Substituția trigonometrică

În matematică , o substituție trigonometrică este o înlocuire a funcțiilor trigonometrice cu alte expresii. În calcul, substituția trigonometrică este o metodă de calcul a integralelor. Mai mult, se pot folosi identități trigonometrice pentru a simplifica unele integrale care conțin o expresie radicală [1] [2] . Ca și în cazul altor metode de integrare prin substituție, atunci când se calculează integrala definită , poate fi mai ușor să se obțină complet antiderivată înainte de a aplica limitele integrării.

Cazul I: Integrale care conțin un 2 − x 2

Lasă și folosește identitatea . $x=a\sin \theta$ $1-\sin ^{2}\theta =\cos ^{2}\theta$

Exemple de Caz I

Exemplul 1

În integrală

\int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2)})),

poate fi folosit

x=a\sin \theta,\quad dx=a\cos \theta \,d\theta,\quad \theta =\arcsin {\frac {x}{a)).

Apoi

{\begin{aliniat}\int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2)}})&=\int {\frac {a\cos \theta \, d\theta }{\sqrt {a^{2}-a^{2}\sin ^{2}\theta }}}\\[6pt]&=\int {\frac {a\cos \theta \, d\theta }{\sqrt {a^{2}(1-\sin ^{2}\theta )}}}\\[6pt]&=\int {\frac {a\cos \theta \,d\ theta }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta }}}\\[6pt]&=\int d\theta \\[6pt]&=\theta +C\\[6pt] &=\arcsin {\frac {x}{a}}+C.\end{aliniat}}

Pasul de mai sus necesită ca și . Putem alege ca rădăcină principală și impune o constrângere folosind funcția sinus invers . $a>0$ $\cos \theta >0$ $A$ $a^2$ $-\pi /2<\theta <\pi /2$

Pentru o integrală definită, trebuie să aflați cum se schimbă granițele integrării. De exemplu, dacă se modifică de la la , atunci se schimbă de la la , deci se schimbă de la la . Apoi $X$ $0$ $a/2$ $\sin \theta$ $0$ $1/2$ $\theta$ $0$ $\pi /6$

\int _{0}^{a/2}{\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2)}})=\int _{0}^{\pi /6}d\theta ={\frac {\pi }{6)).

Este necesară o anumită atenție atunci când alegeți limite. Deoarece integrarea de mai sus necesită acest lucru , valoarea se poate schimba doar de la la . Neglijând această constrângere, s-ar putea alege să mergi de la la , ceea ce ar avea ca rezultat o valoare negativă. $-\pi /2<\theta <\pi /2$ $\theta$ $0$ $\pi /6$ $\theta$ $\pi$ $5\pi /6$

Alternativ, se pot evalua integral integralele nedefinite înainte de a aplica condițiile la limită. În acest caz, antiderivatul dă

\int _{0}^{a/2}{\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2)}))=\arcsin \left({\frac {x }{a}}\right){\Biggl |}_{0}^{a/2}=\arcsin \left({\frac {1}{2}}\right)-\arcsin(0)={ \frac {\pi }{6}}

Ca inainte.

Exemplul 2

Integral

\int {\sqrt {a^{2}-x^{2)}}\,dx,

pot fi evaluate prin prezentare $x=a\sin \theta ,\,dx=a\cos \theta \,d\theta ,\,\theta =\arcsin {\frac {x}{a)),$

unde , astfel încât și peste intervalul arcsinusului , astfel încât și . $a>0$ ${\sqrt {a^{2}}}=a$ $-{\frac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}$ $\cos \theta \geq 0$ ${\sqrt {\cos ^{2}\theta }}=\cos \theta$

Apoi

{\begin{aliniat}\int {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx&=\int {\sqrt {a^{2}-a^{2}\ sin ^{2}\theta }}\,(a\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int {\sqrt {a^{2}(1-\sin ^{2} \theta )}}\,(a\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int {\sqrt {a^{2}(\cos ^{2}\theta )}}\ ,(a\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int (a\cos \theta )(a\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=a^ {2}\int \cos ^{2}\theta \,d\theta \\[6pt]&=a^{2}\int \left({\frac {1+\cos 2\theta }{2} }\right)\,d\theta \\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}\left(\theta +{\frac {1}{2}}\sin 2\ theta \right)+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}(\theta +\sin \theta \cos \theta )+C\\[6pt]&={ \frac {a^{2}}{2}}\left(\arcsin {\frac {x}{a}}+{\frac {x}{a}}{\sqrt {1-{\frac {x ^{2}}{a^{2}}}}}\right)+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}\arcsin {\frac {x}{ a))+{\frac {x}{2}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C.\end{aliniat}}

Pentru o integrală definită, limitele se modifică după efectuarea înlocuirii și sunt determinate folosind o ecuație cu valori în intervalul . Sau puteți aplica termenii limită direct formulei antiderivate. $\theta =\arcsin {\frac {x}{a}}$ $-{\frac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}$

De exemplu, integrala definită

\int _{-1}^{1}{\sqrt {4-x^{2)}}\,dx,

poate fi estimat prin substituirea , cu estimări definite prin , și . $x=2\sin \theta ,\,dx=2\cos \theta \,d\theta$ $\theta =\arcsin {\frac {x}{2)}$ $\arcsin(1/2)=\pi /6$ $\arcsin(-1/2)=-\pi /6$

Apoi

{\begin{aliniat}\int _{-1}^{1}{\sqrt {4-x^{2)}}\,dx&=\int _{-\pi /6}^{\ pi /6}{\sqrt {4-4\sin ^{2}\theta }}\,(2\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int _{-\pi / 6}^{\pi /6}{\sqrt {4(1-\sin ^{2}\theta )}}\,(2\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\ int _{-\pi /6}^{\pi /6}{\sqrt {4(\cos ^{2}\theta )}}\,(2\cos \theta )\,d\theta \\[ 6pt]&=\int _{-\pi /6}^{\pi /6}(2\cos \theta )(2\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=4\int _{-\pi /6}^{\pi /6}\cos ^{2}\theta \,d\theta \\[6pt]&=4\int _{-\pi /6}^{\pi /6}\left({\frac {1+\cos 2\theta }{2}}\right)\,d\theta \\[6pt]&=2\left[\theta +{\frac {1} {2}}\sin 2\theta \right]_{-\pi /6}^{\pi /6}=[2\theta +\sin 2\theta ]{\Biggl |}_{-\pi / 6}^{\pi /6}\\[6pt]&=\left({\frac {\pi }{3}}+\sin {\frac {\pi }{3}}\right)-\left (-{\frac {\pi }{3}}+\sin \left(-{\frac {\pi }{3}}\right)\right)={\frac {2\pi }{3}} +{\sqrt {3}}.\end{aliniat}}

Pe de altă parte, o aplicare directă a termenilor limită la formula obținută anterior pentru antiderivate dă

{\begin{aliniat}\int _{-1}^{1}{\sqrt {4-x^{2}}}\,dx&=\left[{\frac {2^{2}} {2}}\arcsin {\frac {x}{2}}+{\frac {x}{2}}{\sqrt {2^{2}-x^{2}}}\right]_{- 1}^{1}\\[6pt]&=\left(2\arcsin {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {4-1}}\ dreapta)-\left(2\arcsin \left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {-1}{2}}{\sqrt {4-1}}\right) \\[6pt]&=\left(2\cdot {\frac {\pi }{6}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)-\left(2\cdot \ stânga(-{\frac {\pi }{6}}\right)-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)\\[6pt]&={\frac {2\pi } {3}}+{\sqrt {3}}\end{aliniat}}

Ca inainte.

Cazul II: Integrale care conțin un 2 + x 2

Exemple de Caz II

Exemplul 1

În integrală

\int {\frac {dx}{a^{2}+x^{2)}}

poti sa scrii

x=a\tan \theta,\quad dx=a\sec ^{2}\theta \,d\theta,\quad \theta =\arctan {\frac {x}{a)),

deci integrala devine

{\begin{aliniat}\int {\frac {dx}{a^{2}+x^{2}}}&=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \, d\theta }{a^{2}+a^{2}\tan ^{2}\theta }}\\[6pt]&=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \, d\theta }{a^{2}(1+\tan ^{2}\theta )}}\\[6pt]&=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \,d\ theta }{a^{2}\sec ^{2}\theta }}\\[6pt]&=\int {\frac {d\theta }{a}}\\[6pt]&={\frac { \theta }{a}}+C\\[6pt]&={\frac {1}{a}}\arctan {\frac {x}{a}}+C,\end{aligned}}

furnizat . $a \neq 0$

Pentru o integrală definită, limitele se modifică după efectuarea înlocuirii și sunt determinate folosind o ecuație cu valori în intervalul . Sau puteți aplica termenii limită direct formulei antiderivate. $\theta =\arctan {\frac {x}{a)}$ $-{\frac {\pi }{2}}<\theta <{\frac {\pi }{2}}$

De exemplu, integrala definită

\int _{0}^{1}{\frac {4}{1+x^{2)}}\,dx

poate fi estimat prin substituirea , cu estimări definite prin , și . $x=\tan \theta ,\,dx=\sec ^{2}\theta \,d\theta$ $\theta =\arctan x$ $\arctan 0=0$ $\arctan 1=\pi /4$

Apoi

{\begin{aliniat}\int _{0}^{1}{\frac {4\,dx}{1+x^{2)}}&=4\int _{0}^{1 }{\frac {dx}{1+x^{2}}}\\[6pt]&=4\int _{0}^{\pi /4}{\frac {\sec ^{2}\theta \,d\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\\[6pt]&=4\int _{0}^{\pi /4}{\frac {\sec ^{2} \theta \,d\theta }{\sec ^{2}\theta }}\\[6pt]&=4\int _{0}^{\pi /4}d\theta \\[6pt]&= (4\theta ){\Bigg |}_{0}^{\pi /4}=4\left({\frac {\pi }{4))-0\right)=\pi .\end{aliniat }}

Între timp, o aplicare directă a termenilor limită la formula pentru antiderivate dă

{\begin{aliniat}\int _{0}^{1}{\frac {4}{1+x^{2)}}\,dx&=4\int _{0}^{1} {\frac {dx}{1+x^{2}}}\\&=4\left[{\frac {1}{1}}\arctan {\frac {x}{1}}\right]_ {0}^{1}\\&=4(\arctan x){\Bigg |}_{0}^{1}\\&=4(\arctan 1-\arctan 0)\\&=4\ stânga({\frac {\pi }{4}}-0\right)=\pi ,\end{aliniat}}

exact ca înainte.

Exemplul 2

Integral

\int {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\,{dx}

pot fi evaluate prin prezentare $x=a\tan \theta ,\,dx=a\sec ^{2}\theta \,d\theta ,\,\theta =\arctan {\frac {x}{a)),$

unde , astfel încât și peste intervalul de arc tangente , astfel încât și . $a>0$ ${\sqrt {a^{2}}}=a$ $-{\frac {\pi }{2}}<\theta <{\frac {\pi }{2}}$ $\sec \theta >0$ ${\sqrt {\sec ^{2}\theta }}=\sec \theta$

Apoi

{\begin{aliniat}\int {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\,dx&=\int {\sqrt {a^{2}+a^{2}\ tan ^{2}\theta }}\,(a\sec ^{2}\theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int {\sqrt {a^{2}(1+\tan ^{2}\theta )}}\,(a\sec ^{2}\theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int {\sqrt {a^{2}\sec ^{2 }\theta }}\,(a\sec ^{2}\theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int (a\sec \theta )(a\sec ^{2}\theta ) \,d\theta \\[6pt]&=a^{2}\int \sec ^{3}\theta \,d\theta .\\[6pt]\end{aligned}}

Integrala secantă cubă poate fi calculată folosind integrarea pe părți . Ca urmare

{\begin{aliniat}\int {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\,dx&={\frac {a^{2}}{2}}(\sec \ theta \tan \theta +\ln |\sec \theta +\tan \theta |)+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}\left({\sqrt { 1+{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}\cdot {\frac {x}{a}}+\ln \left|{\sqrt {1+{\frac { x^{2}}{a^{2}}}}}+{\frac {x}{a}}\right|\right)+C\\[6pt]&={\frac {1}{2 }}\left(x{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}+a^{2}\ln \left|{\frac {x+{\sqrt {a^{2}+x ^{2}}}}{a}}\right|\right)+C.\end{aliniat}}

Cazul III: Integrale care conțin x 2 − a 2

Lasă și folosește identitatea $x=a\sec\theta$ $\sec ^{2}\theta -1=\tan ^{2}\theta .$

Exemple de Caz III

Integrale de tip

\int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2)}}

poate fi calculat și prin fracții parțiale, mai degrabă decât prin substituții trigonometrice. Cu toate acestea, integrala

\int {\sqrt {x^{2}-a^{2)}}\,dx

este interzis. În acest caz, o înlocuire adecvată ar fi:

x=a\sec \theta ,\,dx=a\sec \theta \tan \theta \,d\theta ,\,\theta =\operatorname {arcsec} {\frac {x}{a)} ,

unde , așa și , presupunând , așa și . $a>0$ ${\sqrt {a^{2}}}=a$ $0\leq \theta <{\frac {\pi }{2)}$ $x>0$ $\tan \theta \geq 0$ ${\sqrt {\tan ^{2}\theta }}=\tan \theta$

Apoi

{\begin{aliniat}\int {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\,dx&=\int {\sqrt {a^{2}\sec ^{2}\ theta -a^{2))}\cdot a\sec \theta \tan \theta \,d\theta \\&=\int {\sqrt {a^{2}(\sec ^{2}\theta - 1)}}\cdot a\sec \theta \tan \theta \,d\theta \\&=\int {\sqrt {a^{2}\tan ^{2}\theta }}\cdot a\sec \theta \tan \theta \,d\theta \\&=\int a^{2}\sec \theta \tan ^{2}\theta \,d\theta \\&=a^{2}\int (\sec \theta )(\sec ^{2}\theta -1)\,d\theta \\&=a^{2}\int (\sec ^{3}\theta -\sec \theta )\ ,d\theta .\end{aliniat}}

Puteți calcula integrala funcției secante prin înmulțirea numărătorului și numitorului cu și integrala secantei cubite cu părți [3] . Ca urmare $(\sec \theta +\tan \theta )$

{\begin{aliniat}\int {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\,dx&={\frac {a^{2}}{2}}(\sec \ theta \tan \theta +\ln |\sec \theta +\tan \theta |)-a^{2}\ln |\sec \theta +\tan \theta |+C\\[6pt]&={\ frac {a^{2}}{2}}(\sec \theta \tan \theta -\ln |\sec \theta +\tan \theta |)+C\\[6pt]&={\frac {a ^{2}}{2}}\left({\frac {x}{a}}\cdot {\sqrt ({\frac {x^{2}}{a^{2}}}-1}} -\ln \left|{\frac {x}{a}}+{\sqrt ({\frac {x^{2}}{a^{2}}}-1}}\right|\right)+ C\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\left(x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}-a^{2}\ln \left| {\frac {x+{\sqrt {x^{2}-a^{2)))){a}}\right|\right)+C.\end{aliniat}}

Dacă , ceea ce se întâmplă atunci când cu un interval dat de arcsecant , atunci , ceea ce în acest caz înseamnă . ${\frac {\pi }{2}}<\theta \leq \pi$ $x<0$ $\tan \theta \leq 0$ ${\sqrt {\tan ^{2}\theta }}=-\tan \theta$

Substituții excluzând funcțiile trigonometrice

Substituția poate fi folosită pentru a elimina funcțiile trigonometrice.

De exemplu,

{\begin{aliniat}\int f(\sin(x),\cos(x))\,dx&=\int {\frac {1}{\pm {\sqrt {1-u^{2 }}}}}f\left(u,\pm {\sqrt {1-u^{2}}}\right)\,du&&u=\sin(x)\\[6pt]\int f(\sin( x),\cos(x))\,dx&=\int {\frac {1}{\mp {\sqrt {1-u^{2))))}f\left(\pm {\sqrt {1 -u^{2}}},u\right)\,du&&u=\cos(x)\\[6pt]\int f(\sin(x),\cos(x))\,dx&=\int { \frac {2}{1+u^{2}}}f\left({\frac {2u}{1+u^{2}}},{\frac {1-u^{2}}{1 +u^{2}}}\right)\,du&&u=\tan \left({\tfrac {x}{2}}\right)\\[6pt]\end{aligned}}

Ultima substituție este cunoscută sub numele de substituție Weierstrass , care utilizează formule tangente cu jumătate de unghi .

De exemplu,

{\begin{aliniat}\int {\frac {4\cos x}{(1+\cos x)^{3)}}\,dx&=\int {\frac {2}{1+u ^{2))}{\frac {4\left({\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\right)}{\left(1+{\frac { 1-u^{2}}{1+u^{2}}}\right)^{3}}}\,du=\int (1-u^{2})(1+u^{2} )\,du\\&=\int (1-u^{4})\,du=u-{\frac {u^{5}}{5}}+C=\tan {\frac {x} {2}}-{\frac {1}{5}}\tan ^{5}{\frac {x}{2}}+C.\end{aliniat}}

Substituția hiperbolică

Substituțiile de funcții hiperbolice pot fi folosite și pentru a simplifica integralele [4] .

În integrală , se poate face o înlocuire , $\int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}+x^{2)}})\,dx$ $x=a\sinh {u}$ $dx=a\cosh u\,du.$

Apoi, folosind identitățile și $\cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)=1$ $\sinh ^{-1}{x}=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1))),$

disponibil

${\begin{aliniat}\int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}+x^{2)}}}\,dx&=\int {\frac {a\cosh u} {\sqrt {a^{2}+a^{2}\sinh ^{2}u}}}\,du\\[6pt]&=\int {\frac {a\cosh {u}}{a {\sqrt {1+\sinh ^{2}{u))))}\,du\\[6pt]&=\int {\frac {a\cosh {u}}{a\cosh u}}\ ,du\\[6pt]&=u+C\\[6pt]&=\sinh ^{-1}{\frac {x}{a}}+C\\[6pt]&=\ln \left( {\sqrt {{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+1}}+{\frac {x}{a}}\right)+C\\[6pt]&=\ în \left({\frac {{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}+x}{a}}\right)+C.\end{aliniat}}$

Vezi și

Note

↑ James Stewart . Calcul: teorii transcendentale timpurii . — ediția a VI-a. — Brooks/Cole, 2008. — ISBN 978-0-495-01166-8 .
↑ George B. Thomas, Maurice D. Weir, Joel Hass . Calcul lui Thomas: Transcendentale timpurii . — ediția a XII-a. — Addison-Wesley , 2010. — ISBN 978-0-321-58876-0 .
↑ James Stewart . Secțiunea 7.2: Integrale trigonometrice // Calcul - Teorii transcendentale timpurii . — Statele Unite ale Americii : Cengage Learning, 2012. — P. 475–6. - ISBN 978-0-538-49790-9 .
↑ Christo N. Boyadzhiev. Substituții hiperbolice de integrale . Preluat la 4 martie 2013. Arhivat din original la 26 februarie 2020. (nedefinit)

Trigonometrie
General	Prezentare generală a trigonometriei Poveste Utilizare Funcții Verso Folosit rar Trigonometrie generalizată
Director	Identități Constante exacte Mese cerc unitar
Legi și teoreme	Teorema sinusului teorema lui Pitagora Teorema cosinusului Teorema tangentei Teorema cotangentei Rezolvarea triunghiurilor
Analiza matematică	Substituția trigonometrică Integrale ( funcții inverse ) Derivate

Calcul integral

Principal

Generalizări
ale integralei Riemann

Transformări integrale

Integrare numerică

teoria măsurării

subiecte asemănătoare

Liste de integrale