O serie de pătrate inverse

O serie de pătrate inverse este o serie infinită :

{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\ frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots

Problema găsirii sumei acestei serii a rămas mult timp nerezolvată. Deoarece atenția matematicienilor europeni asupra acestei probleme a fost atrasă de profesorul de matematică de la Basel Jacob Bernoulli (1689), în istorie este adesea numită „ problema de la Basel ” (sau „ problema de la Basel ”). Primul care a găsit suma seriei în 1735 a fost Leonhard Euler , în vârstă de 28 de ani , s-a dovedit a fi egală cu

{\frac {\pi ^{2}}{6}}\aprox 1{,}6449340668482264364724151666460251892189499012067984377355582293\dots

(A se vedea secvența OEIS A013661 ).

Această sumă apare în multe alte probleme din teoria numerelor .

Rezolvarea acestei probleme (și a celor înrudite) nu numai că i-a adus tânărului Euler faima mondială [1] , dar a avut și un impact semnificativ asupra dezvoltării ulterioare a analizei , a teoriei numerelor și, ulterior , a analizei complexe . Din nou (după descoperirea seriei Leibniz ) , numărul a depășit geometria și și-a confirmat universalitatea. În cele din urmă, seria pătratului invers s-a dovedit a fi primul pas către introducerea funcției zeta Riemann [2] . Euler însuși a început această cale, luând în considerare o generalizare a seriei pătrate inverse - o serie pentru o putere pare arbitrară s și, de asemenea, derivând identitatea fundamentală a lui Euler : $\pi$

{\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\ frac {1}{4^{s}}}+\dots ={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s} }}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1 -11^{-s}}}\cdot \dots

Produsul din partea dreaptă este preluat peste toate numerele prime .

Istorie

Istoricii au descoperit pentru prima dată raționamentul cu privire la o serie de pătrate inverse în disertația matematicianului italian Pietro Mengoli ( Novae quadraturae arithmeticae seu de additione fractionum , 1644, publicată în 1650), dar apoi problema nu a trezit interes general. Mengoli a determinat că seria converge și a găsit suma primilor 10 termeni [3] :

{\frac {1968329}{1270080}}\aprox 1{,}54977.

Mai târziu, mulți matematicieni eminenți au încercat fără succes să găsească suma seriei, inclusiv Leibniz , Stirling , de Moivre , Christian Goldbach , frații Jacob și Johann Bernoulli . De asemenea, au calculat câteva cifre semnificative ale sumei seriei. Goldbach a arătat că suma este cuprinsă în intervalul (41/25; 5/3), Stirling în tratatul Methodus Differentialis (1730) a reușit să calculeze o valoare destul de exactă a sumei: 1,644934066, dar nimeni nu a putut determina exact ce anume valoarea a fost poate fi legată [3] [4] [5] .

Jacob Bernoulli a îndemnat în Arithmetic Propositions on Infinite Series (1689): „Dacă cineva reușește să găsească ceva care până acum nu a cedat eforturilor noastre și dacă ne-o comunică, atunci îi vom fi foarte datori” [ 2 . ] [6] . Dar în timpul vieții lui Jacob Bernoulli, soluția nu a apărut.

Euler a fost primul care a reușit , la aproape jumătate de secol după convertirea lui Bernoulli. Cel mai probabil, Johann Bernoulli, fratele lui Jacob, i-a spus lui Euler despre această problemă. Euler a relatat descoperirea în nota „On sums of inverse series” ( De summis serierum reciprocarum , 1735) [7] pentru revista „Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae” a Academiei de Științe din Sankt Petersburg . Valoarea sumei găsite de el a raportat și Euler într-o scrisoare către prietenul său Daniel Bernoulli , fiul lui Johann Bernoulli [8] :

Recent, am găsit, și destul de neașteptat, o expresie elegantă pentru suma unei serii legate de pătratul unui cerc... Și anume, suma de șase ori a acestei serii este egală cu pătratul perimetrului unui cerc al cărui diametru este 1.

Daniel i-a spus tatălui său, care și-a exprimat îndoielile cu privire la validitatea expansiunii lui Euler a sinusului într-un produs infinit (vezi mai jos ). Prin urmare, în 1748, Euler a justificat rezultatul mai riguros în monografia sa Introduction to the analysis of infinitezimals ( Introductio in analysin infinitorum , Volumul I, Capitolul X) [9] .

După cum notează John Derbyshire , a doua apariție (după seria Leibniz ) a unui număr într-un context neașteptat, complet non-geometric, a făcut o impresie puternică asupra matematicienilor din secolul al XVIII-lea [10] . $\pi$

Ca control, Euler a calculat manual suma seriei de 20 de cifre (aparent folosind formula Euler-Maclaurin , deoarece seria pătratului invers converge destul de lent). Apoi a comparat suma cu valoarea folosind valoarea aproximativă a numărului deja cunoscut la acel moment și s-a asigurat că ambele valori, în conformitate cu acuratețea contului, coincid. Ulterior (1743) Euler a publicat încă două moduri diferite de însumare a unei serii de pătrate inverse [11] . ${\frac {\pi ^{2}}{6)),$ $\pi$

Convergența seriei

Pentru a verifica dacă seria pătratului invers converge, este suficient să dovedim că următoarea serie converge [12] :

1+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+{\frac {1}{4\cdot 5}}+\puncte

Această serie majorează seria pătratului invers, deoarece fiecare termen din ea (cu excepția primului) este mai mare decât în seria pătratului invers. Poate fi reprezentat ca o sumă telescopică :

1+\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right) )+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\right)+\dots

Suma parțială a acestei serii este deci seria converge, iar suma ei este egală cu 2. Prin urmare, prin criteriul de comparație , și seria de pătrate inverse converge către un număr în intervalul (1, 2) [12] . $S_{n}$ $2-{1 \over n},$

Pentru a estima rata de convergență a sumelor parțiale, se poate folosi formula

{\frac {1}{m+1}}=\int \limits _{m+1}^{\infty }{{\frac {1}{t^{2}}}dt}<\ suma _{n=m+1}^{\mathcal {\infty }}{\frac {1}{n^{2}}}<\int \limits _{m}^{\infty }{{\frac {1}{t^{2}}}dt}={\frac {1}{m}}.

Suma din mijlocul formulei este diferența dintre serie și a ei sumă parțială, adică eroarea absolută a sumei parțiale. Din formula se poate observa că convergența seriei este destul de lentă - primii mii de termeni ai seriei ( ) dau o eroare de ordine , adică în a treia zecimală. Pentru a obține 6 semne corecte, trebuie să adăugați un milion de membri ai seriei [13] . $m$ $m=1000$ $10^{-3}$

În 1988, Roy D. North of Colorado Springs a calculat suma unui milion de termeni ai unei serii de pătrate inverse pe un computer și a descoperit un model ciudat - a șasea zecimală, așa cum era de așteptat, este eronată, dar următoarele 6 cifre sunt corecte. Apoi un caracter este greșit, iar după el cinci cifre sunt din nou corecte:

Suma totală a rândurilor ( ) $\pi ^{2}/6$	1,64493 4 066848 2 26436 472415166646025189218949901...
Sumă parțială de un milion de membri	1,64493 3 066848 7 26436 305748499979391855885616544...
Eroare	0,0000009999995000001666666666666333333333333357...

Această eroare poate fi reprezentată ca sumă

10^{-6}-{\frac {1}{2}}10^{-12}+{\frac {1}{6}}10^{-18}-{\frac {1} {30}}10^{-30}+{\frac {1}{42}}10^{-42}+\puncte \,,

în care coeficienții la puteri de 10 sunt numerele Bernoulli [13] . Dovada acestui fapt poate fi găsită în lucrarea din 1989 a lui Borwein, Borwein și Dilcher [14] .

Prima metodă a lui Euler pentru găsirea sumei unei serii

Până la sfârșitul secolului al XVII-lea, datorită lucrării lui Newton și a altor matematicieni, extinderea în serie a funcției sinus a fost cunoscută :

\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7} }{7!}}+\puncte

Euler a reușit să obțină o altă expansiune a sinusului - nu într-o sumă, ci într-un produs infinit [15] :

\sin x=x\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {x^ {2}}{4\pi ^{2}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdot \ stânga(1-{\frac {x^{2}}{16\pi ^{2}}}\right)\cdot \dots

Echivalând ambele expresii și reducând cu puteți obține: $X,$

\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{4\ pi ^{2}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{16\pi ^{2}}}\right)\cdot \dots =1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{ 4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\dots

(unu)

Deoarece această identitate este valabilă pentru toți , coeficienții pentru ambele părți trebuie să fie egali: $X,$ $x^{2}$

-{\frac {1}{\pi ^{2}}} - {\frac {1}{4\pi ^{2}}} - {\frac {1}{9\pi ^{2 ))}-{\frac {1}{16\pi ^{2}}}-\dots =-{\frac {1}{6}}.

Înmulțind ambele părți ale egalității cu putem obține în sfârșit [16] : $-\pi ^{2},$

{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\ frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}.

Metoda afirmată se bazează pe extinderea sinusului într-un produs infinit, totuși, Euler nu a dat acestei expansiuni o justificare adecvată, limitându-se la a se referi la faptul că atât părțile din stânga, cât și cele din dreapta, considerate ca polinoame , au aceleași rădăcini: Johann și Daniil Bernoulli au subliniat incorectitudinea unei astfel de derivații, deoarece se aplică numai polinoamelor de grad finit și nu serii infinite. În acest sens, Euler a publicat mai multe metode de însumare, justificate mai strict și conducând la același rezultat [11] . Cu toate acestea, expansiunea specificată s-a dovedit a fi adevărată și a fost ulterior dovedită [17] . $0,\pm \pi ,\pm 2\pi ,\pm 3\pi ,\pm 4\pi \dots$

A doua metodă a lui Euler

În 1741, Euler a ținut cont de critica de mai sus la adresa metodei sale originale și a publicat o altă metodă de însumare bazată pe integrarea în serie [18] . Pentru aceasta, considerăm o integrală a formei

E=\int \limits _{0}^{1}{{\frac {\arcsin x}{\sqrt {1-x^{2)}})\ dx}=\int \limits _{ 0}^{1}{\arcsin x\ d\arcsin x}={\frac {\pi ^{2}}{8}}.

Pentru a calcula integrala, puteți utiliza expansiunea arcsinusului într-o serie pe intervalul : $[0,1]$

\arcsin x=x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!))\cdot {\frac {x^{ 2n+1}}{2n+1}}.

Această serie converge uniform și poate fi integrată termen cu termen:

E=\int \limits _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2)}})\ dx+\sum _{n=1}^{\ infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!(2n+1)}}\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2n+1} }{\sqrt {1-x^{2}}}}\ dx.

Prima integrală este , iar a doua după înlocuire se dovedește a fi egală de aici: $unu$ $x=\sin t$ ${\textstyle {\frac {(2n)!!}{(2n+1)!!)),}$

E=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2))}=\sum _{n=1}^{\ infty }{\frac {1}{(2n-1)^{2}}}.

Această sumă conține pătratele inverse ale numerelor impare. Suma necesară a seriei de pătrate inverse este formată din două părți, prima este egală , iar a doua conține pătratele inverse ale numerelor pare: $S$ $E,$

S={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+ {\frac {1}{4^{2}}}+\dots =E+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{ \frac {1}{6^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{8}}+{1 \over 4}S.

Acolo este ${3 \over 4}S={\frac {\pi ^{2}}{8)),$ $S={\frac {\pi ^{2}}{6}}.$

Modalități alternative de a găsi suma

Seria Fourier

Una dintre cele mai simple metode de obținere a acestei sume este utilizarea expansiunii în serie Fourier a funcției . Pentru o funcție pară, această expansiune are forma [19] $f(x)=x^{2}$

f(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nx.

Coeficienții se calculează după formule standard: $un$

a_{0}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }x^{2}dx={\pi ^{2} \ peste 3};\quad a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }x^{2}\cos(nx)dx=( -1)^{n}{\frac {4}{n^{2}}}.

Ca urmare, descompunerea ia forma [19]

x^{2}={\pi ^{2} \over 3}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {4\cos( nx)}{n^{2}}}.

Înlocuirea unei valori în această formulă dă rezultatul $x=\pi$

\pi ^{2}={\pi ^{2} \over 3}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {4(- 1)^{n}}{n^{2}}},

{2 \over 3}\pi ^{2}=4\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2)}}.

Rezultatul final se obține [19] împărțind ambele părți la 4.

Dacă, în loc să înlocuiți , obțineți o sumă alternativă: $x=\pi$ $x=0,$

{\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\ frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-\dots ={\pi ^{2} \over 12}.

O altă modalitate de a rezolva problema prin analiza Fourier este utilizarea egalității lui Parseval pentru funcție $f(x)=x.$

Metoda de descompunere a cotangentei hiperbolice

Această metodă vă permite să găsiți sumele pentru toate seriile de puteri inverse pare:

S_{2n}=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m^{2n)}}.

Se bazează pe două formule de expansiune pentru cotangente hiperbolice . Primul [20] este valabil pentru : $|x|<1$

\pi x\cdot \operatorname {cth} (\pi x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}S_{2n}x ^{2n}.

A doua formulă [21] raportează cotangenta hiperbolică la numerele Bernoulli : $B_{n}$

\pi x\cdot \operatorname {cth} (\pi x)=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2\pi )^{2n}B_{n }}{(2n)!}}x^{2n}

Echivalarea coeficienților la aceleași puteri oferă o formulă pentru conectarea sumelor seriei cu numerele Bernoulli: $X$

B_{n}=(-1)^{n-1}{\frac {2(2n)!}{(2\pi )^{2n)}}S_{2n}.

În special, rezultatul inițial este obținut atunci când se ia în considerare $n=1$ ${\textstyle B_{1}={1 \over 6}.}$

Alte abordări

În articolul lui K. P. Kokhas [16] , sunt date mai multe moduri diferite de însumare a unei serii: prin integrale , reziduuri complexe , funcție gamma , expansiunea arcsinusului sau cotangentei , la pătrat seria Leibniz . O altă colecție de metode de însumare este prezentată în lucrarea lui Chapman [22] .

O reprezentare fizico-geometrică interesantă a însumării unei serii de pătrate inverse este prezentată într-un articol de Johan Westlund [23] și într-o prelegere video pe canalul YouTube 3Blue1Brown [24] .

Variații și generalizări

Pe baza formulei ( 1 ), Euler a calculat sumele nu numai pentru o serie de pătrate inverse, ci și pentru serii de alte puteri pare, până la a 26-a, de exemplu [2] :

{\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\ frac {1}{4^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+\dots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}),

{\frac {1}{1^{6}}}+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+{\ frac {1}{4^{6}}}+{\frac {1}{5^{6}}}+\dots ={\frac {\pi ^{6}}{945}}

etc. Euler a mai aflat că sumele unor astfel de serii sunt legate de numerele Bernoulli după cum urmează [9] : $B_{{n}}$

S_{2k}=(-1)^{k-1}{\frac {(2\pi )^{2k}}{2(2k)!}}B_{2k}.

Euler a rezumat de asemenea o modificare a unei serii de pătrate inverse care conţin (în numitori) pătrate sau alte puteri pare ale numerelor impare [25] ; sumele seriei s-au dovedit a fi legate tot de număr $\pi.$

Pentru serii de puteri impare, expresia teoretică a sumelor lor nu este încă cunoscută. S-a dovedit doar că suma unei serii de cuburi inverse ( constanta lui Aperi ) este un număr irațional [2] .

Dacă considerăm exponentul din seria generală a puterilor inverse ca o variabilă (nu neapărat întreg), atunci obținem funcția zeta Riemann , care joacă un rol uriaș în analiză și teoria numerelor:

\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s)}}.

Deci suma seriei inverse pătrate este $\zeta (2).$

Primele studii ale proprietăților funcției zeta au fost efectuate de Euler. În 1748 a publicat monografia „Introducere în analiza infinitezimale”, unde a dovedit „ identitatea lui Euler ” [26] :

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{- s}}},

unde produsul este preluat asupra tuturor numerelor prime Această egalitate a jucat un rol important în dezvoltarea teoriei analitice a numerelor , s-a bazat pe studiile lui Cebyshev și Riemann privind distribuția numerelor prime în seria naturală. În 1859 a apărut lucrarea profundă a lui Riemann care a extins definiția funcției zeta la domeniul complex . Riemann a considerat în detaliu legătura funcției zeta cu distribuția numerelor prime [26] . $p.$

În 1768, Euler a propus o altă generalizare a seriei pătrate inverse, dilogaritmul lui Euler [27] :

\operatorname {Li} _{2}(x)=-\int _{0}^{x}{\frac {\ln(1-t)}{t))\,\mathrm {d} t={\frac {x^{1}}{1^{2}}}+{\frac {x^{2}}{2^{2}}}+{\frac {x^{3}} {3^{2}}}+\puncte

Unele aplicații

Suma unei serii de pătrate inverse, apare și în multe probleme din teoria numerelor. $\zeta (2),$

Suma divizorilor unui număr natural crește în medie [28] ca funcție liniară . $N$ $\zeta (2)\cdot N$

Probabilitatea ca două numere naturale alese aleatoriu în intervalul de la 1 până la a se dovedi a fi coprime tinde să Cu alte cuvinte, densitatea medie a numerelor coprime din seria de numere [29] este egală cu $N$ $N$ ${\textstyle 1/\zeta(2).}$ ${\textstyle 1/\zeta(2).}$

Fie numărul de numere naturale fără pătrat în intervalul de la 1 la . Îndeplinește formula aproximativă [30] [31] [32] $Q(x)$ $X.$

Q(x)\aprox {\frac {x}{\zeta (2)))

Funcția Euler cumulativă

\Phi (n):=\sum _{k=1}^{n}\varphi (k),\quad n\in \mathbf {N} ,

unde este funcția Euler , are următoarele asimptotice [33] : $\varphi (n)$

\Phi (n)\sim {\frac {1}{2\zeta (2)}}\cdot n^{2}+O\left(n\log n\dreapta).

Note

↑ Stewart, Ian . Numerele incredibile ale profesorului Stewart = numerele incredibile ale profesorului Stewart. - M . : Alpina non-fiction, 2016. - S. 222-223. — 422 p. - ISBN 978-5-91671-530-9 .
↑ 1 2 3 4 Derbyshire, 2010 , p. 90-92, 103-109.
↑ 1 2 Sofo, Anthony. Problema Basel cu o extensie . Preluat: 3 august 2020. (nedefinit)
↑ Biografia lui Leonhard Euler (link inaccesibil) . Consultat la 16 aprilie 2016. Arhivat din original pe 17 martie 2008. (nedefinit)
↑ Euler et le problemème de Bale . Preluat la 5 august 2020. Arhivat din original la 23 ianuarie 2021. (nedefinit)
↑ Poya D. Mathematics and Plausible Reasoning. - Ed. al 2-lea, corectat. - M . : Nauka, 1975. - S. 40.
↑ Leonhard Euler. Desummis serierum reciprocarum . Data accesului: 17 aprilie 2016. (nedefinit)
↑ Navarro, Joaquin. Până la limita numărului . Preluat la 10 august 2016. Arhivat din original la 15 septembrie 2016. (nedefinit)
↑ 1 2 Istoria matematicii, Volumul III, 1972 , p. 337.
↑ Derbyshire, 2010 , p. 92.
↑ 1 2 Vileitner G. Istoria matematicii de la Descartes până la mijlocul secolului al XIX-lea. - M. : GIFML, 1960. - S. 143-144. — 468 p.
↑ 1 2 Vorobyov N. N. Teoria seriei . - Ed. a 4-a. - M . : Nauka, 1979. - S. 52 . — 408 p. - (Capitole alese de matematică superioară pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior).
↑ 1 2 Aigner, Ziegler, 2006 , p. 49.
↑ Borwein, Borwein, Dilcher, 1989
↑ Antonio Duran, 2014 , p. 109-114.
↑ 1 2 Kokhas K.P., 2004 .
↑ Fikhtengolts G. M., 1966 , p. 374-376.
↑ Fikhtengolts G. M., 1966 , p. 671.
↑ 1 2 3 Fikhtengolts G. M. Curs de calcul diferențial și integral. - Ed. al 3-lea. - M . : Nauka, 1963. - T. III. - S. 443, 451. - 656 p.
↑ Fikhtengolts G. M., 1966 , p. 484.
↑ Fikhtengolts G. M., 1966 , p. 495-496.
↑ Robin Chapman .
↑ Wästlund, Johan. Însumarea pătratelor inverse prin geometrie euclidiană . Preluat la 6 august 2020. Arhivat din original la 24 februarie 2020. (nedefinit)
↑ De ce este pi aici? Și de ce este pătrat? Un răspuns geometric la problema de la Basel pe YouTube
↑ Jukov A. V. Numărul omniprezent „pi”. - Ed. a II-a. - M . : Editura LKI, 2007. - S. 145. - 216 p. - ISBN 978-5-382-00174-6 .
↑ 1 2 Otradnykh F.P. Matematica secolului al XVIII-lea și academicianul Leonhard Euler. - M . : Ştiinţa sovietică, 1954. - S. 33. - 39 p.
↑ Leonhard Euler , Institutiones calculi integrals
↑ Arnold V. I. Dinamica, statistica și geometria proiectivă a câmpurilor Galois. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 70. - 72 p.
↑ Cohen E. Funcții aritmetice asociate cu mulțimi arbitrare de numere întregi // Acta Arithmetica . - 1959. - Vol. 5 . - P. 407-415 . Arhivat 2 mai 2019. (Vezi și nota articolului: Errata Arhivată 14 august 2020 la Wayback Machine . Nota se referă la „Corolarul 3.3” la p. 413).
↑ Jia C.-H. Distribuția numerelor fără pătrat (engleză) // Știința în China. Seria A - Matematică, Fizică, Astronomie și Științe Tehnologice. - 1993. - Vol. 36 , iss. 2 . - P. 154-169 . doi : 10.1360 /ya1993-36-2-154 .
↑ Pappalardi F. A Survey on k -freeness // Teoria numerelor. Lucrările Conferinței de Teoria analitică a numerelor în onoarea Prof. Subbarao (engleză) / Vol. Eds.: SD Adhikari, R. Balasubramanian, K. Srinivas. - Mysore: Societatea de matematică Ramanujan, 2002. - P. 77-88. — 161 p. - (Seria Note de curs: Numărul 1). — ISBN 9788190254510 .
↑ Sinha K. Ordinele medii ale anumitor funcții aritmetice // Journal of the Ramanujan Mathematical Society. - 2006. - Vol. 21 , iss. 3 . - P. 267-277 . Arhivat din original pe 14 februarie 2012.
^ Weisstein, Eric W. Totient Summatory Function (în engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .

Literatură

Aigner M. , Ziegler G. Dovezi din carte . Cele mai bune dovezi din vremea lui Euclid până în zilele noastre. - M . : Mir, 2006. - S. 49 . — 256 p. — ISBN 5-03-003690-3 .
Derbyshire, John. Obsesie simplă. Bernhard Riemann și cea mai mare problemă nerezolvată din matematică. - Astrel, 2010. - S. 90-92, 103-109. — 464 p. — ISBN 978-5-271-25422-2 .
Duran, Antonio. Poezia numerelor. Fine și matematică. — M .: De Agostini, 2014. — 160 p. — (Lumea matematicii: în 45 de volume, volumul 27). — ISBN 978-5-9774-0722-9 .
Matematica secolului al XVIII-lea // Istoria matematicii / Editat de A.P. Yushkevich , în trei volume. - M . : Nauka, 1972. - T. III.
Fikhtengol's G. M. Curs de calcul diferențial și integral. - ed. al 6-lea. - M . : Nauka, 1966. - T. II. - S. 461-462, 490, 496, 671. - 800 p. - ISBN 5-9221-0155-2 .
Borwein J. M., Borwein P. B., Dilcher K. Pi, numerele Euler și expansiuni asimptotice // Amer. Matematică. Lunar. - 1989. - Nr. 96. - P. 681-687.

Link -uri

Kokhas K. P. Suma pătratelor inverse // Educație matematică. - 2004. - Emisiune. 8 . — S. 142–163 .
Sobolevsky A., doctor în fizică-matematică. Științe (IPPI RAS). În jurul problemei de la Basel: Bernoulli, Euler, Riemann (2014). - prelegere video. Preluat: 24 mai 2016. (nedefinit)
Chapman, Robin. Evaluarea ζ(2) (engleză) (1999). Data accesului: 17 aprilie 2016.
Pengelley DJ Dansează între continuu și discret: formula de însumare a lui Euler (în engleză) (link nu este disponibil) . Conferința Euler 2K+2, Rumford, Maine (2002). Consultat la 17 aprilie 2016. Arhivat din original pe 9 august 2017.
Weisstein EW Riemann Funcția Zeta zeta(2 ) . MathWorld - O resursă web Wolfram. Data accesului: 17 aprilie 2016.

Secvențe și rânduri
Secvențe	Secvență numerică Secvență fundamentală Secvență liniară recurentă numerele Fibonacci numere ondulate Factorială secvența Barker de bruijn secvenţă
Rânduri, de bază	Suma rândurilor Restul rândului Convergență condiționată Serii alternante Rând multisecțiune
Seria de numere ( operații cu seria de numere )	serie armonică seria Leibniz O serie de pătrate inverse O serie de numere prime reciproce rândul Dirichlet Seria Mercator Row Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
rânduri funcționale	Seria Taylor Seria Laurent Seria Fourier Seria Fourier trigonometrică serie trigonometrică Seria Wiener
Alte tipuri de rânduri	Seria Neumann rândul Puiseux