G₂

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 22 noiembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

G 2 în matematică este numele a trei grupuri simple de Lie (complex, real compact și real divizat), algebra Lie asociată acestora , precum și mai multe grupuri algebrice . Sunt cele mai mici dintre cele cinci grupuri excepționale de Lie simple , de rang 2 și dimensiune 14, cu reprezentări liniare netriviale de dimensiuni finite fidele . În total , G2 are două reprezentări fundamentale de dimensiunile 7 și 14, dintre care prima corespunde unei rădăcini scurte a sistemului radicular G2 . $\mathfrak{g}_2$

Forma compactă G 2 este grupul de automorfism al algebrei octonion (octavă) sau un subgrup de SO(7) lăsând un spinor fix de 8 dimensiuni (în reprezentarea lui spinor) pe loc.

Implementări

Există 3 algebre simple de Lie reale asociate unui sistem rădăcină dat :

Algebra Lie pur reală care stă la baza algebrei Lie complexe G 2 este 28-dimensională și pur și simplu conectată. Conjugarea complexă este automorfismul său exterior. Subgrupul compact maxim al grupului asociat acestei algebre este forma compactă a lui G 2 .
Algebra Lie în formă compactă are dimensiunea 14. Grupul Lie asociat nu are automorfisme exterioare , nici centru și este pur și simplu conectat și compact.
Algebra Lie în forma sa necompactă (separată) conține 14 dimensiuni. Grupul Lie simplu asociat are un grup fundamental de ordinul 2, iar grupul său de automorfism exterior este un grup trivial. Subgrupul său compact maxim este SU(2)×SU(2)/(−1×−1). Pentru acest grup, există un grup de acoperire universal dublu non-algebric (pur și simplu conectat).

Proprietăți algebrice

Schema lui Dynkin

Sistemul rădăcină G 2

În ciuda faptului că vectorii rădăcină pot fi plasați în spațiu bidimensional, expresia lor în trei coordonate, a căror sumă este zero, pare mai simetrică:

(1,−1,0), (−1,1,0) (1,0,−1), (−1,0,1), (0,1,−1), (0,−1,1), (2,−1,−1), (−2,1,1), (1,−2,1), (−1,2,−1), (1,1,−2), (−1,−1,2),

și vectori simpli rădăcină pozitivă

(0,1,−1), (1,−2,1).

Grupul Weyl / Coxeter

Pentru algebra G 2 , acesta este grupul diedric D 12 de ordinul 12.

Matricea Cartan

\begin{pmatrix} 2&-3\\ -1&2 \end{pmatrix}

Holonomie specială

G2 este unul dintre acele grupuri speciale care pot fi grupurile de holonomie ale metricii riemanniene . Soiurile cu holonomie G2 sunt numite soiuri G2 .

Link -uri

John Baez , The Octonions , Secțiunea 4.1: G2 , Bull. amer. Matematică. soc. 39 (2002), 145-205 . Versiune HTML online .

Grupuri excepționale de minciuni simple
G₂ F₄ E₆ E₇ E₈

Teoria grupurilor
Noțiuni de bază	Subgrup Subgrup normal Grup de factori Muncă direct semidirectă gratuit
Proprietăți algebrice	grup comutativ Grup ciclic grup ordonat Transformați grupul Grup solubil Lema lui Schreier teorema lui Lagrange teoremele lui Sylow Clasificarea grupurilor finite simple
grupuri finite	Grupa ciclică finită C n Grupul simetric S n Grupul diedric D n Grupa alternativă A n Grupul Cvadruplu Klein grupurile Mathieu M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ grupuri Conway Co 1 Co2 _ Co3 _ grupuri Janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Grupuri de pescari F22 _ F 23 F24 _ Monstru (M)
Grupuri topologice	Grupuri de minciuni Grupul ortogonal O(n) Grup ortogonal special SO(n) Grupa unitară U(n) Grup unitar special SU(n) Grupa simplectică Sp(n) Simplu excepțional grupul Lorentz grupul Poincaré
Algoritmi pe grupuri	Schreier - Sims Todd - Coxeter transformata Fourier