
- Returnează produsul tuturor numerelor naturale care nu este mai mare decât cel dat. În plus, . $0!=1$ $n!={\begin{cases}1,&n=0\\n\cdot \left(n-1\right)!,&n\neq 0\end{cases}}$
- Domeniu de definiție: (mulțime de numere naturale cu zero). $\mathbb{N} _{0}$
- Interval de valori: $\left\{1,2,6,24,120,\ldots\right\}$

Antje (sex)
- Returnează partea întreagă a unui număr. $\lfloor x\rfloor =\max \left\{q\in \mathbb{Z } \mid q\leqslant x\right\}$
- Domeniul de definire: . $\mathbb {R}$
- Interval de valori: . $\mathbb {Z}$

Modalități de a defini o funcție

Verbal

Folosind limbajul natural

Y este egal cu partea întreagă a lui x.

Analitic

Folosind formula și notația standard

f(x)=x!

Grafic

Cu ajutorul unei diagrame

Tabular

Folosind un tabel de valori

X	0	unu	2	3	patru	5	6	7	opt	9
y	unu	unu	2	3	5	opt	13	21	34	55

Metodă analitică

mod analitic. Cel mai adesea, legea care stabilește o relație între un argument și o funcție este specificată prin intermediul formulelor. Acest mod de a defini o funcție se numește analitic. Această metodă face posibil ca fiecare valoare numerică a argumentului x să găsească valoarea numerică corespunzătoare a funcției y exact sau cu o oarecare precizie. Dacă relația dintre x și y este dată de o formulă care se rezolvă în raport cu y, i.e. are forma y = f(x), atunci spunem că funcția lui x este dată explicit. Dacă valorile x și y sunt legate printr-o ecuație de forma F(x,y) = 0, i.e. formula nu este permisă în raport cu y, ceea ce înseamnă că funcția y = f(x) este definită implicit. O funcție poate fi definită prin diferite formule în diferite părți ale zonei sale de activitate. Metoda analitică este cea mai comună modalitate de definire a funcțiilor. Compactitatea, concizia, capacitatea de a calcula valoarea unei funcții pentru o valoare arbitrară a argumentului din domeniul definiției, capacitatea de a aplica aparatul de analiză matematică la o funcție dată sunt principalele avantaje ale metodei analitice de definire a unui funcţie. Dezavantajele includ lipsa vizibilității, care este compensată de capacitatea de a construi un grafic și nevoia de a efectua calcule uneori foarte greoaie.

Exemple:

$f\left(x\dreapta)=x^{2}$ ;
$f\left(x,y\right)=x\lor y$ ;
$f\left(A\right)=\left|A\right|$ ;
$f\left(x\right)={\begin{cases}x^{2},&x\leqslant 0;\\-x^{3},&x>0.\end{cases}}$

Mod tabelar

O funcție poate fi definită prin listarea tuturor argumentelor posibile și a valorilor acestora. După aceea, dacă este necesar, funcția poate fi extinsă pentru argumente care nu sunt în tabel, prin interpolare sau extrapolare . Exemplele sunt un ghid de program, un program de tren sau un tabel cu valorile funcției booleene :

$X$	$y$	$x\land y$
$0$	$0$	$0$
$0$	$unu$	$0$
$unu$	$0$	$0$
$unu$	$unu$	$unu$

Mod grafic

O funcție poate fi specificată grafic prin afișarea unui set de puncte din graficul său pe un plan. Aceasta poate fi o schiță aproximativă a modului în care ar trebui să arate funcția sau citiri luate de la un instrument, cum ar fi un osciloscop . Această specificație poate suferi de o lipsă de precizie , cu toate acestea, în unele cazuri, alte metode de specificare nu pot fi aplicate deloc. În plus, acest mod de setare este una dintre cele mai reprezentative, ușor de înțeles și de înaltă calitate analize euristice ale funcției.

Mod recursiv

O funcție poate fi definită recursiv , adică prin ea însăși. În acest caz, unele valori ale funcției sunt determinate prin celelalte valori ale acesteia.

Exemple:

Mod verbal

O funcție poate fi descrisă în cuvinte în limbaj natural într- un mod clar, de exemplu, prin descrierea valorilor sale de intrare și de ieșire sau a algoritmului prin care funcția atribuie corespondențe între aceste valori. Împreună cu o modalitate grafică, aceasta este uneori singura modalitate de a descrie o funcție, deși limbajele naturale nu sunt la fel de deterministe precum cele formale.

Exemple:

o funcție care returnează o cifră în notația lui pi după numărul său;
o funcție care returnează numărul de atomi din univers la un anumit moment în timp ;
o funcție care ia o persoană drept argument și returnează numărul de oameni care se vor naște pe lume după nașterea sa.

Clase de funcții numerice

Contur istoric

Apariția conceptului

Modelarea matematică a fenomenelor și a legilor naturii conduce la conceptul de funcție, care este inițial limitat la funcții algebrice ( polinoame ) și trigonometrie . Ca și alte concepte ale matematicii, conceptul general de funcție nu s-a dezvoltat imediat, ci a parcurs un drum lung. Desigur, în antichitate, atunci când calculau, oamenii foloseau inconștient diverse funcții (de exemplu, rădăcina pătrată ) și chiar ecuații , totuși, ca obiect matematic separat, permițând un studiu analitic general, funcția putea apărea numai după crearea simbolului algebră de Vieta (sec. XVI) [2] . Chiar și în secolul al XVII-lea , Napier , introducând funcția logaritmică în uz, a folosit o soluție - el a determinat-o cinematic.

Inițial, diverse formule algebrice au devenit obiect de studiu . Descartes a considerat dependențele non-algebrice doar ca cea mai rară excepție. Pentru el și pentru Fermat , formula este înțeleasă nu doar ca un algoritm de calcul, ci este considerată ca o transformare (reprezentabilă geometric) a unei cantități aflate în continuă schimbare în alta [3] . În Barrow 's Lectures on Geometry, 1670 , reciprocitatea reciprocă a acțiunilor de diferențiere și integrare este stabilită în formă geometrică (desigur, fără a folosi acești termeni înșiși). Aceasta mărturisește deja o posesie complet distinctă a conceptului de funcție ca obiect integral. Într-o formă geometrică și mecanică, găsim și conceptul de funcție în Newton .

Termenul matematic „funcție” a apărut pentru prima dată în 1673 de către Leibniz și , în plus, nu chiar în sensul său modern: Leibniz a numit la început diferite segmente asociate cu o curbă (de exemplu, abscisele punctelor sale) drept funcție. Mai târziu, însă, într-o corespondență cu Johann Bernoulli ( 1694 ), conținutul termenului este extins și în cele din urmă devine sinonim cu „dependența dată analitic”.

În primul curs tipărit „Analysis of Infinitely Small for the Knowledge of Curved Lines” de Lopital ( 1696 ), termenul „funcție” nu este folosit.

Primele încercări de definire

La începutul secolului al XVIII-lea s-au obținut extinderi ale tuturor funcțiilor standard și multe altele. Datorită în principal lui Euler ( 1748 ), definițiile lor au fost rafinate. Euler a fost primul care a definit în mod clar funcția exponențială , precum și funcția logaritmică , ca inversă, și a dat expansiuni în serie. Înainte de Euler, mulți matematicieni considerau, de exemplu, tangenta unui unghi obtuz ca fiind pozitivă; Euler a dat definiții moderne ale tuturor funcțiilor trigonometrice (termenul „funcție trigonometrică” însuși a fost propus de Klugel în 1770 ).

Multe funcții transcendentale noi apar în aplicațiile de analiză. Când Goldbach și Bernoulli au încercat să găsească un analog continuu al factorialului, tânărul Euler a raportat într-o scrisoare către Goldbach despre proprietățile funcției gamma (1729, titlu datorat lui Legendre ). Un an mai târziu, Euler a descoperit funcția beta și apoi a revenit în mod repetat la acest subiect. Funcția gamma și funcțiile aferente (beta, zeta, cilindric (Bessel)) au numeroase aplicații în analiză, precum și în teoria numerelor, iar funcția zeta Riemann s-a dovedit a fi un instrument indispensabil pentru studierea distribuției numerelor prime în natura naturală. serie.

În 1757, Vincenzo Riccati , în timp ce investighează sectoarele unei hiperbole, introduce funcțiile hiperbolice ch, sh (cu o astfel de notație) și enumeră principalele proprietăți ale acestora. Multe funcții noi au apărut în legătură cu neintegrabilitatea diferitelor expresii. Euler a definit (1768) logaritmul integral (denumirea a fost propusă de I. Zoldner , 1809), L. Mascheroni - sinusul și cosinusul integral ( 1790 ). În curând apare și o nouă ramură a matematicii: funcțiile speciale .

Trebuia făcut ceva cu această colecție pestriță, iar matematicienii au luat o decizie radicală: toate funcțiile, indiferent de originea lor, au fost declarate egale. Singura cerință pentru o funcție este certitudinea, iar aceasta nu înseamnă unicitatea funcției în sine (poate fi multivalorică ), ci neambiguitatea metodei de calculare a valorilor acesteia.

Prima definiție generală a unei funcții se găsește în Johann Bernoulli ( 1718 ): „O funcție este o mărime compusă dintr-o variabilă și o constantă”. Această definiție nu tocmai distinctă se bazează pe ideea de a specifica o funcție printr-o formulă analitică. Aceeași idee apare în definiția lui Euler , dată de acesta în „Introduction to the Analysis of Infinites” ( 1748 ): „O funcție a unei mărimi variabile este o expresie analitică, compusă într-un fel din această mărime variabilă și numere sau mărimi constante. "

Cu toate acestea, în secolul al XVIII-lea nu exista o înțelegere suficient de clară a diferenței dintre o funcție și expresia ei analitică. Acest lucru s-a reflectat în critica pe care Euler a supus-o soluției lui Bernoulli (1753 ) la problema vibrației corzilor . Soluția lui Bernoulli s-a bazat pe afirmația că este posibil să se extindă orice funcție într-o serie trigonometrică. Obiectiv la aceasta, Euler a subliniat că o astfel de descompunere ar oferi o expresie analitică pentru orice funcție, în timp ce funcția poate să nu aibă una (aceasta poate fi dată de un grafic „desenat printr-o mișcare liberă a mâinii”).

Această critică este convingătoare și din punct de vedere modern, deoarece nu toate funcțiile permit o reprezentare analitică (deși Bernoulli vorbește despre o funcție continuă, care, așa cum a stabilit Weierstrass în 1885 , este întotdeauna reprezentabilă analitic, dar poate să nu se extindă într-un serie trigonometrică). Cu toate acestea, celelalte argumente ale lui Euler sunt deja greșite [4] . De exemplu, el credea că extinderea unei funcții într-o serie trigonometrică oferă o singură expresie analitică pentru aceasta, în timp ce poate fi o funcție „mixtă”, reprezentabilă pe segmente diferite prin formule diferite. De fapt, una nu o contrazice pe cealaltă, dar în acea epocă părea imposibil ca două expresii analitice, care coincid pe o parte a unui segment, să nu coincidă pe toată lungimea lui. Mai târziu, când a studiat funcțiile multor variabile, a realizat limitările definiției anterioare și a recunoscut funcțiile discontinue, iar apoi, după studierea logaritmului complex, chiar și funcțiile cu mai multe valori.

Sub influența teoriei seriilor infinite, care a oferit o reprezentare algebrică a aproape orice dependență netedă, prezența unei formule explicite a încetat treptat să fie obligatorie pentru o funcție. Logaritmul sau funcția exponențială, de exemplu, este calculată ca limitele serii infinite; această abordare s-a extins la alte funcții non-standard. Au început să trateze seriile ca expresii finite, inițial fără a fundamenta corectitudinea operațiilor în vreun fel și fără a garanta măcar convergența seriei.

Începând cu „Calculul diferențialelor” ( 1755 ), Euler acceptă de fapt definiția modernă a unei funcții numerice ca o corespondență arbitrară a numerelor [4] :

Când anumite cantități depind de altele în așa fel încât atunci când acestea din urmă se schimbă, ele însele suferă o schimbare, atunci primele sunt numite funcții ale celei din urmă.

Definiție generală

De la începutul secolului al XIX-lea , conceptul de funcție a fost din ce în ce mai des definit fără a menționa reprezentarea analitică a acestuia. În „Tratat de calcul diferențial și integral” ( 1797 - 1802 ) Lacroix spune: „Orice mărime a cărei valoare depinde de una sau mai multe alte mărimi se numește o funcție a acestora din urmă”, indiferent dacă metoda de calcul a valorilor sale este cunoscut sau necunoscut [5] .

În „Teoria analitică a căldurii” a lui Fourier ( 1822 ) există o frază: „O funcție denotă o funcție complet arbitrară, adică o succesiune de valori date, indiferent dacă sunt supuse sau nu unei legi generale și corespunzătoare tuturor valorilor cuprins între și orice cantitate ”. $fx$ $X$ $0$ $X$

Aproape de modern și de definiția lui Lobachevsky :

... Conceptul general de funcție cere ca un număr să fie numit funcție din, care este dat pentru fiecare și odată cu acesta se modifică treptat. Valoarea unei funcții poate fi dată fie printr-o expresie analitică, fie printr-o condiție care oferă un mijloc de testare a tuturor numerelor și de a alege unul dintre ele sau, în sfârșit, o dependență poate exista și rămâne necunoscută... Viziunea largă a teoria admite existența unei dependențe doar în sensul că numerele sunt aceleași cu altele în legătură cu înțelegerea parcă a datelor împreună. $X$ $X$ $X$

Astfel, definiția modernă a unei funcții, lipsită de referințe la sarcina analitică, atribuită de obicei lui Dirichlet , a fost propusă în mod repetat înaintea lui. Iată definiția lui Dirichlet ( 1837 ):

y este o funcție a variabilei x (pe segmentul ), dacă fiecărei valori a lui x (pe acest segment) îi corespunde o valoare complet definită y și nu contează cum se stabilește această corespondență - printr-o formulă analitică, grafic , tabel sau chiar doar cuvinte. $a\leqslant x\leqslant b$

Până la sfârșitul secolului al XIX-lea, conceptul de funcție a depășit cadrul sistemelor numerice. Funcțiile vectoriale au fost primele care au făcut acest lucru , Frege a introdus curând funcțiile logice ( 1879 ), iar după apariția teoriei mulțimilor, Dedekind ( 1887 ) și Peano ( 1911 ) au formulat definiția universală modernă.

Exemple

Funcții implicite

Funcțiile pot fi definite folosind alte funcții și ecuații.

Să presupunem că este dată o funcție a două variabile care îndeplinește condiții speciale (condițiile teoremei implicite a funcției), apoi o ecuație de formă. $F$

F(x,y)=0

definește o funcție implicită a formei . $y=f(x)$

Funcții generice

Vezi și

Note

↑ Domeniul definiției și domeniul valorilor unei funcții numerice sunt un subset al spațiului numeric.
↑ Iuşkevici A.P., 1966 , p. 134-135.
↑ Iuşkevici A.P., 1966 , p. 137-138.
↑ 1 2 Iuşkevici A.P., 1966 , p. 144-148.
↑ Cititor despre istoria matematicii. Analiza matematică. Teoria probabilității / Ed. A. P. Iuşkevici . - M . : Educaţie, 1977. - S. 84. - 224 p.

Literatură

Istoria matematicii, editat de A. P. Yushkevich în trei volume, M .: Nauka.

Volumul 1 Din cele mai vechi timpuri până la începutul timpurilor moderne. (1970)
Volumul 2 Matematica secolului al XVII-lea. (1970)
Volumul 3 Matematica secolului al XVIII-lea. (1972)

Ilyin V. A., Poznyak E. G. Fundamentele analizei matematice, partea 1, ed. a 3-a, M., 1971 ;. Partea 2, ed. a 2-a, M., 1980;
Kudryavtsev L. D. Analiză matematică, ed. a 2-a, vol. 1-2, 1973,
Nikolsky S. M. Curs de analiză matematică, ed. a II-a, vol. 1-2, M., 1975;
Yushkevich A.P. Despre dezvoltarea conceptului de funcție // Cercetare istorică și matematică . - M . : Nauka , 1966. - Nr. 17 . - S. 123-150 .