Triplă pitagoreică

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 1 aprilie 2022; verificările necesită 10 modificări .

Un triplu lui Pitagora este o mulțime ordonată de trei numere naturale care satisfac o ecuație pătratică omogenă care descrie teorema lui Pitagora . Se numesc numere pitagorice . $x,\;y,\;z$ $x^{2}+y^{2}=z^{2}$

Un triunghi cu lungimile laturilor care formează un triplu pitagoreic este un triunghi dreptunghic și se mai numește și pitagoreic .

Triple primitive

Deoarece ecuația de mai sus este omogenă , atunci când este înmulțită cu și cu același număr natural, se va obține un alt triplu pitagoreic. Un triplu pitagoreic se numește primitiv dacă nu poate fi obținut în acest fel de la un alt triplu pitagoreic, adică dacă sunt numere prime relativ . Cu alte cuvinte, cel mai mare divizor comun al unui triplu pitagoreic primitiv este 1. $X$ $y$ $z$ $(x,y,z)$ $x,\;y,\;z$ $(x,y,z)$

Într-un triplu primitiv , numerele și au parități diferite și par este divizibil cu 4 și este întotdeauna impar. $(x,y,z)$ $X$ $y$ $z$

Orice triplă pitagoreică primitivă , unde este impar și este par, este reprezentată în mod unic sub forma unor numere coprime naturale de paritate diferită. $(x,y,z)$ $X$ $y$ $(m^{2}-n^{2},\;2mn,\;m^{2}+n^{2})$ $m>n$

Aceste numere pot fi calculate folosind formulele

{\begin{cases}m={\sqrt {\dfrac {z+x}{2))}={\dfrac ({\sqrt {z+y))+{\sqrt {zy})} {2)),\\n={\sqrt {\dfrac {zx}{2}}}={\dfrac {{\sqrt {z+y}}-{\sqrt {zy}}}{2}} .\end{cazuri}}

Dimpotrivă, orice astfel de pereche de numere definește o triplă pitagoreică primitivă [1] . $(m,\;n)$ $(m^{2}-n^{2},\;2mn,\;m^{2}+n^{2})$

Exemple

Există 16 triple pitagorice primitive cu : $z\leqslant 100$

(3, 4, 5)	(5, 12, 13)	(8, 15, 17)	(7, 24, 25)
(20, 21, 29)	(12, 35, 37)	(9, 40, 41)	(28, 45, 53)
(11, 60, 61)	(16, 63, 65)	(33, 56, 65)	(48, 55, 73)
(13, 84, 85)	(36, 77, 85)	(39, 80, 89)	(65, 72, 97)

Nu toate triplele cu sunt primitive, de exemplu, (6, 8, 10) se obține prin înmulțirea triplelor (3, 4, 5) cu două. Fiecare dintre triplele cu o ipotenuză mică formează o linie dreaptă radială bine definită din triplele multiple din diagrama de dispersie. $z\leqslant 100$

Primitiva se triplează cu : $100<z\leqslant 300$

(20, 99, 101)	(60, 91, 109)	(15, 112, 113)	(44, 117, 125)
(88, 105, 137)	(17, 144, 145)	(24, 143, 145)	(51, 140, 149)
(85, 132, 157)	(119, 120, 169)	(52, 165, 173)	(19, 180, 181)
(57, 176, 185)	(104, 153, 185)	(95, 168, 193)	(28, 195, 197)
(84, 187, 205)	(133, 156, 205)	(21, 220, 221)	(140, 171, 221)
(60, 221, 229)	(105, 208, 233)	(120, 209, 241)	(32, 255, 257)
(23, 264, 265)	(96, 247, 265)	(69, 260, 269)	(115, 252, 277)
(160, 231, 281)	(161, 240, 289)	(68, 285, 293)

Valorile posibile în triplele pitagoreice formează o secvență (secvența A009003 în OEIS ) $z$

5, 10, 13, 15, 17, 20, 25, 26, 29, 30, 34, 35, 37, 39, 40, 41, 45, 50, …

Pe baza proprietăților numerelor Fibonacci , este posibil să se formeze din aceste numere, de exemplu, astfel de triple pitagorice:

x=F_{n}F_{n+3};\quad y=2F_{n+1}F_{n+2};\quad z=F_{n+1}^{2}+F_{ n+2}^{2}.

Istorie

Cele mai faimoase din culturile antice dezvoltate au fost cele trei (3, 4, 5), care le-au permis anticilor să construiască unghiuri drepte. Vitruvius a considerat acest triplu cea mai înaltă realizare a matematicii, iar Platon - un simbol al căsătoriei, ceea ce indică marea importanță pe care anticii o acordau triplu-ului (3, 4, 5).

În arhitectura pietrelor funerare antice mesopotamiene se găsește un triunghi isoscel, format din două dreptunghiulare cu laturile de 9, 12 și 15 coți. Piramidele faraonului Snefru (secolul XXVII î.Hr.) au fost construite folosind triunghiuri cu laturile de 20, 21 și 29, precum și 18, 24 și 30 de zeci de coți egipteni.

Matematicienii babilonieni au știut să calculeze triplele pitagoreice. Tableta babiloniană de lut , numită Plimpton 322 , conține cincisprezece tripleți pitagoreici (mai precis, cincisprezece perechi de numere precum ). Se crede că această tabletă a fost creată în jurul anului 1800 î.Hr. e. [2] $a,c$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Generație triplă

Formula lui Euclid [3] este instrumentul principal pentru construirea triplelor pitagoreice. Potrivit acesteia, pentru orice pereche de numere naturale și ( ) numere întregi $m$ $n$ $m>n$

a=m^{2}-n^{2},\b=2mn,\c=m^{2}+n^{2}

formează un triplu pitagoreic. Triplele formate prin formula lui Euclid sunt primitive dacă și numai dacă ambele sunt coprime și impare. Dacă și , și sunt impare, atunci , și vor fi par și triplul nu este primitiv. Totuși, împărțirea , și la 2 dă un triplu primitiv dacă și sunt coprime [4] . $m$ $n$ $mn$ $m$ $n$ $A$ $b$ $c$ $A$ $b$ $c$ $m$ $n$

Orice triplu primitiv se obține dintr-o singură pereche de numere coprime și , dintre care unul este par. Rezultă că există o infinitate de triple pitagorice primitive. $m$ $n$

Chiar dacă formula lui Euclid generează toate triplele primitive, ea nu generează toate triplele. La adăugarea unui parametru suplimentar , se obține o formulă care generează toate triunghiurile pitagoreice într-un mod unic: $k$

a=k\cdot (m^{2}-n^{2}),\b=k\cdot (2mn),\c=k\cdot (m^{2}+n^{2} ),

unde , și sunt numere naturale, , impare și coprime. $m$ $n$ $k$ $m>n$ $mn$ $m$ $n$

Faptul că aceste formule formează triple pitagoreice poate fi verificat prin înlocuirea în și verificând dacă rezultatul este același cu . Deoarece orice triplă pitagoreică poate fi împărțită de unii pentru a obține un triplu primitiv, orice triplu poate fi format în mod unic folosind și pentru a crea un triplu primitiv, apoi este înmulțit cu . $a^{2}+b^{2}$ $c^{2}$ $k$ $m$ $n$ $k$

De pe vremea lui Euclid, s-au găsit multe formule pentru generarea tripleților.

Dovada formulelor lui Euclid

Faptul că numerele , , , care satisfac formula lui Euclid, formează întotdeauna un triunghi pitagoreic este evident pentru numerele întregi pozitive și , , deoarece după înlocuirea în formulele , și vor fi numere pozitive, precum și din faptul că $A$ $b$ $c$ $m$ $n$ $m>n$ $A$ $b$ $c$

a^{2}+b^{2}=(m^{2}-n^{2})^{2}+(2mn)^{2}=(m^{2}+n^ {2})^{2}=c^{2}.

Afirmația inversă că , , sunt exprimate prin formula lui Euclid pentru orice triplă pitagoreică rezultă din următoarea [5] . Toate aceste triple pot fi scrise ca ( , , ), unde , și , , sunt coprime și și au paritate opusă (unul dintre ele este par, celălalt este impar). (Dacă are aceeași paritate cu ambele catete, atunci dacă sunt pare, nu vor fi coprime, iar dacă sunt impare , va da un număr par și nu poate fi egal cu impar .) Din obținem , și prin urmare, . Apoi . Deoarece este rațional, îl reprezentăm ca o fracție ireductibilă . De aici obținem că fracția este egală cu . Rezolvarea ecuațiilor $A$ $b$ $c$ $A$ $b$ $c$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $A$ $b$ $c$ $b$ $c$ $c$ $a^{2}+b^{2}$ $c^{2}$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $c^{2}-a^{2}=b^{2)$ $(ca)(c+a)=b^{2)$ $(c+a)/b=b/(ca)$ $(c+a)/b$ $m/n$ $(ca)/b$ $n/m$

{\frac {c}{b}}+{\frac {a}{b}}={\frac {m}{n}},\ {\frac {c}{b}}-{\ frac {a}{b}}={\frac {n}{m}}

relativ la și , obținem $c/b$ $a/b$

{\frac {c}{b}}={\frac {m^{2}+n^{2}}{2mn)),\ {\frac {a}{b}}={\frac {m^{2}-n^{2}}{2mn}}.

Deoarece și sunt ireductibile prin presupunere, numărătorii și numitorii vor fi egali dacă și numai dacă părțile din dreapta fiecărei egalități sunt ireductibile. După cum am convenit, fracția este , de asemenea, ireductibilă, ceea ce înseamnă că și sunt coprime. Laturile din dreapta vor fi ireductibile dacă și numai dacă și au paritate opusă, astfel încât numărătorul nu este divizibil cu 2. (A și trebuie să aibă paritate opusă - ambele nu pot fi pare din cauza ireductibilității, iar dacă ambele numere sunt impare, împărțirea la 2 va da o fracție , în numărătorul și numitorul căreia vor fi numere impare, dar această fracție este egală , în care numărătorul și numitorul vor avea paritate diferită, ceea ce contrazice presupunerea.) Acum, echivalentul numărătorilor și numitori, obținem formula lui Euclid , , cu și coprim și având paritate diferită . $c/b$ $a/b$ $m/n$ $m$ $n$ $m$ $n$ $m$ $n$ $(m^{2}+n^{2})/(2mn)$ $c/b$ $a=m^{2}-n^{2)$ $b=2mn$ $c=m^{2}+n^{2)$ $m$ $n$

O dovadă mai lungă, dar mai general acceptată este dată în cărțile lui Maor (Maor, 2007) [6] și Sierpinski [7] .

Interpretarea parametrilor în formula lui Euclid

Fie laturile triunghiului lui Pitagora , și . Să notăm unghiul dintre cateta și ipotenuză ca . Apoi [8] $m^{2}-n^{2}$ $2mn$ $m^{2}+n^{2}$ $m^{2}-n^{2}$ $m^{2}+n^{2}$ $\theta$

\operatorname {tg} \theta ={\frac {2mn}{m^{2}-n^{2}}},

\operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}={\frac {mn}{m+n}}.

Proprietăți elementare ale triplelor pitagoreice primitive

Proprietăți ale unui triplu pitagoreic primitiv ( a , b , c ) , unde a < b < c (fără a specifica dacă a sau b este par ):

$(ca)(cb)/2$ este întotdeauna un pătrat perfect [9] . Acest lucru este util în special pentru a verifica dacă un anumit triplu de numere este pitagoreic, deși aceasta nu este o condiție suficientă. Triplul (6, 12, 18) trece acest test deoarece ( c − a )( c − b )/2 este un pătrat perfect, dar acest triplu nu este pitagoreic. Dacă un triplu de numere a , b și c formează un triplu pitagoreic, atunci numărul ( c minus catetul par) și jumătate din număr ( c minus catetul impar) sunt pătrate perfecte, dar aceasta nu este o condiție suficientă și triplul (1, 8, 9) este contraexemplu, deoarece 1 2 + 8 2 ≠ 9 2 .
Cel mult unul dintre numerele a , b și c este un pătrat [10] .
Aria unui triunghi pitagoreic nu poate fi un pătrat [11] sau de două ori pătratul [12] al unui număr natural.
Exact unul dintre numerele a și b este impar , c este întotdeauna impar [13] .
Exact unul dintre numerele a și b este divizibil cu 3. [14]
Exact unul dintre numerele a și b este divizibil cu 4. [7]
Exact unul dintre numerele a , b și c este divizibil cu 5. [7]
Numărul maxim care împarte întotdeauna produsul abc este 60. [15]
Toți factorii primi c sunt primii de forma 4 n + 1 [16] . Deci c are forma 4 n + 1 .
Numărul ( b − a ) este un produs al numerelor prime de forma 8 n ± 1 , adică nu are factori precum 2, 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 43, 53 , 59, 61, 67, 83, 101, ...
Aria ( K = ab /2 ) este un număr par congruent [17] .
În orice triplă pitagoreică, raza cercului înscris și razele celor trei excercuri sunt numere naturale. În special, pentru un triplu primitiv, raza cercului înscris este r = n ( m − n ) , iar razele excercurilor tangente la catetele m 2 − n 2 , 2 mn și ipotenuza m 2 + n 2 sunt respectiv m ( m − n ) , n ( m + n ) și m ( m + n ) [18] .
Ca și în cazul oricărui triunghi dreptunghic, inversul teoremei lui Thales afirmă că diametrul cercului circumscris este egal cu ipotenuza. Deoarece pentru triplele primitive diametrul este √ m 2 + n 2 , raza cercului circumscris este jumătate din acest număr, iar acest număr este rațional, dar nu un număr întreg (deoarece m și n au parități diferite).
Dacă aria triunghiului lui Pitagora este înmulțită cu curburele cercului înscris și ale celor trei cercuri, rezultă patru numere întregi pozitive w > x > y > z , respectiv. Aceste numere w , x , y , z satisfac ecuația cercurilor carteziene [19] . În mod echivalent, raza cercului Soddy exterior oricărui triunghi dreptunghic este egală cu semiperimetrul acestuia. Centrul exterior al lui Soddy este situat în punctul D , unde ACBD este un dreptunghi, ACB este un triunghi dreptunghic și AB este ipotenuza sa. [douăzeci]
Nu există triple pitagorice pentru care ipotenuza și unul dintre catete sunt catete ale altui triplu pitagoreic. Aceasta este una dintre formulările teoremei triunghiului dreptunghic a lui Fermat [21] .
Fiecare triunghi pitagoreic primitiv are un raport semiperimetru unic zonă-pătrat (adică rapoartele pentru diferite triunghiuri primitive sunt diferite), iar acest raport este [22] ${\frac {K}{s^{2}}}={\frac {n(mn)}{m(m+n)))=1-{\frac {c}{s}}.$
În niciun triunghi pitagoreic primitiv, înălțimea bazată pe ipotenuză este exprimată ca un număr întreg și, prin urmare, nu poate fi împărțită în două triunghiuri pitagoreice. [23]

În plus, pot exista triple pitagoreene speciale cu unele proprietăți suplimentare:

Orice număr întreg mai mare decât 2 care nu este congruent cu 2 modulo 4 (cu alte cuvinte, dacă este mai mare decât 2 și nu are forma 4 n + 2) face parte dintr-un triplu pitagoreic primitiv.
Orice număr întreg mai mare de 2 este într-un triplu pitagoreic primitiv sau non-primitiv. De exemplu, numerele 6, 10, 14 și 18 nu sunt conținute în nicio triplă primitivă, ci sunt incluse în triplele 6, 8, 10; 14, 48, 50 și 18, 80, 82.
Există infinit de multe triple pitagorice în care ipotenuza și cel mai mare dintre catete diferă exact cu unul (astfel de triple sunt evident primitive). Una dintre modalitățile de a obține astfel de triple este egalitatea (2 n + 1) 2 + [2 n ( n + 1)] 2 = [2 n ( n + 1) + 1] 2 , rezultând triple (3, 4). , 5) , (5, 12, 13) , (7, 24, 25) , etc. O afirmație mai generală: pentru orice număr întreg impar j , există infinit de triple primitive pitagorice în care ipotenuza și catetul par diferă prin j 2 .
Există o infinitate de triple pitagorice primitive în care ipotenuza și piciorul mai lung diferă exact cu două. Generalizare: Pentru orice număr întreg k > 0 , există o infinitate de triple pitagorice primitive în care ipotenuza și catetul impar diferă cu 2 k 2 .
Există infinit de multe triple pitagorice în care două picioare diferă exact cu unul. De exemplu, 20 2 + 21 2 = 29 2 .
Pentru orice număr natural n , există n triple pitagorice cu ipotenuze diferite și aceeași zonă.
Pentru orice număr natural n , există cel puțin n triple pitagorice diferite cu același catet a , unde a este un număr natural
Pentru orice număr natural n , există cel puțin n triple pitagorice distincte cu aceeași ipotenuză. [24]
Există infinit de multe triple pitagorice ale căror pătrate sunt ipotenuza c și suma catetelor a + b . În cel mai mic astfel de triplu [25] a = 4 565 486 027 761 ; b = 1061652293520 ; c = 4687298610289 . Aici a + b = 2 372 159 2 și c = 2 165 017 2 . În formula lui Euclid, aceste valori corespund cu m = 2.150.905 și n = 246.792 .
Există triunghiuri pitagorice cu o altitudine întreagă bazată pe ipotenuză . Astfel de triunghiuri sunt cunoscute ca fiind descompuse, deoarece pot fi descompuse la această altitudine în două triunghiuri pitagorice mai mici. Niciunul dintre triunghiurile sparte nu este format dintr-un triplu primitiv [26] .
Ansamblul tuturor triunghiurilor pitagorice primitive formează un arbore ternar înrădăcinat într-un mod natural, vezi Arborele triplelor pitagoreene primitive .

Nu se știe dacă există două triple pitagorice diferite cu același produs al numerelor lor [27] .

Geometria formulei lui Euclid

Formula lui Euclid pentru un triplu lui Pitagora

a=m^{2}-n^{2},\b=2mn,\c=m^{2}+n^{2}

poate fi înțeles în termenii geometriei punctelor raționale de pe cercul unitar [28] . Fie un triunghi cu catetele a și b și ipotenuza c , unde a , b și c sunt numere întregi pozitive. După teorema lui Pitagora, a 2 + b 2 = c 2 și după împărțirea ambelor părți la c 2

\left({\frac {a}{c}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{c}}\right)^{2}=1.

Geometric, un punct pe un plan cartezian cu coordonate

x={\frac {a}{c)],\ y={\frac {b}{c))

se află pe cercul unitar x 2 + y 2 = 1 . În această ecuație, coordonatele x și y sunt date de numere raționale. În schimb, orice punct al cercului cu coordonatele raționale x și y dă un triplu pitagoreic primitiv. Într-adevăr, să scriem x și y ca fracții ireductibile :

x={\frac {a}{c)),\ y={\frac {b}{c)),

unde cel mai mare divizor comun al numerelor a , b și c este 1. Deoarece punctul cu coordonatele x și y se află pe cercul unitar, atunci

\left({\frac {a}{c}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{c}}\right)^{2}=1\implies a^ {2}+b^{2}=c^{2},

Q.E.D.

Astfel, există o corespondență între punctele cu coordonate raționale de pe cercul unitar și triunghiurile pitagorice primitive. Din aceasta, formulele lui Euclid pot fi obținute prin metode trigonometrice sau prin utilizarea proiecției stereografice .

Pentru a aplica abordarea stereografică, să presupunem că P′ este un punct pe axa x cu coordonate raționale

P'=\left({\frac {m}{n)),0\right).

Apoi, folosind calcule algebrice, se poate arăta că punctul P are coordonate

P=\left({\frac {2\left({\frac {m}{n}}\right)}{\left({\frac {m}{n}}\right)^{2 }+1)),{\frac {\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}-1}{\left({\frac {m}{n}}\right) ^{2}+1}}\right)=\left({\frac {2mn}{m^{2}+n^{2}}},{\frac {m^{2}-n^{2 }}{m^{2}+n^{2}}}\dreapta).

Astfel, obținem că orice punct rațional axei x corespunde unui punct rațional al cercului unitar. În schimb, fie P ( x , y ) un punct pe cercul unitar cu coordonatele raționale x și y . Atunci proiecția stereografică P′ pe axa x are coordonate raționale

\left({\frac {x}{1-y)),0\right).

În ceea ce privește geometria algebrică, varietatea algebrică a punctelor raționale de pe cercul unitar este birațională față de linia afină peste numerele raționale. Cercul unitar se numește atunci curbă rațională . Corespondența dintre punctele raționale ale unei linii și un cerc face posibilă o parametrizare explicită a punctelor (raționale) dintr-un cerc folosind funcții raționale.

Grupul triplelor pitagorice

Orice punct rațional de pe cercul unitar corespunde unui triplu pitagoreic ( a , b , c ) , mai exact, unui triplu pitagoreic generalizat, deoarece a și b pot fi zero și negativ.

Să fie date două triunghiuri pitagorice ( a 1 , b 1 , c 1 ) și ( a 2 , b 2 , c 2 ) cu unghiuri α și β . Puteți construi triunghiuri cu unghiuri α ± β folosind formulele de adunare a unghiurilor:

{\frac {a}{c}}=\sin(\alpha \pm \beta )=\sin(\alpha )\cdot \cos(\beta)\pm \cos(\alpha)\cdot \ sin(\beta )={\frac {a_{1}b_{2}\pm b_{1}a_{2}}{c_{1}c_{2}}},

{\frac {b}{c}}=\cos(\alpha \pm \beta )=\cos(\alpha )\cdot \cos(\beta)\mp \sin(\alpha )\cdot \ sin(\beta )={\frac {b_{1}b_{2}\mp a_{1}a_{2}}{c_{1}c_{2}}}.

Aceste triunghiuri dreptunghiulare vor fi, de asemenea, întregi, adică pitagoreice. Puteți introduce o operație pe triple folosind formulele de mai sus. Această operație va fi comutativă și asociativă, adică triplele pitagorice generalizate formează un grup abelian [29] .

Triple pitagorice pe o rețea bidimensională

O rețea bidimensională este un set de puncte izolate în care, dacă un punct este ales ca origine (0, 0), toate celelalte puncte au coordonate ( x , y ) , unde x și y parcurg toate numerele întregi pozitive și negative . Orice triplă pitagoreică ( a , b , c ) poate fi desenată pe o rețea bidimensională ca puncte cu coordonatele ( a , 0) și (0, b ) . Conform teoremei lui Pick, numărul de puncte ale rețelei care se află strict în interiorul triunghiului este dat de formula [30] . Pentru triplele pitagorice primitive, numărul de puncte de rețea este , iar aceasta este comparabilă cu aria unui triunghi $[(a-1)(b-1)-\gcd(a,b)+1]/2$ $(a-1)(b-1)/2$ $ab/2.$

Este interesant că primul caz de coincidență a zonelor triplelor pitagoreice primitive apare pe triplele (20, 21, 29), (12, 35, 37) cu o suprafață de 210 [31] . Prima apariție a triplelor pitagoreice primitive cu același număr de puncte de rețea apare numai pe ( 18 108 , 252 685 , 253 333 ), ( 28 077 , 162 964 , 165 365 ) cu numărul de puncte 2 4 289 4 677 . Se găsesc trei triple pitagorice primitive cu aceleași zone (4485, 5852, 7373), (3059, 8580, 9109), (1380, 19 019 , 19 069 ) și aria 13 123 110 . Cu toate acestea, nu a fost găsit încă un triplu de triple primitive pitagoreice cu același număr de puncte de rețea.

Spinors și grupul modular

Triplele pitagorice pot fi reprezentate ca matrici de forma

X={\begin{bmatrix}c+b&a\\a&c-b\end{bmatrix}}.

Acest tip de matrice este simetric . Mai mult, determinantul ei

\det X=c^{2}-a^{2}-b^{2}

este zero exact atunci când ( a , b , c ) este un triplu pitagoreic. Dacă X corespunde unui triplu pitagoreic, atunci trebuie să aibă rangul 1.

Deoarece X este simetric, se știe din algebra liniară că există un vector ξ = [ m n ] T astfel încât produsul exterior să satisfacă

X=2{\begin{bmatrix}m\\n\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}m&n\end{bmatrix}}=2\xi \xi ^{T},

(unu)

unde T înseamnă transpunere . Vectorul ξ se numește spinor (pentru grupul Lorentz SO(1, 2). În termeni abstracti, formula lui Euclid înseamnă că fiecare triplă pitagoreică primitivă poate fi scrisă ca produsul exterior al unui spinor cu elemente întregi, ca în formula (1). ).

Grupul modular Γ este mulțimea de matrice 2 × 2 cu intrări întregi

A={\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmatrix}}

și determinant egal cu unu: αδ − βγ = 1 . Această mulțime formează un grup deoarece inversul unei matrici din Γ este din nou o matrice din Γ , așa cum este produsul a două matrice din Γ . Grupul modular acționează asupra setului tuturor spinorilor întregi. Mai mult, grupul este tranzitiv pe multimea spinorilor intregi cu elemente coprime. Dacă [ m n ] T conține elemente coprime, atunci

{\begin{bmatrix}m&-v\\n&u\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}m\\n\end {bmatrix}},

unde u și v sunt aleși (folosind algoritmul lui Euclid ) astfel încât mu + nv = 1 .

Acționând asupra spinorului ξ în (1), acțiunea din Γ trece la acțiunea asupra triplelor pitagoreice, permițând în același timp triple cu valori negative. Dacă A este o matrice în Γ , atunci

2(A\xi)(A\xi)^{T}=AXA^{T)

(2)

dă naștere la operații pe matricea X din (1). Acest lucru nu oferă o acțiune bine definită asupra triplelor primitive, deoarece poate duce o triplă primitivă la una neprimitivă. În acest moment, se obișnuiește (urmând Trautman [28] ) să se numească un standard triplu ( a , b , c ) dacă c > 0 și fie ( a , b , c ) sunt coprime sau ( a /2, b /2, c / 2) sunt coprime și a /2 este impar. Dacă spinorul [ m n ] T are elemente coprime, atunci triplul asociat ( a , b , c ) dat de formula (1) este un triplu standard. Aceasta implică faptul că acțiunea grupului modular este tranzitivă pe mulțimea triplelor standard.

Alternativ, ne limităm la acele valori ale lui m și n pentru care m este impar și n este par. Fie subgrupul Γ (2) al grupului Γ nucleul homomorfismului

\Gamma =\mathrm {SL} (2,\mathbf {Z} )\la \mathrm {SL} (2,\mathbf {Z} _{2}),

unde SL(2, Z 2 ) este un grup liniar special peste un câmp finit Z 2 de numere întregi modulo 2 . Atunci Γ (2) este un grup de transformări unimodulare care păstrează paritatea fiecărui element. Astfel, dacă elementul vectorului ξ este impar și al doilea element este par, atunci același lucru este valabil și pentru Aξ pentru tot A ∈ Γ(2) . De fapt, sub acţiunea lui (2), grupul Γ (2) acţionează tranzitiv asupra mulţimii triplelor pitagorice primitive [33] .

Grupul Γ (2) este un grup liber ai cărui generatoare sunt matricele

U={\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}),\qquad L={\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix)).

Prin urmare, orice triplă pitagoreică primitivă poate fi obținută în mod unic ca produs al copiilor matricelor U și L .

Relațiile părinte-copil

După cum a arătat Berggren [34] , toate triplele pitagoreene primitive pot fi obținute din triunghiul (3, 4, 5) folosind trei transformări liniare T1, T2, T3, unde a , b , c sunt laturile triplul:

	latura noua a	latura noua b	latura noua c
T1:	a − 2 b + 2 c	2 a − b + 2 c	2a − 2b + 3c _
T2:	a + 2 b + 2 c	2 a + b + 2 c	2 a + 2 b + 3 c
T3:	− a + 2 b + 2 c	−2 a + b + 2 c	−2 a + 2 b + 3 c

Dacă începeți cu 3, 4, 5, atunci toate celelalte triple primitive vor fi obținute în cele din urmă. Cu alte cuvinte, orice triplu primitiv va fi „părintele” a 3 triple primitive suplimentare. Dacă începem cu a = 3, b = 4 și c = 5, atunci următoarea generație de tripleți va fi

latura noua a	latura noua b	latura noua c
3 − (2×4) + (2×5) = 5	(2×3) − 4 + (2×5) = 12	(2×3) − (2×4) + (3×5) = 13
3 + (2x4) + (2x5) = 21	(2x3) + 4 + (2x5) = 20	(2x3) + (2x4) + (3x5) = 29
−3 + (2×4) + (2×5) = 15	−(2×3) + 4 + (2×5) = 8	−(2×3) + (2×4) + (3×5) = 17

Transformările liniare T1, T2 și T3 au o interpretare geometrică în limbajul formelor pătratice. Ele sunt strâns legate (dar nu echivalente) cu reflexiile generate de grupul ortogonal x 2 + y 2 − z 2 peste numere întregi. Un alt set de trei transformări liniare este discutat în articolul Generarea triplelor pitagorice folosind matrice și transformări liniare [35] .

Relația cu numerele întregi gaussiene

Formulele lui Euclid pot fi analizate și demonstrate folosind numere întregi gaussiene [36] . Numerele întregi gaussiene sunt numere complexe de forma α = u + vi , unde u și v sunt numere întregi regulate și i este rădăcina lui minus unu . Unitățile numerelor întregi gaussiene sunt ±1 și ±i. Numerele întregi obișnuite se numesc numere întregi și sunt notate cu Z . Numerele întregi gaussiene sunt notate cu Z [ i ]. Partea dreaptă a teoremei lui Pitagora poate fi descompusă în numere întregi gaussiene:

c^{2}=a^{2}+b^{2}=(a+bi)\overline {(a+bi)}=(a+bi)(a-bi).

Un triplu pitagoreic primitiv este un triplu în care a și b sunt coprimi , adică nu au divizori primi comuni. Pentru astfel de tripleți, fie a sau b este par, iar celălalt este impar. Rezultă că c este și impar.

Fiecare dintre cei doi factori z = a + bi și z* = a - bi ai unui triplu pitagoreic primitiv este egal cu pătratul unui număr întreg gaussian. Acest lucru poate fi dovedit folosind proprietatea că orice număr întreg gaussian poate fi descompus unic în numere prime gaussiene până la unu [37] . (Unicitatea expansiunii, aproximativ vorbind, rezultă din faptul că o versiune a algoritmului lui Euclid poate fi definită pentru ei .) Demonstrarea are trei pași. În primul rând, se demonstrează că, dacă a și b nu au numere prime în numere întregi, atunci nu au factori primi comuni în numerele întregi gaussiene. Aceasta implică faptul că z și z* nu au factori primi comuni în numerele întregi gaussiene. În cele din urmă, deoarece c 2 este un pătrat, orice prim gaussian din expansiune se repetă de două ori. Deoarece z și z* nu au factori primi în comun, această dublare este valabilă și pentru ei. Prin urmare, z și z* sunt pătrate.

Astfel, primul factor poate fi scris ca

a+bi=\varepsilon \left(m+ni\right)^{2},\quad \varepsilon \in \{\pm 1,\pm i\}.

Părțile reale și imaginare ale acestei ecuații dau două formule:

{\begin{cases}\varepsilon =+1,&\quad a=+\left(m^{2}-n^{2}\right),\quad b=+2mn;\\\varepsilon =-1 ,&\quad a=-\left(m^{2}-n^{2}\right),\quad b=-2mn;\\\varepsilon =+i,&\quad a=-2mn,\quad b=+\left(m^{2}-n^{2}\right);\\\varepsilon =-i,&\quad a=+2mn,\quad b=-\left(m^{2} -n^{2}\dreapta).\end{cazuri}}

Pentru orice triplă primitivă pitagoreică, trebuie să existe numere întregi m și n astfel încât aceste două egalități să fie valabile. Prin urmare, orice triplu lui Pitagora poate fi obținut prin alegerea acestor numere întregi.

Ca pătrat complet al numerelor întregi gaussiene

Dacă luăm pătratul unui număr întreg gaussian, obținem următoarea interpretare a formulelor lui Euclid ca o reprezentare a pătratului întreg al numerelor întregi gaussiene.

(m+ni)^{2}=(m^{2}-n^{2})+2mni.

Folosind faptul că numerele întregi gaussiene sunt un domeniu euclidian și că pentru numerele întregi gaussiene p, pătratul modulului este întotdeauna un pătrat perfect, se poate arăta că triplele lui Pitagora corespund pătratelor întregi prime gaussiene dacă ipotenuza este primă. număr. $|p|^{2}$

Distribuția tripleților

Există multe rezultate privind distribuția triplelor pitagoreice. Există câteva modele evidente în graficul de dispersie. Dacă catetele ( a , b ) ale unui triplu primitiv apar în diagramă, atunci toate produsele printr-un număr întreg al acestor catete trebuie să fie și ele în diagramă, iar această proprietate explică apariția liniilor radiale de la origine în diagramă.

Diagrama prezintă multe parabole cu o densitate mare de puncte care au focare la origine. Parabolele sunt reflectate de axele cu un unghi de 45 de grade, iar în același punct a treia parabolă se apropie de axă perpendicular.

Aceste modele pot fi explicate după cum urmează. Dacă un număr natural, atunci ( a , , ) este un triplu pitagoreic. (De fapt, orice triplă pitagoreică ( a , b , c ) poate fi scrisă în acest fel cu un număr întreg n , poate după schimbarea a și b , deoarece ambele a și b nu pot fi impare în același timp.) Triplele pitagoreene se află apoi pe curbele date de ecuaţii . Astfel, parabolele sunt reflectate de pe axa a , iar curbele corespunzătoare cu a și b sunt schimbate. Dacă a variază pentru un n dat (adică pe o parabolă aleasă), valorile întregi ale lui b apar relativ des dacă n este un pătrat sau produsul unui pătrat și un număr mic. Dacă unele astfel de valori se află aproape una de alta, parabolele corespunzătoare aproape coincid, iar triplele formează o bandă parabolică îngustă. De exemplu, 38 2 = 1444, 2 × 27 2 = 1458, 3 × 22 2 = 1452, 5 × 17 2 = 1445 și 10 × 12 2 = 1440. Panglica parabolică corespunzătoare în jurul lui n ≈ 145 este clar vizibilă în 145 diagramă de dispersie. $a^{2}/4n$ $|na^{2}/4n|$ $n+a^{2}/4n$ $n=(b+c)/2$ $b=|na^{2}/4n|$

Proprietățile unghiulare descrise mai sus decurg imediat din forma funcțională a parabolelor. Parabolele sunt reflectate de pe axa a în punctul a = 2 n și derivata lui b față de a în acest punct este egală cu −1. Astfel, unghiul de înclinare este de 45°. Deoarece clusterele, precum triunghiurile, se repetă atunci când sunt înmulțite cu o constantă întreagă, valoarea 2 n aparține și ea clusterului. Parabola corespunzătoare intersectează axa b în unghi drept în punctul b = 2 n și, prin urmare, este o reflexie simetrică a parabolei care se obține prin schimbul variabilelor a și b și care intersectează axa a în unghi drept . în punctul a = 2 n .

Albert Fässler și colaboratorii au arătat semnificația acestor parabole în contextul mapărilor conformale [38] [39] .

Ocazii speciale

secvența lui Platon

Cazul n = 1 al construcției generale a triplelor pitagoreice este cunoscut de mult. Proclus , în comentariul său asupra celei de -a 47-a afirmații din prima carte a Principia lui Euclid , o descrie după cum urmează:

Unele metode de obținere a unor astfel de triunghiuri de acest fel sunt ușor de obținut, una dintre ele aparține lui Platon , cealaltă lui Pitagora . (Ultimul) a început cu numere impare. Pentru a face acest lucru, a ales un număr impar ca fiind cel mai mic dintre picioare. Apoi l-a pătrat, a scăzut unul și a folosit jumătate din această diferență ca picior al doilea. În cele din urmă, a adăugat unul la acest picior și a obținut ipotenuza.

…Metoda lui Platon funcționează cu numere pare. Folosește numărul par dat ca unul dintre picioare. Jumătate din acest număr este pătrat și unul se adaugă pentru a da ipotenuza, iar scăderea unuia dă al doilea catet. ... Și asta dă același triunghi ca cealaltă metodă.

Sub formă de ecuații:

a este ciudat (Pitagora, 540 î.Hr.): $a:b={\frac {a^{2}-1}{2}}:c={\frac {a^{2}+1}{2}}.$
a este par (Platon, 380 î.Hr.): $a:b=\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}-1:c=\left({\frac {a}{2}}\right)^{ 2}+1.$

Se poate arăta că toate triplele pitagoreene sunt obținute din succesiunea platoniciană ( x , y , z ) = p , ( p 2 − 1)/2 și ( p 2 + 1)/2 dacă p i se permite să ia neîntregi valori (rationale). Dacă în această secvență p este înlocuit cu o fracție rațională m / n , obținem generatorul „standard” de triple 2 mn , m 2 − n 2 și m 2 + n 2 . Rezultă că orice triplu corespunde unei valori raționale p , care poate fi folosită pentru a obține un triunghi similar cu laturile raționale proporționale cu laturile triunghiului inițial. De exemplu, echivalentul platonic al triplei (6, 8, 10) ar fi (3/2; 2, 5/2).

Ecuația Jacobi-Madden

Ecuația

{\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4))

este echivalent cu triplul diofantin special

(a^{2}+ab+b^{2})^{2}+(c^{2}+cd+d^{2})^{2}=((a+b)^ {2}+(a+b)(c+d)+(c+d)^{2})^{2}.

Există un număr infinit de soluții ale acestei ecuații care pot fi obținute folosind o curbă eliptică . Două dintre aceste soluții:

a,b,c,d=-2634,955,1770,5400,

a,b,c,d=-31764,7590,27385,48150.

Sume egale a două pătrate

O modalitate de a genera soluții pentru este de a parametriza a , b , c , d în termeni de numere naturale m , n , p , q după cum urmează: [40] $a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}$

(m^{2}+n^{2})(p^{2}+q^{2})=(mp-nq)^{2}+(np+mq)^{2}= (mp+nq)^{2}+(np-mq)^{2}.

Sume egale de două a patra puteri

Având în vedere două seturi de triple pitagoreice:

(a^{2}-b^{2})^{2}+(2ab)^{2}=(a^{2}+b^{2})^{2},

(c^{2}-d^{2})^{2}+(2cd)^{2}=(c^{2}+d^{2})^{2},

apoi problema găsirii produselor egale ale catetei și ipotenuzei

(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})=(c^{2}-d^{2})(c^{2}+ d^{2}),

după cum este ușor de văzut, este echivalent cu ecuația

a^{4}-b^{4}=c^{4}-d^{4},

pentru care Euler a obţinut soluţia . Deoarece el a arătat că acest punct este un punct rațional pe o curbă eliptică , există un număr infinit de soluții. De fapt, a găsit și o parametrizare polinomială de gradul 7. $a,b,c,d=133,59,158,134$

Teorema cercului lui Descartes

În cazul teoremei lui Descartes , când toate variabilele sunt pătrate,

2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d ^{2})^{2}.

Euler a arătat că aceasta este echivalentă cu trei triple pitagorice:

(2ab)^{2}+(2cd)^{2}=(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2},

(2ac)^{2}+(2bd)^{2}=(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})^{2},

(2ad)^{2}+(2bc)^{2}=(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})^{2}.

Și aici există un număr infinit de soluții, iar pentru un caz special, ecuația se simplifică la $a+b=c$

4(a^{2}+ab+b^{2})=d^{2},

care are o soluție cu numere mici și poate fi rezolvată ca formă binară pătratică . $a,b,c,d=3,5,8,14$

Triple pitagoreice aproape isoscele

Există triunghiuri dreptunghiulare cu laturi întregi, în care lungimile catetelor diferă cu unul, de exemplu:

3^{2}+4^{2}=5^{2},

20^{2}+21^{2}=29^{2}

și un număr infinit de altele. Pentru ei, putem deriva o formulă generală

\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{2}=y ^{2},

unde ( x , y ) sunt soluții ale ecuației lui Pell . $x^{2}-2y^{2}=-1$

În cazul în care catetul și ipotenuza diferă cu unul, ca și în cazuri

5^{2}+12^{2}=13^{2},

7^{2}+24^{2}=25^{2},

solutia generala ar fi

(2m+1)^{2}+(2m^{2}+2m)^{2}=(2m^{2}+2m+1)^{2},

de unde se poate observa că toate numerele impare (mai mari decât 1) apar în triplele pitagorice primitive.

Generalizări

Există mai multe opțiuni pentru generalizarea conceptului de triple pitagoreice.

Cvadruple pitagoreice

O mulțime de patru numere naturale a , b , c și d astfel încât a 2 + b 2 + c 2 = d 2 se numește cvadruplu pitagoreic . Cel mai simplu exemplu este (1, 2, 2, 3) deoarece 1 2 + 2 2 + 2 2 = 3 2 . Următorul exemplu (primitiv) cel mai simplu este (2, 3, 6, 7) deoarece 2 2 + 3 2 + 6 2 = 7 2 .

Toate cele patru sunt date prin formula

(m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2})^{2}+(2mq+2np)^{2}+(2nq-2mp)^{2}= (m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2})^{2}.

n -mulți pitagoreene

Folosind o identitate algebrică simplă

(x_{1}^{2}-x_{0})^{2}+(2x_{1})^{2}x_{0}=(x_{1}^{2}+x_{ 0})^{2}

pentru x 0 , x 1 arbitrar , este ușor de demonstrat că pătratul sumei n pătrate este el însuși suma n pătrate, pentru care punem x 0 = x 2 2 + x 3 2 + … + x n 2 și extindeți parantezele [41] . Se poate observa cu ușurință că triplele și quadurile pitagoreene sunt doar cazuri speciale de x 0 = x 2 2 și respectiv x 0 = x 2 2 + x 3 2 , care pot fi continuate pentru alți n folosind formula de cinci pătrate.

(a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}+(2ab)^{2}+(2ac)^{2}+( 2ad)^{2}=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}.

Deoarece suma F ( k , m ) a k pătrate succesive, începând de la m 2 , este dată de formula [42]

F(k,m)=km(k-1+m)+{\frac {k(k-1)(2k-1)}{6)),

se pot găsi valori ( k , m ) astfel încât F ( k , m ) este un pătrat. Astfel, Hirshhorn a găsit o formulă pentru secvențe în care numărul de termeni este el însuși un pătrat [43] ,

m={\frac {v^{4}-24v^{2}-25}{48)),k=v^{2},\F(m,k)={\frac {v^ {5}+47v}{48}}

și v ⩾ 5 este orice număr natural care nu este divizibil cu 2 sau 3. Cea mai mică valoare este v = 5, de unde k = 25, ceea ce dă valoarea binecunoscută din problema de stocare a ghiulelor Lucas :

0^{2}+1^{2}+2^{2}+\dots +24^{2}=70^{2},

un fapt care este legat de rețeaua Leach .

Mai mult, dacă într-un n -tuplu pitagoreic ( n ⩾ 4) toți termenii sunt numere naturale consecutive, cu excepția ultimului, se poate folosi egalitatea [44]

F(k,m)+p^{2}=(p+1)^{2}.

Deoarece a doua putere a lui p se anulează, rămâne o ecuație liniară care se rezolvă ușor , deși k și m trebuie aleși astfel încât p să fie un număr întreg, iar exemplul se obține cu k = 5 și m = 1: $p=(F(k,m)-1)/2$

1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+27^{2}=28^{2}.

Astfel, obținem o metodă de generare a n -tuplurilor pitagoreice alegând x [45] :

x^{2}+(x+1)^{2}+\dots +(x+q)^{2}+p^{2}=(p+1)^{2},

unde q = n − 2 și

p={\frac {1}{2}}\left((q+1)x^{2}+q(q+1)x+{\frac {q(q+1)(2q+1) )}{6}}-1\dreapta).

Ultima teoremă a lui Fermat

O generalizare a conceptului de triple pitagoreice este căutarea triplelor numerelor naturale a , b și c astfel încât a n + b n = c n pentru unele n mai mari decât 2. Pierre de Fermat a afirmat în 1637 că nu există astfel de triple . , iar această afirmație a devenit cunoscută sub numele de Ultima Teoremă a lui Fermat, deoarece a durat mult mai mult pentru a demonstra sau a infirma decât oricare dintre celelalte ipoteze ale lui Fermat. Prima dovadă a fost dată de Wiles în 1994.

n - 1 sau n a n- a puteri ca a n- a putere

O altă generalizare este să găsim șiruri de n + 1 numere naturale pentru care puterea a n- a a ultimului termen al șirului este egală cu suma puterilor a n- a ale termenilor anteriori. Cele mai mici secvențe pentru valorile cunoscute ale lui n sunt:

n = 3: {3, 4, 5; 6}.
n = 4: {30, 120, 272, 315; 353}
n = 5: {19, 43, 46, 47, 67; 72}
n = 7: {127, 258, 266, 413, 430, 439, 525; 568}
n = 8: {90, 223, 478, 524, 748, 1088, 1190, 1324; 1409}

Într-o generalizare puțin diferită, suma ( k + 1) a n- a puteri este echivalentă cu suma a ( n - k ) a n- a puteri. De exemplu:

( n = 3): 1 3 + 12 3 = 9 3 + 10 3 . Un exemplu a devenit celebru după amintirea lui Hardy de o conversație cu Ramanujan despre numărul 1729, care este cel mai mic număr care poate fi reprezentat ca suma a două cuburi în două moduri diferite.

Pot exista, de asemenea, n − 1 n- a puteri ale numerelor naturale care însumează a n- a putere a unui număr natural (deși, conform ultimei teoreme a lui Fermat , nu pentru n = 3). Aceste secvențe sunt contraexemple pentru conjectura lui Euler . Contraexemple mai puțin cunoscute [46] [47]

n = 4: (95800, 217519, 414560; 422481)
n = 5: (27, 84, 110, 133; 144)

Triple din triunghiul lui Heron

Triunghiul lui Heron este de obicei definit ca un triunghi cu laturi întregi a cărui zonă este, de asemenea, un număr întreg și vom presupune că laturile triunghiului sunt distincte . Lungimile laturilor unui astfel de triunghi formează un triplu heronian ( a, b, c ), unde a < b < c . Este clar că triplele pitagoreene sunt triple heroniene, deoarece într-un triplu pitagoreic cel puțin unul dintre catetele a și b este un număr par, deci aria triunghiului ab /2 va fi un număr întreg. Nu orice triplă a lui Heron este pitagoreică, deoarece, de exemplu, tripla (4, 13, 15) cu zona 24 nu este pitagoreică.

Dacă ( a , b , c ) este un triplu Heron, atunci va fi ( ma , mb , mc ) pentru orice m natural mai mare decât unu. Un triplu heronian ( a , b , c ) este primitiv dacă a , b și c sunt coprime perechi (cum este cazul triplelor pitagorice). Mai jos sunt câteva triple heroniene care nu sunt pitagoreice:

(4, 13, 15) cu o suprafață de 24, (3, 25, 26) cu zona 36, (7, 15, 20) cu zona 42, (6, 25, 29) cu zona 60, (11, 13, 20) cu zona 66, (13, 14, 15) cu zona 84, (13, 20, 21) cu o suprafață de 126.

Prin formula lui Heron , pentru ca un triplu de numere naturale ( a , b , c ) cu a < b < c să fie un triplu Heron, este necesar ca

( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 − 2 ( a 4 + b 4 + c 4 )

sau, care este la fel,

2 ( a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) − ( a 4 + b 4 + c 4 )

a fost un pătrat perfect diferit de zero, divizibil cu 16.

Utilizare

Triplele pitagoreene primitive sunt folosite în criptografie ca secvențe aleatorii și pentru generarea de chei [48] .

Vezi și

Note

↑ V. Serpinsky . Triunghiuri pitagoreice. - M . : Uchpedgiz, 1959. - 111 p.
↑ Robson, Eleanor (februarie 2002), Words and pictures: new light on Plimpton 322 , American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America). — V. 109(2): 105–120, doi : 10.2307/2695324 , < http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Robson105-120.pdf > Arhivat copie datată 10 august 2017 la Wayback Machine
↑ D.E. Joyce. Elementele lui Euclid. - Universitatea Clark, iunie 1997. - C. Cartea X, Propunerea XXIX .
↑ Douglas W. Mitchell. O caracterizare alternativă a tuturor triplelor pitagoreice primitive // The Mathematical Gazette. - iulie 2001. - T. 85 , nr. 503 . — S. 273–5 . — .
↑ Raymond A. Beauregard, E. R. Suryanarayan. Dovezi fără cuvinte: mai multe exerciții de gândire vizuală / Roger B. Nelsen. - Asociația de matematică din America , 2000. - Vol. II . - S. 120 . - ISBN 978-0-88385-721-2 .
↑ Eli Major. Teorema lui Pitagora . - Princeton University Press, 2007. - C. Anexa B.
↑ 1 2 3 Sierpinski, 2003 .
↑ Houston, 1993 , p. 141.
↑ Posamentier, 2010 , p. 156.
↑ Inexistența unei soluții în care atât a cât și b sunt pătrate, demonstrată inițial de Pierre de Fermat . Pentru alte cazuri în care c este unul dintre pătrate, vezi cartea lui Stillwell.
↑ Carmichael, 1959 , p. 17.
↑ Carmichael, 1959 , p. 21.
↑ Sierpinski, 2003 , p. 4-6.
↑ Sierpinski, 2003 , p. 23-25.
↑ MacHale, Bosch, 2012 , p. 91-96.
↑ Sally, 2007 , p. 74-75.
↑ Aceasta rezultă din faptul că unul dintre numerele a sau b este divizibil cu patru și din definiția numerelor congruente ca zone ale triunghiurilor dreptunghiulare cu laturile raționale
↑ Baragar, 2001 , p. 301, exercițiul 15.3.
↑ Bernhart, Price, 2005 .
↑ Bernhart, Price, 2005 , p. 6.
↑ Carmichael, 1959 , p. paisprezece.
↑ Rosenberg, Spillane, Wulf, mai 2008 , p. 656-663.
↑ Paul Yiu, 2008 .
↑ Sierpinski, 2003 , p. 31.
↑ Pickover, 2009 , p. 40.
↑ Paul Yiu, 2008 , p. 17.
↑ Weisstein, Eric W. Pythagorean triple pe site- ul Wolfram MathWorld .
↑ 12 Trautman , 1998 .
↑ Eckert, 1984 .
↑ Paul Yiu, 2003 .
↑ Secvența A093536 în OEIS .
↑ Secvența A225760 în OEIS .
↑ Alperin, 2005 .
↑ Berggren, 1934 .
↑ Discuții suplimentare despre relația părinte-copil - triplă pitagoreică (Wolfram) Arhivată la 17 martie 2015 la Wayback Machine , Alperin, 2005 .
↑ Stillwell, 2002 , p. 110–2 Capitolul 6.6 Triple pitagoreice.
↑ Gauss, 1832 Vezi și Werke , 2 :67-148.
↑ 1988 Preprint Arhivat la 9 august 2011 la Wayback Machine Vezi figura 2 la p. 3. Acesta a fost publicat mai târziu în ( Fässler 1991 )
↑ Benito, Varona, 2002 , p. 117–126.
↑ Nahin, Paul. O poveste imaginară: Povestea p. 25-26. ${\sqrt {-1}),$
↑ O colecție de identități algebrice: sume de n pătrate . Consultat la 15 martie 2015. Arhivat din original pe 6 martie 2012. (nedefinit)
↑ Suma cuburilor consecutive este egală cu un cub (link descendent) . Arhivat din original pe 15 mai 2008. (nedefinit)
↑ Michael Hirschhorn. Când este suma pătratelor consecutive un pătrat? // Gazeta Matematică. - noiembrie 2011. - T. 95 . — S. 511–2 . — ISSN 0025-5572 .
↑ John F. Jr. Goehl. Reflecții cititorului // Profesor de matematică. - mai 2005. - T. 98 , nr. 9 . - S. 580 .
↑ John F. Goehl, Jr. Triple, cvartete, pentade // Profesor de matematică. - mai 2005. - T. 98 . - S. 580 .
↑ Scott Kim. Bogglers // Descoperiți . - mai 2002. - S. 82 .
Ecuația este mai complicată, abia în 1988, după 200 de ani de încercări nereușite ale matematicienilor de a demonstra imposibilitatea rezolvării ecuației, Noam Elkis de la Harvard a găsit un contraexemplu - 2.682.440 4 + 15.365.639 4 + 18.7496 = 18.767 20.615.673 4 : ${\displaystyle w^{4}+x^{4}+y^{4}=z^{4))$
Noam Elkies. Pe A 4 + B 4 + C 4 = D 4 // Matematica calculului. - 1988. - T. 51 . — S. 825–835 .
↑ MacHale, Bosch, 2012 , p. 91-96.
↑ S. Kak, M. Prabhu. Aplicații criptografice ale triplelor pitagoreene primitive // Cryptologia. - 2014. - T. 38 , nr. 3 . - S. 215-222 .

Literatură

RD Carmichael. Teoria numerelor și analiza diofantină . - Dover Publ, 1959. - C. Analiza diofantină.
Waclaw Sierpinski. Triunghiuri pitagoreice. - Dover, 2003. - ISBN 978-0-486-43278-6 .
John Stillwell. numere și geometrie. - Springer, 1998. - P. 133. - (Texte de licență în matematică). — ISBN 9780387982892 .
Thomas Koshy. Teoria elementară a numerelor cu aplicații. - Academic Press, 2002. - P. 545. - ISBN 9780124211711 .
David Houston. Dovezi fără cuvinte: exerciții de gândire vizuală / Roger B. Nelsen. - Mathematical Association of America, 1993. - P. 141. - ISBN 978-0-88385-700-7 .
Alfred S. Posamentier. Teorema lui Pitagora: Povestea puterii și frumuseții sale . - Prometheus Books, 2010. - ISBN 9781616141813 .
Des MacHale, Christian van den Bosch. Generalizarea unui rezultat despre triplele pitagorice // Gazeta Matematică . - 2012. - T. 96 .
Judith D. Sally. Rădăcinile cercetării: o dezvoltare verticală a problemelor matematice. - Societatea Americană de Matematică, 2007. - ISBN 9780821872673 . .
Neal Koblitz. Introducere în curbele eliptice și forme modulare. - Springer, 1993. - V. 97. - (Texte de absolvire în matematică). — ISBN 9780387979663 .
Arthur Baragar. Un studiu al geometriilor clasice și moderne: cu activități computerizate . - Prentice Hall, 2001. - ISBN 9780130143181 .
Paul Yiu. Triunghiuri de stârc care nu pot fi descompuse în două triunghiuri dreptunghiulare întregi. - A 41-a întâlnire a Secțiunii din Florida a Asociației Matematice din America, 2008.
Clifford A. Pickover. Cartea de matematică. - Sterling, 2009. - P. Capitolul „Teorema lui Pitagora și triunghiuri”. — ISBN 1402757964 .
John Stillwell. Elemente ale teoriei numerelor. - Springer, 2002. - ISBN 978-0-387-95587-2 .
Pythagorian Triples and the Unit Circle Arhivat la 15 decembrie 2011 la Wayback Machine , cap. 2-3, în „ A Friendly Introduction to Number Theory Archived 6 martie 2015 at the Wayback Machine ” de Joseph H. Silverman, a 3-a ed., 2006, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, ISBN 0-13-186137 -9
Dmitri Viktorovici Anosov . O privire la matematică și ceva din ea . - Ed. a II-a. - M .: MTSNMO , 2003. - T. 3. - 32 p. - (Biblioteca „Educația matematică”). — 3000+1500 de exemplare. — ISBN 5-94057-111-5 . Arhivatpe 12 ianuarie 2014 laWayback Machine

Link -uri

Paul Yiu. Matematică recreațională // Note de curs, Dept. de Științe Matematice, Universitatea Florida Atlantic. — 2003.
Frank R. Bernhart, H. Lee Price. Formula lui Heron, cercurile lui Descartes și triunghiurile lui Pitagora. — 2005. arXiv
Steven Rosenberg, Michael Spillane, Daniel B. Wulf. Triunghiuri de stârc și spații de module // Profesor de matematică. - mai 2008. - T. 101 .
Gauss C. F. Theoria residuorum biquadraticorum // Comm. soc. Reg. sci. Gott. Rec .. - 1832. - T. 4 .
Albert Fassler. Triple multiple de numere pitagorice // American Mathematical Monthly. - 1991. - T. 98 , nr. 6 . — .
Manuel Benito, Juan L. Varona. Triunghiuri pitagoreice cu catete mai mici de n . - 2002. - T. 143 . - doi : 10.1016/S0377-0427(01)00496-4 .
Roger C Alperin. Arborele modular al lui Pitagora // American Mathematical Monthly. - Mathematical Association of America, 2005. - V. 112 , nr. 9 . — S. 807–816 . — .
B. Berggren. Pytagoreiska trianglar (suedeză) // Tidskrift för elementär matematik, fysik och kemi. - 1934. - T. 17 . — S. 129–139 .
Ernest Eckert. Triple primitive pitagorice // The College Mathematics Journal. - Mathematical Association of America, 1992. - V. 23 , nr. 5 . — S. 413–417 . — .
Ernest J. Eckert, Preben Dahl Vesrergaard. Grupuri de triunghiuri integrale // The Fibonacci Quarterly. - 1989. - T. 27 , nr. 5 . - S. 458-464 .
Ernest J. Eckert. Grupul Triunghiurilor Pitagorice primitive // Revista de Matematică. - 1984. - T. 57 .
Noam Elkies. Triplele lui Pitagora și teorema lui Hilbert 90.
Artema Martin. Triunghiuri dreptunghiulare raționale aproape isoscele // The Analyst . - Analele matematicii, 1875. - Vol. 3 , nr. 2 . — S. 47–50 . - doi : 10.2307/2635906 . — .
Andrzej Trautman. Univers geometric / S. A. Hugget, L. J. Mason, K. P. Tod, S. T. Tsou, N. M. J. Woodhouse. — 1998.
Weisstein, Eric W. Pythagorean Triple (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Un exemplu de program Python pentru construirea triplelor pitagoreene