Spațiul euclidian

Spațiul euclidian (și spațiul euclidian ) în sensul original este un spațiu ale cărui proprietăți sunt descrise de axiomele geometriei euclidiene . În acest caz, se presupune că spațiul are o dimensiune egală cu 3, adică este tridimensional .

În sensul modern, într-un sens mai general, poate desemna unul dintre obiectele similare și strâns înrudite: un spațiu vectorial real de dimensiuni finite cu un produs scalar pozitiv-definit introdus pe acesta ; sau un spațiu metric corespunzător unui astfel de spațiu vectorial. Unii autori echivalează spațiul euclidian și pre-Hilbert . În acest articol, prima definiție va fi luată ca fiind cea inițială. $\mathbb {R} ^{n}$

$n$ Spațiul euclidian -dimensional este de obicei notat ; notația este adesea folosită și atunci când din context reiese clar că spațiul este prevăzut cu o structură naturală euclidiană. $\mathbb {E} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

Definiție formală

Pentru a defini un spațiu euclidian, este cel mai ușor să folosiți noțiunea de produs punctual ca bază . Spațiul vectorial euclidian este definit ca un spațiu vectorial cu dimensiuni finite peste câmpul numerelor reale , pe perechile de vectori ale cărora este dată o funcție cu valoare reală care are următoarele trei proprietăți: $(\cdot ,\cdot ),$

Liniaritate: pentru orice vector și pentru orice numere reale , relațiile sunt valabile ; $\mathbf {u,v,w}$ $a,b$ $(a\mathbf {u} +b\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=a\mathbf {(u,w)} +b\mathbf {(v,w)}$
Simetrie: pentru orice vector, egalitatea este adevărată $u,v$ $\mathbf {(u,v)=(v,u)} ;$
Definiție pozitivă: pentru orice și $\mathbf {(u,u)} \geqslant 0$ $tu,$ $\mathbf {(u,u)} =0\Rightarrow \mathbf {u} =0.$

Spațiul afin corespunzător unui astfel de spațiu vectorial se numește spațiu afin euclidian sau pur și simplu spațiu euclidian [1] .

Un exemplu de spațiu euclidian este un spațiu de coordonate format din toate seturile posibile de numere reale în care produsul scalar este definit prin formula $\mathbb {R} ^{n},$ $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),$ $\mathbf {(x,y)} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}.$

Lungimi și unghiuri

Produsul scalar dat pe spațiul euclidian este suficient pentru a introduce conceptele geometrice de lungime și unghi . Lungimea unui vector este definită și notată cu [2] [3] Definitivitatea pozitivă a produsului scalar garantează că lungimea unui vector diferit de zero este nenulă, iar din biliniaritate rezultă că, adică lungimile vectorilor proporționali sunt proporționale. $u$ ${\sqrt {\mathbf {(u,u)} }}$ $|\mathbf {u} |.$ $|a\mathbf {u} |=|a||\mathbf {u} |,$

Unghiul dintre vectori și este definit ca. Din teorema cosinusului rezultă că pentru un spațiu euclidian bidimensional ( planul euclidian ), această definiție a unghiului coincide cu cea obișnuită . Vectorii ortogonali nenuli , ca în spațiul tridimensional, pot fi definiți ca vectori la un unghi , adică ca vectori cu un produs interior zero. ${\mathbf x}$ ${\mathbf y}$ $\arccos \mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}} .$ ${\tfrac {\pi }{2}},$

Notă

Trebuie clarificat faptul că, pentru ca arccosinusul lui să fie definit, este necesar și suficient ca inegalitatea să fie satisfăcută.Această inegalitate este într-adevăr adevărată într-un spațiu euclidian arbitrar: se numește inegalitatea Cauchy-Bunyakovsky . Din aceasta, la rândul său, urmează inegalitatea triunghiului : Inegalitatea triunghiului, împreună cu proprietățile lungimii de mai sus, înseamnă că lungimea vectorului este o normă pentru spațiul vectorial euclidian, iar funcția sau stabilește structura spațiului metric . pe spațiul euclidian (această funcție se numește metrica euclidiană ). În special, distanța dintre elemente (puncte) și spațiul de coordonate este dată de formulă $\mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}}$ $\left|\mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}} \right|\leqslant 1.$ $\mathbf {|u+v|\leqslant |u|+|v|} .$ $d\mathbf {(x,y)} ,$ $\mathbf {|x-y|} ,$ ${\mathbf x}$ ${\mathbf y}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.$

Proprietăți algebrice

Baze ortonormale

O bază ortonormală în spațiul euclidian (vector) este o bază constând din vectori normă de unitate ortogonală perechi. Bazele ortonormale sunt cele mai convenabile pentru calcule. Deci, de exemplu, produsul scalar al vectorilor cu coordonate și într-o bază ortonormală poate fi calculat prin formula În orice spațiu euclidian, există o bază ortonormală. Alegând baze ortonormale în două spații euclidiene și transpunând unul dintre ele în celălalt printr-o mapare liniară , putem demonstra că oricare două spații euclidiene de aceeași dimensiune sunt izomorfe [4] (în special, un spațiu euclidian -dimensional este izomorf cu produs scalar standard). $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ $(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})$ $(a,b)=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}.$ $n$ $\mathbb {R} ^{n}$

Proiecții ortografice

Se spune că un vector este ortogonal cu un subspațiu dacă este ortogonal cu toți vectorii din acel subspațiu. Proiecția ortogonală a unui vector pe un subspațiu este un vector ortogonal astfel încât să reprezentăm în forma în care Distanța dintre capetele vectorilor și este distanța minimă dintre distanțe de la capătul vectorului la subspațiu Proiecțiile ortogonale în spații cu dimensiuni mari sunt utilizate, de exemplu, în metoda celor mai mici pătrate . $X$ $U$ $h,$ $U,$ $X$ $u+h,$ $u\in U.$ $u$ $X$ $X$ $U.$

Spații duale și operatori

Orice vector al spațiului euclidian definește o funcțională liniară pe acest spațiu, definită ca. Această comparație este un izomorfism între spațiul euclidian și spațiul său dual [5] și le permite să fie identificate fără a compromite calculele. În special, operatorii adjuncți pot fi considerați ca acționând asupra spațiului inițial, și nu asupra acestuia dual, iar operatorii autoadjuncți pot fi definiți ca operatori care coincid cu cei adiacenți. Pe o bază ortonormală, matricea operatorului adjunct este transpusă în matricea operatorului original, iar matricea operatorului autoadjunct este simetrică . $X$ $x^{*}$ $x^{*}(y)=(x,y).$

Mișcări spațiale euclidiene

Mișcările spațiale euclidiene sunt transformări ale spațiului pe sine care păstrează metrica (numite și izometrii ale spațiului pe sine ). Un exemplu de mișcare este o translație paralelă pe un vector care traduce un punct într-un punct . Este ușor de observat că orice mișcare este o compoziție de translație și transformare paralelă care menține fix un punct. Alegând un punct fix ca origine, orice astfel de mișcare poate fi privită ca o transformare ortogonală . Transformările ortogonale ale unui spațiu euclidian n - dimensional formează un grup, notat cu O( n ) . Alegând o bază ortonormală în spațiu, acest grup poate fi reprezentat ca un grup de n × n matrice care satisfac condiția , unde este matricea transpusă și este matricea identitate . ${\mathbf v}$ ${\mathbf p}$ $\mathbf {p+v}$ $Q^{\mathsf {T}}Q=E$ $Q^{\mathsf {T}}$ $E$

Exemple

Exemple bune de spații euclidiene sunt următoarele spații:

$\mathbb {E^{1}}$ dimensiuni ( linie reală - de exemplu, o axă numerică ); $unu$
$\mathbb {E^{2}}$ dimensiuni ( plan euclidian ); $2$
$\mathbb {E^{3}}$ dimensiuni ( spațiu tridimensional euclidian ). $3$

Exemplu mai abstract:

spațiul polinoamelor reale , ale căror grade nu depășesc n , cu un produs interior definit ca integrala produsului lor de-a lungul unui segment finit (sau de-a lungul întregii linii, dar cu o funcție de pondere în scădere rapidă, de exemplu ). ${\mathcal {P}}^{n}$ $e^{-x^{2}}$

Exemple de figuri geometrice în spațiul euclidian multidimensional:

poliedre multidimensionale regulate (de exemplu , cub N -dimensional , octaedru N - dimensional, tetraedru N -dimensional );
hipersferă ;
hipertorus .

Definiții înrudite

Metrica euclidiană poate fi înțeleasă ca metrica descrisă mai sus, precum și metrica Riemanniană corespunzătoare .

Euclideanitatea locală înseamnă de obicei că fiecare spațiu tangent al unei varietăți riemanniene este un spațiu euclidian cu toate următoarele proprietăți, de exemplu, posibilitatea (datorită netedei metricii) de a introduce coordonate într-o mică vecinătate a unui punct în care distanța este exprimat (până la o anumită ordine) așa cum este descris mai sus.

Un spațiu metric se mai numește și local euclidian dacă este posibil să se introducă coordonate pe el în care metrica să fie euclidiană (în sensul celei de-a doua definiții) peste tot (sau cel puțin pe o regiune finită) - care, de exemplu, este o varietate Riemanniană de curbură zero.

Variații și generalizări

Dacă nu folosim câmpul numerelor reale, ci câmpul numerelor complexe ca câmp principal , atunci aceasta va da definiția unui spațiu unitar (sau hermitian) .

Respingerea cerinței de dimensionalitate finită oferă definiția unui spațiu pre-Hilbert . Respingerea cerinței de definiție pozitivă a produsului scalar conduce la definirea spațiului pseudo-euclidian . Cerința ca un spațiu pre-Hilbert să fie metric -complet conduce la definirea unui spațiu Hilbert ; spațiul secvențelor pătrat-sumabile este un spațiu Hilbert, care poate fi considerat ca spațiu al vectorilor cu un număr infinit de coordonate.

Note

↑ Gelfand, 1998 , p. 35.
↑ Gelfand, 1998 , p. 39.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , p. 118.
↑ Shilov G. E. Introducere în teoria spațiilor liniare. - M., L., Gostekhteorizdat, 1952. - p. 182
↑ Acest rezultat este valabil și pentru spațiile pseudo-euclidiene și unitare, pentru spațiile Hilbert este mai complicat și se numește teorema Riesz .

Literatură

Gelfand I. M. Prelegeri despre algebră liniară. - a 5-a. - M . : Dobrosvet, MTSNMO , 1998. - 319 p. — ISBN 5-7913-0015-8 .
Kostrikin A. I. , Manin Yu. I. Algebră liniară și geometrie. — M .: Nauka , 1986. — 304 p.
Vulikh BZ Introducere în analiza funcțională. - M. : Fizmatlit, 1958. - 352 p. - 7500 de exemplare.

Vectori și matrici

Vectori

Noțiuni de bază	Vector în geometrie Bază Baza ortogonala Coordonatele vectoriale Coliniaritate Ortogonalitatea Dependență liniară Spațiu coloane
Tipuri de vectori	Vector unitar Vector axial vector izotrop Normal Coliniaritate Vector zero Vector rază Vector propriu
Operații pe vectori	Produs scalar produs vectorial produs mixt Produs pseudoscalar Produs dublu cruce
Tipuri de spațiu	spațiu vectorial spatiu afin Spațiul euclidian Spațiul pseudo-euclidian Spațiu normat Spațiul Minkowski

matrici

Noțiuni de bază	Înmulțirea matricei Matrice transpusă Matricea conjugată hermitiană Matricea simetrică matrice inversă Valoare proprie Polinom caracteristic al unei matrice
Matrici speciale	Matrice de identitate Matrice zero Matricea diagonală matricea lambda
Descompuneri de matrice	descompunerea LU Descompunerea Cholesky Descompunerea QR Descompunerea LUP descompunerea unei valori singulare Descompunerea spectrală a unei matrice

Alte

Dimensiunea spațiului
Spații după dimensiune	Zero-dimensionale unidimensional 2D 3D patru dimensionale cinci dimensiuni În șase dimensiuni Șapte-dimensionale octal Nouă-dimensionale n-dimensională Dimensiunea negativă
Politopuri și figuri	Simplex hipercub tesseract Hiperdreptunghi (ortotop) Semihipercub Cross-politope hipersferă
Tipuri de spații	spațiu finit-dimensional Spațiul euclidian spatiu afin spațiu proiectiv Modul gratuit Manifold Dimensiunea unei variabile algebrice spațiu timp
Alte concepte dimensionale	dimensiunea Krull Dimensiunea Lebesgue Dimensiunea inductivă Dimensiunea fracțională ( dimensiunea Minkowski , dimensiunea Hausdorff ) dimensiune fractală Grade de libertate
Matematica