Probabilitate densitate

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 24 august 2021; verificările necesită 7 modificări .

Densitatea probabilității este una dintre modalitățile de a specifica distribuția unei variabile aleatoare . În multe aplicații practice, conceptele de „densitate de probabilitate” și „densitate (distribuție) unei variabile aleatoare ” sau „ funcție de distribuție a probabilității ” sunt de fapt sinonime si inseamna o functie reala care caracterizeaza probabilitatea comparativa de realizare a anumitor valori ale unei variabile aleatoare (variabile).

Descrierea aplicată a conceptului

Densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare continue unidimensionale este o funcție numerică , raportul dintre valorile căreia se află în puncte și stabilește raportul dintre probabilitățile ca cantitatea să se încadreze în intervale înguste de lățime egală și în apropierea acestor puncte. $\xi$ $f(x)$ $f(x_{1})/f(x_{2})$ $x_{1}$ $x_{2}$ $\xi$ $[x_{1},x_{1}+\Delta x]$ $[x_{2},x_{2}+\Delta x]$

Densitatea distribuției este nenegativă pentru oricare și este normalizată, adică $X$

\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,{\mbox{d}}x=1

Când tinde spre , funcția tinde spre zero. Dimensiunea densității distribuției este întotdeauna inversă cu dimensiunea unei variabile aleatoare - dacă este calculată în metri, atunci dimensiunea va fi m -1 . $X$ $\,\pm \infty$ $f(x)$ $\xi$ $f$

Dacă expresia pentru este cunoscută într-o anumită situație , poate fi utilizată pentru a calcula probabilitatea ca valoarea să cadă în intervalul ca $f(x)$ $\xi$ $[a,b]$

P(\xi \in [a,b])=\int _{a}^{b}f(x)\,{\mbox{d}}x

Cunoscând densitatea de probabilitate, se poate determina și valoarea ( modul ) cea mai probabilă a unei variabile aleatoare ca maxim . De asemenea, folosind densitatea de probabilitate, se găsește valoarea medie a unei variabile aleatoare: $f(x)$

E\xi =\int _{-\infty }^{+\infty }xf(x)\,{\mbox{d}}x

și valoarea medie a unei funcții măsurabile a unei variabile aleatoare: $g(\xi )$

\langle g(\xi )\rangle =\int _{-\infty }^{+\infty }g(x)f(x)\,{\mbox{d}}x

Pentru a trece la densitatea de distribuție a unei alte variabile aleatoare , trebuie să luăm ${f}_{\chi }(y)$ $\chi =z(\xi )$

{f}_{\chi}(y)=f(z^{-1}(y))\cdot \left|{\frac {{\mbox{d}}z^{-1}( y)}{{\mbox{d}}y}}\right|

unde este funcția inversă față de (se presupune că z este o mapare unu-la-unu a ). $z^{-1}(y)$ $y=z(x)$

Valoarea densității distribuției nu este probabilitatea de a lua valoarea ca o variabilă aleatoare . Deci, probabilitatea de a lua o valoare de către o variabilă aleatoare continuă este egală cu zero. Cu o distribuție continuă a unei variabile aleatoare , se poate pune întrebarea despre probabilitatea ca aceasta să se încadreze într-un anumit interval, și nu despre probabilitatea realizării valorii sale specifice. $f(x_{1})$ $x_{1}$ $\xi$ $x_{1}$ $\xi$

Integral

\int _{-\infty }^{x}f(t)\,{\mbox{d}}t=F(x)

se numește funcție de distribuție (respectiv, densitatea distribuției de probabilitate este derivata funcției de distribuție). Funcția este nedescrescătoare și se modifică de la 0 la 1 la . $F$ $x\la -\infty$ $x\la +\infty$

Cea mai simplă distribuție este distribuția uniformă pe intervalul . Pentru el, densitatea de probabilitate este: $[a,b]$

f(x)=\left\{{\begin{matrix}{1 \over ba},&x\in [a,b]\\0,&x\nu \in [a,b]\end{ matrice}}\dreapta..

O distribuție binecunoscută este distribuția „ normală ”, care este și gaussiană, a cărei densitate este scrisă ca

f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left[-{\frac {(x-\mu )^{2}}{ 2\sigma ^{2}}}\right]

unde și sunt parametrii: așteptarea matematică și abaterea standard . Alte exemple de densități de distribuție sunt Laplacianul unilateral ( ): $\mu$ $\sigma$ $\lambda>0$

f(x)=A\exp \left[-\lambda \,x\right]\,\,(x\geq 0)

și ,

f(x)=0\,\,(x<0)

și Maxwellian ( ): $\alpha >0$

f(x)=Ax^{2}\exp \left[-\alpha x^{2}\right]\,\,(x\geq 0)

și .

f(x)=0\,\,(x<0)

În ultimele două exemple, factorul este selectat în funcție de parametru sau astfel încât să se asigure normalizarea integralei densității de probabilitate. În cazul distribuției Laplace, se dovedește că . $A$ $\lambda$ $\alfa$ $A=\lambda$

Atât aceste distribuții, cât și alte distribuții sunt utilizate pe scară largă în fizică. De exemplu, în cazul distribuției Maxwell , rolul unei variabile aleatoare este de obicei jucat de valoarea absolută a vitezei unei molecule într -un gaz ideal . În același timp, același simbol este adesea folosit pentru argumentul funcției ca și pentru variabila aleatoare luată în considerare în problema fizică (ca și cum ar fi peste tot mai sus ). Deci, în expresia densității distribuției Maxwelliene, ei nu scriu o variabilă formală , ci un simbol de viteză . În cele mai simple situații, astfel de libertăți cu notație nu duc la neînțelegeri. $f$ $\xi$ $X$ $X$ $v$

Descrește pe măsură ce argumentul tinde sau o secțiune a graficului densității probabilității în zonele în care , se numește coadă . Dintre distribuțiile menționate, normalul și Laplacianul au două cozi (în stânga și în dreapta), iar Maxwellianul în formă scrisă are una (în dreapta). $+\infty$ $-\infty$ $f(x)$ $f\ll f_{max}$

Esența conceptului de „densitate de probabilitate” a fost enunțată mai sus. Totuși, o astfel de prezentare nu este riguroasă - densitatea este adesea o funcție a mai multor mărimi, raționamentul implicit presupus nu a garantat întotdeauna continuitatea și diferențiabilitatea funcțiilor și așa mai departe. $f$

Definiția densității de probabilitate în teoria măsurării

Densitatea probabilității poate fi gândită ca o modalitate de a specifica o măsură de probabilitate pe un spațiu euclidian . Fie o măsură de probabilitate pe , adică este definit un spațiu de probabilitate , unde denotă σ-algebra Borel pe . Să notăm măsura Lebesgue pe . Probabilitatea se numește absolut continuă (în raport cu măsura Lebesgue) ( ) dacă orice set Borel de măsură Lebesgue zero are și probabilitate zero: $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {P}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\left(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n),\mathbb{P}\right)$ $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ $\mathbb {R} ^{n}$ $m$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {P}$ $\mathbb{P} \ll m$

\forall B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n),\; ( m(B) = 0 ) \Rightarrow ( \mathbb{P}(B) = 0 ) .

Dacă probabilitatea este absolut continuă, atunci, conform teoremei Radon-Nikodym, există o funcție Borel nenegativă astfel încât $\mathbb {P}$ $f\colon\mathbb{R}^n \la [0,\infty)$

\mathbb{P}(B) = \int\limits_{B} f(x)\, dx

unde se foloseşte abrevierea convenţională , iar integrala este înţeleasă în sensul lui Lebesgue . $m(dx) \equiv dx$

Mai general, fie un spațiu măsurabil arbitrar și fie și două măsuri pe acest spațiu. Dacă există un non-negativ , care permite exprimarea măsurii în termeni de măsură în formă $(X, \mathcal F)$ $\mu$ $\nu$ $f$ $\nu$ $\mu$

\nu(A) = \int_A fd\mu,

atunci o astfel de funcție se numește densitatea măsurii în raport cu măsura $\nu$ $\mu$ sau derivata Radon-Nikodym a măsurii în raport cu măsura $\nu$ $\mu$ și se notează

f=\frac{d\nu}{d\mu}

Densitatea unei variabile aleatoare

Fie definit un spațiu de probabilitate arbitrar și o variabilă aleatoare (sau un vector aleatoriu). induce o măsură de probabilitate pe , numită distribuția variabilei aleatoare . $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ $X$ $\mathbb {P} ^{X}$ $\left(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\dreapta)$ $X$

Dacă distribuția este absolut continuă în raport cu măsura Lebesgue, atunci densitatea ei se numește densitatea variabilei aleatoare . Se spune că variabila aleatoare în sine este absolut continuă. $\mathbb {P} ^{X}$ $f_X = \frac{d\mathbb{P}^X}{dx}$ $X$ $X$

Astfel, pentru o variabilă aleatoare absolut continuă, avem:

\mathbb{P}(X \in B) = \int\limits_{B} f_X(x)\, dx

. Note

Nu orice variabilă aleatorie este absolut continuă. Orice distribuție discretă, de exemplu, nu este absolut continuă în raport cu măsura Lebesgue și, prin urmare, variabilele aleatoare discrete nu au o densitate.

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare absolut continue este continuă și poate fi exprimată în termeni de densitate după cum urmează: $X$

F_X(x_1,\ldots, x_n) = \mathbb{P}\left(X \in \prod\limits_{i=1}^n (-\infty,x_i]\right) = \int\limits_{-\ infty}^{x_n} \!\!\ldots \!\!\int\limits_{-\infty}^{x_1} f_X(x'_1,\ldots, x'_n)\, dx'_1\ldots dx '_n

În cazul unidimensional:

F_X(x) = \int\limits_{-\infty}^x f_X(x')\, dx'

Dacă , atunci , și $f_X \in C(\mathbb{R}^n)$ $F_X \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$

\frac{\partial^n}{\partial x_1 \ldots \partial x_n} F_X(x_1,\ldots, x_n) = f_X(x_1,\ldots, x_n)

În cazul unidimensional:

\frac{d}{dx} F_X(x) = f_X(x)

Așteptările matematice ale unei funcții dintr-o variabilă aleatoare absolut continuă poate fi scrisă astfel:

\mathbb{E}[g(X)] = \int\limits_{\mathbb{R}^n} g(x) \, \mathbb{P}^X(dx) = \int\limits_{\mathbb{ R}^n} g(x)\, f_X(x)\, dx

unde este o funcție Borel, deci este definită și finită. $g\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ $\mathbb{E}[g(X)]$

Transformarea de densitate a unei variabile aleatoare

Fie o variabilă aleatoare absolut continuă și o funcție injectivă diferențiabilă continuu astfel încât , unde este Jacobianul funcției în punctul . Atunci variabila aleatoare este , de asemenea, absolut continuă, iar densitatea ei are forma: $X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ $g\colon\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ $J_g(x) \not=0,\; \forall x\in \mathbb{R}^n$ $J_g(x)$ $g$ $X$ $Y = g(X)$

f_Y(y) = f_X\left(g^{-1}(y)\right) \vert J_{g^{-1}}(y) \vert

În cazul unidimensional:

f_Y(y) = f_X\left(g^{-1}(y)\dreapta) \left\vert \frac{dg^{-1}}{dy}(y)\right\vert

Proprietățile densității probabilității

Densitatea de probabilitate este definită aproape peste tot . Dacă este o densitate de probabilitate și aproape peste tot în raport cu măsura Lebesgue, atunci funcția este, de asemenea, o densitate de probabilitate./ $f$ $\mathbb {P}$ $f(x)=g(x)$ $g$ $\mathbb {P}$

Integrala densității pe întreg spațiul este egală cu unitatea:

\mathbb{P}\left(\mathbb{R}^n\right) = \int\limits_{\mathbb{R}^n} f(x)\, dx = 1

În schimb, dacă este o funcție nenegativă aproape peste tot astfel încât , atunci există o măsură de probabilitate absolut continuă pe astfel de densitatea acesteia. $f(x)$ $\int\limits_{\mathbb{R}^n}f(x)\, dx = 1$ $\mathbb {P}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $f(x)$

Schimbare de măsură în integrala Lebesgue:

\int\limits_{\mathbb{R}^n} \varphi(x)\, \mathbb{P}(dx) = \int\limits_{\mathbb{R}^n}\varphi(x)\, f (x)\, dx

unde este integrabilă orice funcție Borel în raport cu măsura probabilității . $\varphi ::\mathbb {R} ^{n}\la \mathbb {R}$ ${}\mathbb {P}$

Exemple de distribuții absolut continue

Vezi și

Literatură

Densitatea probabilității // Marea Enciclopedie Rusă : [în 35 de volume] / cap. ed. Yu. S. Osipov . - M . : Marea Enciclopedie Rusă, 2004-2017.