F₄ (matematică)

În matematică , F 4 este numele unuia dintre cele cinci grupuri speciale de Lie simple (compacte sau complexe) , precum și algebra lui Lie . F 4 are rangul 4 și dimensiunea 52. Grupul F 4 este pur și simplu conectat, iar grupul său de automorfism exterior este trivial. Cea mai simplă reprezentare liniară exactă a grupului F 4 , precum și algebra lui Lie, este 26-dimensională și ireductibilă. ${\mathfrak {f}}_{4}$

Forma reală compactă a grupului (complex) F 4 este grupul de izometrie al varietății Riemannian de 16 dimensiuni cunoscută sub numele de „ plan proiectiv octonion ”, OP 2 . Acest lucru poate fi demonstrat folosind o tehnică generală folosind construcția cunoscută sub numele de pătratul magic , dezvoltată de G. Freudenthal și J. Tits .

Există 3 grupuri de Lie reale cu algebră : compactă, divizată și a treia. ${\mathfrak {f}}_{4}$

Algebra Lie F 4 poate fi obținută prin adăugarea la algebra Lie de 36 de dimensiuni 16 generatoare care se transformă ca spinori , similar modului în care se face în construcția lui E8 . ${\mathfrak {deci}}(9)$

Algebra

Vectori rădăcină F 4

(\pm 1,\pm 1,0,0)

(\pm 1.0,\pm 1.0)

(\pm 1,0,0,\pm 1)

(0,\pm 1,\pm 1,0)

(0,\pm 1,0,\pm 1)

(0,0,\pm 1,\pm 1)

(\pm 1,0,0,0)

(0,\pm 1,0,0)

(0,0,\pm 1,0)

(0,0,0,\pm 1)

\left(\pm {\frac {1}{2)),\pm {\frac {1}{2}),\pm {\frac {1}{2}),\pm {\frac {1}{2}}\dreapta)

și vectori simpli rădăcină pozitivă

(0,1,-1,0)

(0,0,1,-1)

(0,0,0,1)

\left({\frac {1}{2)),-{\frac {1}{2}),-{\frac {1}{2)),-{\frac {1}{2} }}\dreapta)

Grupul Weyl / Coxeter

Pentru acest grup, acesta este grupul de simetrie al hiperoctaedrului .

Matricea Cartan

{\begin{pmatrix}2&-1&0&0\\-1&2&-2&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{pmatrix}}

Rețea de simetrie F 4

O rețea cubică cu 4 dimensiuni centrată pe corp are F 4 ca grup de simetrie punctuală. Această unire a două rețele hipercubice, punctele fiecăreia dintre ele se află în centrele hipercuburilor celuilalt, formează un inel numit inel cuaternion Hurwitz . Cei 24 de cuaternioni Hurwitz cu norma 1 formează un hiperoctaedru .

Surse

John Baez , The Octonions , Secțiunea 4.2: F 4 , Bull. amer. Matematică. soc. 39 (2002), 145-205 . Versiune HTML on-line (ing.) (Data accesării: 26 decembrie 2009)

Grupuri excepționale de minciuni simple
G₂ F₄ E₆ E₇ E₈

Teoria grupurilor
Noțiuni de bază	Subgrup Subgrup normal Grup de factori Muncă direct semidirectă gratuit
Proprietăți algebrice	grup comutativ Grup ciclic grup ordonat Transformați grupul Grup solubil Lema lui Schreier teorema lui Lagrange teoremele lui Sylow Clasificarea grupurilor finite simple
grupuri finite	Grupa ciclică finită C n Grupul simetric S n Grupul diedric D n Grupa alternativă A n Grupul Cvadruplu Klein grupurile Mathieu M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ grupuri Conway Co 1 Co2 _ Co3 _ grupuri Janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Grupuri de pescari F22 _ F 23 F24 _ Monstru (M)
Grupuri topologice	Grupuri de minciuni Grupul ortogonal O(n) Grup ortogonal special SO(n) Grupa unitară U(n) Grup unitar special SU(n) Grupa simplectică Sp(n) Simplu excepțional grupul Lorentz grupul Poincaré
Algoritmi pe grupuri	Schreier - Sims Todd - Coxeter transformata Fourier