Constanta Komornika-Loreti

În teoria matematică a sistemelor numerice poziționale non-standard [ , constanta Komornick-Loreti este o constantă matematică care reprezintă cea mai mică bază q pentru care numărul 1 are o reprezentare unică, numită q-scan. Constanta poartă numele lui Vilmos Komornik și Paola Loreti , care au definit-o în 1998. [unu]

Definiție

Pentru un număr real, seria $q>1$

x=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{-n)

se numește q-extensie, sau -extensie, a unui număr real pozitiv x, dacă pentru toate , , unde este o funcție întreagă a lui , și nu trebuie să fie un număr întreg. Orice număr real astfel încât să aibă o extensie care poate fi găsită folosind un algoritm lacom . $\beta$ $n\geq 0$ $0\leq a_{n}\leq \lfloor q\rfloor$ $\lfloor q\rfloor$ $a_{n}$ $X$ $0\leq x\leq q\lfloor q\rfloor /(q-1)$

Caz special: , și sau sunt uneori numite q-dezvoltare. oferă doar 2 scanări. Cu toate acestea, pentru aproape toate , există un număr infinit de dezvoltări q diferite. Și mai surprinzător este că există unele excepționale pentru care există o singură dezvoltare q. În plus, există cel mai mic număr , cunoscut sub numele de constanta Komornick-Loreti, pentru care există o scanare q unică. [2] $x=1$ $a_{0}=0$ $a_{n}=0$ $unu$ $a_{n}=1$ $1<q<2$ $q\in(1,2)$ $1<q<2$

Înțeles

Constanta Komornik-Loreti este valoarea lui q astfel încât

1=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t_{k}}{q^{k)))

unde este șirul Morse-Thue , adică este uniformitatea numărului de unități în reprezentarea binară . Are un cost aproximativ $t_{k)$ $t_{k)$ $k$

q=1,787231650\ldots .\,

[3]

Constanta este, de asemenea, singura rădăcină reală pozitivă $q$

\prod _{k=0}^{\infty}\left(1-{\frac {1}{q^{2^{k)}})\right)=\left(1-{\ frac {1}{q}}\right)^{-1}-2.

Această constantă este transcendentală. [patru]

Vezi și

Note

↑ Vilmos Komornik, Paola Loreti. Evoluții unice în baze non-întregi // The American Mathematical Monthly. — 1998-08-XX. — Vol. 105 , iss. 7 . — P. 636–639 . — ISSN 1930-0972 0002-9890, 1930-0972 . - doi : 10.1080/00029890.1998.12004937 .
↑ Eric W. Weisstein. q -Extindere . mathworld.wolfram.com . Preluat la 14 mai 2021. Arhivat din original la 14 mai 2021.
↑ Eric W. Weisstein. Komornik-Loreti Constant . mathworld.wolfram.com . Preluat la 14 mai 2021. Arhivat din original la 14 mai 2021.
↑ Jean-Paul Allouche, Michel Cosnard. Constanta Komornik-Loreti este transcendentală // The American Mathematical Monthly. — 2000-05. - T. 107 , nr. 5 . - S. 448 . — ISSN 0002-9890 . - doi : 10.2307/2695302 .

Numere cu nume proprii

Constante matematice

Algebric

Transcendental ,
probabil transcendental

Grade de o mie

numere vechi rusești

Alte puteri de zece

Puterile de doisprezece

Altele întregi

Alte numere

unitate imaginară