icosidodecaedru |
Figura vârfurilor , reprezentată ca 3.5.3.5 sau (3.5) 2 |
O configurație de vârf [1] [2] [3] este o prescurtare pentru reprezentarea figurii de vârf a unui poliedru sau țiglare ca o secvență de fețe în jurul unui vârf. Pentru un poliedru omogen , există un singur tip de vârf și, prin urmare, configurația vârfurilor definește complet poliedrul. ( Poliedre chirale există ca perechi de oglindă cu aceeași configurație de vârf.)
Configurația vârfurilor este specificată ca o succesiune de numere reprezentând numărul de laturi ale fețelor care înconjoară vârful. Notația „ abc ” denotă un vârf cu trei fețe în jurul lui și aceste fețe au laturile a , b și c (muchii).
De exemplu, „3.5.3.5” denotă un vârf care aparține celor patru fețe, triunghiuri și pentagoane alternând . Această configurație de vârf definește un icosidodecaedru tranzitiv de vârf . Notația este ciclică, deci punctul de plecare nu contează. Deci 3.5.3.5 este același cu 5.3.5.3. Ordinea este importantă, așa că 3.3.5.5 nu este același cu 3.5.3.5. (În primul caz, două triunghiuri adiacente sunt urmate de două pentagoane.) Elementele repetate pot fi reduse prin suprascriptare, astfel încât exemplul nostru poate fi scris ca (3.5) 2 .
Alături de termenul de configurare a vârfurilor , diferite surse folosesc și termenii descriere a vârfurilor (descrierea vârfurilor) [4] [5] [6] , tipul vârfurilor (tipul vârfurilor) [7] [8] , simbol al vârfurilor (simbolului vârfului) [9] ] [ 10] , aranjament de vârfuri (dispoziție de vârf) [11] , model de vârf (model de vârf) [7] , vector de față (vector de față) [12] . Configurația vârfurilor folosește, de asemenea, termenul de simbol Candy și Rollett , deoarece au folosit configurația vârfurilor pentru a descrie solidele arhimediene în cartea lor din 1952 Mathematical Models [ 13 ] [ 14] [15] [16] .
O configurație de vârf poate fi reprezentată ca o figură de vârf poligonală , arătând marginile din jurul vârfului. Această figură de vârf are o structură tridimensională, deoarece fețele nu sunt în același plan, dar pentru poliedre uniforme cu vârfuri, toate vârfurile învecinate sunt în același plan, așa că puteți utiliza proiecția ortogonală pentru a reprezenta vizual configurația vârfurilor .
{3,3} = 3 3 Defect 180° |
{3,4} = 3 4 Defect 120° |
{3,5} = 3 5 Defect 60° |
{3,6} = 3 6 |
{4,3} Defect 90° |
{4,4} = 4 4 |
{5,3} = 5 3 Defect 36° |
{6,3} = 6 3 |
| Varful trebuie sa aiba cel putin 3 fete iar varful are un defect de colt . Un defect unghiular de 0° face posibilă acoperirea planului cu un mozaic obișnuit. Conform teoremei lui Descartes, numărul de vârfuri este de 720°/ defect (4 π radiani/ defect ). | |||
Se folosește un alt tip de notație, uneori separate prin virgulă (,) alteori despărțite de un punct (.). Poate fi folosit și un superscript. De exemplu, 3.5.3.5 este uneori scris ca (3.5) 2 .
Notația poate fi considerată ca o formă extinsă a simbolului Schläfli pentru poliedre regulate . Notația Schläfli {p, q} înseamnă q p -goni în jurul fiecărui vârf. Deci {p, q} poate fi scris ca ppp... ( q ori) sau p q . De exemplu, icosaedrul are {3,5} = 3.3.3.3.3 sau 3 5 .
Această notație se aplică atât plăcilor poligonale, cât și poliedrelor. O configurație de vârf plat înseamnă o placare uniformă, la fel cum o configurație de vârf neplană înseamnă un poliedru uniform.
Denumirea nu este unică pentru speciile chirale . De exemplu, un cub snub are forme care sunt identice atunci când sunt oglindite. Ambele forme au configurație de vârf 3.3.3.3.4.
Denumirea este aplicabilă și fețelor regulate neconvexe, poligoanelor stea . De exemplu, pentagrama are simbolul {5/2}, ceea ce înseamnă că poligonul are 5 laturi care se învârt de două ori în jurul centrului.
De exemplu, există 4 poliedre stea regulate cu figuri poligonale regulate sau vârfuri stea. Micul dodecaedru stelat are simbolul Schläfli {5/2,5}, care se desfășoară în configurația explicită a vârfurilor 5/2.5/2.5/2.5/2.5/2, care poate fi reprezentată ca (5/2) 5 . Marele dodecaedru stelat cu simbolul {5/2,3} are o figură de vârf triunghiulară și configurație (5/2,5/2,5/2) sau (5/2) 3 . Marele dodecaedru cu simbolul {5,5/2} are o figură de vârf pentagramă cu configurație de vârf (5.5.5.5.5)/2 sau (5 5 )/2. Marele icosaedru cu simbolul {3,5/2} are și o figură de vârf pentagramă cu configurație de vârf (3.3.3.3.3)/2 sau (3 5 )/2.
| {5/2,5} = (5/2) 5 | {5/2,3} = (5/2) 3 | 3 4 .5/ | 3 4 .5/ | (3 4 .5/2)/2 |
|---|---|---|---|---|
| {5,5/2} = (5 5 )/2 | {3,5/2} = (3 5 )/2 | V.3 4.5/2 [ | V3 4.5/3 [ | V(3 4 .5/2)/2 |
Politopii semi-regulari au o configurație de vârf cu un defect de colț pozitiv .
Notă : O figură de vârf poate reprezenta o placare regulată sau semi-regulară în plan dacă defectul său este zero. O figură de vârf poate reprezenta o placare pe un plan hiperbolic dacă defectul său este negativ.
Pentru poliedre uniforme, defectul de colț poate fi utilizat pentru a calcula numărul de vârfuri. Teorema lui Descartes afirmă că suma tuturor defectelor unghiulare de pe o sferă topologică trebuie să fie egală cu 4 π radiani, sau 720°.
Deoarece toate vârfurile unui poliedru uniform sunt identice, acest raport ne permite să calculăm numărul de vârfuri, care este egal cu câtul 4 π / defect sau 720° / defect .
Exemplu: Cubul trunchiat 3.8.8 are un defect de colț de 30°. Deci poliedrul are 720/30 = 24 de vârfuri.
În special, rezultă că { a , b } are 4 / (2 - b (1 - 2/ a )) vârfuri.
Orice configurație numerică a unui vârf definește potențial unic un poliedru semiregular. Cu toate acestea, nu toate configurațiile sunt posibile.
Cerințele topologice limitează existența unui poliedru. În special, pqr înseamnă că un p - gon este înconjurat alternativ de q - goni și r - goni, deci fie p este par, fie q este egal cu r . În mod similar, q este par, sau p este egal cu r , r este par sau p este egal cu q . Deci triplele potențiale sunt 3.3.3, 3.4.4, 3.6.6, 3.8.8, 3.10.10, 3.12.12, 4.4. n (pentru orice n >2), 4.6.6, 4.6.8, 4.6.10, 4.6.12, 4.8.8, 5.5.5, 5.6.6, 6.6.6. De fapt, toate aceste configurații cu trei fețe care se întâlnesc la un vârf există.
În mod similar, când patru fețe se întâlnesc la același vârf, pqrs , dacă un număr este impar, restul trebuie să fie egal.
Numărul dintre paranteze este numărul de vârfuri calculat din defectul de colț.
Trei
patru
Cinci
Șase
Poliedre duale până la uniforme, solidele catalane , inclusiv bipiramidele și trapezoedrele , sunt regulate pe verticală ( față-tranzitivă ) și, prin urmare, pot fi identificate printr-o notație similară, uneori numită configurație de față [2] . Cundy și Rollett prefixează aceste notații duale simbolul V. Pentru contrast, cartea Tilings and Patterns [17] folosește paranteze pătrate pentru plăci izoedrice.
Această notație reprezintă numărul consecutiv de fețe din apropierea fiecărui vârf din jurul unei fețe [18] . De exemplu, V3.4.3.4 sau V(3.4) 2 reprezintă un dodecaedru rombic care este tranzitiv față-orice față este un romb , iar vârfurile alternante ale rombului înconjoară 3 sau 4 fețe.