În matematică , o substituție trigonometrică este o înlocuire a funcțiilor trigonometrice cu alte expresii. În calcul, substituția trigonometrică este o metodă de calcul a integralelor. Mai mult, se pot folosi identități trigonometrice pentru a simplifica unele integrale care conțin o expresie radicală [1] [2] . Ca și în cazul altor metode de integrare prin substituție, atunci când se calculează integrala definită , poate fi mai ușor să se obțină complet antiderivată înainte de a aplica limitele integrării.
Lasă și folosește identitatea .
În integrală
poate fi folosit
Apoi
Pasul de mai sus necesită ca și . Putem alege ca rădăcină principală și impune o constrângere folosind funcția sinus invers .
Pentru o integrală definită, trebuie să aflați cum se schimbă granițele integrării. De exemplu, dacă se modifică de la la , atunci se schimbă de la la , deci se schimbă de la la . Apoi
Este necesară o anumită atenție atunci când alegeți limite. Deoarece integrarea de mai sus necesită acest lucru , valoarea se poate schimba doar de la la . Neglijând această constrângere, s-ar putea alege să mergi de la la , ceea ce ar avea ca rezultat o valoare negativă.
Alternativ, se pot evalua integral integralele nedefinite înainte de a aplica condițiile la limită. În acest caz, antiderivatul dă
Ca inainte.
Exemplul 2Integral
pot fi evaluate prin prezentare
unde , astfel încât și peste intervalul arcsinusului , astfel încât și .
Apoi
Pentru o integrală definită, limitele se modifică după efectuarea înlocuirii și sunt determinate folosind o ecuație cu valori în intervalul . Sau puteți aplica termenii limită direct formulei antiderivate.
De exemplu, integrala definită
poate fi estimat prin substituirea , cu estimări definite prin , și .
Apoi
Pe de altă parte, o aplicare directă a termenilor limită la formula obținută anterior pentru antiderivate dă
Ca inainte.
În integrală
poti sa scrii
deci integrala devine
furnizat .
Pentru o integrală definită, limitele se modifică după efectuarea înlocuirii și sunt determinate folosind o ecuație cu valori în intervalul . Sau puteți aplica termenii limită direct formulei antiderivate.
De exemplu, integrala definită
poate fi estimat prin substituirea , cu estimări definite prin , și .
Apoi
Între timp, o aplicare directă a termenilor limită la formula pentru antiderivate dă
exact ca înainte.
Exemplul 2Integral
pot fi evaluate prin prezentare
unde , astfel încât și peste intervalul de arc tangente , astfel încât și .
Apoi
Integrala secantă cubă poate fi calculată folosind integrarea pe părți . Ca urmare
Lasă și folosește identitatea
Integrale de tip
poate fi calculat și prin fracții parțiale, mai degrabă decât prin substituții trigonometrice. Cu toate acestea, integrala
este interzis. În acest caz, o înlocuire adecvată ar fi:
unde , așa și , presupunând , așa și .
Apoi
Puteți calcula integrala funcției secante prin înmulțirea numărătorului și numitorului cu și integrala secantei cubite cu părți [3] . Ca urmare
Dacă , ceea ce se întâmplă atunci când cu un interval dat de arcsecant , atunci , ceea ce în acest caz înseamnă .
Substituția poate fi folosită pentru a elimina funcțiile trigonometrice.
De exemplu,
Ultima substituție este cunoscută sub numele de substituție Weierstrass , care utilizează formule tangente cu jumătate de unghi .
De exemplu,
Substituțiile de funcții hiperbolice pot fi folosite și pentru a simplifica integralele [4] .
În integrală , se poate face o înlocuire ,
Apoi, folosind identitățile și
disponibil
Trigonometrie | |
---|---|
General |
|
Director | |
Legi și teoreme | |
Analiza matematică |
Calcul integral | ||
---|---|---|
Principal | ||
Generalizări ale integralei Riemann | ||
Transformări integrale |
| |
Integrare numerică | ||
teoria măsurării | ||
subiecte asemănătoare | ||
Liste de integrale |