Distribuție gamma

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 19 septembrie 2020; verificările necesită 2 modificări .

Distribuție gamma
Probabilitate densitate
funcția de distribuție
Desemnare	$\Gamma (k,\theta )$ sau [1] $\Gamma (\alpha,\beta)$
Opțiuni	$k>0,\;\theta >0$
Purtător	$x\in (0,\infty )$
Probabilitate densitate	${\frac {1}{\Gamma (k)\theta ^{k))}x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\theta )))$
funcția de distribuție	${\frac {1}{\Gamma (k)}}\gamma \left(k,{\frac {x}{\theta }}\right)$
Valorea estimata	$k\theta$
Median	Nicio expresie de închidere explicită
Modă	$(k-1)\theta$ la $k\geq 1$
Dispersia	$k\theta ^{2}$
Coeficient de asimetrie	${\frac {2}{{\sqrt {k))))$
Coeficientul de kurtoză	${\frac {6}{k))$
Entropia diferenţială	${\begin{aliniat}k&+\ln \theta +\ln \Gamma (k)\\&+(1-k)\psi (k)\end {aliniat))$
Funcția generatoare a momentelor	$(1-\theta t)^{-k)$ la $t<{\frac {1}{\theta })$
functie caracteristica	$(1-\theta it)^{-k}$

Distribuția gamma în teoria probabilității este o familie cu doi parametri de distribuții absolut continue . Dacă parametrul ia o valoare întreagă , atunci o astfel de distribuție gamma se mai numește și distribuție Erlang . $k$

Definiție

Fie distribuția unei variabile aleatoare dată de densitatea de probabilitate , care are forma $X$

f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{{k-1}}{\frac {e^{{-x/\theta }}}{\theta ^{k} \,\Gamma (k)}},&x\geq 0\\0,&x<0\end{matrice}}\right.,

unde este funcția gamma Euler .

\gamma (k)

Apoi se spune că variabila aleatoare are o distribuție gamma cu parametri pozitivi și . Ei scriu . $X$ $\theta$ $k$ $X\thicksim \Gamma (k,\theta)$

Cometariu. Uneori este utilizată o parametrizare diferită a familiei de distribuții gamma. Sau introduceți al treilea parametru — shift.

Momente

Așteptările matematice și varianța unei variabile aleatoare , care are o distribuție gamma, au forma $X$

\mathbb {E} [X]=k{\theta }

\mathbb {D} [X]=k{\theta ^{2)}

Proprietăți ale distribuției gamma

Dacă sunt variabile aleatoare independente astfel încât , atunci $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $X_{i}\sim \Gamma (k_{i},\theta),\;i=1,\ldots,n$

Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma \left(\sum _{i=1}^{n}k_{i},\theta \ dreapta)

Dacă , și este o constantă arbitrară, atunci $X\thicksim \Gamma (k,\theta)$ $a>0$

aX\thicksim \Gamma (k,a\theta)

Distribuția gamma este divizibilă la infinit .

Relația cu alte distribuții

Distribuția gamma este o distribuție Pearson de tip III [2] .
Distribuția exponențială este un caz special al distribuției gamma:

\Gamma (1,1/\lambda)\equiv \mathrm {Exp} (\lambda)

Dacă sunt variabile aleatoare exponențiale independente astfel încât , atunci $X_{1},\ldots ,X_{k}$ $X_{i}\sim \mathrm {Exp} (\lambda),\;i=1,\ldots,k$

Y=\sum \limits _{i=1}^{k}X_{i}\sim \Gamma (k,1/\lambda)

Distribuția chi-pătrat este un caz special al distribuției gamma:

\Gamma \left({\frac {n}{2)),2\right)\equiv \chi ^{2}(n)

Conform teoremei limitei centrale , în general distribuția gamma poate fi aproximată prin distribuția normală : $k$

\Gamma (k,\theta)\aproximativ \mathrm {N} (k\theta,k\theta ^{2})

la .

k\to\infty

Dacă sunt variabile aleatoare independente astfel încât , atunci $X_{1},X_{2}$ $X_{i}\sim \Gamma (k_{i},1),\;i=1,2$

{\frac {X_{1}}{X_{1}+X_{2}}}\sim {\mathrm {\mathrm{B} }}(k_{1},k_{2})

Distribuția Rayleigh este redusă la distribuția gamma printr-o schimbare a variabilei.
Distribuția obișnuită Weibull este redusă la distribuția gamma printr-o schimbare a variabilei.
Distribuția Nakagami , prin schimbarea variabilei, se reduce la distribuția gamma.
O generalizare naturală a distribuției gamma este distribuția gamma trunchiată.

Simularea valorilor gamma

Având în vedere proprietatea de scalare a parametrului θ menționat mai sus, este suficient să se simuleze valoarea gamma pentru θ = 1. Trecerea la alte valori ale parametrului se realizează prin înmulțire simplă.

Folosind faptul că distribuția coincide cu distribuția exponențială, obținem că dacă U este o variabilă aleatoare distribuită uniform pe intervalul (0, 1], atunci . $\gamma(1,1)$ ${-\ln U}\sim \Gamma(1,1)$

Acum, folosind proprietatea k -sum, generalizăm acest rezultat:

\sum _{i=1}^{n}{-\ln U_{i}}\sim \Gamma (n,1),

unde U i sunt variabile aleatoare independente distribuite uniform pe intervalul (0, 1).

Rămâne să simulăm valoarea gamma pentru 0 < k < 1 și să aplicăm din nou proprietatea k -sumation. Aceasta este partea cea mai grea.

Mai jos este algoritmul fără dovezi. Este un exemplu de eșantionare a varianței .

Setați m egal cu 1.
Generați și sunt variabile aleatoare independente distribuite uniform pe intervalul (0, 1). $V_{{2m-1}}$ $V_{{2m}}$
Dacă , unde , mergeți la pasul 4, în caz contrar mergeți la pasul 5. $V_{{2m-1}}\leq v_{0}$ $v_{0}={\frac e{e+\delta ))$
Pune . Treceți la pasul 6. $\xi _{m}=\left({\frac {V_{{2m-1}}}{v_{0}}}\right)^{{{\frac 1\delta }}},\ \eta _ {m}=V_{{2m}}\xi _{m}^{{\delta -1}}$
Pune . $\xi _{m}=1-\ln {{\frac {V_{{2m-1}}-v_{0}}{1-v_{0}}}},\ \eta _{m}=V_ {{2m}}e^{{-\xi _{m}}}$
Dacă , atunci măriți m cu unu și reveniți la pasul 2. $\eta _{m}>\xi _{m}^{{\delta -1}}e^{{-\xi _{m}}}$
Acceptați pentru implementare . $\xi =\xi _{m}$ $\Gamma (\delta ,1)$

A rezuma:

\theta \left(\xi -\sum _{i=1}^{[k]}{\ln U_{i}}\right)\sim \Gamma (k,\theta),

unde [ k ] este partea întreagă a lui k , iar ξ este generat de algoritmul de mai sus pentru δ = { k } (partea fracțională a lui k ); U i și V l sunt distribuite ca mai sus și sunt independente pe perechi.

Note

↑ Rodionov, 2015 , p. 29.
↑ Korolyuk, 1985 , p. 134.

Literatură

Lagutin M.B. Statistici matematice vizuale. - M. : Binom, 2009. - 472 p.
Jukovski M.E. , Rodionov I.V. Fundamentele teoriei probabilității. - M. : MIPT, 2015. - 82 p.
Jukovski M.E. , Rodionov I.V. , Shabanov D.A. Introducere în statistica matematică. - M. : MIPT, 2017. - 109 p.
Korolyuk V.S. , Portenko N.I. , Skorokhod A.V. , Turbin A.F. Manual de Teoria Probabilității și Statistică Matematică. - M. : Nauka, 1985. - 640 p.

Distribuții de probabilitate
Discret	Bernoulli Binom Geometric hipergeometrică Logaritmic Binom negativ Poisson Uniformă discretă Multinom
Absolut continuu	Beta Weibulla Gamma- hiperexponenţială Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gauss) Logistică Nakagami Pareto Pearson semicircular uniformă continuă Orez Rayleigh Student Tracey - Vidoma Pescar Chi-pătrat Exponenţial Varianta-gama Normal multivariat copulă