Matematică computațională

Matematica computațională este o ramură a matematicii care include o serie de probleme legate de producerea diferitelor calcule. Într-un sens mai restrâns, matematica computațională este teoria metodelor numerice pentru rezolvarea problemelor matematice tipice. Matematica computațională modernă include în gama sa de probleme studiul caracteristicilor calculatoarelor folosind computere .

Matematica computațională are o gamă largă de aplicații pentru calcule științifice și de inginerie. Pe baza ei, în ultimul deceniu, s-au format noi domenii ale științelor naturii precum fizica computațională , chimia computațională , biologia computațională și așa mai departe.

Istorie

Matematica computațională există de mult timp. Chiar și în Mesopotamia antică s-au dezvoltat metode pentru a obține o rădăcină pătrată . În timpul erei revoluției științifice, matematica computațională s-a dezvoltat într-un ritm rapid din aplicații practice în paralel cu calculul . În plus, astfel de calcule au fost utilizate pe scară largă în mecanica cerească pentru a prezice traiectoria mișcării corpurilor cerești. Acest lucru a condus la apariția unor componente atât de importante ale fizicii precum teoria sistemului heliocentric al structurii lumii , legile lui Kepler și legile lui Newton . Secolele al XVII -lea și al XVIII-lea au devenit momentul dezvoltării unui număr semnificativ de metode și algoritmi numerici.

Utilizarea unui număr mare de calcule inginerești în secolele al XIX -lea și al XX-lea a necesitat crearea unor instrumente adecvate. Unul dintre aceste dispozitive a fost rigla de calcul, au apărut și tabele cu valorile funcției cu o precizie de până la 16 zecimale, ceea ce a ajutat la efectuarea calculelor. Existau și dispozitive mecanice pentru efectuarea de operații matematice, numite aritmometre . În prima jumătate a secolului al XX-lea , calculatoarele analogice au început să fie utilizate în mod activ pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale .

Invenția computerului la mijlocul secolului al XX-lea a însemnat crearea unui instrument universal pentru calcule matematice. Împreună cu mainframe , doar calculatoarele au fost la dispoziția inginerilor și oamenilor de știință pentru a efectua operațiuni manuale , care au fost utilizate în mod activ până la începutul producției în masă a calculatoarelor personale.

În matematica computațională se disting următoarele domenii: analiza modelelor matematice , dezvoltarea de metode și algoritmi de rezolvare a problemelor matematice standard, automatizarea programării [2] .

Analiza modelelor matematice selectate pentru sarcina în cauză începe cu analiza și procesarea informațiilor de intrare, care este foarte importantă pentru date de intrare mai precise. Pentru o astfel de prelucrare, se folosesc adesea metode de statistică matematică . Următorul pas este rezolvarea numerică a problemelor matematice și analiza rezultatelor calculelor. Gradul de fiabilitate al rezultatelor analizei ar trebui să corespundă acurateței datelor de intrare. Apariția unor date de intrare mai precise poate necesita îmbunătățirea modelului construit sau chiar înlocuirea acestuia [2] .

Metodele și algoritmii pentru rezolvarea problemelor matematice tipice folosind tehnologia computerizată se numesc metode numerice. Sarcinile tipice includ [2] :

Algebră : rezolvarea sistemelor de ecuații liniare , inversarea matricei , găsirea valorilor proprii și a vectorilor matrici (problemă restrânsă și completă de valori proprii), găsirea valorilor singulare și a vectorilor matrici, rezolvarea ecuațiilor algebrice neliniare, rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice neliniare ;
Ecuații diferențiale : diferențierea și integrarea funcțiilor uneia sau mai multor variabile, rezolvarea ecuațiilor diferențiale ordinare , rezolvarea ecuațiilor diferențiale parțiale , rezolvarea sistemelor de ecuații diferențiale, rezolvarea ecuațiilor integrale;
Optimizare: studiul valorilor minime și maxime ale funcționalelor pe seturi;
Cercetare operațională și teoria jocurilor : probleme minimax (în special pentru jocuri cu mai multe etape);
programare matematică : probleme de aproximare , probleme de interpolare , probleme de extrapolare .

Se efectuează studiul și analiza comparativă a metodelor de rezolvare a problemelor tipice. Un element important al analizei este căutarea modelelor economice care vă permit să obțineți rezultatul folosind cel mai mic număr de operații, optimizarea metodelor de soluție. Pentru probleme la scară largă, este deosebit de important să se studieze stabilitatea metodelor și algoritmilor, inclusiv erorile de rotunjire. Exemple de probleme instabile sunt problemele inverse (în special, căutarea unei matrice inverse), precum și automatizarea procesării rezultatelor experimentelor [2] .

Gama din ce în ce mai mare de sarcini tipice și creșterea numărului de utilizatori au determinat creșterea cerințelor pentru automatizare. În condițiile în care cunoașterea metodelor numerice specifice nu este esențială pentru utilizator, cerințele pentru programele de soluții standard cresc. Odată cu utilizarea lor, programarea metodelor de soluție nu este necesară, dar este suficientă setarea informațiilor inițiale [2] .

Caracteristici ale reprezentării numerelor într-un computer

Principala diferență dintre matematica computațională este că, atunci când rezolvă probleme de calcul, o persoană operează cu numere de mașină, care sunt o proiecție discretă a numerelor reale pe o arhitectură specifică de computer. Deci, de exemplu, dacă luăm un număr de mașină cu o lungime de 8 octeți (64 de biți), atunci doar 2 64 de numere diferite pot fi stocate în el, prin urmare, un rol important în matematica computațională îl joacă estimările preciziei algoritmi și rezistența lor la reprezentările numerelor de mașini într-un computer. De aceea, de exemplu, pentru a rezolva un sistem liniar de ecuații algebrice, calculul matricei inverse este foarte rar utilizat , deoarece această metodă poate duce la o soluție eronată în cazul unei matrice singulare și la o matrice foarte comună. metoda în algebra liniară bazată pe calcularea determinantului unei matrice și a complementului acesteia, necesită mult mai multe operații aritmetice decât orice metodă stabilă de rezolvare a unui sistem liniar de ecuații.

Software

Algoritmii pentru rezolvarea multor probleme standard de matematică computațională sunt implementați în diferite limbaje de programare. Cele mai frecvent utilizate limbi în aceste scopuri sunt Julia , Fortran și C , biblioteci pentru care pot fi găsite în depozitul Netlib .. În plus, bibliotecile comerciale IMSL și NAG sunt foarte populare., precum și Biblioteca științifică gratuită GNU .

Pachete software MATLAB , Mathematica , Maple , S-PLUS, LabVIEW și IDL, precum și alternativele lor gratuite FreeMat , Scilab , GNU Octave (similar cu Matlab), IT++( Biblioteca C++ ), R (similar cu S-PLUS) are diverse metode numerice, precum și instrumente pentru vizualizarea și afișarea rezultatelor.

Multe sisteme de algebră computerizată , cum ar fi Mathematica , au capacitatea de a specifica precizia aritmetică necesară, permițând rezultate de precizie mai mare. De asemenea, majoritatea foilor de calcul pot fi folosite pentru a rezolva probleme simple de matematică computațională.

Metode de calcul

Metodele computaționale (numerice) sunt metode de rezolvare a problemelor matematice sub formă numerică [3]

Reprezentarea atat a datelor initiale in problema cat si a solutiei acesteia - sub forma unui numar sau a unui set de numere . În sistemul de pregătire a inginerilor de specialități tehnice este o componentă importantă.

Bazele metodelor de calcul sunt:

rezolvarea sistemelor de ecuații liniare ;
interpolarea si calculul aproximativ al functiilor ;
integrare numerică ;
rezolvarea numerică a unui sistem de ecuații neliniare ;
rezolvarea numerică a ecuațiilor diferențiale ordinare ;
rezolvarea numerică a ecuațiilor cu diferențe parțiale (ecuații de fizică matematică );
rezolvarea problemelor de optimizare .

Sistem de ecuații algebrice liniare

Un sistem de m ecuații algebrice liniare cu n necunoscute (sau, sistem liniar , se folosește și abrevierea SLAU ) în algebra liniară este un sistem de ecuații de forma

\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2\\ \dots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \\ \end{cases}

(unu)

Aici este numărul de ecuații și este numărul de necunoscute. x 1 , x 2 , …, x n sunt necunoscute care trebuie determinate. a 11 , a 12 , …, a mn — coeficienții sistemului — și b 1 , b 2 , … b m — membri liberi — se presupune că sunt cunoscuți [4] . Indicii coeficienților ( a ij ) ai sistemului denotă numerele ecuației ( i ) și necunoscutul ( j ) la care se află acest coeficient, respectiv [5] . $m$ $n$

Sistemul (1) se numește omogen dacă toți membrii săi liberi sunt egali cu zero ( b 1 = b 2 = ... = b m = 0), în caz contrar - neomogen .

Sistemul (1) se numește pătratic dacă numărul m de ecuații este egal cu numărul n de necunoscute.

Soluția sistemului (1) este o mulțime de n numere c 1 , c 2 , …, c n , astfel încât înlocuirea fiecărui c i în loc de x i în sistemul (1) transformă toate ecuațiile sale în identități .

Sistemul (1) se numește compatibil dacă are cel puțin o soluție și inconsecvent dacă nu are nicio soluție.

Un sistem de îmbinare de forma (1) poate avea una sau mai multe soluții.

Soluții c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n (1) și c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n (2) ale unui sistem de îmbinare de forma (1) sunt numite distincte dacă încalcă cel puțin una dintre egalitățile:

c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

Un sistem de îmbinări de forma (1) se numește definit dacă are o soluție unică; dacă are cel puțin două soluții diferite, atunci se numește nedefinit . Dacă există mai multe ecuații decât necunoscute, se numește supradeterminat .

Există metode directe și iterative pentru rezolvarea ecuațiilor algebrice liniare. Metodele directe (sau exacte) vă permit să găsiți o soluție într-un anumit număr de pași. Metodele iterative se bazează pe utilizarea unui proces iterativ și fac posibilă obținerea unei soluții ca urmare a aproximărilor succesive.

Metode directe

metoda Gauss
Metoda Gauss-Iordan
Метод Крамера
Матричный метод
Metoda de baleiaj (pentru matrici triagonale )
Metoda de descompunere Cholesky sau rădăcină pătrată (pentru matrici simetrice și hermitiene pozitiv-definite )
Metoda de rotație [6]

Итерационные методы

Метод Якоби
Metoda Gauss-Seidel
Metoda de relaxare
Metoda Multigrid
Metoda Montante
Metoda lui Abramov (adecvată pentru rezolvarea SLAE-urilor mici)
Metoda reziduurilor minime generalizate
Metoda gradientului biconjugat
Metoda gradientului biconjugat stabilizat
cuadratic
Metoda reziduurilor cvasi-minime ( QMR )

Interpolare

Interpolare , interpolare - în matematica computațională, o modalitate de a găsi valori intermediare ale unei mărimi dintr-un set discret existent de valori cunoscute.

Mulți dintre cei care se ocupă de calcule științifice și de inginerie trebuie adesea să opereze pe seturi de valori obținute prin experiență sau prin eșantionare aleatorie . De regulă, pe baza acestor seturi, este necesar să se construiască o funcție , pe care alte valori obținute să poată cădea cu mare precizie. O astfel de sarcină se numește aproximare . Interpolarea este un tip de aproximare în care curba funcției construite trece exact prin punctele de date disponibile.

Există și o problemă apropiată de interpolare, care constă în aproximarea unei funcții complexe cu o altă funcție, mai simplă. Dacă o anumită funcție este prea complexă pentru calcule productive, puteți încerca să calculați valoarea ei în mai multe puncte și să construiți, adică să interpolați, o funcție mai simplă din acestea. Desigur, utilizarea unei funcții simplificate nu vă permite să obțineți aceleași rezultate exacte pe care le-ar da funcția originală. Dar, în unele clase de probleme, câștigul în simplitate și viteza de calcul poate depăși eroarea rezultată în rezultate.

De asemenea, ar trebui să menționăm un tip complet diferit de interpolare matematică, cunoscut sub numele de „interpolare operator”. Lucrările clasice despre interpolarea operatorilor includ teorema Riesz-Thorin și teorema Marcinkiewicz , care stau la baza multor alte lucrări.

Metode de interpolare

Interpolare prin metoda celui mai apropiat vecin .
Interpolare liniară
Formula de interpolare a lui Newton
Metoda diferențelor finite
IMN-1 și IMN-2
Polinomul Lagrange (polinomul de interpolare)
Schema lui Aitken
funcția spline
spline cubică
polinomul Lagrange
Interpolare inversă prin formula lui Newton
Interpolare Gauss inversă
Interpolare biliniară
Interpolare bicubică
Interpolare rațională
Interpolare trigonometrică
Aproximare - metode de construire a curbelor aproximative
Extrapolare - metode de găsire a punctelor în afara unui interval dat (extensie de curbă)

Aproximare

Aproximare , sau aproximare - o metodă științifică , constând în înlocuirea unor obiecte cu altele, într-un sens sau altul apropiat de original, dar mai simplu.

Aproximarea vă permite să explorați caracteristicile numerice și proprietățile calitative ale unui obiect, reducând problema la studiul obiectelor mai simple sau mai convenabile (de exemplu, cele ale căror caracteristici sunt ușor de calculat sau ale căror proprietăți sunt deja cunoscute). În teoria numerelor se studiază aproximările diofantine , în special aproximările numerelor iraţionale de către cele raţionale . În geometrie se consideră aproximări ale curbelor prin linii întrerupte . Unele ramuri ale matematicii sunt în esență în întregime dedicate aproximării, de exemplu, teoria aproximării funcțiilor , metodele numerice de analiză .

Extrapolare

Extrapolare , extrapolare (din lat. extrā - exterior, exterior, dincolo, cu excepția și lat. polire - netezește, îndreptă, schimbă, schimbă [7] ) - un tip special de aproximare , în care funcția este aproximată în afara unui interval dat, si nu intre valori date .

Cu alte cuvinte, extrapolarea este o determinare aproximativă a valorilor unei funcții în puncte situate în afara segmentului , prin valorile acesteia în puncte . $f(x)$ $X$ $[x_{0},x_{n}]$ $x_{0}<x_{1}<...<x_{n}$

Metodele de extrapolare sunt în multe cazuri similare cu metodele de interpolare. Cea mai comună metodă de extrapolare este extrapolarea polinomială , în care valoarea în punctul este luată ca valoare a polinomului de grad , care ia valorile date în punctul . Pentru extrapolarea polinomială se folosesc formule de interpolare. $f(x)$ $X$ $P_n(x)$ $n$ $n+1$ $x_{n}$ $y_{i}=f(x_{i})$

Integrare numerică

Integrare numerică - calculul valorii unei integrale definite (de obicei aproximativă). Integrarea numerică este înțeleasă ca un set de metode numerice pentru găsirea valorii unei anumite integrale.

Integrarea numerică se aplică atunci când:

Integrandul în sine nu este definit analitic. De exemplu, este prezentat ca un tabel (matrice) de valori la nodurile unei grile de calcul.
Reprezentarea analitică a integrandului este cunoscută, dar antiderivatul său nu este exprimat în termeni de funcții analitice. De exemplu, . $f(x)=\exp(-x^{2})$

În aceste două cazuri, este imposibil să se calculeze integrala folosind formula Newton-Leibniz . De asemenea, este posibil ca forma antiderivatei să fie atât de complexă încât este mai rapid să se calculeze numeric valoarea integralei.

Caz unidimensional

Ideea principală a majorității metodelor de integrare numerică este de a înlocui integrandul cu unul mai simplu, a cărui integrală poate fi ușor calculată analitic. În acest caz, pentru a estima valoarea integralei, formulele formei

I\aproximativ \sum _{{i=1}}^{{n}}w_{i}\,f(x_{i}),

unde este numărul de puncte la care se calculează valoarea integrandului. Punctele sunt numite nodurile metodei, numerele sunt greutățile nodurilor. Când integrandul este înlocuit cu un polinom de gradul zero, primul și al doilea, se obțin metodele dreptunghiurilor , trapezelor și , respectiv, parabolelor (Simpson). Adesea formulele de estimare a valorii integralei se numesc formule de cuadratura. $n$ $x_{i}$ $w_{i}$

Un caz special este metoda de construire a formulelor de cuadratura integrale pentru grile uniforme, cunoscute sub numele de formule Cotes . Metoda poartă numele lui Roger Coates . Ideea principală a metodei este de a înlocui integrandul cu un fel de polinom de interpolare . După ce luăm integrala, putem scrie

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\sum _{{i=0}}^{{n}}H_{i}\,f(x_{i})+ r_{n}(f),

unde numerele se numesc coeficienți Cotes și sunt calculate ca integrale ale polinoamelor corespunzătoare din polinomul de interpolare original pentru integrand la valoarea funcției la nod ( este pasul grilei; este numărul de noduri ale grilei și indicele nodului este ). Termenul este eroarea metodei, care poate fi găsită în diferite moduri. Pentru impar , eroarea poate fi găsită integrând eroarea polinomului de interpolare al integrandului. $Bună$ $x_{i}=a+ih$ $h=(ba)/n$ $n$ $i=0\ldots n$ $r_{n}(f)$ $n\geqslant 1$

Cazuri speciale ale formulelor Cotes sunt: formule dreptunghiulare (n=0), formule trapezoidale (n=1), formula Simpson (n=2), formula Newton (n=3), etc.

Ecuație cu diferență parțială

O ecuație diferențială parțială (cazurile speciale sunt cunoscute și ca ecuații ale fizicii matematice , UMF ) este o ecuație diferențială care conține funcții necunoscutemai multor variabile și derivatele lor parțiale .

Istoricii au descoperit prima ecuație diferențială parțială în lucrările lui Euler despre teoria suprafețelor datând din 1734-1735 (publicate în 1740). În notația modernă, arăta astfel:

{\frac {\partial z}{\partial x}}=f(x,y)

Începând din 1743, d'Alembert s-a alăturat lucrării lui Euler , descoperind o soluție generală a ecuației de undă pentru vibrațiile unei coarde. În anii următori, Euler și d'Alembert au publicat o serie de metode și tehnici pentru investigarea și rezolvarea anumitor ecuații cu diferențe parțiale. Aceste lucrări nu au creat încă nicio teorie completă.

A doua etapă în dezvoltarea acestei teme poate fi datată în anii 1770-1830. Studiile profunde ale lui Lagrange , Cauchy și Jacobi aparțin acestei perioade . Primele studii sistematice ale ecuațiilor cu diferențe parțiale au început să fie efectuate de Fourier . El a aplicat o nouă metodă la soluția ecuației șir - metoda de separare a variabilelor , care mai târziu a primit numele său.

O nouă abordare generală a subiectului, bazată pe teoria grupurilor de transformare continuă , a fost propusă în anii 1870 de către Sophus Lie .

Există două tipuri de metode de rezolvare a acestui tip de ecuații:

analitice, în care rezultatul este derivat prin diverse transformări matematice;
numerice, în care rezultatul obținut corespunde celui real cu o precizie dată, dar care necesită foarte multe calcule de rutină și deci poate fi efectuat doar cu ajutorul tehnologiei informatice (calculator).

Statistici matematice

Statistica matematică este o ramură a matematicii care dezvoltă metode de înregistrare, descriere și analiză a datelor observaționale și experimentale în vederea construirii modelelor probabilistice ale fenomenelor aleatoare de masă [8] . În funcție de natura matematică a rezultatelor specifice ale observațiilor, statistica matematică este împărțită în statistici de numere, analiză statistică multivariată, analiză de funcții (procese) și serii de timp și statistici de obiecte nenumerice.

Există statistici descriptive , teoria estimărilor și teoria testării ipotezelor .

O mare parte a statisticii matematice moderne este analiza statistică secvenţială , o contribuţie fundamentală la crearea şi dezvoltarea căreia a fost adusă de A. Wald în timpul celui de-al Doilea Război Mondial . Spre deosebire de metodele tradiționale (inconsecvente) de analiză statistică bazate pe un eșantion aleatoriu de o dimensiune fixă, analiza secvenţială permite formarea unei serii de observaţii pe rând (sau, mai general, în grupuri), în timp ce decizia de a efectua următoarea observația (grupul de observații) se face pe baza matricei de observații deja acumulate. Având în vedere acest lucru, teoria analizei statistice secvenţiale este strâns legată de teoria opririi optime .

În statistica matematică, există o teorie generală a testării ipotezelor și un număr mare de metode dedicate testării ipotezelor specifice. Se au în vedere ipoteze despre valorile parametrilor și caracteristicilor, despre verificarea omogenității (adică despre coincidența caracteristicilor sau funcțiilor de distribuție în două eșantioane), despre acordul funcției de distribuție empirică cu o funcție de distribuție dată sau cu o funcție parametrică. familia de astfel de funcții, despre simetria distribuției etc.

De mare importanță este secțiunea de statistică matematică asociată cu realizarea anchetelor prin sondaj , cu proprietățile diferitelor scheme de eșantionare și construirea unor metode adecvate de estimare și testare a ipotezelor.

Diverse metode de construire (analiza cluster), analiză și utilizare (analiza discriminantă) a clasificărilor (tipologii) mai sunt numite și metode de recunoaștere a modelelor (cu și fără profesor), clasificare automată etc.

Vezi și

Note

↑ Duncan J. Melville, Fotografie, ilustrare și descriere a tăbliței din Colecția Yale Babylonian, Mesopotamian Mathematics, St. Universitatea Lawrence, 18 septembrie 2006. ${\sqrt {2}}$ . Preluat la 18 martie 2012. Arhivat din original la 13 august 2012. (nedefinit)
↑ 1 2 3 4 5 Matematică computațională / A. N. Tikhonov // Marea Enciclopedie Sovietică : [în 30 de volume] / cap. ed. A. M. Prohorov . - Ed. a 3-a. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1969-1978.
↑ Mucha V.S. Metode de calcul și algebră computerizată: manual-metodă. indemnizatie. — Ed. a II-a, corectată. si suplimentare - Minsk: BSUIR, 2010.- 148 p.: silt, ISBN 978-985-488-522-3 , UDC 519.6 (075.8), BBK 22.19ya73, M92
↑ În sensul acestui articol, coeficienții de sistem, termenii liberi și necunoscutele sunt considerate numere reale, deși pot fi obiecte matematice complexe sau chiar complexe, cu condiția ca acestea să aibă operații de înmulțire și adunare definite.
↑ Ilyin V. A., Poznyak E. G. Linear algebra: Textbook for universities. - Ed. a VI-a, șters. — M.: FIZMATLIT, 2004. — 280 p.
↑ Verzhbitsky V. M. Fundamentele metodelor numerice. - M . : Liceu , 2009. - S. 80-84. — 840 p. — ISBN 9785060061239 .
↑ Extrapolare: etimologie Arhivat 17 iunie 2013 la Wayback Machine
Interpolate: etimologie
↑ Secțiuni probabilistice de matematică / Ed. Yu. D. Maksimova. - Sankt Petersburg. : „Ivan Fedorov”, 2001. - S. 400 . — 592 p. — ISBN 5-81940-050-X .

Literatură

Matematică computațională / N. S. Bakhvalov // Marea Enciclopedie Rusă : [în 35 de volume] / cap. ed. Yu. S. Osipov . - M . : Marea Enciclopedie Rusă, 2004-2017.
Matematică computațională / A. N. Tikhonov // Marea Enciclopedie Sovietică : [în 30 de volume] / cap. ed. A. M. Prohorov . - Ed. a 3-a. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1969-1978.
Marchuk GI Metody vychislitel'noi matematiki [Metode ale matematicii computaționale]. - Novosibirsk: Nauka, 1973.
Babenko K. I. Fundamentele analizei numerice. — M .: Nauka, 1986.
Bakhvalov N. S. Metode numerice. a 3-a ed. - M. , 2003.
Voevodin VV Fundamentele matematice ale calculului paralel. - M. : Editura Universității de Stat din Moscova, 1991. - 345 p.
Voevodin VV, Voevodin Vl. B. Calcul paralel. - Sankt Petersburg. : BHV-Petersburg, 2002. - 608 p.
B. P. Demidovich , I. A. Maron, Fundamentele matematicii computaționale. - Ed. a II-a. - M . : Editura de stat de literatură fizică și matematică, 1963.
Dyachenko VF Concepte de bază ale matematicii computaționale. — M .: Nauka, 1972.
Metode de calcul pentru analiza modelelor de sisteme dinamice complexe: Proc. alocația pentru studenții universitari, de exemplu. „Matematică și fizică aplicată” / A. I. Lobanov , I. B. Petrov ; Ministerul Educatiei Ros. Federaţie. Institutul de Fizică și Tehnologie din Moscova (Universitatea de Stat). - M .: MIPT, 2000. - 21 cm.
- : ill., tab.;
- Ч. 2. — 2002. — 154 с. : ил.; ISBN 5-7417-0199-X
Matematică computațională: un curs de prelegeri / A. I. Lobanov, I. B. Petrov .
Kantorovich L. V. , Krylov V. I. Metode aproximative de analiză superioară. - M. - L .: GIITL, 1949.

Link -uri

Software de matematică
Символьные вычисления	Axiomă decalaj arțar Mathcad Mathematica Maxima Reduce Salvie SMath Studio Yacas
Calcule numerice	Fityk FreeMat GAUSS GNU Octave gnuplot gretl Julia Labplot LabVIEW MagicPlot MATLAB Origine QtiPlot R SciDAVis Scilab Complot Sigma Vorbește ușor VisSim