Programul Langlands

În matematică , programul Langlands este o rețea de ipoteze de anvergură și influente despre conexiunile dintre teoria numerelor și geometrie . A fost propus de Robert Langlands în 1967 și 1970. Încearcă să relaționeze grupurile Galois din teoria numerelor algebrice cu formele automorfe și teoria reprezentării grupurilor algebrice pe câmpuri și adelele locale . Considerat pe scară largă drept cel mai mare proiect în cercetarea matematică contemporană, programul Langlands a fost descris de Edward Frenkel drept „marea teorie unificată a matematicii” [1] .

Langlands a primit premiul Abel 2018 pentru programul Langlands.

Context

Programul Langlands este construit pe ideile dezvoltate mai devreme: filosofia formelor parabolice , formulată cu câțiva ani mai devreme de Harish-Chandra și Israel Gelfand în 1963, lucrarea lui Harish-Chandra asupra grupurilor de minciună semisimple și, în termeni tehnici, formula urmelor Selberg . , etc.

Principala noutate a lucrării lui Langlands, pe lângă profunzimea tehnică, a constat în conjecturi despre o legătură directă între teoria formelor automorfe și teoria reprezentării cu teoria numerelor, în special, despre corespondența dintre morfisme în aceste teorii ( functoralitate ).

De exemplu, în lucrarea lui Harish-Chandra se găsește principiul că ceea ce se poate face pentru un grup Lie semisimplu (sau reductiv) trebuie făcut pentru toți. Prin urmare, odată ce rolul unor grupuri de Lie de dimensiuni joase a fost recunoscut, cum ar fi în teoria formelor modulare, și cu retrospectivă în teoria câmpului de clasă , calea a fost deschisă cel puțin pentru asumarea cazului general . $\mathrm {GL} (2)$ $\mathrm {GL} (1)$ $\mathrm {GL} (n)$ $n>2$

Ideea formei de cuspid a venit de la cuspii pe curbe modulare , dar avea și o semnificație, văzută în teoria spectrală ca un spectru discret , în contrast cu spectrul continuu din seria Eisenstein . Devine mult mai tehnic pentru grupurile mari de Lie, deoarece subgrupurile parabolice sunt mai numeroase.

În toate aceste abordări nu au lipsit metodele tehnice, adesea de natură inductivă și bazate pe descompunerea Levy printre altele, dar domeniul a fost și rămâne foarte solicitant [3] .

Pe partea formelor modulare, au existat exemple precum formele modulare ale lui Hilbert , formele modulare ale lui Siegel și seria theta .

Obiectele ipotezei

Există o serie de ipoteze Langlands înrudite. Există multe grupuri diferite în multe domenii diferite pentru care pot fi afirmate, iar pentru fiecare zonă există mai multe ipoteze diferite [2] . Unele versiuni ale conjecturilor Langlands sunt nedefinite sau depind de entități precum grupurile Langlands , a căror existență nu a fost dovedită, sau de un grup L , care are mai multe definiții neechivalente. Mai mult, ipotezele lui Langlands au evoluat de când Langlands le-a conturat pentru prima dată în 1967.

Există diferite tipuri de obiecte pentru care pot fi formulate ipotezele Langlands:

Reprezentări ale grupurilor reductive peste câmpuri locale (cu diferite subcazuri corespunzătoare câmpurilor locale arhimediene, câmpurilor locale p - adice și completărilor câmpurilor funcționale )
Forme automorfe pe grupuri reductive peste câmpuri locale (cu subcazuri corespunzătoare câmpurilor numerice sau câmpurilor de funcție).
Câmpuri de sfârșit . Langlands nu a luat în considerare inițial acest caz, dar ipotezele sale au analogi pentru el.
Câmpuri mai generale, cum ar fi câmpurile de funcții peste câmpul de numere complexe.

Ipoteze

Există mai multe moduri diferite de a prezenta ipotezele lui Langlands care sunt strâns legate, dar nu sunt în mod evident echivalente.

Reciprocitate

Punctul de plecare al programului poate fi considerat legea reciprocității lui Artin , care generalizează legea pătratică a reciprocității . Legea reciprocității lui Artin este valabilă în orice extensie Galois a unui câmp numeric algebric al cărui grup Galois este abelian ; el atribuie unele L -funcții reprezentărilor unidimensionale ale acestui grup Galois și susține că aceste L -funcții sunt identice cu unele serie L Dirichlet sau cu serii mai generale construite din caractere Hecke (adică, niște analogi din funcția zeta Riemann , cum ar fi funcțiile L ). Corespondența exactă dintre aceste diferite tipuri de funcții L constituie legea reciprocității lui Artin.

Pentru grupurile Galois non-Abeliene și reprezentările lor de dimensiune mai mare decât 1, funcțiile L pot fi definite și într-un mod natural: Artin L -funcții .

Perspectiva lui Langlands a fost de a găsi o generalizare adecvată a funcțiilor L ale lui Dirichlet care să permită o generalizare a formulării lui Artin. Hecke a asociat anterior funcțiile L Dirichlet cu forme automorfe ( funcții holomorfe pe semiplanul superior care satisfac anumite ecuații funcționale). Langlands le-a generalizat apoi la reprezentări cuspidale automorfe , care sunt anumite reprezentări ireductibile cu dimensiuni infinite ale grupului liniar general peste inelul adele . (Acest inel ține evidența tuturor completărilor simultan , vezi numere p-adice .) $\mathbb {C}$ $\mathrm {GL} (n)$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

Langlands a asociat funcțiile L automorfe cu aceste reprezentări automorfe și a presupus că fiecare funcție L - Artin care decurge dintr-o reprezentare cu dimensiuni finite a grupului Galois al unui câmp numeric este egală cu o funcție L care decurge dintr-o reprezentare cuspidală automorfă. Aceasta este cunoscută sub numele de ipoteza sa de reciprocitate .

Aproximativ vorbind, ipoteza reciprocității oferă o corespondență între reprezentările automorfe ale unui grup reductiv și homomorfismele din grupul Langlands la grupurile L. Există multe variații în acest sens, parțial pentru că definițiile unui grup Langlands și ale unui grup L nu sunt fixe.

Acest lucru este de așteptat să ofere o parametrizare a pachetelor L de reprezentări ireductibile admisibile ale unui grup reductiv pe un câmp local. De exemplu, în domeniul numerelor reale, această corespondență este clasificarea Langlands a reprezentărilor grupurilor reductive reale. Peste câmpurile globale , această corespondență ar trebui să ofere o parametrizare a formelor automorfe.

Funcționalitate

Conjectura de funcționalitate afirmă că un homomorfism de grup L adecvat trebuie să dea o corespondență între forme automorfe (în cazul global) sau reprezentări (în cazul local). Aproximativ vorbind, Conjectura de echivalență Langlands este un caz special al conjecturii de funcționalitate atunci când unul dintre grupurile reductive este trivial.

Funcționalitate generalizată

Langlands a generalizat ideea de funcționalitate: alte grupuri reductive conectate pot fi utilizate în locul grupului liniar general . Mai mult, având un astfel de grup , Langlands construiește un grup dual , iar apoi pentru fiecare reprezentare cuspidală automorfă și orice reprezentare cu dimensiuni finite , el definește o funcție L. Una dintre conjecturile sale afirmă că aceste L -funcții satisfac o ecuație funcțională care generalizează ecuațiile funcționale ale altor L - funcții cunoscute . $\mathrm {GL} (n)$ $G$ $^{L}G$ $G$ $^{L}G$

El formulează apoi principiul foarte general al funcionalității . Având în vedere două grupuri reductive și un morfism (bun) între grupurile L corespunzătoare , Principiul Functorialității leagă reprezentările lor automorfe astfel încât acestea să fie compatibile cu L -funcțiile lor. De aici rezultă multe alte ipoteze existente. Aceasta este natura construcției reprezentării induse , ceea ce s-a numit „ lifting ” în teoria mai tradițională a formelor automorfe , cunoscută în cazuri speciale, și deci covariantă (în timp ce reprezentarea restrânsă este contravariantă). Încercările de a indica o construcție directă au dat doar câteva rezultate condiționate.

Toate aceste presupuneri pot fi formulate pentru câmpuri mai generale în loc de : câmpul numerelor algebrice (cazul original și cel mai important), câmpuri locale și câmpuri de funcții ( extensiile finite sunt câmpuri de funcții raționale peste un câmp finit cu elemente). $\mathbb {Q}$ $\mathbb {F} _{p}(t)$ $p$

Ipoteze geometrice

Așa-numitul program geometric Langlands, propus de Gerard Lomont după ideile lui Vladimir Drinfeld , ia naștere dintr-o reformulare geometrică a programului Langlands obișnuit. În cazuri simple, se leagă - reprezentări adice ale grupului fundamental étale al unei curbe algebrice cu obiecte din categoria derivată - snopi adici pe module de mănunchiuri vectoriale peste curbă. $\ell$ $\ell$

Starea actuală

Conjectura lui Langlands pentru rezultă din (și este în esență echivalentă cu) teoria câmpului de clasă . $\mathrm {GL} (1,K)$

Langlands a dovedit conjecturile Langlands pentru grupuri asupra câmpurilor locale arhimediene și , oferind clasificarea Langlands a reprezentărilor ireductibile asupra acestor câmpuri. $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Clasificarea lui Lustig a reprezentărilor ireductibile ale grupurilor de tip Lie pe câmpuri finite poate fi privită ca un analog al conjecturilor Langlands pentru câmpuri finite.

Dovada lui Andrew Wiles a modularității curbelor eliptice semistabile asupra numerelor raționale, dată de Andrew Wiles , poate fi văzută ca un exemplu de conjectura de reciprocitate Langlands, deoarece ideea principală este de a lega reprezentările Galois care decurg din curbele eliptice la forme modulare. Deși rezultatele lui Wiles au fost generalizate substanțial în multe direcții diferite, conjectura completă a lui Langlands rămâne nedovedită. $\mathrm {GL} (2,\mathbb {Q} )$

Laurent Lafforgue a demonstrat teorema lui Lafforgue , conjectura Langlands pentru grupul liniar general pentru câmpurile de funcții . Această lucrare a continuat lucrările anterioare a lui Drinfeld, care a dovedit conjectura pentru cazul . $\mathrm {GL} (n,K)$ $K$ $\mathrm {GL} (2,K)$

Conjecturi locale Langlands

Philip Kutsko a demonstrat în 1980 conjecturile locale Langlands pentru grupul liniar general asupra câmpurilor locale. $\mathrm {GL} (2,K)$

Gerard Lomon , Mikhail Rapoport , Ulrich Stüler au demonstrat în 1993 conjecturile locale Langlands pentru grupul liniar general pentru câmpurile locale cu caracteristici pozitive. Dovada lor folosește argumentul global. $\mathrm {GL} (n,K)$ $K$

Richard Taylor , Michael Harris în 2001 au demonstrat conjecturile locale Langlands pentru grupul liniar general pentru câmpurile locale de caracteristică 0. Guy Henniart în 2000 a dat o altă dovadă. Ambele dovezi folosesc argumentul global. Peter Scholze în 2013 a dat o altă dovadă. $\mathrm {GL} (n,K)$ $K$

Lema fundamentală

În 2008, Ngo Bao Chau a demonstrat lema fundamentală , care a fost propusă inițial de Langlands în 1983 și a fost solicitată să demonstreze unele conjecturi importante în programul [4] [5] al lui Langlands .

Note

↑ Cvartetul de matematică își unește forțele pe teoria unificată . Quanta (8 decembrie 2015). Preluat la 13 iulie 2018. Arhivat din original la 23 iunie 2021. (nedefinit)
↑ 1 2 Frenkel, Edward (2015), Dragoste și matematică. Inima realității ascunse , Peter, ISBN 978-5-496-01121-1
↑ „Totul este, așa cum a spus tatăl meu, puțin greu: avem spații de modul Hitchin și simetrie în oglindă, A-brane, B-brane, snopi automorfi... Încercarea de a ține evidența tuturor ingredientelor vă poate oferi cu ușurință. o durere de cap! Credeți-mă, chiar și printre specialiști, doar câțiva se pot lăuda că înțeleg toate aspectele acestui design .
↑ Ham Chau. Ngo Bao Chau, sommite mondial des maths (franceză) . Le Courrier du Vietnam (15 februarie 2009). Consultat la 13 iulie 2018. Arhivat din original la 28 septembrie 2011.
↑ Langlands, Robert P. (1983), Les debuts d'une formule des traces stable , vol. 13, Publications Mathematiques de l'Universite Paris VII [Mathematical Publications of the University of Paris VII], Paris: Universite de Paris VII UER de Mathematiques , < http://www.sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Langlands/endoscopy. html#debuts > Arhivat 1 aprilie 2018 la Wayback Machine

Link -uri

Arthur, James (2003), Principiul functorialității , Societatea Americană de Matematică. Buletin. New Series vol . 40 (1): 39–53, ISSN 0002-9904 , DOI 10.1090/S0273-0979-02-00963-1
Bernstein, J. & Gelbart, S. (2003), O introducere în programul Langlands , Boston: Birkhauser, ISBN 3-7643-3211-5
- J. Bernstein, St. Gelbart. Introducere în programul Langlands. - Moscova - Izhevsk, 2008.
Gelbart, Stephen (1984), O introducere elementară în programul Langlands , Societatea Americană de Matematică. Buletin. New Series vol. 10 (2) : 177–219, ISSN 0002-9904
Frenkel, Edward (2005), Prelegeri despre programul Langlands și teoria câmpului conform, arΧiv : hep-th/0512172 .
Gelfand, I.M. (1963), Funcțiile automorfe și teoria reprezentărilor , Proc. Internat. Congr. Matematicieni (Stockholm, 1962) , Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, p. 74–85 , < http://mathunion.org/ICM/ICM1962.1/ > . Preluat la 13 iulie 2018. Arhivat la 17 iulie 2011 la Wayback Machine
Harris, Michael & Taylor, Richard (2001), Geometria și coomologia unor varietăți Shimura simple , voi. 151, Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-09090-0 , < https://books.google.com/books?id=sigBbO69hvMC >
Henniart, Guy (2000), Une preuve simple des conjectures de Langlands pour GL(n) sur un corps p-adique , Inventiones Mathematicae vol . 139 (2): 439–455, ISSN 0020-9910 , DOI 10.1007/s002212005
Kutzko, Philip (1980), The Langlands Conjecture for Gl_2 of a Local Field , Annals of Mathematics vol. 112 (2): 381–412 , DOI 10.2307/1971151
Langlands, Robert (1967), Scrisoare către Prof. Weil , < http://publications.ias.edu/rpl/section/21 >
Langlands, R.P. (1970), Probleme în teoria formelor automorfe , Prelegeri în analiză și aplicații moderne, III , voi. 170, Lecture Notes in Math, Berlin, New York: Springer-Verlag , p. 18–61, ISBN 978-3-540-05284-5 , doi : 10.1007/BFb0079065 , < http://publications.ias.edu/rpl/section/21 >
Laumon, G.; Rapoport, M. & Stuhler, U. (1993), D-elliptic sheaves and the Langlands correspondence , Inventiones Mathematicae T. 113 (2): 217–338, ISSN 0020-9910 , DOI 10.1007/BF01244308
Scholze, Peter (2013), The Local Langlands Correspondence for GL(n) over p -adic fields , Inventiones Mathematicae T. 192 (3): 663–715 , DOI 10.1007/s00222-012-0420-5
Solomon Friedberg. Ce este... programul Langlands? // Avizele AMS . - 2018. - Vol. 65. - P. 663-665. - doi : 10.1090/noti1686 .
Vladimir Koroliov. Conectarea celor neconectați . N+1 (23 martie 2018). Preluat: 13 iulie 2018. (nedefinit)

Link -uri

Opera lui Robert Langlands
Robert Langlands. Funcționalitate și reciprocitate