Ecuație diferențială stocastică

O ecuație diferențială stocastică (SDE) este o ecuație diferențială în care unul sau mai mulți termeni sunt de natură stocastică, adică sunt un proces stocastic (aleatoriu) . Astfel, soluțiile ecuației se dovedesc a fi procese stocastice. Cel mai cunoscut și cel mai des folosit exemplu de SDE este o ecuație cu un termen de zgomot alb (care poate fi considerat ca un exemplu de derivat al unui proces Wiener ). Cu toate acestea, există și alte tipuri de fluctuații aleatorii, cum ar fi un proces de salt .

Istorie

În literatură, prima utilizare a SDE este în mod tradițional asociată cu munca de descriere a mișcării browniene , realizată independent de Marian Smoluchowski ( 1904 ) și Albert Einstein ( 1905 ). Cu toate acestea, SDE-urile au fost folosite puțin mai devreme ( 1900 ) de matematicianul francez Louis Bouchelier în teza sa de doctorat „Teoria ipotezelor”. Pe baza ideilor acestei lucrări, fizicianul francez Paul Langevin a început să aplice SDE în lucrările sale despre fizică. Mai târziu, el și fizicianul rus Ruslan Stratonovich au dezvoltat o justificare matematică mai riguroasă pentru SDE.

Terminologie

În fizică, SDE-urile sunt scrise în mod tradițional sub forma ecuației Langevin. Și adesea, dar nu cu exactitate, se face referire la ecuația Langevin în sine , deși SDE poate fi scris în multe alte moduri. SDE sub forma ecuației Langevin constă dintr-o ecuație diferențială nestochastică obișnuită și o parte suplimentară care descrie zgomotul alb . A doua formă comună este ecuația Fokker-Planck , care este o ecuație diferențială parțială care descrie evoluția unei densități de probabilitate în timp. A treia formă a SDE este folosită mai frecvent în matematică și matematică financiară, seamănă cu ecuațiile Langevin, dar este scrisă folosind diferențiale stocastice (a se vedea detaliile de mai jos).

Calcul stocastic

Mișcarea browniană (în limbajul matematicii, procesul Wiener) s-a dovedit a fi un obiect matematic foarte complex. În special, un proces Wiener este nediferențiabil, așa că manipularea proceselor de acest tip a necesitat crearea unui calcul propriu (teoria integralelor stocastice ). În prezent sunt utilizate două versiuni ale calculului stocastic , calculul stocastic Itô și calculul stocastic Stratonovich . De obicei, SDE în forma Ito poate fi rescris cu ușurință în SDE în forma Stratonovich și invers, dar este întotdeauna necesar să se specifice în mod explicit forma în care este scris SDE.

Existența și unicitatea unei soluții

La fel ca în cazul ecuațiilor diferențiale obișnuite, este important să știm dacă SDE are o soluție și, dacă da, dacă această soluție este unică. Prezentăm formularea teoremei existenței și unicității pentru ecuația Itô . O dovadă poate fi găsită în Øksendal (2003, § 5.2).

Fie soluția să ia valori în spațiul euclidian -dimensional , unde este definit un proces aleator -dimensional care descrie mișcarea browniană ; $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $m$ $B$

Lasă , și lasă $T>0$

\mu :{\mathbb {R}}^{{n}}\times [0,T]\to {\mathbb {R}}^{{n}};

\sigma :{\mathbb {R}}^{{n}}\times [0,T]\to {\mathbb {R}}^{{{n\times m}});

sunt funcţii măsurabile pentru care există constante şi astfel încât $C$ $D$

{\big |}\mu (x,t){\big |}+{\big |}{\big |}\sigma (x,t){\big |}{\big |}\leq C{\big (}1+|x|{\big )};

{\big |}\mu (x,t)-\mu (y,t){\big |}+{\big |}{\big |}\sigma (x,t)-\sigma ( y,t){\big |}{\big |}\leq D|xy|;

pentru toată lumea și pentru toată lumea și unde $t\in[0,T]$ $X$ $y\în {\mathbb {R}}^{n}$

|\sigma |^{{2}}=\sum _{{i,j=1}}^{{n}}|\sigma _{{ij}}|^{{2}}.

Fie o variabilă aleatorie independentă de -algebra generată de procesul , , și având un al doilea moment finit : $Z$ $\sigma$ $B_{s}$ $s\geq 0$

{\mathbb {E}}{\big [}|Z|^{{2}}{\big ]}<+\infty .

Apoi ecuația diferențială stocastică pentru condiții inițiale date

{\mathrm {d}}X_{{t}}=\mu (X_{{t}},t)\,{\mathrm {d}}t+\sigma (X_{{t}},t)\, {\mathrm {d}}B_{{t}}

pentru

t\in[0,T];

X_{{t}}=Z;

are o soluție unică (în sensul „aproape probabil”) și continuă , astfel încât să fie un proces adaptat la filtrarea generată de și , , și $t$ $(t,\omega )\shortmid \!\to X_{t}(\omega )$ $X$ $F_{t}^{Z}$ $Z$ $B_{s}$ $s\leq t$

{\mathbb {E}}\left[\int \limits _{{0}}^{{T}}|X_{{t}}|^{{2}}\,{\mathrm {d}}t \right]<+\infty .

Aplicarea ecuațiilor stocastice

Fizica

În fizică, SDE-urile sunt adesea scrise sub forma ecuației Langevin. De exemplu, un sistem SDE de ordinul întâi poate fi scris ca:

{\dot {x}}_{i}={\frac {dx_{i}}{dt}}=f_{i}(\mathbf {x} )+\sum _{m=1}^ {n}g_{i}^{m}(\mathbf {x} )\eta _{m}(t),

unde este un set de necunoscute și sunt funcții arbitrare și sunt funcții aleatorii ale timpului, care sunt adesea numite termeni de zgomot. Această notație este folosită deoarece există o tehnică standard pentru conversia unei ecuații cu derivate mai mari într-un sistem de ecuații de ordinul întâi prin introducerea de noi necunoscute. Dacă sunt constante, atunci se spune că sistemul este supus zgomotului aditiv. Luăm în considerare și sistemele cu zgomot multiplicativ atunci când . Dintre cele două cazuri luate în considerare, zgomotul aditiv este mai simplu. Soluția la un sistem cu zgomot aditiv poate fi găsită adesea folosind doar metodele de calcul standard . În special, poate fi utilizată metoda obișnuită de compunere a funcțiilor necunoscute. Totuși, în cazul zgomotului multiplicativ, ecuația Langevin este slab definită în sensul analizei matematice obișnuite și trebuie interpretată în termenii calculului Itô sau al calculului Stratonovich. ${\mathbf {x}}=\{x_{i}|1\leq i\leq k\}$ $f_{i}$ $g_i$ $\eta_{m}$ $g_i$ $g(x)\propto x$

În fizică, principala metodă de rezolvare a SDE este de a găsi o soluție sub forma unei densități de probabilitate și de a transforma ecuația originală în ecuația Fokker-Planck. Ecuația Fokker-Planck este o ecuație diferențială parțială fără termeni stocastici. Ea determină evoluția în timp a densității de probabilitate, la fel cum ecuația Schrödinger determină dependența de timp a funcției de undă a unui sistem în mecanica cuantică, sau ecuația de difuzie determină evoluția în timp a concentrației chimice. Soluțiile pot fi căutate și numeric, de exemplu, folosind metoda Monte Carlo . Alte tehnici de găsire a soluțiilor folosesc integrala de cale , această tehnică se bazează pe analogia dintre fizica statistică și mecanica cuantică (de exemplu, ecuația Fokker-Planck poate fi transformată în ecuația Schrödinger folosind o transformare a variabilelor) sau soluția de ecuații diferențiale obișnuite pentru momentele de densitate de probabilitate .

Link -uri

Lumea stocastică - o introducere simplă în ecuațiile diferențiale stocastice

Literatură

Adomian, George. Sisteme stocastice . - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1983. - (Matematică în știință și inginerie (169)).
Adomian, George. Ecuații operator stocastic neliniar . — Orlando, FL: Academic Press Inc., 1986.
Adomian, George. Teoria sistemelor stocastice neliniare și aplicații la fizică . - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group , 1989. - (Matematica și aplicațiile sale (46)).
Øksendal, Bernt K.Ecuații diferențiale stocastice: ointroducere cu aplicații . — Berlin: Springer, 2003.
Teugels, J. și Sund B. (eds.). Enciclopedia științei actuariale (engleză) . - Chichester: Wiley, 2004. - P. 523-527.
CW Gardiner . Manual de metode stocastice: pentru fizică, chimie și științe naturale . - Springer, 2004. - P. 415 .
Thomas Mikosch. Calcul stocastic elementar: cu Finanțe în vedere . - Singapore: World Scientific Publishing , 1998. - P. 212 .
Bachelier, L.,. Théorie de la speculation (în franceză), teză de doctorat (engleză) . - NUMDAM: http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1900_3_17__21_0 , 1900.

Dicționare și enciclopedii

Rusă mare

În cataloagele bibliografice
BNF : 120480366 GND : 4057621-8 J9U : 987007536304005171 LCCN : sh85128177 NDL : 00575718 NKC : ph388475

Fizică matematică

Tipuri de ecuații

Condiții de frontieră

Ecuații ale fizicii matematice

Difuzie și convecție	Ecuația căldurii Ecuația de difuzie Ecuația Mason-Weaver
Hidrodinamică	Ecuația de transfer Ecuații Navier-Stokes Ecuația lui Euler Ecuația Gromeka-Lamb Ecuația vortexului Ecuația burgerii Ecuații pentru apă puțin adâncă Ecuația Korteweg-de Vries
Electromagnetism	Ecuațiile lui Maxwell Ecuația Helmholtz Ecuația Landau-Lifshitz Ecuația Poisson ecranată
Mecanica cuantică	Ecuația Schrödinger Ecuația Heisenberg Ecuația Rarita-Schwinger Ecuația lui Hartree Ecuația lui Dirac Ecuația Klein-Gordon
Modele generale	Ecuația de continuitate ecuația de undă Ecuația Fokker-Planck Ecuația Poisson

Metode de rezolvare

Metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale

Metode grilă

Metode cu elemente finite	Metoda elementului finit metoda Galerkin Metoda Galerkin discontinuă Metoda cu elemente finite la scară multiplă Metoda Multigrid
Alte Metode	Metoda diferențelor finite Metoda volumului finit metoda lui Godunov Metoda elementului de limită

Metode non-grilă

Studiul ecuațiilor

subiecte asemănătoare