Teoria aproximărilor diofantine

Teoria aproximărilor diofantine este o ramură a teoriei numerelor care studiază aproximarea numerelor reale cu cele raționale ; numit după Diophantus din Alexandria .

Prima problemă a fost întrebarea cât de bine poate fi aproximat un număr real prin numere raționale. Pentru această problemă, un număr rațional a / b este o aproximare „bună” a unui număr real α , dacă valoarea absolută a diferenței dintre a / b și α nu poate fi redusă prin înlocuirea a / b cu o altă fracție rațională cu o fracție mai mică . numitor. Problema a fost rezolvată în secolul al XVIII-lea prin intermediul fracțiilor continue .

Dacă sunt cunoscute „cele mai bune” aproximări ale unui număr dat, sarcina principală a zonei este să găsească limitele superioare și inferioare exacte ale diferenței menționate mai sus, exprimate în funcție de numitor.

Limitele par să depindă de natura numerelor reale - limita inferioară pentru o aproximare a numerelor raționale cu un alt număr rațional este mai mare decât limita inferioară pentru numerele algebrice , care este ea însăși mai mare decât limita inferioară pentru numerele reale. Astfel, numerele reale care pot fi mai bine aproximate decât limita pentru numerele algebrice sunt cu siguranță numere transcendentale . Acest lucru a făcut posibil ca Liouville să obțină în 1844 primul număr transcendental dat explicit. Mai târziu, folosind o metodă similară, s-a dovedit că și sunt transcendentale. $\pi$ $e$

Astfel, aproximările diofantine și teoria numerelor transcendentale sunt zone foarte apropiate și au multe teoreme și metode generale. Aproximațiile diofantine au și aplicații importante în studiul ecuațiilor diofantine .

Observații istorice

După ce Borel și Khinchin au stabilit că aproape toate numerele admit doar „cea mai proastă aproximare” prin numere raționale, s-a format direcția teoriei metrice a aproximărilor diofantine (teoria aproximărilor cantităților independente), care aparține ramurii clasice a aproximărilor diofantine. .

O nouă tendință a venit dintr-un trimestru neașteptat. Mahler, clasificând numerele transcendentale, a formulat principala problemă metrică a teoriei numerelor transcendentale - ipoteza despre „măsura transcendentului” a aproape tuturor numerelor. Când conjectura a fost dovedită, a început să se deschidă o legătură profundă între teoria clasică a aproximărilor diofantine și teoria metrică a numerelor transcendentale. Rezultatul a fost dezvoltarea unei noi direcții - teoria aproximărilor cantităților dependente.

Există trei abordări principale în teoria modernă.

Global, studiind legile generale de aproximare. Exemple de afirmații globale sunt teoremele Dirichlet și Kronecker, conjectura Minkowski asupra produselor formelor liniare.
O abordare individuală se referă la proprietățile numerelor speciale (numerele algebrice, ) sau necesită construirea unor numere cu anumite proprietăți (numerele Liouville, numerele T Mahler). $e,\pi ,\ln 2$
Abordarea metrică, care ocupă o poziție intermediară. Abordarea necesită o descriere a proprietăților de aproximare ale numerelor bazate pe teoria măsurii [1] .

Cele mai bune aproximări diofantine ale numerelor reale

Având în vedere un număr real α , există două moduri de a găsi cea mai bună aproximare diofantină a lui α . În prima definiție [2] , un număr rațional p / q este cea mai bună aproximare diofantină a unui număr α dacă

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\left|\alpha -{\frac {p'}{q'}}\right|,

pentru orice număr rațional p' / q' altul decât p / q astfel încât 0 < q ′ ≤ q .

În a doua definiție [3] [4] , inegalitatea de mai sus este înlocuită cu

\left|q\alpha -p\right|<\left|q^{\prime }\alpha -p^{\prime }\right|.

Cea mai bună aproximare pentru a doua definiție este cea mai bună pentru prima definiție, dar invers nu este adevărat [5] .

Teoria fracțiilor continue vă permite să calculați cea mai bună aproximare a unui număr real - pentru a doua definiție, fracțiile converg ca fracții continuate obișnuite [4] [5] [6] . Pentru prima definiție, trebuie luate în considerare și fracțiile intermediare [2] .

Notă : Suntem de acord să notăm cufracții adecvate dintr-o fracție continuă dată. Fracțiileformează o secvență crescătoare pentru k par și o secvență descrescătoare pentru k impar Membrii extremi ai acestei secvențe sunt convergenți de aceeași paritate. Termenii intermediari dintre ei se numesc fracții intermediare [7] .

{\frac {p_{k}}{q_{k}}}

{\tfrac {p_{k-2}}{q_{k-2}}},{\tfrac {p_{k-2}+p_{k-1}}{q_{k-2}+ q_{k-1))},{\tfrac {p_{k-2}+2p_{k-1}}{q_{k-2}+2q_{k-1}}},...,{\ tfrac {p_{k-2}+a_{k}p_{k-1}}{q_{k-2}+a_{k}q_{k-1}}}={\tfrac {p_{k}} {q_{k}}}

De exemplu, constanta e = 2,718281828459045235... este reprezentată ca o fracție continuă

[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,\ldots \;].

Cele mai bune performanțe ale ei după a doua definiție

3,{\tfrac {8}{3)),{\tfrac {11}{4)),{\tfrac {19}{7)),{\tfrac {87}{32)),\ ldots\,,

În timp ce după prima definiție cele mai bune reprezentări ar fi

3,{\tfrac {5}{2)),{\tfrac {8}{3)),{\tfrac {11}{4)),{\tfrac {19}{7)),{ \tfrac {49}{18)),{\tfrac {68}{25)),{\tfrac {87}{32)),{\tfrac {106}{39)),\ldots \,.

O măsură a acurateței aproximărilor

O măsură evidentă a preciziei aproximării diofantine a unui număr real α cu un număr rațional p / q este . Cu toate acestea, această valoare poate fi întotdeauna făcută cât se dorește prin creșterea valorilor absolute ale lui p și q . Din acest motiv, acuratețea aproximării este de obicei comparată cu o funcție φ a numitorului q , de obicei o putere negativă a numitorului. $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|$

Pentru o astfel de estimare poate fi utilizată o limită superioară a limitelor inferioare ale preciziei. Limita inferioară este de obicei descrisă printr-o teoremă ca „Pentru orice element α al unei submulțimi de numere reale și orice număr rațional p / q avem ”. În unele cazuri, „orice număr rațional” poate fi înlocuit cu „toate numerele raționale cu excepția unui număr finit”, iar acest număr este luat în considerare prin înmulțirea φ cu o constantă în funcție de α . $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>\phi (q)$

Pentru limitele superioare, se poate ține cont de faptul că nu toate „cele mai bune” aproximări diofantine obținute la construirea unei fracții continue pot oferi acuratețea dorită. Prin urmare, teoremele iau forma „Pentru orice element α al unei submulțimi de numere reale, există infinit de numere raționale p / q astfel încât „. $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\phi (q)$

Cifre prost aproximative

Un număr prost aproximat este un număr x pentru care există o constantă pozitivă c astfel încât pentru toate p / q raționale avem

\left|{x-{\frac {p}{q}}}\right|>{\frac {c}{q^{2}}}\ .

Numerele prost aproximative sunt exact numere cu câte parțiale mărginite [8] .

Limitele inferioare pentru aproximările diofantine

Aproximarea numerelor raționale cu alte numere raționale

Un număr rațional poate fi în mod evident aproximat perfect prin numere pentru orice număr întreg pozitiv i . $\alpha ={\frac {a}{b)}$ ${\tfrac {p_{i}}{q_{i}}}={\tfrac {i\,a}{i\,b}}$

Dacă avem ${\tfrac {p}{q}}\not =\alpha ={\tfrac {a}{b}}\,,$

\left|{\frac {a}{b}}-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {aq-bp}{bq}}\right|\ geq {\frac {1}{bq)),

deoarece este un număr întreg pozitiv și, prin urmare, nu mai puțin de 1. Această acuratețe de aproximare este slabă în ceea ce privește numerele iraționale (vezi secțiunea următoare). $|aq-bp|$

Se poate observa că demonstrația de mai sus folosește o variantă a principiului Dirichlet - un număr nenegativ care nu este egal cu 0, nu mai puțin de 1. Această remarcă evident trivială este folosită în aproape toate dovezile pentru limitele inferioare ale aproximărilor diofantine, chiar și altele mai complexe.

Pentru a rezuma, un număr rațional este perfect aproximat de la sine, dar slab aproximat de orice alt număr rațional.

Aproximarea numerelor algebrice, rezultatul lui Liouville

În anii 1840, Joseph Liouville a obținut prima limită inferioară pentru aproximarea numerelor algebrice - dacă x este un număr algebric irațional de grad n peste numere raționale, atunci există o constantă c ( x ) > 0 astfel încât

\left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{q^{n}))

pentru toate numerele întregi p și q , unde q > 0 .

Acest rezultat i-a permis să obțină primul exemplu dovedit de număr transcendental, constanta Liouville :

\sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0,110001000000000000000001000\ldots \,

care nu satisface teorema lui Liouville, oricare ar fi puterea n aleasă.

Această legătură dintre aproximările diofantine și teoria numerelor transcendentale este observată până în prezent. Multe tehnici de demonstrare sunt comune acestor două domenii.

Aproximarea numerelor algebrice, teorema Thue-Siegel-Roth

De mai bine de un secol, au existat multe încercări de a îmbunătăți teorema lui Liouville - orice îmbunătățire a graniței ne permite să demonstrăm transcendența mai multor numere. Îmbunătățiri majore au fost aduse de Axel Thue [9] , Karl Siegel [10] , Freeman Dyson [11] și Klaus Roth [12] , care au condus în cele din urmă la teorema Thue-Siegel-Roth - Dacă x este un număr algebric irațional și ε , număr real pozitiv (mic), atunci există o constantă pozitivă c ( x , ε ) astfel încât

\left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x,\varepsilon )}{q^{2+\varepsilon )))

pentru orice numere întregi p și q astfel încât q > 0 .

Într-un fel, acest rezultat este optim, deoarece afirmația teoremei eșuează pentru ε =0. Aceasta este o consecință directă a limitelor superioare descrise mai jos.

Aproximații comune ale datelor algebrice

Ulterior, Wolfgang Schmidt a generalizat acest lucru în cazul aproximărilor comune, demonstrând că dacă x 1 , ..., x n sunt numere algebrice astfel încât 1, x 1 , ..., x n sunt liniar independente față de numerele raționale , și orice număr real pozitiv ε este dat , atunci există doar un număr finit de n -tupluri raționale ( p 1 / q , ..., p n / q ) astfel încât

|x_{i}-p_{i}/q|<q^{-(1+1/n+\varepsilon )},\quad i=1,\ldots ,n.

Din nou, acest rezultat este optim în sensul că ε nu poate fi îndepărtat din exponent.

Limite efective

Toate limitele inferioare anterioare nu sunt efective , în sensul că demonstrația nu oferă o modalitate de a calcula constanta din enunț. Aceasta înseamnă că nu este posibil să se folosească demonstrația teoremei pentru a obține limite pentru soluțiile ecuației diofante corespunzătoare. Cu toate acestea, această tehnică poate fi adesea folosită pentru a limita numărul de soluții la o astfel de ecuație.

Cu toate acestea, rafinarea lui Feldman a teoremei lui Baker oferă o limită efectivă - dacă x este un număr algebric de grad n peste numere raționale, atunci există constante calculabile efectiv c ( x ) > 0 și 0 < d ( x ) < n astfel de acea

\left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{|q|^{d(x))))

este valabil pentru toate numerele raționale.

Totuși, ca și pentru orice versiune eficientă a teoremei lui Baker, constantele d și 1/ c sunt atât de mari încât acest rezultat efectiv nu poate fi aplicat în practică.

Limită superioară pentru aproximările diofantine

Limită superioară generală

Primul rezultat important despre limitele superioare pentru aproximațiile diofantine este teorema de aproximare a lui Dirichlet , care implică că pentru orice număr irațional α există infinit de fracții , astfel încât: ${\tfrac {p}{q)}$

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2)}}

Rezultă imediat că este imposibil să scapi de ε în enunțul teoremei Thue-Siegel-Roth.

Câțiva ani mai târziu, această teoremă a fost îmbunătățită la următoarea teoremă Borel (1903) [13] . Pentru orice număr irațional α , există infinit de multe fracții astfel încât: ${\tfrac {p}{q}}\;$

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}({\sqrt {5}}q^{2}}}

Prin urmare, este limita superioară a aproximărilor diofantine a oricărui număr irațional. Constanta din acest rezultat nu poate fi îmbunătățită fără a elimina unele numere iraționale (vezi mai jos). ${\frac {1}{{\sqrt {5}}\,q^{2)}}$

Numere reale echivalente

Definiție : Două numere reale se numesc echivalente [14] [15] dacă există numere întregi cu , astfel încât: $X y$ $a,b,c,d\;$ $ad-bc=\pm 1\;$

y={\frac {ax+b}{cx+d}}\,.

Echivalența este definită de transformarea întregului Möbius peste reale, sau de un membru al grupului modular , mulțimea de matrici inversabile 2×2 peste numerele întregi. Fiecare număr rațional este echivalent cu 0. Astfel numerele raționale sunt clasa de echivalență a acestei relații. ${\text{SL}}_{2}^{\pm }(\mathbb {Z} )$

Această echivalență poate acoperi fracții obișnuite continuate, așa cum arată următoarea teoremă a lui Serret :

Teoremă : Două numere iraționale x și y sunt echivalente dacă și numai dacă există două numere întregi pozitive h și k astfel încât atunci când x și y sunt reprezentate ca fracții continue

x=[u_{0};u_{1},u_{2},\ldots ]\,,

y=[v_{0};v_{1},v_{2},\ldots ]\,,

efectuat

u_{h+i}=v_{k+i)

pentru orice număr întreg nenegativ i . [16]

Spectrul Lagrange

După cum sa menționat mai sus, constanta din teorema lui Borel nu poate fi îmbunătățită, așa cum a arătat Hurwitz în 1891 [17] . Fie raportul de aur . Atunci pentru orice constantă reală există doar un număr finit de numere raționale p / q astfel încât $\phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ $c>{\sqrt {5}}\;$

\left|\phi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{c\,q^{2}}}.

Prin urmare, o îmbunătățire poate fi obținută numai prin eliminarea numerelor echivalente cu . Mai precis [18] [19] : Pentru orice număr rațional care nu este echivalent cu , există infinit de fracții astfel încât $\phi$ $\alfa$ $\phi$ ${\tfrac {p}{q}}\;$

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}({\sqrt {8}}q^{2}}}.

Prin eliminarea succesivă a claselor de echivalență - fiecare trebuie să excludă numere care sunt echivalente - se poate ridica limita inferioară. Valorile care pot fi obținute în urma acestui proces sunt numerele Lagrange , care fac parte din spectrul Lagrange . Ele converg spre 3 și sunt legate de numerele Markov [20] [21] . ${\sqrt {2}}$

Teorema lui Khinchin și extensiile sale

Fie o funcție care nu crește de la numere pozitive la numere reale pozitive. Un număr real x (nu neapărat algebric) se numește - aproximabil dacă există infinit de numere raționale p / q astfel încât [22] $\psi$ $\psi$

\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {\psi (q)}{|q|}}.

Khinchin în 1926 a demonstrat că, dacă șirul diverge, atunci aproape toate numerele reale (în sensul măsurii Lebesgue ) sunt -aproximabile, iar în cazul convergenței șirului, aproape orice număr real nu este -aproximabil. $\sum _{q}\psi (q)$ $\psi$ $\psi$

Duffin și Shaffer [23] au demonstrat o teoremă mai generală din care rezultă rezultatul lui Khinchin și au făcut o presupunere cunoscută acum sub numele de conjectura Duffin-Schaffer [24] . Beresnevich și Velani [25] au demonstrat că analogul conjecturii Duffin-Schaffer privind măsura Hausdorff este echivalent cu conjectura originală Duffin-Schaffer, care este a priori mai slabă.

Dimensiunea Hausdorff a seturilor excepționale

Un exemplu important de funcție la care se poate aplica teorema lui Khinchin este o funcție , unde c > 1. Pentru această funcție, seria corespunzătoare converg, astfel încât, după teorema lui Khinchin, mulțimea numerelor -aproximabile are măsura Lebesgue zero pe axa reală. Teorema Jarnik - Besicovitch afirmă că dimensiunea Hausdorff a acestei mulțimi este [26] . În special, mulțimea numerelor -aproximabile pentru unele (cunoscute ca numere foarte bine aproximabile ) are dimensiunea unu, în timp ce mulțimea numerelor -aproximabile pentru toți (cunoscută ca numere Liouville ) are dimensiunea Hausdorff zero. $\psi$ $\psi _{c}(q)=q^{-c)$ $\psi _{c}$ $1/c$ $\psi _{c}$ $c>1$ $\psi _{c}$ $c>1$

Un alt exemplu important este funcția unde . Pentru această funcție, secvențele corespunzătoare diverg și, după teorema lui Khinchin, aproape toate numerele sunt -aproximabile. Cu alte cuvinte, aceste numere sunt bine aproximate (adică nu sunt aproximate prost). Astfel, un analog al teoremei Yarnick-Besicovitch trebuie să se refere la dimensiunea Hausdorff a numerelor prost aproximate. Și Yarnik, într-adevăr, a demonstrat că dimensiunea Hausdorff a mulțimii de astfel de numere este egală cu unu. Acest rezultat a fost îmbunătățit de Schmidt , care a arătat că mulțimea numerelor slab aproximabile este incompresibilă în sensul că dacă este o secvență de mapări bi- Lipschitz , atunci dimensiunea Hausdorff a mulțimii de numere x , pentru care toate sunt slab aproximabil, este egal cu unu. Schmidt a generalizat teorema lui Jarnick la dimensiuni mai mari, ceea ce este o realizare semnificativă, deoarece raționamentul lui Jarnick cu fracțiunile continue se bazează în mare măsură pe unidimensionalitatea spațiului. $\psi _{\epsilon}(q)=\epsilon q^{-1)$ $\epsilon > 0$ $\psi _{\epsilon }$ $f_{1},f_{2},\ldots$ $f_{1}(x), f_{2}(x),\ldots$

Distribuție uniformă

Un alt domeniu de studiu este teoria unei secvențe echidistribuite modulo 1 . Să luăm o succesiune a 1 , a 2 , … de numere reale și să luăm în considerare părțile lor fracționale . Adică, mai formal, luați în considerare o secvență în R/Z care este ciclică (poate fi gândită ca un cerc). Pentru orice interval I dintr-un cerc, luăm în considerare fracția de elemente până la un număr întreg N care se află în interiorul intervalului și comparăm această valoare cu fracția de cerc ocupată de intervalul I . Distribuția uniformă înseamnă că în limită, pe măsură ce N crește , fracția de accesări din interval tinde spre valoarea „așteptată”. Weyl a dovedit rezultatul de bază că acesta este echivalent cu mărginirea sumelor Weyl formate din succesiune. Acest lucru arată că aproximațiile diofantine sunt strâns legate de problema generală a anulării reciproce în sumele Weyl (estimări ale restului) care apar în teoria numerelor analitice .

Un subiect legat de distribuția uniformă este subiectul distribuțiilor inegale , care are o natură combinatorie .

Probleme nerezolvate

Există încă probleme formulate simplu, dar nerezolvate ale aproximărilor diofantine, cum ar fi conjectura Littlewood și conjectura lone runner . De asemenea, nu se știe dacă există numere algebrice cu coeficienți nemărginiți în expansiunea continuă a fracțiilor.

Cercetări recente

La ședința plenară a Congresului Internațional al Matematicienilor de la Kyoto (1990) , Grigory A. Margulis a conturat un program amplu bazat pe teoria ergodică , care permite demonstrarea rezultatelor teoretice numerelor folosind proprietățile dinamice și ergodice ale acțiunilor subgrupurilor de Lie semisimple . grupuri . Lucrarea lui D. Ya. Kleinbock și G. A. Margulis (cu co-autori) demonstrează puterea acestei noi abordări a problemelor clasice ale aproximărilor diofantine. Realizări notabile includ demonstrarea de către Margulis a conjecturii Oppenheim prezentată cu zeci de ani în urmă cu extinderi ulterioare (Dani și Margulis, Eskin-Margulis-Moses) și demonstrarea de către Kleinbock și Margulis a conjecturilor Baker și Sprindzhuk asupra aproximărilor diofantine asupra multiple. Diverse generalizări ale rezultatelor Khinchin de mai sus asupra aproximărilor metrice diofantine au fost obținute folosind această metodă.

Vezi și

Teorema Davenport-Schmidt
Ipoteza Duffin-Shaffer
Secvență distribuită uniform

Note

↑ Sprindzhuk, 1977 , p. 4-5 Cuvânt înainte.
↑ 1 2 Khinchin, 1978 , p. 32.
↑ Cassels, 1961 , p. zece.
↑ 1 2 Leng, 1970 , p. 19.
↑ 1 2 Khinchin, 1978 , p. 35.
↑ Cassels, 1961 , p. 10–17.
↑ Khinchin, 1978 , p. 21-22.
↑ Bugeaud, 2012 , p. 245.
↑ Thue, 1909 .
↑ Siegel, 1921 .
↑ Dyson, 1947 .
↑ Roth, 1955 .
↑ Perron, 1913 , p. Capitolul 2, Teorema 15.
↑ Hurwitz, 1891 , p. 284.
↑ Hardy și Wright 1979 , p. Capitolul 10.11.
↑ Vezi articolul lui Perron ( Perron 1929 , Capitolul 2, Teorema 23, p. 63)
↑ Hardy și Wright 1979 , p. 164.
↑ Cassels, 1961 , p. 21.
↑ Hurwitz, 1891 .
↑ Cassels, 1961 , p. 29.
↑ Vezi Michel Waldschmidt: Introduction to Diophantine methods irationality and transcendence Arhivat la 9 februarie 2012 la Wayback Machine , pp. 24-26.
↑ Sprindzhuk, 1977 , p. Capitolul 9
↑ Duffin, Schaeffer, 1941 .
↑ Sprindzhuk, 1977 , p. 23.
↑ Beresnevici, Velani, 2006 .
↑ Bernik, Beresnevich, Götze, Kukso, 2013 , p. 24.

Literatură

Victor Beresnevici, Sanju Velani. Un principiu de transfer de masă și conjectura Duffin-Schaeffer pentru măsurile Hausdorff // Annals of Mathematics . - 2006. - T. 164 . — S. 971–992 . - doi : 10.4007/annals.2006.164.971 .
V. Bernik, V. Beresnevich, F. Götze, O. Kukso. Distribuția numerelor algebrice și teoria metrică a aproximării diofantine // Teoreme limită în probabilitate, statistică și teoria numerelor: în onoarea lui Friedrich Götze / Peter Eichelsbacher, Guido Elsner, Holger Kösters, Matthias Löwe, Franz Merkl, Silke Rolles. - Heidelberg: Springer, 2013. - T. 42. - S. 23-48. - (Springer Proceedings in Mathematics & Statistics). - doi : 10.1007/978-3-642-36068-8_2 .
Yann Bugeaud. Distribuția modulo unu și aproximarea diofantină. - Cambridge: Cambridge University Press , 2012. - V. 193. - ISBN 978-0-521-11169-0 .
J. W. S. Cassels . Introducere în teoria aproximărilor diofantine. - M . : Editura de literatură străină, 1961.
RJ Duffin, AC Schaeffer. Problema lui Khintchine în aproximarea metrică diofantică // Duke Mathematical Journal . - 1941. - T. 8 . — S. 243–255 . — ISSN 0012-7094 . - doi : 10.1215/s0012-7094-41-00818-9 .
Freeman Dyson . Aproximarea numerelor algebrice prin raționale // Acta Mathematica . - 1947. - T. 79 . — S. 225–240 . — ISSN 0001-5962 . - doi : 10.1007/BF02404697 .
GH Hardy , EM Wright. O introducere în teoria numerelor . — al 5-lea. - Oxford University Press, 1979. - ISBN 978-0-19-853170-8 .
A. Hurwitz . Ueber die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch rationale Brüche (germană) // Mathematische Annalen. - 1891. - Bd. 39 , H.2 . — S. 279–284 . - doi : 10.1007/BF01206656 .
A. Da. Khinchin. Lovituri în lanț. - 4. - M . : „Nauka”, GIFML, 1978.
DY Kleinbock, G. A. Margulis . Fluxuri pe spații omogene și aproximare diofantină pe varietăți , Ann. Matematică.. - 1998. - Vol. 148 , nr. 1 . — S. 339–360 . - doi : 10.2307/120997 . — .
S. Leng. Introducere în teoria aproximărilor diofantine. - M . : „Mir”, 1970. - (Biblioteca colecţiei „Matematică”). — ISBN 0-387-94456-7 .
G. A. Margulis . O panoramă a teoriei numerelor sau priveliștea din grădina lui Baker. - Cambridge: Cambridge University Press , 2002. - pp. 280-310. — ISBN 0-521-80799-9 .
Oscar Perron. Die Lehre von den Kettenbrüchen (germană) . — Leipzig: BG Teubner, 1913.
Oscar Perron. Die Lehre von den Kettenbrüchen (germană) . — al 2-lea. - Chelsea, 1929.
Klaus Friedrich Roth . Aproximații raționale ale numerelor algebrice // Mathematika . - 1955. - T. 2 . — S. 1–20, 168 . — ISSN 0025-5793 . - doi : 10.1112/S0025579300000644 .
Wolfgang M. Schmidt. Aproximare diofantină. — =1996. - Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag , 1980. - T. 785. - (Lecture Notes in Mathematics). — ISBN 3-540-09762-7 .
Wolfgang M. Schmidt. Aproximații diofantine și ecuații diofantine. — = al doilea. - Springer-Verlag , 1996. - T. 1467. - (Lecture Notes in Mathematics). — ISBN 3-540-54058-X .
Carl Ludwig Siegel . Aproximation algebraischer Zahlen // Mathematische Zeitschrift . - 1921. - T. 10 , nr. =3 . — S. 173–213 . — ISSN 0025-5874 . - doi : 10.1007/BF01211608 .
V. G. Sprindzhuk. Teoria metrică a aproximărilor diofantine. - M. : GRFML „Nauka”, 1977.
A.Thue . Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen // Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1909. - T. 135 . — S. 284–305 . — ISSN 0075-4102 . - doi : 10.1515/crll.1909.135.284 .

Link -uri

Diophantine Aproximation: studiu istoric Arhivat la 14 februarie 2012 la Wayback Machine . De la cursul Introducere în metodele diofantine de Michel Waldschmidt.
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), p/d032600 , Enciclopedia matematicii , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4